Mahasiswa mampu mengurai sifat dan karakteristik sinyal dan sistem waktu diskrit ke dalam ranah frekuensi kompleks (z).

1. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 1 dari 10
Transformasi Z Bilateral
X[z] = 

n
n-
zx[n] , dimana z adalah variabel kompleks.
Transformasi Z Unilateral
X[z] = 

0n
n-
zx[n]
Contoh :
Dapatkan transformasi Z sinyal-sinyal diskrit berikut.
1. x[n] =





0n,0
0n,1
3. x[n] = e –anT
u[n]
2. x[n] =












0n,0
0n,
2
1
n
4. y[n] =













0n,0
0n,
2
1
n
TRANSFORMASI Z Definisi Transformasi Z

2. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 2 dari 10
Perhatikan hasil transformasi Z berikut.
x[n] =












0n,0
0n,
2
1
n
  
2
1
z
z
zX

 , untuk 1z
2
1 1

atau
2
1
z 
y[n] =













0n,0
0n,
2
1
n
  
2
1
z
z
zY

 , untuk 1z2  atau
2
1
z 
Gambar Daerah konvergensi transformasi Z untuk
contoh di atas.
(a) ROC untuk X(z) dan
(b) ROC untuk Y(z)
Re z
Im z
(a)
(a)
(b)
1/2
TRANSFORMASI Z Daerah Konvergensi

3. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 3 dari 10
Sinyal Impuls Satuan
x[n] = [n], maka X[z] = 1.z0
= 1
Sinyal Tangga Satuan
Z [u[n]] =
1z
z
]z[X


Sinyal Eksponensial
Z [n
u[n]] = 




0n
nn
z =
1
z1
1


=
z
z
Sinyal Sinusoidal
Z {coso} =
1ocosz2z
)ocosz(z
2


Z {sino} =
1ocosz2z
osinz
2


TRANSFORMASI Z Transformasi Z Sinyal Dasar

4. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 4 dari 10
Linieritas :
Jika x1[n]  X1[z], dan x2[n]  X2[z].
maka Z{a1x1[n] + a2x2[n]} = a1X1[z] + a2X2[z]
Pergeseran Waktu :
Jika x[n] kausal, dan Z{x[n]} = X[z] , maka untuk setiap bilangan bulat no > 0 diperoleh
Z{x[n + no]} = zno
{X[z] z-m
- 


1no
0m
x[m] z-m
}
dengan cara yang sama dapat diperoleh :
Z{x[n - no} = z-no
{X[z] z-m
- 


1
non
x[m] z-m
}
Contoh :
1. y[n]-
2
1
y[n-1] = [n] , dimana y[-1] = 3
2. y[n+2] – y[n+1] +
9
2
y[n] = x[n], dimana y[0] = 1 , y[1] = -1 dan x[n] = u[n]
TRANSFORMASI Z Sifat-sifat Transformasi Z

5. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 5 dari 10
Penyekalaan Frekuensi
Z{an
x[n]} = X[a-1
z]
Differensiasi terhadap z





0n
n1
z]n[nxz
dz
]z[dX





0n
n1
z]n[nxz
atau
Z{nk
x[n]} = (-z
dz
d
)k
X[z]
Contoh :
Dapatkan Z{y[n] = n [n+1] u[n]}.
TRANSFORMASI Z Sifat-sifat Transformasi Z

6. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 6 dari 10
Nilai Awal
z
lim X[z] = x[0]
Nilai Akhir
1z
lim

(1- z-1
) X[z] = ][x]N[xlim
N


dengan asumsi x[] ada.
Konvolusi
y[n] = h[n] * x[n]  Y[z] = H[z] X[z]
Contoh :
Dapatkan output sistem dengan respons impuls h[n] = {1,2,0,-1,1}, yang diberi masukan
x[n] = {1,3,-1,-2}.
TRANSFORMASI Z Sifat-sifat Transformasi Z

7. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 7 dari 10
Diasumsikan X[z] berbentuk fungsi rasional dalam z :
X[z] =
N
N10
M
M1
za.......zaa
zb........zbbo
X[z]


 M  N
dengan daerah konvergensi bagian luar dari semua pole dari X[z].
Contoh :
Mendapatkan invers dari X[z] =
1.0z
z

, 1.0z 
Jadi X[z] = 1 + 0.1 z -1
+ (0.1)2
z -2
+ (0.1)3
z -3
+ ………..
sehingga x[0] =1, x[1] = 0.1, x[2] = (0.1)2
, x[3] = (0.1)3
atau
x[n] = (0.1)n
u[n]
 
33
2312
12
13
221
z)1.0(
z)1.0(z)1.0(
z)1.0(
z1.01.0
1.0
1.0z
z
1.0z
z)1.0(z1.01










INVERSI TRANSFORMASI Z Metode Ekspansi Deret Pangkat

8. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 8 dari 10
Contoh 1 :
Dapatkan x[n] dari X[z] =
2
1
z,
10
1
z
2
1
z
4
5
z
16
1
zzz
X[z]
23
23



 ,
2
1
z 
Mendapatkan ekspansi pecahan parsial X[z] :
X[z] =
16
1
z
2
1
z
4
5
z
z
2
1
z
4
1
1
23
2


 =
 















4
1
z
2
1
z
zz2z
4
1
1
2
2
=
 















4
1
z
2
1
z
2z
4
1
z1
2
X[z] =



























4
1
z
9
2
1
z
2
5
2
1
z
9
z1
2
=
4
1
z
z
9
2
1
z
2
z
5
2
1
z
z
91
2












Maka X[n] = [n] - 9 ]n[u
4
1
9]n[u
2
1
n5]n[u
2
1
nn2


















INVERSI TRANSFORMASI Z Metode Ekspansi Pecahan Parsial

9. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 9 dari 10
Contoh 2 :
X[z] =













4
1
z
2
1
z
1
=
4
1
z
z4
z4
2
1
z
z4
z
4
1
z
4
2
1
z
4 11








x[n] = 4
1n
2
1







u[n-1]- 4
1n
4
1







u[n-1]
cara yang lain,
X[z] =













4
1
z
2
1
zz
z
= z
4
1
z
z16
2
1
z
z8
8
4
1
z
16
2
1
z
8
z
8


















x[n] = 8 [n] +8
n
2
1






u[n] - 16
n
4
1






u[n]
Periksa : x[0] = 8 + 8 – 16 = 0.
Untuk n  1 : x[n] = 8
n
2
1






- 16
n
4
1






= 4
1n
2
1







- 4
1n
4
1







INVERSI TRANSFORMASI Z Metode Ekspansi Pecahan Parsial

10. SISTEM LINIER, Transformasi Z , halaman 10 dari 10
Hubungan input-output sistem waktu diskrit
y[n] = 



0k
]kn[x]k[h
atau Y[z] = H[z}.X[z]
dimana H[z] = Z{h[n]}
=
]z[X
]z[Y
H[z] dikenal sebagai Fungsi Alih sistem.
Jika sistem dinyatakan dalam bentuk persamaan beda,



N
0k
k ]kn[ya = 


M
0k
k ]kn[xb
dengan asumsi kondisi mula nol, maka
H[z] =






N
0k
k
k
M
0k
k
k
za
zb
TRANSFORMASI Z Fungsi Alih Z