STAT-INFER

DepartemenTeknik Elektro
FakultasTeknologi Elektro dan Informatika Cerdas
InstitutTeknologi Sepuluh Nopember
Bab 4
Statistik Inferensial
(Bag-1: Estimasi Parameter)
EE4405 Probabilitas, Statistik, dan Proses Stokastik

CP Pembelajaran
•CP Pengetahuan :
• Menguasai konsep dan prinsip statistik inferensial
• Menguasai prinsip estimasi parameter, distribusi
sampling, dan memahami teorema batas tengah,
menyusun interval keyakinan pada parameter untuk
satu sampel
• Menguasai konsep uji hipotesa
• Menguasai konsep analisa regresi linier.
Pengantar Fakta Konsep Ringkasan Latihan Asesmen

CP Pembelajaran
•CP Ketrampilan :
• Menguasai menghitung estimasi parameter, uji hipotesa
dan analisa regresi linear.
• Mampu menghitung estimasi parameter, menjelaskan
distribusi sampling, dan memahami teorema batas tengah,
menyusun interval keyakinan pada parameter untuk satu
sampel
• Mampu melakukan uji hipotesa
• Mampu melakukan analisa regresi linier.

Analisis Data
1. Analisis Deskriptif
1. Peringkasan/klasifikasi data
• Ukuran Pemusatan : mean, median, modus
• Ukuran Sebaran : range, rerata simpangan, simpangan baku
2. Penyajian Data :
• Narasi,Tabel/daftar, Diagram/grafik/gambar
2.Analisis Inferensial
Ada dua area di dalam statistik inferensi yaitu:
•Estimasi
•Uji Hipotesis

Estimasi Parameter
Ada dua jenis estimasi terhadap parameter populasi:
1. Estimasi titik (point estimation) yaitu nilai tunggal
statistik sampel yang digunakan untuk mengestimasi
parameter populasi.
2. Estimasi interval (interval estimation) yaitu nilai
interval dari statistik sampel yang berisi kemungkinan
terjadinya parameter populasi.

Definisi Statistik inferensial
•Walpole (2016) :
Statistik Inferensial mencakup semua metode yang
berhubungan dengan analisis sebagian data untuk peramalan
atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data
induknya.
•B. Burt Gerstman (2015):
Statistik Inferensial adalah tindakan menggunakan data
dalam sampel tertentu untuk membuat generalisasi populasi
dari mana asalnya.

Definisi Statistik inferensial
Statistik inferensial adalah teknik statistik yang
digunakan untuk menarik kesimpulan tentang
karakteristik populasi berdasarkan data sampel.

Mengapa kita membutuhkan statistik
inferensial?
•Biasanya, kita tertarik pada populasi, bukan
sampel
•Ketika kita mempelajari suatu intervensi, misalnya,
kita ingin dapat menggeneralisasi ke kelompok
yang lebih besar (populasi)
•Tapi kita biasanya tidak bisa mengumpulkan data
dari seluruh populasi

Mengapa kita membutuhkan statistik
inferensial?
•Variabilitas
• Pengukuran dalam sains bervariasi; berubah dari
observasi ke observasi.
• Kita membutuhkan statistik inferensial untuk menilai
variabilitas ini dan membantu dalam pengambilan
keputusan.

Apa yang dipelajari dari statistik
inferensial?
•Pelajaran tentang karakteristik kuantitatif populasi
("parameter")
•Sebagai contoh, adalah tendensi sentral dari satu
kelompok berbeda dari tendensi sentral dari kelompok
yang lain

Konsep Statistik Inferensi
•Metode Inferensi statistik :
• Metode klasik , metode ini mengestimasi parameter
populasi berdasarkan pada informasi yang diperoleh dari
sampel acak yang dipilih dari populasi.
• Metode Bayesian, metode ini mengestimasi dengan cara
memanfaatkan pengetahuan subjektif sebelumnya tentang
distribusi probabilitas dari parameter yang tidak diketahui
dalam hubungannya dengan informasi yang diberikan oleh
data sampel.

