1. Matematika derivatif membahas pengertian, rumus, dan arti geometrik dari derivatif. Rumus umum derivatif membahas aturan-aturan derivatif fungsi yang dijumlah, dikurang, dikalikan, atau dibagi. 2. Derivatif fungsi bersusun dan diferensial total membahas cara menghitung derivatif suatu fungsi yang nilai variabelnya bergantung pada fungsi lain. 3. Contoh penerapan derivatif membahas cara menent

1. MATEMATIKA
DERIVATIF
Dr. Ir. SRI HIDAYATI bt. RULIN, MP.

2. MATERI
•

3. Pengertian , Rumus-Rumus, serta Arti Derifatif Secara
Geometrik
Kalau f suatu fungsi, maka f’ :
f'(x) =
h
x
f
h
x
f
h
)
(
)
(
lim
0



disebut derivative atau turunan fungsi f
Kerap kali f’(x) ditulis
dx
x
df )
(
Catatan : domain f’ belum tentu sama dengan domain f, tetapi selalu benar bahwa
domain f’ merupakan himpunan bagian dari domain f.

4. Contoh :
1. Y = x2
+1 maka y’ = ?
f(x+ )
x
 = (x+ 2
)
x
 +1 = x2
+2x x+( x)2
+1
f(x+Δx) – f(x) = x2
+2x x+( x)2
+1 – (x2
-1)
= x2
+2x x+( x)2
+1 – x2
+1
= 2xΔx + Δx2
f'(x) = x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x


















2
lim
)
(
2
lim
)
(
)
(
lim
0
2
0
0

5. Secaraumumrumusturunan:

6. Rumus derivatif
Bila f dan g masing-masing fungsi yang mempunyai derivatif dan suatu konstante,
maka :
1.
dx
x
df
C
dx
x
dCf )
(
)
(

2.
dx
x
dg
dx
x
df
x
d
x
f
dx
d )
(
)
(
)}
(
)
(
{( 


3. )
(
)
(
)
(
)
(
)}
(
).
(
{ x
f
dx
x
dg
x
g
dx
x
df
x
g
x
f
dx
d


4. 2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
dx
x
dg
x
g
dx
x
df
x
g
x
f
dx
d


5. Jika f(x) = C ex
 f’(x) = C ex
6. Jika f(x) = C ln x  f’(x) = c/x
7. Jika f(x) = ax
 f’(x) ax
ln a
8. Jika f(x) = C (p
logx)  f’(x) =
p
x
c
ln

7. Y=(2x2
+1)(x3
-2x+1)
Y=(2x3
+1)/(3x-2)
Y = (4x4
+2x2
)(x5
+2x3
)
Y=(2x3
+1)6

8. Arti Derivatif secara geometrik
Y=f(x)
Q
Δy
P R
S T
Xo Xo+Δx
m
tg
QPR
tg
PR
QR
ST
SP
QT
x
x
f
x
x
f
x
f
P
Q
P
Q
S
T
x

















)
(
lim
lim
lim
)
(
)
(
lim
)
( 0
0
0
'
= gradient garis singgung pada kurve di P(x=xo)
Jadi persamaan garis singgung di P = {(x0,f(xo)} adalah :
Y-f(xo) = f’(xo) (x-xo)

9. 1.2 Derivatif fungsi bersusun
Jika U = f(x) dan x = f(t) maka perubahan t sebesar Δt akan menyebabkan
perubahan x sebesar Δx= q(t+Δt)–q(t), dan perubahan U sebesar Δu=f(x+Δx)-
(x).
Jika Δt  0 maka Δx . Oleh karena itu :
t
x
x
x
f
x
x
f
t
x
f
x
x
f
dx
x
df
dt
du
x
t
t 


















)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
=
t
t
f
t
t
f
x
x
f
x
x
f
t
x 











)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
dt
dx
dx
du
dt
du
.


