4 Transformasi Laplace.pdf

f(t) f[n]
F(w) F(W)
F(s) F(z)
Control Systems Engineering, Electrical Engineering Department, FTEIC-ITS
Matlab Computation Simulink Simulation
TRANSFORMASI LAPLACE
Analisis, Komputasi, dan Simulasi
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
1. Transformasi Laplace
2. Sifat Transf. Laplace
3. Inversi Transf. Laplace
6. Relasi dengan
Transformasi Fourier
7. Kestabilan Domain-s

Pengantar
SINYAL DAN SISTEM: Analisis, Komputasi, dan Simulasi
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan
Transformasi
Laplace

Pengantar
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Transformasi Laplace
Transformasi Laplace Bilateral
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠) = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
Transformasi Lapalca Unilateral
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠) = න
0
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Transformasi Laplace
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

1. Linearitas
Jika
ℒ 𝑥1(𝑡) = 𝑋1(𝑠) dan ℒ 𝑥2(𝑡) = 𝑋2(𝑠)
maka
ℒ 𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡) = 𝑎𝑋1(𝑠) + 𝑏𝑋2(𝑠)
di mana a dan b konstanta sembarang.
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

2. Pergeseran domain-t dan domain-s
Jika
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)
maka untuk setiap bilangan real positif t0
ℒ 𝑥(𝑡 − 𝑡0)𝑢(𝑡 − 𝑡0) = 𝑒−𝑡0𝑠𝑋(𝑠)
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Jika ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)
maka untuk setiap bilangan real positif t0
ℒ 𝑥(𝑡 − 𝑡0)𝑢(𝑡 − 𝑡0) = 𝑒−𝑡0𝑠𝑋(𝑠)
dan
ℒ 𝑒𝑠0𝑡𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠 − 𝑠0)
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

3. Penyekalaan waktu
Jika
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠), Re{ 𝑠} > 𝜎1
maka untuk setiap bilangan real positif α
ℒ 𝑥(𝛼𝑡) =
1
𝛼
𝑋
𝑠
𝛼
, 𝑅𝑒{𝑠} > 𝛼𝜎1
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

3. Penyekalaan waktu
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

4. Derivatif dan integral domain waktu
maka
ℒ
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0−
)
Untuk setiap sinyal kausal 𝑥(𝑡), jika
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋 𝑠 dan 𝑦(𝑡) = න
0
𝑡
𝑥(𝜏)𝑑𝜏
maka
ℒ 𝑦(𝑡) =
1
𝑠
𝑋(𝑠)
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

5. Derivatif dalam domain-s
Jika kedua sisi persamaan transformasi Laplace diturunkan terhadap
𝑠 maka
𝑋(𝑠)
𝑑𝑠
= න
0
𝑡
−𝑡 𝑥(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
sehingga
ℒ −𝑡𝑥(𝑡) =
𝑑𝑋(𝑠)
𝑑𝑠
atau secara umum
ℒ −𝑡 𝑛𝑥(𝑡) =
𝑑𝑛𝑋(𝑠)
𝑑𝑠𝑛
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

6. Konvolusi dan modulasi
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan
Jika ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠) dan ℒ ℎ(𝑡) = 𝐻(𝑠),
Maka
ℒ 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = 𝑋(𝑠)𝐻(𝑠)
maka untuk setiap bilangan real 𝜔0
ℒ 𝑥(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑡 =
1
2
𝑋(𝑠 + 𝑗𝜔0) + 𝑋(𝑠 − 𝑗𝜔0)
dan
ℒ 𝑥(𝑡) 𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑡 =
1
2𝑗
𝑋(𝑠 + 𝑗𝜔0) − 𝑋(𝑠 − 𝑗𝜔0)

