Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Materi Yang Dipelajari•   Kuosien Diferensi dan Derivatif•   Kaidah- Kaidah Diferensiasi•   Hakikat Derivatif dan Diferens...
Kuosien Diferensi dan Derivatif       • y = f(x) dan terdapat tambahan variabel         bebas x sebesar ∆x       • Maka : ...
• ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y  adalah tambahan y akibat adanya  tambahan x. Jadi ∆y timbul karena  adanya ∆x.• Ap...
• Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut  sebagai hasil bagi perbedaan atau  kuosien diferensi (difference  quotient), yang men...
Jika y = f(x)  Maka kuosien diferensinya :y f (x    x) f ( x)x          xlim   y     lim f ( x   x)   f ( x)x 0 x      x  ...
penotasian• Cara penotasian dari turunan suatu fungsi  dapat dilakukan dengan beberapa macam :                            ...
Kaidah-kaidah diferensiasi1. Diferensiasi konstanta   Jika y = k, dimana k adalah   konstanta, maka dy/dx = 0   contoh : y...
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan        fungsi        Jika y = kv, dimana v = h(x),         dy/dx = k dv/dx    ...
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi   jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)   maka dy/dx = du/dx + dv/...
7. Diferensiasi pembagian fungsi   Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)                         du       dv         ...
8. Diferensiasi Fungsi kompositJika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lainy=f{g(x)}, maka :    dy dy du    dx du dx   ...
9. Diferensiasi fungsi berpangkatJika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1.(du/dx)Contoh :       ...
10. Diferensiasi fungsi logaritmikJika y = alogx, maka    dy       1    dx    x ln a                   5            dy    ...
11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmikJika y=alogu, dimana u=g(x),   maka :                         a               d...
12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-           a   n                 berpangkat    Jika y = ( logu) , dimana u = g...
13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier      Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x      Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5  ...
15. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-              Napier-berpangkat      Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n :...
16. Diferensiasi fungsi eksponensial  Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a  Contoh : y = 5x,  dy      ...
17. Diferensasi fungsi komposit - eksponensial           Jika y = au dimana u = g(x), maka :      dy      u    du         ...
18. Diferensiasi fungsi kompleksJika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)Maka :               dy        v 1       du  v     ...
19. Diferensiasi fungsi balikanJika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang salingberbalikan (inverse functions)Ma...
20. Diferensiasi ImplisitJika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidakmungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diper...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Diferensial fungsi sederhana.pptx