10. 1.2 Derivatif Fungsi Bersusun Dan Difrensial Total Serta
RumusDerivativeFungsiImplisif
Y = f(x)  derivarif untuk suatu nilai x sebesar f’(x) jika nilai x berubah sebesar
Δx=dx,makaakanmenyebabkanperubahanysebesardy:
dy=f’(x)dx
dy=difrensialy;dx=difrensialx;dymerupakanpendekatanΔy

11. Fungsi dengan dua perubah bebas :
U = Q(x,y)
Maka :
x
y
x
Q
y
x
x
Q
x 





)
,
(
)
),
(
lim
0
 dengan y = konstan =
x
u


y
y
x
Q
y
y
x
Q
y 





)
,
(
))
(
),
(
lim
0
 dengan x = konstan =
y
u


:
x
u


derivatif parsial U ke x : :
y
u


derivatif parsial U ke y
Difrensial total : dy
y
Q
dx
x
Q
du






dy
y
U
dx
x
U







12. Derivatif fungsi implisif :
Fungsi implisif adalah fungsi yang variabel dependen dan independen terletak pada
satu sisi kiri tanda persamaan . Contoh : y-2x5
= 0
Secara umum ditulis Q(x,y) = 0 ; Y = f(x)  Q(x,y) = C
Total diferensialnya adalah : Qxdx = Qydy = d(0) = 0
Qx + Qy
dx
dy
= 0
Sehingga :
Q
y
x
Q
Qy
Qx
dx
dy








Contoh : Q(x,y) = y-2x5
=0
4
4
10
1
10
x
x
dx
dy




13. 1.2 Aplikasi derivatif
Derivatif order tinggi : f(x) = axn
: f’(x) = anxn-1
: f’’(x) = a(n-1)xn-2
: f’’’(x) = a(n-1)(n-2)xn-3
Membuat sketsa grafik dari kurve y = f(x) dengan cara :
a. Jika f’(x1) > 0 maka grafik y = f(x) naik di titik x=x1
b. Jika f’(x1) < 0 maka grafik y = f(x) turun di titik x = x1
c. Jika f’(x1) = 0 maka titik (x1,y1) adalah titik ekstrem balik (stasioner)
d. Jika f’’(x1) > 0 maka titik (x1,y1) adalah titik minimum
e. Jika f’’(x1) <0 maka titik (x1,y1) adalah titik maksimum
f. Jika f’’(x1) = 0 dan f’’’ (x1) ≠ 0 maka titik (x1,y1) adalah titik belok
Syarat ekstrem dari fungsi dengan 2 variabel :
Z = f(x,y)
Syarat maksimum/minimum : 0



x
z
dan 0



y
z
Maksimum : 0
2
2



x
z
dan 2
2
2
2
2
2
)
(
y
x
z
y
z
x
z








> 0
Minimum : 2
2
x
z


> 0 dan 2
2
2
2
2
2
)
(
y
x
z
y
z
x
z








> 0

14. Contoh :
Sebuah perusahaan menjual setiap set dari 100 unit hasil produksinya dengan harga
Rp 1000,-. Biaya produksi total x set dari 100 unit dalam satu tahun dapat dinyatakan
: B = 6 + 2x+ 0,01 x2
.
Ditanyakan :
a. Keuntungan maksimum
b. Marginal cost
c. Pendapatan marginal
d. X pada saat MC = MR

15. Jawab :
a. R = Pendapatan dari x set = 1000 x
B = 6 + 2x+ 0,01 x2
.
∏ = R-B = 100 x – 6 – 2x – 0,01x2
= 998 x – 6 – 0,01 x2
∏maks jika 0

dx
d
dan 2
2
dx
d 
< 0
2
02
,
0
998 x
x
dx
d



 0 = 998 – 0,02 x  x = 49.900
Jadi keuntungan maksimum = Rp 49.990,-
b. MC = x
dx
dB
02
,
0
2 

c. MR = 1000

dx
dR
d. MC = MR - 2+0,02x = 1000  x = 49.990