Trigonometri

9,306 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
9,306
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
17
Actions
Shares
0
Downloads
103
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Trigonometri

  1. 1. Juwita Martini
  2. 2. Aturan sinus ini merupakan perluasan dari perbandingan trigonometri yang sebelumnya dibahas menggunakan segitiga siku-siku. Pada aturan sinus ini akan ditunjukkan perbandingan trigonometri dalam segitiga sembarang .
  3. 3. C Sin  = Demi c a  A b sin   B sin   depan miring a c
  4. 4. Untuk penurunan rumus aturan sinus, perhatikan Δ ABC lancip pada gambar di bawah ini. Garis-garis AP, BQ, dan CR merupakan garis tinggi pada sisi a, sisi b, dan sisi c. Pada Δ ACR berlaku : sin A  CR b  CR  b sin A ...... 1 Pada Δ BCR berlaku : Sin B  CR a  CR  a sin B ...... 2  Persamaan ( 1 ) = ( 2 ) diperoleh : b Sin A = a Sin B  a sinA  b sinB ......... 3 
  5. 5. Pada Δ BAP berlaku : sinB  AP c  AP  csinB ....... 4 Pada Δ CAP berlaku : sinC  AP b  AP  bsinC ....... 5 Persamaan ( 4 ) = ( 5 ) diperoleh : c Sin B = b Sin C  b  sinB c sinC ...... 6  Persamaan ( 3 ) = ( 6 ) diperoleh : a sinA  b sinB  c sinC
  6. 6. Jadi , a sin A  b sin B  c sin C
  7. 7. Aturan sinus tersebut dapat digunakan dalam perhitungan segitiga untuk kasus berikut: •Dua sudut dan sembarang sisi diketahui •Dua sisi dan sudut dihadapan salah satu sisi tersebut diketahui
  8. 8. Untuk menurunkan rumus aturan cosinus, perhatikan segetiga ABC dibawah ini CD = h adalah garis tinggi pada sisi c.
  9. 9. C cos  = Sami c a  A b B cos   cos   samping miring b c
  10. 10. Dengan menerapkan teorema pyhagoras pada segitiga siku-siku BCD.diperoleh : a2 = h2 + (BD)2 ……………… ( 1 ) Pada Δ siku-siku ACD diperoleh : h = b Sin A ………………….. ( 2 ) dan AD = b cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b Cos A …………….. ( 3 ) substitusi h = b Sin A dan BD = c – b Cos A ke persamaan ( 1 ). Diperoleh : a2 = (b Sin A)2 + (c – b Cos A)2 2 2 2 2 2  a = b sin A + c - 2bc cos A  b cos  a = b (sin 2 2 2 2 2 A + cos A)  c - 2bc cos A 2 2 2  a = b  c - 2bc cos A 2 A
  11. 11. Dengan menggunakan segitiga yang sama tapi letak titik sudutnya ditukar akan diperoleh rumus aturan cosinus yang lainnya yaitu : b 2 = a  c - 2ac cos B c 2 = a  b - 2ab cos C 2 2 2 2
  12. 12. Jadi , 2 2 2 a = b  c - 2bc cos A b 2 = a  c - 2ac cos B c 2 = a  b - 2ab cos C 2 2 2 2
  13. 13. Untuk menentukan besarnya sudut suatu segitiga, dimana ketiga sisinya diketahui, rumus di atas dapat di ubah menjadi : 1. a 2 = b 2  c 2 - 2bc cos A  b  c - 2bc cos A  a 2 2   b 2  - 2bc cos A  a  b  c 2  - 2bc cos A  a c 2  2bc cos A  b  c  a 2 2 2 2 2 2 b c a 2  cos A  2 2 2 .b .c 2  
  14. 14. Jadi, b c a 2 cos A  2 2 2 .b .c a c b 2 cos B  2 2 2 .a .c a c b 2 cos C  2 2 .a .b 2
  15. 15. Aturan kosinus tersebut dapat digunakan dalam perhitungan segitiga untuk kasus berikut : a. Dua sisi dan sudut yang di apitnya b. Ketiga sisi segitiga
  16. 16. 1. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12cm dan sin B = 4 5 Tentukan nilai cos C = ……. Pembahasan : Panjang sisi AB = c = 10 Cm Panjang sisi AC = b = 12 Cm Dengan aturan sinus : b 12 4 c  sin B Identitas trigonometri : Sin2 C + Cos2 C = 1 2 2    Cos 3 sin C 10  sin C Cos 5 4 2 2 C = 1 C = 1- 4  9 x 10 sin C  5  12 8 12  2 3 Cos C = 1 3 5 9 5
  17. 17. 2. Dalam segitiga ABC diket b = 8 cm, c = 5 cm dan sudut A = 60ᶱ Tentukan panjang sisi a = ? Pembahasan : Dengan menggunakan aturan kosinus a = b  c - 2bc cos A 2 2 2 a = 8  5 - 2 8 2 2 2  5  cos 1 2 a = 64  25 - 80   2 a = 49 a =  7 60