Konsep Statistik Inferensi
• Prosedur Inferensial :
•Estimasi parameter - menggunakan data dari sampel acak
untuk memperkirakan parameter populasi dari mana sampel diambil
•Pengujian hipotesis - merumuskan hipotesis yang
berlawanan dan menentukan dari sampel yang kemungkinan besar
benar

4.1. Konsep Dasar
Statistical inference adalah tindakan
generalisasi dari sampel ke populasi dengan
tingkat kepastian yang dihitung.
Kita ingin
mempelajari
parameter
populasi…..
….. tetapi
kita hanya
dapat
menghitung
statistik
sampel

4.1. Konsep Dasar :
Parameters and Statistics
•Perbedaan antara parameter dan statistik
Parameters Statistics
Source Population Sample
Calculated? No Yes
Constants? Yes No
Examples μ, σ, p psx ˆ,,

4.1. Konsep Dasar
Sampling Behavior of Mean
Seberapa baik rata-rata sampel yang diberikan ഥ𝒙
mencerminkan rata-rata populasi μ
xµ

4.1. Konsep Dasar
Presisi dan keandalan
• Seberapa tepat mean sampel yang diberikan ( ҧ𝑥 )
mencerminkan mean populasi (μ)? Seberapa andal
kesimpulan kita?
• Untuk menjawab pertanyaan ini, kita lakukan
eksperimen simulasi di mana kita mengambil semua
sampel ukuran n yang mungkin diambil dari populasi

4.1. Konsep Dasar
Eksperimen Simulasi
Populasi (Figure A)
N = 10,000
Lognormal shape (positive skew)
μ = 173
σ = 30
Take repeated SRSs, each of n = 10
Calculate ҧ𝑥 in each sample
Plot ҧ𝑥 ..
A. Population (individual values)

4.1. Konsep Dasar
Eksperimen Simulasi
Populasi …
N = 10,000
Lognormal shape (positive skew)
μ = 173
σ = 30
Take repeated SRSs, each of n = 10
Calculate ҧ𝑥 in each sample
Plot ҧ𝑥 (Figure B)
B. Sampling distribution of ҧ𝑥

4.1. Konsep Dasar
Hasil Eksperimen Simulasi
1. Distribution B is more
Normal than distribution A
 Central LimitTheorem
2. Both distributions centered
on µ  x-bar is unbiased
estimator of μ
3. Distribution B is skinnier
than distribution A 
related to “square root
law”

4.1. Konsep Dasar
RangkumanTemuan Kunci
• Temuan 1 (central limit theorem): distribusi
sampling ҧ𝑥 cenderung ke arah Normal bahkan
ketika populasi tidak Normal (khususnya kuat
dalam sampel besar).
• Temuan 2 (unbiasedness): nilai yang diharapkan
dari ҧ𝑥 adalah μ.
• Temuan 3 terkait dengan hukum akar kuadrat,
yang mengatakan:
n
x

 

4.1. Konsep Dasar
Standar Deviasi dari Mean
• Deviasi standar dari distribusi sampling mean
memiliki nama khusus: kesalahan standar mean
(standard error of the mean, dilambangkan 𝜎 ҧ𝑥
atau 𝑆𝐸 ҧ𝑥 )
• Hukum akar kuadrat mengatakan:
n
SExx

 

4.1. Konsep Dasar
Hukum Akar Kuadrat , Contoh: σ = 15
15
1
15

n
SEx

For n = 1 
5.7
4
15

n
SEx

For n = 4 
75.3
16
15

n
SEx

For n = 16 
Empat kali lipat ukuran sampel memotong kesalahan standar
rata-rata menjadi setengahnya

4.1. Konsep Dasar
Menyatukan :
Distribusi sampling ҧ𝑥 cenderung Normal dengan rata-rata μ
dan 𝜎 ҧ𝑥 =
𝜎
𝑛
Contoh: Misalkan X mewakili Skor Intelijen Dewasa
Weschler; X ~ N (100, 15).
Ambil SRS n = 10
𝜎 ҧ𝑥 =
𝜎
𝑛
=
15
10
= 4.7
Dengan demikian, ҧ𝑥 ~ N (100, 4.7)

4.1. Konsep Dasar
Menyatukan:
IndividualWAIS
(population) and
meanWAIS when
n = 10

4.1. Konsep Dasar
Law of Large Numbers
.
Ketika sampel semakin besar, ҧ𝑥 mendekati μ. Gambar berikut
menunjukkan hasil dari percobaan yang dilakukan pada populasi dengan
μ = 173,3

4.1. Konsep Dasar
Sampling Behavior of Counts and Proportions
•Variabel acak binomial mewakili jumlah acak
keberhasilan dalam n percobaan Bernoulli independen
masing-masing dengan probabilitas keberhasilan p;
notation X ~ b (n, p)
X ~ b (10,0.2) ; Catat : μ = 2
•Jumlah keberhasilan sebagai proporsi ො𝑝 = x / n.
Untuk ekspresi ulang ini, μ = 0,2

