Dokumen tersebut menjelaskan tentang penggunaan fungsi pembangkit untuk memecahkan masalah distribusi bola ke dalam lubang. Fungsi pembangkit dibangun berdasarkan aturan-aturan distribusi bola dan jumlah lubang, kemudian koefisien dari variabel tertentu memberikan jumlah solusi masalah tersebut. Beberapa contoh masalah distribusi bola dan cara pembangunan fungsi pembangkitnya dijelaskan secara rinci.

1. 3.2. MEMODELKAN MASALAH
DENGAN MENGGUNAKAN
FUNGSI PEMBANGKIT
Matematika
Diskrit
Oleh: Kelompok 2
Any Herawati
Syaiful Hamzah N
Nurul Arfinanti
Akhmad Riyadi

2. Pada bahasan sebelumnya kita melihat bahwa beberapa
permasalahan dapat ditulis dalam bentuk persamaan bilangan
bulat, dan mudah ditentukan dengan menggunakan fungsi
pembangkit.
xr
Page  2

3. Contoh 3.2.1.
Carilah fungsi pembangkit dari banyaknya selesaian bulat
X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = r, dengan Xi ≥ 0.
Penyelesaian:
Misalkan X1 = Z1
2X2 = Z2
3X3 = Z3
4X4 = Z4,
Maka persamaan diatas dapat ditulis: Z1 + Z2 + Z3 + Z4 = r,
dengan Z1 = 0, 1, 2, 3, …
Z2 = 0, 2, 4, 6, …
Z3 = 0, 3, 6, 9, …
Z4 = 0, 4, 8, 12, …
Page  3

4. Fungsi pembangkitnya adalah:
(1 + x + x2 + …)(1 + x2 + x4 + …) (1 + x3 + x6 + …)(1 + x4 + x8 + …)
Page  4

5. Contoh 3.2.2.
Carilah fungsi pembangkit untuk masalah
menentukan banyaknya cara
mendistribusikan 10 bola identik ke dalam 3
lubang yang berbeda dengan masing-masing
lubang banyak bola yang terisi adalah genap.
Page  5

6. PENYELESAIAN
Masalah diatas sama dengan mencari banyaknya selesaian bulat dari
X1 + X2 + X3 = 10 dengan Xi = 0, 2, 4, …
Fungsi pembangkitnya adalah (1 + x2 + x4 + …)3
Banyak selesaian dari persamaan:
X1 + X2 + X3 = 10 dengan Xi = 0, 2, 4, … adalah koefisien x10 pada fungsi
pembangkit.
Page  6

7. Contoh lain (2.5.5) Masalah Galileo’s dice
Berapa banyak cara melempar tiga buah dadu yang berbeda
menghasilkan jumlah mata dadu 10 ?
PENYELESAIAN
Sama dengan menyelesaikan banyaknya selesaian bulat dari
X1 + X2 + X3 = 10, dengan 1 ≤ Xi ≤ 6
Fungsi pembangkitnya adalah (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3
Banyak selesaian dari persamaan:
X1 + X2 + X3 = 10, dengan 1 ≤ Xi ≤ 6 adalah koefisien x10 pada fungsi
pembangkit
Page  7

8. Contoh 3.2.3
Carilah fungsi pembangkit dari banyaknya selesaian bulat
X1 + X2 + …+ Xn ≤ r, dengan 1 ≤ Xk ≤ 3
PENYELESAIAN
Masalah selesaian bulat diatas ekuivalen dengan banyaknya selesaian
bulat pada X1 + X2 + …+ Xn + Xn+1 = r, dengan 1 ≤ Xk ≤ 3
untuk 1 ≤ k ≤ n, dan Xn+1 ≥ 0
Fungsi pembangkitnya adalah (x + x2 + x3)n (1 + x + x2 + …)
= xn(1 + x + x2)n (1 + x + x2 + …)
Page  8

9. Contoh 3.2.4
Carilah fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih 5 bilangan yang
berbeda dari 1, 2, …, n, dengan tidak ada dua bilangan yang berurutan.
PENYELESAIAN
Misalkan bilangan-bilangan yang dipilih adalah 1 ≤ n1 < n2 < n3 < n4 < n5 ≤ n,
dan diberikan X1 = n1, X2 = n2 – n1, X3 = n3 – n2, X4 = n4 – n3 , X5 = n5 – n4,
dan X6 = n – n5 .
Tidak berurutan ekuivalent dengan Xi ≥ 2 untuk 2 ≤ i ≤ 5.
Persamaan bil. bulat yang sesuai adalah: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = n,
dengan X1 ≥ 1, Xi ≥ 2 untuk 2 ≤ i ≤ 5, dan X6 ≥ 0
Fungsi pembangkitnya adalah:
(x + x2 + …)(x2 + x3 + …)4(1 + x + x2 + …)
Page  9

10. Contoh 3.2.5.
Carilah fungsi pembangkit dari dua variabel x dan y sedemikian
sehingga koefisien dari xrys adalah banyaknya cara mendistribusikan r
bola merah yang identik dan s bola biru yang identik dengan paling
banyak 3 bola biru pada masing-masing lubang. Dengan n lubang yang
berbeda
PENYELESAIAN
 CARA I
Selama penempatan bola merah tidak mempengaruhi penempatan bola
biru, kita dapat menentukan fungsi pembangkit untuk bola merah dan
bola biru sendiri-sendiri, kemudian mengalikan hasilnya.
Persamaan bilangan bulat untuk bola merah
X1 + X2 + …+ Xn = r, Xi ≥ 0 → Fungsi pembangkitnya
Page  10 (1 + x + x2 + …)n

11. Persamaan bilangan bulat untuk bola biru adalah:
Y1 + Y2 + …+ Yn = s, 0 ≤ Yi ≤ 3 → Fungsi pembangkitnya adalah
(1 + y + y2 + y3)n
Jadi Fungsi pembangkit untuk masalah diatas adalah:
(1 + x + x2 + …)n (1 + y + y2 + y3)n
Page  11

12. CARA II
Dalam fungsi pembangkit, penjumlahan berkorespondensi dengan
aturan penjumlahan, dan perkalian berkorespondensi dengan aturan
perkalian.
Tiap-tiap lubang mempunyai beberapa bola merah dan paling banyak
tiga bola biru yaitu (1 + x + x2 + …) (1 + y + y2 + y3).
pangkat pada x menunjukkan banyaknya bola merah, pangkat pada y
menunjukkan banyaknya bola biru dan perkaliannya menunjukkan semua
kemungkinan pilihan dari bola merah dan bola biru untuk sebuah
lubang. Karena lubang yang tersedia sebanyak n lubang, maka fungsi
pembangkitnya adalah:
[(1 + x + x2 + …) (1 + y + y2 + y3)]n = (1 + x + x2 + …)n (1 + y + y2 + y3)n
Page  12

13. Page  13