Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

10 11.teknik digital aljabar-boolean_02

626 views

Published on

Published in: Technology, Business
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

10 11.teknik digital aljabar-boolean_02

  1. 1. Teknik Digital Pertemuan 10 & 111 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  2. 2. Aljabar Boolean Ch.22 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  3. 3. Contoh Teorema DeMorgan: NAND3 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  4. 4. Contoh Teorema DeMorgan: NOR (X + Y)’ = (X’ · Y’)  (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika4 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  5. 5. Gerbang-gerbang NAND & NOR Menggunakan jumlah rangkaian yang lebih sedikit ketimbang gerbang-gerbang AND & OR Fan-in & Fan-out5 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  6. 6. Generalisasi Teorema DeMorgan (T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, ·)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, · , +) Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel, komplemennya dapat ditemukan melalui “swapping + dan · dan penkomplemenan seluruh variabel Contoh:  F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) = ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’))  [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’))  Gunakan (T4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi:  [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))6 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  7. 7. REVISI Dualitas  Setiap teorema pada aljabar switching tetap benar jika 0 & 1 di-swapped dan · & + di-swapped.  Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma adalah benar, sehingga duals dari seluruh teorema aljabar switching dapat dibuktikan dengan menggunakan duals aksioma-aksioma..  Kita dapat menuliskan kembali teorema DeMorgan sebagai berikut [F(X1, X2, …., Xn)]’ = FD(X1’, X2’, …., Xn’)  Catatan …  A·B+C A+B·C (A + B) · C  Duality bukan berarti ekuivalensi !! Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM7 12/13/2011
  8. 8. Manipulasi ekspresi Boolean  Bagaimana menyatakan (A · B + C)?  Gunakan teorema DeMorgan …  A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’  = ( ( A · B )’ · C’ )’  = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’  ( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’8 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  9. 9. Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema Aljabar Switching (A1) X = 0 if X ¹ 1 (A1’) X = 1 if X ¹ 0 (A2) If X = 0, then X’ = 1 (A2’) if X = 1, then, X’ = 0 (A3) 0 . 0 = 0 (A3’) 1+1=1 (A4) 1 . 1 = 1 (A4’) 0+0=0 (A5) 0 . 1 = 1 . 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 (T1) X + 0 = X (T1’) X . 1 = X (Identities) (T2) X + 1 = 1 (T2’) X . 0 = 0 (Null elements) (T3) X + X = X (T3’) X . X = X (Idempotency) (T4) (X’)’ = X (Involution) (T5) X + X’ = 1 (T5’) X . X’ = 0 (Complements) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X . Y = Y . X (Commutativity) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X . Y) . Z = X . (Y . Z) (Associativity) (T8) X . Y + X . Z = X . (Y + Z) (T8’) (X + Y) . (X + Z) = X + Y . Z (Distributivity) (T9) X + X . Y = X (T9’) X . (X + Y) = X (Covering) (T10) X . Y + X . Y’ = X (T10’) (X + Y) . (X + Y’) = X (Combining) (T11) X . Y + X’. Z + Y . Z = X . Y + X’ . Z (T11’) (X + Y) . ( X’ + Z) . (Y + Z) = (X + Y) . (X’ + Z) (Consensus) (T12) X + X + . . . + X = X (T12’) X . X . . . . . X = X (Generalized idempotency) (T13) (X1 . X2 . . . . . Xn)’ = X1’ + X2’ + . . . + Xn’ (T13’) (X1 + X2 + . . . + Xn)’ = X1’ . X2’ . . . . . Xn’ (DeMorgan’s theorems) (T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, .)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, . , +) (Generalized DeMorgran’s theorem)9 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  10. 10. Definisi lanjut – Ekspresi Boolean Term perkalian:  Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Term penjumlahan:  Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP):  Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Ekspresi product-of-sums (POS) :  Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z) Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dalamnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali. Contoh-contoh term-term non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·Y Contoh-cobtoh term-term normal: W·X·Y’ W+X’+Y 010 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  11. 11. Minterm dan Maxterm Minterm:  Sebuah minterm n-variabel merupakan sebuah term perkalian normal dengan n literals.  Terdapat 2n term perkalian yang demikian.  Contoh-contoh minterm 4-variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’  Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar- benar satu baris dari tabel kebenaran11 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  12. 12. Cont’ Maxterm:  Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals.  Terdapat 2n term penjumlahan yang demikian.  Contoh-contoh maksterm 4-variabel: W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z  Dapat didefiniskan sebagai sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-benar satu baris dari tabel kebenaran12 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  13. 13. Minterms/Maxterms untuk sebuah fungsi 3-variabel13 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  14. 14. Representasi Penjumlahan Kanonis Minterm i :  Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1 Penjumlahan Kanonis (Canonical sum):  Jumlah dari seluruh minterms untuk suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi Σ:  Contoh: Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z  Representasi ini biasa direalisasi dengan menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-iverter pada masukan-masukan gerbang AND, seperti yang diperlukan14 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  15. 15. Example Fungsi direpresentasikan dengan tabel kebenaran: mempunyai representasi penjumlahan kanonis sebagai berikut:15 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  16. 16. Representasi perkalian kanonis Maxterm i:  baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0 Pekalian kanonis:  Perkalian dari maxterms untuk suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi :  Contoh: X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z’)  Representasi direalisasi dengan menggunakan rangkaian logika OR- AND 2 levels dengan inverter-inverter pada masukan-masukan gerbang OR, seperti dibutuhkan16 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  17. 17. Example17 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  18. 18. Konversi antara daftar Minterm/Maxterm Dapatkan komplemen dari set … Contoh: Σ X,Y,Z(0,1,2,3) = X,Y,Z(4,5,6,7) Σ X,Y(1) = X,Y(0,2,3) Σ W,X,Y,Z(0,1,2,3,5,7,11,13) = W,X,Y,Z(4,6,8,9,12,14,15)18 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  19. 19. Thank you !!!19 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

×