16,484 views

Published on

Diferensial fungsi sederhana.pptx

  1. 1. Materi Yang Dipelajari• Kuosien Diferensi dan Derivatif• Kaidah- Kaidah Diferensiasi• Hakikat Derivatif dan Diferensial• Derivatif dari Derivatif• Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya - Fungsi menaik dan fungsi menurun - Titik ekstrim fungsi parabolik - Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik
  2. 2. Kuosien Diferensi dan Derivatif • y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x • Maka : y f ( x) y y f (x x) y f (x x) y y f (x x) f ( x) (1)
  3. 3. • ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y adalah tambahan y akibat adanya tambahan x. Jadi ∆y timbul karena adanya ∆x.• Apabila pada persamaan (1) ruas kiri dan ruas kanan sama-sama dibagi ∆x, maka diperolehy f (x x) f ( x)x x
  4. 4. • Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut sebagai hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient), yang mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap perubahan variabel bebas x• Proses penurunan fungsi disebut juga proses diferensiasi  merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi (∆x sangat kecil)• Hasil proses diferensiasi dinamakan turunan atau derivatif (derivative).
  5. 5. Jika y = f(x) Maka kuosien diferensinya :y f (x x) f ( x)x xlim y lim f ( x x) f ( x)x 0 x x 0 x
  6. 6. penotasian• Cara penotasian dari turunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam : Paling lazim digunakan lim y dy df ( x) y f ( x) yx f x ( x) x 0 x dx dx ∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari garis kurva y = f(x)
  7. 7. Kaidah-kaidah diferensiasi1. Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 contoh : y = 5  dy/dx = 02. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1 contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
  8. 8. 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv, dimana v = h(x),  dy/dx = k dv/dx contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2 4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :dy kdv / dxdx v2 5 dy 5(3 x 2 ) 15 x 2 contoh : y 3 , x dx ( x3 )2 x6
  9. 9. 5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x  v = x3 dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x26. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) dy dv dumaka u v dx dx dxcontoh : y (4 x 2 )(x 3 )dy dv du u v (4 x 2 )(3x 2 ) ( x 3 )(8 x) 12 x 4 8 x 4 20 x 4dx dx dx
  10. 10. 7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x) du dv v u dy dx dx maka dx v2 2 4x contoh : y x3 du dv v u dy dx dx ( x 3 )(8 x) (4 x 2 )(3 x 2 ) 2 3 2 dx v (x ) 8 x 4 12 x 4 4 2 6 2 4x x x
  11. 11. 8. Diferensiasi Fungsi kompositJika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lainy=f{g(x)}, maka : dy dy du dx du dx contoh : y (4 x 3 5) 2 misal : u 4 x 3 5 y u 2 du dy 12 x 2 , 2u dx du dy dy du 2u (12 x 2 ) 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120x 2 dx du dx
  12. 12. 9. Diferensiasi fungsi berpangkatJika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1.(du/dx)Contoh : 3 2 3 du y (4 x 5) , misal : u 4x 5 12 x 2 dx dy n 1 du nu 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120x 2 dx dx
  13. 13. 10. Diferensiasi fungsi logaritmikJika y = alogx, maka dy 1 dx x ln a 5 dy 1 1 contoh : y log 2, dx x ln a 2 ln 5
  14. 14. 11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmikJika y=alogu, dimana u=g(x), maka : a dy log e du dx u dx x 3 contoh : y log x 2 ( x 3) du ( x 2) ( x 3) 5 misalkan : u ( x 2) dx ( x 2) 2 ( x 2) 2 a dy log e du dx u dx log e 5 5 log e 5 log e x 3 ( x 2) 2 ( x 3)( x 2) ( x 2 x 6) x 2
  15. 15. 12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik- a n berpangkat Jika y = ( logu) , dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka : dy dy a log e du dx du u dx 2 3 contoh: y (log 5 x ) 2du misalkan u 5 x 10 x dx dy 2 2 log e 3(log 5 x ) 2 (10 x) dx 5x 30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6 (log 5 x 2 ) 2 log e 5x 2 x
  16. 16. 13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5 14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka : dy 1 du dx u dx x 3 contoh : y ln x 2 (x 3) du 5 misalkan : u (x 2) dx ( x 2) 2 dy 1 du ( x 2) 5 5 dx u dx ( x 3) ( x 2) 2 ( x 2 x 6)
  17. 17. 15. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik- Napier-berpangkat Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta Maka : dy dy 1 du dx du u dx contoh: y (ln 5 x 2 ) 3 2 du misalkan u 5x 10 x dx dy 2 2 1 6 3(ln 5 x ) 2 (10 x) (ln 5 x 2 ) 2 dx 5x x
  18. 18. 16. Diferensiasi fungsi eksponensial Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a Contoh : y = 5x, dy x x a ln a 5 ln 5 dx x dy x Dalam hal y e , maka e juga, dx sebab ln e 1
  19. 19. 17. Diferensasi fungsi komposit - eksponensial Jika y = au dimana u = g(x), maka : dy u du a ln a dx dx 3x2 4 2 du Contoh : y 9 misalkan u 3x 4 6x dx dy u du 3x2 4 3x2 4 a ln a 9 (ln 9)(6 x) (6 x)9 ln 9 dx dx u dy du u Kasus Khusus : dalam hal y e , maka e dx dx
  20. 20. 18. Diferensiasi fungsi kompleksJika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)Maka : dy v 1 du v dv vu u ln u dx dx dx x3 contoh: y 4 x , misalkan : u 4x du / dx 4 v x3 dv / dx 3x 2 dy v 1 du dv vu uv ln u dx dx dx 3 x3 1 x3 ( x )4 x (4) 4 x ln 4 x(3x 2 ) x3 2 x3 2 16 x 12 x ln 4 x x3 2 4x (4 3 ln 4 x)
  21. 21. 19. Diferensiasi fungsi balikanJika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang salingberbalikan (inverse functions)Maka : dy 1 dx dy / dx contoh : 4 x 5 y 0,5 y dy 3 dy 1 1 5 2y 3 dx dx dy / dx (5 2 y )
  22. 22. 20. Diferensiasi ImplisitJika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidakmungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh denganmendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggapy sebagai fungsi dari x contoh : dy 4 xy 2 x2 2y 0, tentukan dx dy 2 dy 8 xy 4 y 2x 2 0 dx dx dy 8 xy 2 2x 4 y2 dx dy 2 x 4 y 2 x 2 y 2 dx 8 xy 2 4 xy 1

×