6. Konvolusi dan modulasi
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

7. Nilai awal dan nilai akhir sinyal
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan
Jika 𝑥(𝑡) dapat diturunkan di sekitar 𝑡 = 0, maka Nilai Awal
sinyal
lim
𝑡→0
𝑥 𝑡 = 𝑥 0 = lim
𝑠→∞
𝑠𝑋 𝑠
Sedangkan Nilai Akhir dari sinyal 𝑥(𝑡) dapat dihitung
langsung dari 𝑋(𝑠), yaitu
lim
𝑡→∞
𝑥 𝑡 = 𝑥 ∞ = lim
𝑠→0
𝑠𝑋 𝑠

7. Nilai awal dan nilai akhir sinyal
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Inversi Transformasi Laplace
Formula untuk inversi transformasi Laplace
ℒ−1 𝑋(𝑠) = 𝑥(𝑡) =
1
2𝜋
න
𝜎−𝑗𝜔
𝜎+𝑗𝜔
𝑋(𝑠) 𝑒𝑠 𝑡𝑑𝑠
Selain menggunakan formula inversi Persamaan di atas, ada
cara lain yang lebih mudah untuk mendapatkan Laplace
balik dari X(s), yaitu Metode Pecahan Parsial.
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Inversi Transformasi Laplace
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Fungsi Transfer Domain-s
Dari sifat konvolusi, diperoleh
𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝑋(𝑠)
Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan output/input sistem
dalam domain-s, yaitu
𝐻(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
dapat disimpulkan bahwa 𝐻(𝑠) = ℒ ℎ(𝑡)
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan
Dengan menggunakan sifat linear
෍
𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘ℒ
𝑑𝑘𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑘
= ෍
𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘ℒ
𝑑𝑘𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑘
dan dari sifat derivatif terhadap waktu
෍
𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘𝑠𝑘𝑌(𝑠) = ෍
𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘𝑠𝑘𝑋(𝑠) ↔ 𝑌(𝑠) ෍
𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘𝑠𝑘 = 𝑋(𝑠) ෍
𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘𝑠𝑘
sehingga diperoleh fungsi transfer
𝐻(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
σ𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘𝑠𝑘
σ𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘𝑠𝑘

Diagram Blok Sistem LTI Waktu Kontinu
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Aljabar Blok Sistem LTI Waktu Kontinu
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Relasi Transformasi Laplace & Fourier
Relasi antara fungsi domain-s 𝑋(𝑠) dan domain-w 𝑋[ ]
diberikan melalui transformasi variabel 𝑠 = 𝑗w, yaitu
𝑋(𝜔) = ቚ
𝑋(𝑠)
𝑠=𝑗𝜔
atau sebaliknya
𝑋(𝑠) = ቚ
𝑋(𝜔)
𝑗𝜔=𝑠
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Relasi Transformasi Laplace & Fourier
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Kestabilan Sistem dalam Domain-s
• Untuk sistem LTI yang stabil, ROC dari 𝐻(𝑠) harus
mencakup sumbu j𝜔 (yaitu Re 𝑠 = 0).
• Untuk suatu sistem LTI dengan fungsi transfer rasional yang
Kausal dan Stabil, maka semua pole-nya harus berada di
sebelah kiri setengah bidang-s. Hal ini konsekuensi dari
kausalitas, yaitu ROC di sebelah kanan pole yang paling
kanan, dan dari stabilitas, ROC harus mencakup sumbu 𝑗𝜔.
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Kestabilan Sistem dalam Domain-s
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Ringkasan
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Latihan
• Kerjakan semua latihan Bab 4 Transformasi Fourier Waktu
Kontinu
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

Sumber
Penulis Yusuf Bilfaqih Ali Fatoni Achmad Jazidie
Institusi Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Kategori Buku Ajar
Bidang Ilmu Teknik
ISBN 9786230269219
Penerbit Deepublish
Ukuran 17.5×25 cm
Halaman xxxv, 376 hlm
Jenis Cover Softcover
Tahun 2023
Transformasi
Laplace
4. Fungsi Transfer
5. Diagram Blok
6. Relasi dengan

4 Transformasi Laplace.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 4 Transformasi Laplace.pdf

Similar to 4 Transformasi Laplace.pdf (14)

More from yusufbf

More from yusufbf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (16)

4 Transformasi Laplace.pdf