  18. 18. 3. Diketahui ABC dengan A = 30 , 70 dan sisi a = 9 cm Tentukan kedua sisi lainnya ! Pembahasan : C 9 cm B A a) Berdasarkan persamaan a sin A 9 sin 30  b  9 b  diperoleh sin B b  sin 30 sin 70 sin 70 9   0 ,5000  1 b 0 ,9 3 9 b  8 , 451 2  b  1 6, 9 06 Jadi panjang sisi b adalah 1 6, 9 06 cm
  19. 19. C = 180ᶱ- ( 30ᶱ+ 70ᶱ) = 80 o, berdasarkan persamaan b. ) 9 sin 30  c sin 8 0 9  0 ,5000  1 c  0 ,985 c  8 , 86 5 2  c  1 7,730 Jadi panjang sisi c adalah 17, 730 cm
  20. 20. 4. Carilah besar sudut B pada  10 dan a = 5  ABC jika diketahui A = 30, b= C b a  A B c Pembahasan : berdasarkan aturan sinus a sin A  5 b maka diperoleh : sin B 10  sin 30  sin B  Sin B  1  B  90 (hanya ada satu jawaban yaitu 90ᶱ )
  21. 21. 5. Diketahui Δ ABC dengan sisi a = 6 , b = 8 dan ∠ c = 70ᶱ Hitunglah panjang sisi C ! Pembahasan : C 8 cm 6 cm B A A c = a  b - 2ab cos C 2 2 2 c = 6  8 - 2.6 .8 cos 70 2 2 2 c = 36  6 4 - 2.48 cos 70 2 c = 100  96 2 2 c = 67,17 c = 67,17  8,19 cm 0,342 
  22. 22. 6. Diketahui Δ ABC dengan sisi a = 8 ∠ a = 30ᶱ ∠ b = 60ᶱ , Hitunglah sudut c dan panjang sisi b dan c ! Pembahasan : C 8 30ᶱ 60ᶱ B A ∠C = 180ᶱ- (60ᶱ+ 30ᶱ) = 90 a a sin B sin A  sin A  b 8  sin 30  8 0 ,5  b b    0 ,8 66 6, 9 2 8 0 ,5  13,85 6 cm sin C 8  sin 30 sin 6 0 b c  8 0 ,5  c   c sin 9 0 c 1 8 0 ,5  1 6 cm
  23. 23. 7. Diketahui Δ ABC dengan sisi c = 10 ∠ a = 50ᶱ ∠ b = 80ᶱ , Hitunglah sudut c dan panjang sisi a dan b ! C Pembahasan : 80ᶱ 50ᶱ A 10 B ∠C = 180ᶱ- (50ᶱ+ 80ᶱ) = 50ᶱ a b sin C sin B  sin A  c a  sin 50  a sin 5 0  0 ,7 6 6  a  10 7 ,6 6 0 ,7 6 6 10 0 ,7 6 6  10 cm c  sin C b   sin 8 0  b  0 ,985  b  9,85 0 ,7 6 6 10 sin 5 0 10 0 ,7 6 6  12,859008 cm
  24. 24. 8. Diketahui Δ ABC dengan AB= 4cm , AC= 6cm, BC= 8cm Tentukan nilai cos C = … C Pembahasan : 8 cm 6 cm A c = a  b - 2ab cos C 2 2 2 a c b 2  cos C  2 2 2 .a .b 8 4 6 2  cos C  2 2 2 .8 .6  cos C  64  1 6  3 6 96  cos C  44  0 , 45 8 96 C  117 , 2 6  4 cm B
  25. 25. 9. Pada Δ ABC panjang sisi AC = 20, AB = 25, dan A = 65° Tentukan panjang sisi BC ! C Pembahasan : 20 65º A 25 B a 2 = b  c - 2bc cos A a 2 = 20  25 - 2.20.25 cos 65 2 2 2 a 2 = 400  625 a 2 2 = 602 a = - 423 602  24,54 Cm Sehingga di peroleh BC = a = 24,54 cm
  26. 26. 10 Tentukan unsur- unsur yang lain pada Δ ABC jika ∠ A = 38ᶱ ∠ B = 67ᶱ , dan c = 43 cm Hitunglah sudut c dan panjang sisi b dan c ! Pembahasan : C 38º 67º A 43 B ∠C = 180ᶱ- (38ᶱ+ 67ᶱ) = 75ᶱ selanjutnya kita akan mencari nilai a dan b dengan menggunakan aturan sinus a b sin C sin A  c sin B  a sin 3 8  a sin 7 5  0,97 26 , 66 0 ,97  a  27 , 40 98 cm sin C b  b 43  sin 67 43  0 , 62  a 43  c   sin 75 43 0,92 0 ,97  b 39 ,56 0 ,97  b  40 , 9789 cm
  27. 27. 11. Tentukan sudut terkecil dan sudut terbesar dari Δ PQR jika PQ = 6, QR = 8 dan PR = 12 Pembahasan : b c a 2 cos A  2 a c b 2 2 cos B  2 2 .a .c 2 .b .c cos A  PR  PQ 2 2  QR 2 cos B  2 QR cos A  2 6 8 2 11 6  0 ,8 0 6 144 A  3 6,29  2  PR 8  6  12 2 2 cos B  2 . 12 . 6 cos A   PQ 2 2 .QR . PQ 2 . PR . PQ 12 2 2 2 2 . 8.6 cos B   44   0 , 45 8 96 B  117 , 2 6 C  180  -  A  B   180  - 3 6,29  117 , 2 6   2 6,45  Jadi, sudut terkecil adalah C = 2 6,45  dan sudut terbesar B = 117 , 2 6
  28. 28. Tiada guru yang bijaksana apabila dia lebih mememahami materi yang dia sampaikan kepada muridnya , sehingga muridnya juga mememahami. Tiada sempurna seorang guru apabila tak memiliki tanggung jawab di dasar hatinya. Mari bersama-sama menjadi guru yang baik !!

×