4.1. Konsep Dasar
Sampling Behavior of Counts and Proportions

4.1. Konsep Dasar
Normal Approximation to the Binomial (“npq rule”)
•When n is large, the binomial distribution
approximates a Normal distribution (“the
Normal Approximation”)
•How large does the sample have to be to apply
the Normal approximation? One rule says that
the Normal approximation applies when npq ≥ 5

4.1. Konsep Dasar
Normal Approximation to the Binomial (“npq rule”)
X~b(10,0.2)
npq = 10 ∙ 0.2 ∙ (1–0.2)
= 1.6  Normal
approximation does not
apply
X~b(100,0.2)
npq = 100 ∙ 0.2 ∙ (1−0.2) = 16
 Normal approximation
applies

4.1. Konsep Dasar
Normal Approximation for a Binomial Count
• .
npqnp   and
When Normal approximation applies:
 npqnpNX ,~

4.1. Konsep Dasar
Normal Approximation for a Binomial Proportion
• ..









n
pq
pNp
n
pq
p
,~ˆ
and 

4.1. Konsep Dasar
Ƹ𝑝 Represents the sample proportion
• ..

4.1. Konsep Dasar
Illustrative Example: Normal Approximation to the Binomial
• Suppose the prevalence of a
risk factor in a population is
20%
• Take an Simple Random
Sampling (SRS) of n = 100
from population
• A variable number of cases
in a sample will follow a
binomial distribution with n
= 20 and p = .2

 4,20~
48.2.100and
20.2100
NX
npq
np




The Normal approximation for the count is:
 04.0,2.0~ˆ
04.0
100
8.2.
.2
Np
n
pq
p






The Normal approximation for the proportion
is:
4.1. Konsep Dasar
Illustrative Example: Cont…

4.2. EstimasiTitik
• Estimasi parameter :
1. Estimasi Titik
Estimasi titik dari sebuah parameter  adalah suatu angka tunggal
yang dapat dianggap sebagai nilai dari .
2. Estimasi Interval
Berupa interval yang digunakan untuk mengestimasi
parameter populasi
Bentuk :
21
ˆˆ  

4.2. EstimasiTitik
Estimasi titik dari beberapa parameter populasi
θ adalah nilai tunggal ෡𝜽 dari suatu statistik ෡Θ
•Sebagai contoh, nilai ഥ𝒙 dari statistik ത𝑋, dihitung dari
sampel ukuran n, adalah estimasi titik untuk
parameter populasi μ.
•Demikian pula, ෝ𝒑 = 𝒙/𝒏ˆ adalah sebuah estimasi
titik untuk proporsi p.

4.2. EstimasiTitik
Contoh
Untuk sampel terdiri dari nilai 2, 5, dan 11 dari populasi dengan
mean 4 (tidak diketahui).
• Apakah kita akan mengestimasi μ dengan rata-rata sampel ҧ𝑥 =
6, atau menggunakan median dari sampel ෤𝑥 = 5?
• Pada kasus ini, estimator ෨𝑋 menghasilkan estimasi yang lebih
dekat ke parameter sebenarnya daripada estimator ഥ𝑋 .
Di sisi lain, jika sampel acak berisi nilai 2, 6, dan 7, lalu ҧ𝑥 = 5 dan
෤𝑥 = 6 jadi ത𝑋 adalah estimator yang lebih baik.
Kita tidak tahu nilai μ, kita harus memutuskan terlebih dahulu
apakah akan menggunakan ෨𝑋 atau ഥ𝑋 sebagai estimator !!!

4.2. EstimasiTitik
Contoh
Tinjau 20 pengamatan pada dielektrik breakdown voltage
untuk potongan resin epoksi berikut :
24.46 25.61 26.25 26.42 26.66 27.15 27.31 27.54 27.74 27.94
27.98 28.04 28.28 28.49 28.50 28.87 29.11 29.13 29.50 30.88
Asumsikan bahwa distribusi dari breakdown voltage adalah
normal dengan nilai mean= 𝜇.
Hasil pengamatan kemudian diasumsikan sebagai hasil
dari random sampel X1, X2,…, X20.

