exercise of trygonometri grade 10

1. TRIGONOMETRI
Nama Kelompok :
1. Dita Anggelia_13
2. Jennifer Anggelica_16
3. Putri Meilyanti_24
4. Sarah Chelsea_25
5. Sulisnawati_28

2. NILAI RASIO TRIGONOMETRI
1. Jika cos x = √
5
5
, maka cot (
𝜋
2
− 𝑥) = ....
Pembahasan :
• cos 𝑥 =
𝑝
𝑞
sin 𝑥 = 𝑞2
-
𝑝2
𝑞
• cot
𝜋
2
− 𝑥 = tan 𝑥
• tan 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥 = √
5
5
Jawab :
tan 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
= √
20/5
5/5
= 4 = 2

3. 2. Dalam suatu soal, Budi menemukan bahwa sin
𝜋
2
× 3 − 𝛼 jika dikalikan dengan sin(
𝜋
2
× 3) dan
ditambah dengan tan 135° hasilnya adalah -
1
2
. Tiba-tiba Budi penasaran berapa besarnya sudut
𝛼, bantu Budi mencari tahu!
Pembahasan :
• sin
𝜋
2
× 3 − 𝛼 = sin(270 − 𝛼) → kuadran III
= - cos 𝛼
• sin
𝜋
2
× 3 = sin 270 − 0 → kuadran III
= - cos 0° = -1
• tan 135 = tan 90 + 45 → kuadran II
= -cot 45 = −
1
tan 45
= -1
• sin
𝜋
2
× 3 − 𝛼 . sin
𝜋
2
× 3 + tan 135 = −
1
2
− cos 𝛼 . −1 + −1 = −
1
2
cos 𝛼 = −
1
2
+ 1
cos 𝛼 =
1
2
, 𝜶 = 𝟔𝟎°

4. NILAI PERBANDINGAN SUDUT BERELASI
1. Hitunglah Nilai dari : a. sin 120°
b. cot 120°
c. csc 150°
d. tan 135°
Pembahasan :
a. sin 120° = sin 90° + 30° → sin 120° = cos 30°
=
𝟏
𝟐
𝟑
b. cot 120° = cot 90° + 30° → cot 120° = − tan 30°
= -
𝟏
𝟑
𝟑
c. csc 150° = csc 90° + 60° → csc 150° = sec 60°
= 2
d. tan 135° = tan 90° + 45° → tan 135° = − cot 45°
= -1

5. NILAI PERBANDINGAN SUDUT NEGATIF
1. Bambang sedang melihat jam dinding dimana jarum panjang menunjuk ke angka 3 dan sudut
antara jarum pendek dan panjang adalah 𝛽. Jam berapa saat itu apabila
–(sin 𝛽) + sin −90 + cos −0 +
1
sin 30
. cos −60 = 0 dan aturan besar sudut jarum jam di
abaikan, serta jarum pendek berada pada kuadran I
Pembahasan :
• sin 𝛽 = sin −90 + cos −0 +
1
sin 30
. cos −60 = −1 + 1 +
1
1
2
.
1
2
sin 𝛽 = 0 + 1 = 1
𝛽 = 𝟗𝟎°
Jarum panjang pada angka 3 = 0°
𝛽 kuadran I maka, 0 + 90 = 90° → 90° = 𝟏𝟐
Jadi, saat itu waktu menunjukan pk. 12:15

6. IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Buktikan : a.
(sec 𝐴−tan 𝐴)²+1
sec 𝐴−tan 𝐴
= 2 sec 𝐴
b.
tan² 𝐴−sin² 𝐴
1−sin² 𝐴
= tan⁴ 𝐴
c.
tan 𝐴−1
tan 𝐴+1
×
sin 𝐴+cos 𝐴
sin 𝐴−𝑐𝑜𝑠 𝐴
= 1
Pembahasan :
a.
(sec 𝐴−tan 𝐴)²+1
sec 𝐴−tan 𝐴
= 2 sec 𝐴
𝑠𝑒𝑐2 𝐴−2 tan 𝐴 sec 𝐴+𝑡𝑎𝑛2 𝐴+1
sec 𝐴−tan 𝐴
= 2 sec A
𝑠𝑒𝑐2 𝐴−2 tan 𝐴 sec 𝐴+𝑠𝑒𝑐2 𝐴
sec 𝐴−tan 𝐴
= 2 sec A
2 𝑠𝑒𝑐2 𝐴−2 tan 𝐴 sec 𝐴
sec 𝐴−tan 𝐴
= 2 sec A
2 sec 𝐴 (sec 𝐴−tan 𝐴)
(sec 𝐴 −tan 𝐴)
= 2 sec A
2 sec A = 2 sec A
b.
tan² 𝐴−sin² 𝐴
1−sin² 𝐴
= tan⁴ 𝐴
[
𝑠𝑖𝑛2 𝐴−𝑠𝑖𝑛2 𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝐴
𝑐𝑜𝑠2 𝐴
]
𝑐𝑜𝑠2 𝐴
= tan⁴ 𝐴
𝑠𝑖𝑛2 𝐴 (1−𝑐𝑜𝑠2 𝐴)
𝑐𝑜𝑠4 𝐴
= tan⁴ 𝐴
𝑠𝑖𝑛2 𝐴−𝑠𝑖𝑛2 𝐴
𝑐𝑜𝑠4 𝐴
= tan⁴ 𝐴
𝑠𝑖𝑛4 𝐴
𝑐𝑜𝑠4 𝐴
= 𝑡𝑎𝑛4
𝐴
c.
tan 𝐴−1
tan 𝐴+1
×
sin 𝐴+cos 𝐴
sin 𝐴−𝑐𝑜𝑠 𝐴
= 1
[
𝑠𝑖𝑛𝐴
cos 𝐴
−
cos 𝐴
cos 𝐴
sin 𝐴
cos 𝐴
+
cos 𝐴
cos 𝐴
] ×
(sin 𝐴+cos 𝐴)
(sin 𝐴 −cos 𝐴)
= 1
(sin 𝐴−𝑐𝑜𝑠𝑎 𝐴)
(sin 𝐴+cos 𝐴)
×
(sin 𝐴+cos 𝐴)
(sin 𝐴 −𝑐𝑜𝑠 𝐴)
= 1
1 = 1

