trigonometri

1. Nama kelompok:
@tensesfo
CHRISTIAN FREDERIC P
MAUDIA ARDANTI
MAWAHDAH
M. BARRY ALDAFFA
M.GUSTI RAMA
RIZKY ASTRI WULANDARI
SAHARA OKTAVIAWATI
YENIKA FIBRIANITA

2. Trigonometri
• Pengertian Trigonometri
• Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah
cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi
trigonometrik sepertisinus, cosinus, dan tangen.
• Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan
sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri merupakan nilai
perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. trigonometri identik
dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan
(sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah
segitiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga.
• Trigonometri merupakan ilmu matematika yang sangat penting dalam kehidupan. Aplikasi ilmu
trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti astronomi, geografi, teori musik,
elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita bisa mengukur jarak
suatu bintang diangkasa tanpa harus pergi kesana. Dengan trigonometri kita bisa mengukur sudut
ketinggian tebing tanpa harus memanjatnya. Bisa mengukur lebar suatu sungai tanpa harus
menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
• Trigonometri adalah sebuah konsep. Hal pertama yang perlu dimengerti dalam memahami konsep dasar
trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga,
terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, yaitu sisi miring, sisi
samping, dan sisi depan. Dan tiga buah sudut yaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping.
Dimana jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segitiga haruslah 180 derajat.

3. Tujuan Mempelajari Trigonometri
Adapun pemanfaatan trigoneometri dalam kehidupan sehari-hari, antara lain:
• untuk menemukan nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segitiga.
• Untuk menghitung sudut serang (angle of attack) yang paling optimal dari suatu
peluncur senjata agar mampu melontarkan projektil sejauh mungkin.
• Untuk menghitung berapa "lift force" suatu sayap profil pesawat, dengan
kecepatan tertentu, yang tidak boleh dilewati. Bila nilai ini dilewati, maka pesawat
akan mengalami stall (jatuh karena tidak memiliki daya angkat), khususnya
perhitungan ini diperlukan pada pesawat pemburu.
• Pada olah gerak teknis kapal selam dibawah air, dengan mengetahui sudut
hidroplane depan dan belakang, menginterpolarisasikannya dengan kecepatan
kapal, kita lalu dapat memperkirakan berapa kita harus mengisi compensating
tank agar kapal welltrimm pada kecepatan tersebut.
• Mengukur luas atau keliling tanah.
• untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk
menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

4. Trigonometri
Sudut
sudut sudut
Sudut sebagai bentuk (tidak berarah)
Dua sinar garis dengan titik pangkal yang
berimpit membagi bidang menjadi dua
bagian, masing-masing dinamakan sudut
Arah positif
Arah negatif
Sudut sebagai
gerak putar
(berarah)
A
B
4

5. Trigonometri
Sudut
Kedudukan Standar dari
Sudut
∠AOB=30
∠AOC=150
∠AOD=225 -360 =-135
X
Y
BC
D
AO
5

6. Trigonometri
Sudut
Ukuran Sudut : Derajat
1 = 1/360 putaran 360 = 1 putaran
¼ putaran = ¼ x 360
6

7. Trigonometri
Sudut
Ukuran Sudut : Derajat
Contoh Soal
Tentukan ukuran sudut berikut dalam satuan derajat
a. ½ putaran
b. ¼ putaran
Jawab :
a. ½ putaran = ½ x 360° = 180°
b. ¼ putaran = ¼ x 360° = 90°
7

8. Sudut
Ukuran Sudut : Radian
∠POQ=Panjang PQ radian
r
Besar sudut satu putaran penuh
= keliling lingkaran radian
jari-jari
=2 π r radian = 2π radian
r
Besar sudut ½ putaran = π radian
Besar sudut ¼ putaran = ½ π radian
Jika panjang busur PQ=r, maka besar
sudut POQ = 1 radian.
1 radian = besar sudut pusat lingkaran
yang panjang busurnya r.
P
Q
O
r
r
r
8

9. Sudut
Hubungan Satuan Derajat dan radian
Jika Sudut satu putaran penuh = 360 = 2π radian,
Maka 180 = π radian.
Contoh Soal
1. Ubahlah 90 ke dalam satuan radian
2. Ubahlah ½ π radian ke dalam satuan derajat
3. Ubahlah ¼ radian ke dalam satuan derajat
Jawab :
a. 90 = 90 x π/180 rad = ½ π rad
b. ½ π rad = ½ π x 180 / π = 90
c. ¼ rad = 1/4 x 180 / π = 45 / π
1 = π rad atau 1 rad = 180 = 57,3
180 π
9

10. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
A.Panjang sisi-sisi suatu segitiga
• Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a
• Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b
• Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c
• Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan
• c2 = a2 + b2

11. Besar sudut pada segitiga
• Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah`
• Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

12. Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

13. Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 300, 450, 600, 900)
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut
khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

14. Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
• Sudut dalam kuadran I terletak antara 0o dan 90o (0° < x < 90°), semua bernilai positif
• Sudut dalam kuadran II terletak antara 90o dan 180o (90° < x < 180°), hanya nilai sinus yang positif
(cosinus dan tangent bernilai negatif)
• Sudut dalam kuadran III terletak antara 180o dan 270o (180° < x < 270°), hanya nilai tangen yang positif
(cosinus dan sinus bernilai negatif)
• Sudut dalam kuadran IV terletak antara 270o dan 360o (270° < x < 360°), hanya nilai cosinus yang positif
(sinus dan tangent bernilai negatif.
Untuk memudahkan mengingatnya kita dapat menggunakan kalimat semua sindikat tangannya kosong
maksudnya adalah semua, sinus, tangent dan cosinus
Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
r
A(x,y)
Ordinat positif
positif
x
y
Tan
positif
r
x
Cos
positif
r
y
Sin

15. Dikuadran II
• Titik A(-x,y) dikuadran II
• A(-x,y)
• Absis negatif Ordinat positif
negatif
x
y
Tan
negatif
r
x
Cos
positif
r
y
Sin

17. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut
di semua kuadran.
Rumus di kuadran I
Rumus di kuadran II
Rumus di kuadran III
Rumus sudut negatif
Rumus sudut lebih dari 3600
CotgTan
Cos
Sin
)90(
sin)90(
cos)90(
CotgTan
SinCos
CosSin
)90(
)90(
)90(
TanTan
CosCos
SinSin
)180(
)180(
)180(
CotgTan
SinCos
CosSin
)270(
)270(
)270(
CotgTan
SinCos
CosSin
)270(
)270(
)270(
TanTan
CosCos
SinSin
)(
)(
)(
TankTan
CoskCos
SinkSin
)360.(
)360.(
)360.(

18. Contoh : Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya
2. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)
= -Sin 45
=
3. Sin 7500 = = Sin (2.3600 + 300)
= Sin 300
=
3
2
1 3
2
1
1. Sin 1200 = Sin (900 + 30)
=
Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)
= Sin 600 =
2
2
1
2
1

19. TABEL LENGKAP NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
PADA KUADRAN 1,2,3,4

20. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
• Sin x = Sin p
X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2
• Cos x = Cos p
X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = -p + k.360 x2 = -p + k.2
• Tan x = Tan p
X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.

21. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian
a. Sin x = Sin 200
x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20
k = 1 x2 = 20 + 360
= 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160
Jadi HP = {20, 160}

22. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku
untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2x
Cotg2x = cosec2x – 1

23. SinX = Sin put, maka:
X₁= put + k.360⁰
X₂= (180⁰ - p)+ k.360⁰
CosX= Cos put, maka:
X₁= put + k.360⁰
X₂= (-p) + k.360⁰
CosX = Cos put, maka
X= put + k.180⁰

24. Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
= 3 . 1
= 3 (terbukti)

25. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui :
Luas = ½ b.c. sin A
Luas = ½ a.b. sin C
Luas = ½ a.c. sin B

26. 2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua
sudut yang diketahui:
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)

27. Contoh :
Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm.
Sudut C = 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½
= 10

28. Penerapan Trigonometri
Sudut Elevasi: sudut antara garis pandang dan garis
mendatar ketika pengamat melihat ke atas.
Sudut Depresi: sudut antara garis pandang dan garis
mendatar ketika pengamat melihat ke bawah.
1. Seorang siswa akan mengukur tinggi sebuah pohon yang
berjarak 6 meter dari dirinya. Ia melihat puncak pohon
dengan sudut elevasi 300. Jika tinggi anak 1,6 meter, maka
tinggi pohon adalah….
Pembahasan
Perhatikan BDE.
tan 300 =
DE = 6 . tan 300
DE = 6 . 0,577
DE = 3,46 meter

29. Panjang DE = 3,462 meter
Tinggi anak = 1,60 meter
Tinggi pohon = 3,462 m + 1,60 m
= 5,062 meter
= 5,1 meter.
Jadi, tinggi pohon adalah 5,1 m
A
D
C
E
B
6
m
6
m
300

30. 2. Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung
bertingkat. Dari suatu tempat yang berada di tanah, titik
pangkal tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 300 dan
titik ujung tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 600 . Jika
jarak horizontal dari titik pengamatan ke tepian gedung sama
dengan 10 m. Berapa meter tinggi tiang bendera tersebut?
Sketsa Gambar!!
A B
C
D
600
300
300
?
10m

31. m

32. 32
2. Membuat Grafik Fungsi
Trigonometri
a. Grafik y = sin xo , 00 ≤ X ≤ 3600
x 0 30 90 150 180 210 270 330 360
y 0 ½ 1 ½ 0 -1/2 -1 -1/2 0

33. 33
1
0
-1
90 0 180 0
270 0
360 0
Y = sin x
y
x

34. 34
b. Grafik y = Cos xo ; 00 ≤ X ≤
3600
x 0 60 90 120 180 240 270 300 360
y 1 1/2 0 1/2 -1 - 1/2 -1 1/2 1

35. 1
0
-1
90 0
180 0
270 0
360 0
Y = Cos x

36. 36
c. Grafik y = tg xo
x 0 45 90 135 180 225 270 315 360
y 0 1 ∞ -1 0 1 ∞ 1 0

37. 37
1
0
-1
90 0 180 0
270 0
360 0
Y = Tg x
45 0
315 0135 0
225 0

38. Uji kompetensi 8.1
Latihan uji kompetensi 8.docx