Mahasiswa mampu mengurai sifat dan karakteristik sinyal dan sistem waktu diskrit dalam ranah frekuensi.

1. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 1 dari 11
Tinjau respon sistem LTI waktu diskrit dengan respon impuls h[n] untuk input eksponensial komplek.
  n
znx   




k
kn
z]k[hzy[n] (Penjumlahan Konvolusi)
Untuk z tertentu (fixed), penjumlahan tersebut merupakan suatu konstanta, yaitu :





k
k
z]k[hH[z] , sehingga y[n] = H[z] x[n]
Untuk sistem dengan input kombinasi linier dari ekponensial komplek



N
1k
n
kkzax[n]  n
k
N
1k
kk z]z[Hay[n] 


= 

N
1k
n
kkzb , dimana ]z[Hab kkk  .
Contoh :
Dapatkan respon sistem jika diketahui
h[n] = n
3
2
cos2]n[xdan]n[u
2
1
n







ANALISA SISTEM DISKRIT Respon Sistem

2. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 2 dari 11
Sinyal waktu diskrit x[n] adalah periodik dengan periode N jika :
x[n] = x[n + N], untuk bilangan bulat positif N.
Analogi dengan representasi sinyal periodik waktu kontinyu, ingin dicari representasi x[n] dalam
bentuk haronisa yang bersesuaian dengan frekuensi dasar (fundamental) 2/N. yaitu dalam bentuk :
x[n] = ]n[xaea k
k
k
k
nj
k
k
 
, dimana k =
N
k2
.
Didapatkan, pasangan persamaan untuk deret-Fourier waktu diskrit
x[n] = 


)Nk
kn
N
2
j
kea  ak =
kn
N
2
j
)Nn
e]n[x
N
1




Kita perhatikan bahwa xk+N[n] = xk[n], sehingga
ak+n = ak
Contoh 1 :
Dapatkan koefisien Fourier sinyal n
4
7
sin]n[x 




 
 .
ANALISA SISTEM DISKRIT Deret Fourier Waktu Diskrit

3. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 3 dari 11
Koefisien fourier gelombang persegi periodik waktu diskrit.
ak =
kn
N
2
jM
Mn
e
N
1




k = 0 ao =
N
1M2
)1(
N
1 M
Mn



k  0 ak =
k
N
2
j
)1M(k
N
2
jkM
N
2
j
e1
ee
N
1








=

































2
k
N
2
j
2
k
N
2
j
2
k
N
2
j
)
2
1
M(k
N
2
j)
2
1
M(k
N
2
j
2
k
N
2
j
eee
eee
N
1
= 1N,........2,1k,
2
k
N
2
sin
2
1
M
N
k2
sin
N
1



























. Misal f(  ) =
 





 











 

2
sin
2
1M2sin
maka ak = 




 
N
k2
f
N
1
ANALISA SISTEM DISKRIT Contoh Deret Fourier Waktu Diskrit
-N -M 0 M N n

4. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 4 dari 11
Sinyal Periodik Koefisien Deret Fourier
xi[n] dengan periode N
nk
N
2
j
N
iik e]n[x
N
1
a




A x1[n] + B x2[n] Aa1k + Ba2k
x[n – m] km
N
2
j-
e

ak
x[n]*h[n]; h[n] tidak periodik ak



 
k
N
2
H ;   



n
]njexp[]n[hH
x1[n] * x2[n] Na1ka2k
x1[n] x2[n] a1k * a2k
Contoh :
Dapatkan representasi deret Fourier output sistem linier yang memiliki respon impuls :
h[n] = ]n[u
3
1
n






, dan inputnya sekuen periodik { 2, -1, 1, 2 }.
ANALISA SISTEM DISKRIT Sifat-sifat Deret Fourier Waktu DIskrit

5. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 5 dari 11
Untuk sinyal waktu diskrit, transformasi fourier dari sinyal x[n] didefinisikan sebagai berikut :
X[] = 



n
nj
e]n[x
x[n] = 



 de][X
2
1 nj
2
Transformasi tersebut ada jika x[n] memenuhi relasi






n
2
n
]n[xatau]n[x
yang merupakan syarat cukup untuk menjamin bahwa sekuen tersebut memiliki transformasi fourier
waktu diskrit.
Karena eju
periodik dengan periode 2, maka X[] juga periodik dengan perioda yang sama.
ANALISA SISTEM DISKRIT Transformasi Fourier Waktu Diskrit

6. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 6 dari 11
Mendapatkan transformasi Fourier sinyal x[n] = u
u[n] .   < 1
Maka X[] =





 j
0n
njn
e1
1
e X[] =
 cos21
1
2
 X[] =


 
cos1
sin
tg 1
Untuk  =
2
1
spektrum dari sinyal tersebut adalah sebagai berikut :
x() x[]
-2 - 0  2

1
1
1
1
-2 - 0  2 


1
1
tg 1

 
1
1
tg 1
ANALISA SISTEM DISKRIT Contoh Transf. Fourier Waktu Diskrit

7. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 7 dari 11
Periodisitas
X[ + 2 ] = X[]
Linieritas
Jika x1[n]  X1 []; x2[n]  X2 []
maka {a1x1[n] + a2x2[n] }  { a1X1[] + a2X2[] }
Pergeseran Frekuensi dan Pergeseran Waktu :
x[n-n0]  0nj
e 
X[]
x[n] nj 0e 
 X[ - o]
Modulasi
x1[n]  X1[], dan x2[n]  X2[]
{ x1[n].x2[n] }  



d][X][X
2
1
2
.2
1
ANALISA SISTEM DISKRIT Sifat-sifat Trans. Fourier Waktu Diskrit

8. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 8 dari 11
Differensiasi dalam Ranah Frekuensi
X[] = 



n
nj
e]n[x
maka


d
][dX
= 




n
nj
e]n[x)jn(
dan
{n x[n]} = 



n
nj
e]n[xn
=


d
][dx
j
Contoh :
Dapatkan representasi Fourier sinyal x[n] = nn
u[n] ,  <1
ANALISA SISTEM DISKRIT Sifat-sifat Trans. Fourier Waktu Diskrit

9. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 9 dari 11
Konvolusi
Jika y[n] = h[n] * x[n]
maka Y[] = H[] X[]
H[] disebut respon frekuensi dari sistem.
Contoh :
Bila y[n] = x[n-no]
h[n] = ]n[u
2
1
n






dan x[n] = ]n[u
3
1
n






maka H[] =

 j
e
2
1
1
1
dan X[] =

 j
e
3
1
1
1
Y[] = H[]X[] =

 j
e
2
1
1
1
x

 j
e
3
1
1
1
=

 j
e
2
1
1
3
-

 j
e
3
1
1
2
y[n] = 3 ]n[u
3
1
2]n[u
2
1
nn












ANALISA SISTEM DISKRIT Sifat-sifat Trans. Fourier Waktu Diskrit

10. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 10 dari 11
Jika x[n] sekuen periodik dengan periode N, maka x[n] dapat dinyatakan dalam bentuk deret fourier
sebagai berikut :
x[n] = 



1N
0k
onjk
kea , dimana o =
N
2
X[] =  





m
1N
0k
k ]omNok[a2 = 



p
p ]op[a2
Jadi X[] fungsi periodik yang terdiri dari sebuah himpunan N impuls dengan penguatan 2ak, k =
0,1, … N-1, berulang dengan interval No = 2 . Untuk N =3 dapat digambarkan sebagai berikut :
Spectrum sinyal periodik (N=3).
m = -1 m = 0 m = 1
2a0 2a1 2a2 2a0 2a1 2a2 2a0 2a1 2a2
-3o -2o -o 0 o 2o 3o 4o 5o 
ANALISA SISTEM DISKRIT Trans. Fourier Sekuen Periodik

11. SISTEM LINIER, Analisa Fourier Untuk Sistem Waktu Diskrit, halaman 11 dari 11
Ketika sinyal analog xa(t) disampling dengan interval T, hasilnya dapat dipertimbangkan sebagai
sinyal waktu kontinyu xs(t) dengan transformasi Fourier Xs() atau sekuen waktu diskrit x[n] dengan
transformasi Fourier waktu diskrit X(). Relasi antara keduanya,
  Ts X)(X 

Persamaan ini dapat digunakan untuk menurunkan model modulasi impuls untuk sampling :
xs(t) = 



n
a )nTt(x
Hubungan hasil transformasi Xs() dengan Xa() diberikan oleh
Xs() =  



r
a srX
T
1
Kita bisa menggunakan persamaan terakhir ini untuk menurunkan teorema sampling, yang
menentukan pada kecepatan minimum berapa sebuah sinyal analog harus disampling supaya pada
waktu rekonstruksi sinyal bebas dari kesalahan.
Apabila sinyal mempunyai bandwidth c , maka T < 2/c
ANALISA SISTEM DISKRIT TF Sinyal Waktu Kontinyu Tersample