7. PENERAPAN TRIGONOMETRI
1. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan
arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60
km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara
pelabuhan A dan C!
Pembahasan :
Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km
Besar ∠ ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − (2 × 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × cos ∠ 𝐴𝐵𝐶)
𝐴𝐶2 = 802 + 1502 − (2 × 80 × 150 × cos 60°)
𝐴𝐶2
= 28.900 − 2 × 80 × 150 ×
1
2
𝐴𝐶2 = 28.900 − 12.000
𝐴𝐶 = 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km
A
B
C
150°

8. 2. Abi dengan tinggi 180 cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 45°. Kemudian ia berjalan sejauh
12 m mendekati gedung. Di posisi yang baru, Abi mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi
60°. Tentukan tinggi gedung tersebut ( 3 = 1,7).
Pembahasan :
Misalkan tinggi gedung = h
Jarak antara gedung dengan posisi Abi mula-mula = 12 + 𝑥
Jarak antara gedung dengan posisi Abi yang baru = 𝑥
B
A OC45° 60°
1,8 m
12 m
12 + 𝑥 𝑚
𝑥
Abi

9. Pada segitiga ABO, hubungan antara BO dan AO
adalah :
𝐵𝑂
𝐴𝑂
= tan 45°
ℎ
(𝑥+12)
= 1
ℎ = 𝑥 + 12
𝑥 = ℎ − 12 [persamaan 1]
Pada segitiga BCO, hubungan antara BO dan CO
adalah :
𝐵𝑂
𝐶𝑂
= tan 60°
ℎ
𝑥
= 3
ℎ = 𝑥 3 [persamaan 2]
Substitusikan Persamaan 1 ke persamaan 2
ℎ = ℎ − 12 3
ℎ = ℎ 3 − 12 3
ℎ 3 − ℎ = 12 3
ℎ 3 − 1 = 12 3
ℎ =
12 3
3−1
Rasionalkan
ℎ =
12 3
3−1
×
3+1
3+1
ℎ =
12(3+ 3)
2
Diperoleh jarak BO, ℎ = 6 3 + 3 𝑚.
Tinggi gedung = tinggi Abi + BO
Tinggi gedung = 1,8 + 18 + 6 3 𝑚
Jadi tinggi gedung adalah 19,8 + 6 3 𝑚
Dituntaskan, tinggi gedung 19,8 + 6(1,7) = 30 m

10. ATURAN SINUS, COCINUS, DAN LUAS SEGITIGA
1. Suatu segitiga ABC siku-siku di B, ∠A = 30° dan panjang AB = 15 cm. Panjang sisi AC adalah ...
Pembahasan :
∠A = 30°
Panjang AB = 15 cm
∠C = 180 –(30+90) = 60
Panjang AC ?
Jawab :
𝐵
sin 𝐵
=
𝐶
sin 𝐶
𝐵
sin 90°
=
15
sin 60°
𝐵
1
=
15
1
2
3
1
2
3𝑏 = 15
b = 10 𝟑
AB
C
15 cm
30°90°
60°
b
a
c

11. 2. Jika perbandingan sudut-sudut suatu segitiga adalah 3:4:5. Maka perbandingan panjang sudut dua sisi
terpendeknya adalah ...
Pembahasan :
total ∠ segitiga = 180°
3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 = 180°
12 𝑥 = 180°
𝑥 = 15°
Aturan Sinus
𝑎
sin 45°
=
𝑏
sin 60°
𝑎
1
2
2
=
𝑏
1
2
3
𝑎
𝑏
=
𝟐
𝟑
atau 𝟐 : 𝟑
A B
C
ab
c
5𝑥
3𝑥 4𝑥
∠A = 45° (𝟑 × 𝟏𝟓)
∠B = 60° (𝟒 × 𝟏𝟓)
∠C = 75° (𝟓 × 𝟏𝟓)

12. THANK YOU