4.2. EstimasiTitik
Contoh
Pertimbangkan estimator dan hasil estimasi untuk 𝜇 berikut :
a). Estimator = ത𝑋, estimate = ҧ𝑥 = σ 𝑥𝑖 /𝑛=555.86/20=27.793
b). Estimator = ෨𝑋, estimate =෤𝑥=(27.94+27.98)/2=27.960
c). Estimator = min 𝑋𝑖 + max 𝑋𝑖 /2
estimate = min 𝑥𝑖 + max 𝑥𝑖 /2 =(24.46+30.88)/2=27.670
Estimator mana, ketika digunakan pada sampel Xi lainnya,
yang cenderung menghasilkan perkiraan yang paling dekat
dengan nilai sebenarnya ? "

4.2. EstimasiTitik
Unbiased Estimator
Statistik ෡Θ disebut unbiased estimator dari parameter
θ jika 𝝁෡𝜣 = 𝑬 ෡𝚯 = 𝜽

4.2. EstimasiTitik
Unbiased Estimator
Contoh :
• Tunjukkan bahwa 𝑆2 adalah sebuah unbiased estimator dari
parameter 𝜎2
Jawaban :

4.2. EstimasiTitik
Unbiased Estimator
Contoh (Lanjutan..)
• Tunjukkan bahwa 𝑆2 adalah sebuah unbiased estimator dari
parameter 𝜎2
Jawaban :

4.2. EstimasiTitik
Variance of a Point Estimator
Jika kita mempertimbangkan semua kemungkinan
estimator yang tidak bias dari beberapa parameter θ,
yang memiliki varians terkecil disebut estimator θ paling
efisien.
Gambar A. Sampling distributions of different estimators of θ.

4.3. EstimasiTitik dan Interval Konfidensi
•
• Estimasi titik berupa nilai tunggal
• Interval konfidensi memberikan informasi tambahan
mengenai variabilitas estimasi
Estimasi titik
Batas bawah
konfidensi
Batas atas
konfidensi
Lebar interval konfidensi

• Interval konfidensi : Suatu interval berupa range nilai yang
• Memperhatikan variasi statistik masing2 sampel berdasarkan
informasi dari 1 sampel
• Memberi informasi kedekatan nilai estimasi dengan nilai parameter
sebenarnya
• Dinyatakan sebagai level konfidensi (tingkat kepercayaan)
• Misal, 95% konfidensi atau 99% konfidensi
• Tidak pernah 100% konfidensi
Parameter Populasi EstimasiTitik
Mean/rata2 𝜇 ҧ𝑥
𝜋 𝑝Proporsi

Estimasi titik± (titik kritis)(Standar Error)
Di mana:
•Estimasi titik  statistik sampel untuk estimasi parameter
populasi yg dikehendaki
•Titik kritis  nilai distribusi sampling dari estimasi titik dengan
tingkat konfindensi tertentu
•Standard Error standar deviasi dari estimasi titik
•Rumus umum untuk semua interval
konfidensi:

Interval Konfidensi untuk μ (σ diketahui)
• Asumsi-asumsi
• Standar deviasi σ diketahui
• Populasi berdistribusi normal
• Jika populasi tidak normal, gunakan sampel besar (teori
limit pusat)
• Estimasi interval konfidensi:
ҧ𝑥 ± 𝑍 ൗ𝛼
2
𝜎
𝑛
dimana
ҧ𝑥 estimasi titik
Zα/2 titik kritis distribusi normal dengan probabilitas /2
𝜎
𝑛
standar error

Distribusi Sampling Mean/Rata2
μμx

Interval Konfidensi
x
/2 /21

Contoh
• Artikel "Studi tentang Keyboard Alfanumerik yang Dirancang Ergonomis"
(Human Factors, 1985: 175–187) melaporkan studi tentang ketinggian yang disukai untuk
eksperimen keyboard dengan dukungan lengan-pergelangan tangan yang besar. Sampel
dari n = 31 juru ketik terlatih dipilih, dan tinggi keyboard yang disukai ditentukan untuk
masing-masing juru ketik.
• Tinggi rata-rata sampel yang dihasilkan yang disukai adalah
ҧ𝑥=80,0 cm. Dengan asumsi bahwa tinggi yang disukai biasanya
didistribusikan dengan 𝜎 = 2,0 𝑐𝑚 (nilai yang disarankan oleh data
dalam artikel), dapatkan interval kepercayaan (interval nilai yang
masuk akal) untuk 𝜇, true tinggi rata-rata yang disukai untuk
populasi semua juru ketik berpengalaman.

Contoh
• Pengamatan sampel aktual x1, x2, ..., xn diasumsikan sebagai hasil
dari sampel acak X1,…, Xn dari distribusi normal dengan nilai rata-
rata 𝜇 dan standar deviasi 𝜎/ 𝑛. Standarisasi ത𝑋 dengan terlebih
dahulu mengurangi nilai yang diharapkan dan kemudian
membaginya dengan standar deviasi menghasilkan standar
variabel normal
𝑍 =
ത𝑋 − 𝜇
ൗ
𝜎
𝑛
• Karena area dibawah kurva normal standar antara 21.96 dan 1.96
adalah .95,
•

