1. Materi Yang Dipelajari
• Kuosien Diferensi dan Derivatif
• Kaidah- Kaidah Diferensiasi
• Hakikat Derivatif dan Diferensial
• Derivatif dari Derivatif
• Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

2. Kuosien Diferensi dan Derivatif
• y = f(x) dan terdapat tambahan variabel
bebas x sebesar ∆x
• Maka :
y f ( x)
y y f (x x)
y f (x x) y
y f (x x) f ( x) (1)

3. • ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y
adalah tambahan y akibat adanya
tambahan x. Jadi ∆y timbul karena
adanya ∆x.
• Apabila pada persamaan (1) ruas kiri
dan ruas kanan sama-sama dibagi ∆x,
maka diperoleh
y f (x x) f ( x)
x x

4. • Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut
sebagai hasil bagi perbedaan atau
kuosien diferensi (difference
quotient), yang mencerminkan tingkat
perubahan rata-rata variabel terikat y
terhadap perubahan variabel bebas x
• Proses penurunan fungsi disebut juga
proses diferensiasi  merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi
(∆x sangat kecil)
• Hasil proses diferensiasi dinamakan
turunan atau derivatif (derivative).

5. Jika y = f(x)
Maka kuosien diferensinya :
y f (x x) f ( x)
x x
lim y lim f ( x x) f ( x)
x 0 x x 0 x

6. penotasian
• Cara penotasian dari turunan suatu fungsi
dapat dilakukan dengan beberapa macam :
Paling lazim
digunakan
lim y ' dy df ( x)
y f ' ( x) yx f x ( x)
x 0 x dx dx
∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)

7. Kaidah-kaidah diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah
konstanta, maka dy/dx = 0
contoh : y = 5  dy/dx = 0
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah
konstanta, maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2

8. 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan
fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
 dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan
fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy kdv / dx
dx v2
5 dy 5(3 x 2 ) 15 x 2
contoh : y 3
,
x dx ( x3 )2 x6

9. 5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x
 v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy dv du
maka u v
dx dx dx
contoh : y (4 x 2 )(x 3 )
dy dv du
u v (4 x 2 )(3x 2 ) ( x 3 )(8 x) 12 x 4 8 x 4 20 x 4
dx dx dx

10. 7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du dv
v u
dy dx dx
maka
dx v2
2
4x
contoh : y
x3
du dv
v u
dy dx dx ( x 3 )(8 x) (4 x 2 )(3 x 2 )
2 3 2
dx v (x )
8 x 4 12 x 4 4 2
6 2
4x
x x

11. 8. Diferensiasi Fungsi komposit
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)}, maka :
dy dy du
dx du dx
contoh : y (4 x 3 5) 2 misal : u 4 x 3 5 y u 2
du dy
12 x 2 , 2u
dx du
dy dy du
2u (12 x 2 ) 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120x 2
dx du dx

12. 9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1
.(du/dx)
Contoh :
3 2 3 du
y (4 x 5) , misal : u 4x 5 12 x 2
dx
dy n 1 du
nu 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120x 2
dx dx

13. 10. Diferensiasi fungsi logaritmik
Jika y = alogx, maka
dy 1
dx x ln a
5 dy 1 1
contoh : y log 2,
dx x ln a 2 ln 5

14. 11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik
Jika y=alogu, dimana u=g(x),
maka :
a
dy log e du
dx u dx
x 3
contoh : y log
x 2
( x 3) du ( x 2) ( x 3) 5
misalkan : u
( x 2) dx ( x 2) 2 ( x 2) 2
a
dy log e du
dx u dx
log e 5 5 log e 5 log e
x 3 ( x 2) 2 ( x 3)( x 2) ( x 2 x 6)
x 2

15. 12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-
a n
berpangkat
Jika y = ( logu) , dimana u = g(x) dan n adalah
konstanta, maka :
dy dy a log e du
dx du u dx
2 3
contoh: y (log 5 x )
2du
misalkan u 5 x 10 x
dx
dy 2 2 log e
3(log 5 x ) 2
(10 x)
dx 5x
30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6
(log 5 x 2 ) 2 log e
5x 2 x

16. 13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du
dx u dx
x 3
contoh : y ln
x 2
(x 3) du 5
misalkan : u
(x 2) dx ( x 2) 2
dy 1 du ( x 2) 5 5
dx u dx ( x 3) ( x 2) 2 ( x 2 x 6)

17. 15. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-
Napier-berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta
Maka :
dy dy 1 du
dx du u dx
contoh: y (ln 5 x 2 ) 3
2 du
misalkan u 5x 10 x
dx
dy 2 2 1 6
3(ln 5 x ) 2
(10 x) (ln 5 x 2 ) 2
dx 5x x

18. 16. Diferensiasi fungsi eksponensial
Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a
Contoh : y = 5x,
dy x x
a ln a 5 ln 5
dx
x dy x
Dalam hal y e , maka e juga,
dx
sebab ln e 1

19. 17. Diferensasi fungsi komposit - eksponensial
Jika y = au dimana u = g(x), maka :
dy u du
a ln a
dx dx
3x2 4 2 du
Contoh : y 9 misalkan u 3x 4 6x
dx
dy u du 3x2 4 3x2 4
a ln a 9 (ln 9)(6 x) (6 x)9 ln 9
dx dx
u dy du u
Kasus Khusus : dalam hal y e , maka e
dx dx

20. 18. Diferensiasi fungsi kompleks
Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)
Maka :
dy v 1 du v dv
vu u ln u
dx dx dx
x3
contoh: y 4 x , misalkan : u 4x du / dx 4
v x3 dv / dx 3x 2
dy v 1 du dv
vu uv ln u
dx dx dx
3 x3 1 x3
( x )4 x (4) 4 x ln 4 x(3x 2 )
x3 2 x3 2
16 x 12 x ln 4 x
x3 2
4x (4 3 ln 4 x)

21. 19. Diferensiasi fungsi balikan
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling
berbalikan (inverse functions)
Maka :
dy 1
dx dy / dx
contoh :
4
x 5 y 0,5 y
dy 3 dy 1 1
5 2y 3
dx dx dy / dx (5 2 y )

22. 20. Diferensiasi Implisit
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak
mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan
mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap
y sebagai fungsi dari x
contoh :
dy
4 xy 2 x2 2y 0, tentukan
dx
dy 2 dy
8 xy 4 y 2x 2 0
dx dx
dy
8 xy 2 2x 4 y2
dx
dy 2 x 4 y 2 x 2 y 2
dx 8 xy 2 4 xy 1