Contoh
• Maka
• diperoleh
𝑃 −1.96 <
ത𝑋 − 𝜇
ൗ
𝜎
𝑛
< 1.96 = 0.95
−1.96 <
ത𝑋 − 𝜇
ൗ
𝜎
𝑛
< 1.96 −1.96
𝜎
𝑛
< ത𝑋 − 𝜇 < 1.96
𝜎
𝑛
ത𝑋 − 1.96
𝜎
𝑛
< 𝜇 < ത𝑋 + 1.96
𝑃 ത𝑋 − 1.96
𝜎
𝑛
< 𝜇 < ത𝑋 + 1.96 = 0.95

Contoh
• Interval kepercayaan 95% untuk 𝜎 = 2.0, 𝑛 = 31 𝑑𝑎𝑛 ҧ𝑥 = 80.0 ∶
• Yaitu 79.3 < 𝜇 < 80.7
ҧ𝑥 ± 1.96
𝜎
𝑛
= 80.0 ± 1.96
2.0
31
= 80.0 ± .7 = (79.3, 80.7)

Tingkat Konfidensi yg sering dipakai
• 90%, 95%, and 99%
Tingkat
konfidensi
Koefisien
konfidensi, Zα/2
1.645
1.96
2.575
0.90
0.95
0.99
90%
95%
99%
1

Interval Konfidensi Bagi μ (σ tidak diketahui)
•Jika standar deviasi populasi σ tidak diketahui,
kita dapat menggantinya dengan standar deviasi
sampel, S .
•Konsekuensinya, ketidakpastian menjadi
meningkat, karena S bervariasi antar sampel
•Dengan demikian, digunakan distribusi-t bukan
distribusi normal

•Interval konfidensi:
ҧ𝑥 ± 𝑡 ൗ𝛼
2,𝑑𝑏
𝑆
𝑛
(dimana tα/2,db adalah titik kritis distribusi t
dengan derajat bebas (db) = n -1 dan luas
area masing2 α/2 di setiap sisi)

t0
t (db = 5)
t (db = 13)
Normal
standar
(t with db= ∞)
Kurva distribusi t

Ringkasan
Estimasi titik adalah nilai tertentu yang digunakan untuk mengestimasi nilai parameter
populasi.Ada tiga kriteria ketepatan estimasi titik sehingga bisa digunakan untuk
membuat keputusan tentang parameter populasi yaitu:
1. Tidak bias, tidak bias maksudnya disini adalah nilai statistik sampel tidak akan persis
sama dengan nilai parameter populasi. Nilainya kemungkinan akan di bawah atau di
atas karena kesalahan sampling.Oleh karena itu Keinginan kita adalah bahwa nilai
harapan (expected value) atau nilai rata-rata semua nilai statistik sampel yang
diestimasi secara random dari semua kemungkinan sampel yang ada sama dengan
parameter populasi. Jika hal ini benar maka dikatakan bahwa statistik sampel adalah
estimator yang tidak bias dari parameter populasi.
2. Konsisten, yaitu sebuah titik estimasi dikatakan konsisten bila nilai statistik sampel
cenderung sama dengan parameter populasi tidak bias ketika jumlah sampel terus
bertambah.
3. Efisiensi di mana suatu estimator yang tidak biasa mempunyai ciri yang efisien bila
mempunyai deviasi standar atau standard error yang lebih kecil di dalam populasi
yang sama.

Ringkasan
Secara umum Parameter populasi ditulis dengan huruf latin 𝜃 (theta), di mana 𝜃
bisa berupa:
• rata-rata populasi (mu = μ),
• simpangan baku populasi (sigma = σ),
• proporsi populasi (Phi = π).
Sedangkan statistik dari sampel ditulis ෠𝜃 (theta topi), bisa berupa :
• rata-rata sampel ( ҧ𝑥 )
• simpangan baku sampel (S ),
• proporsi sampel (p).
Dalam statistika inferensia, statistik ෠𝜃 (theta topi) inilah yang dipakai untuk
menduga parameter 𝜃 dari populasi maka ෠𝜃 disebut penduga (= penaksir =
estimasi)

Latihan 1
Misalkan diberikan nilai Prostatok 10 siswa sebagai
berikut :
58, 58, 43, 64, 47, 54, 59, 47, 60, dan 64.
Estimasi rata-rata nilai Prostatok sesungguhnya
(populasi).
Gunakan tingkat kepercayaan 95 persen.

Latihan 2

Latihan

Asesmen
•Kuis Online: 4 Mei 2020
•Percobaan 3: Uji Hipotesis

STAT-INFER

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to STAT-INFER

Similar to STAT-INFER (20)

More from yusufbf

More from yusufbf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

STAT-INFER