Fungsi dengan 2 Variabel

1. MATERI :
Fungsi Dua Variabel
Diferensial fungsi dua variable
Fungsi dua variable secara umum ditulis :
z = f(x,y) untuk bentuk eksplisit
Atau F(x,y,z)=c untuk bentuk implicit
Dimana : x dan y adalah variable-variabel bebas ada dua buah
.z adalah variable tidak bebas.
Contoh-contoh fungsi dua variabel :
1. z = x3
+ y3
+ 9 x y
2. z= ln(x2
+y2
)
3. z= e3x+6y+xy
4. z = sin (5x + 9y + 3xy )
5. x2
+ y2
+ z3
= 7x
6. xy
z
y
z
x
4
cos
5
7
7. xyz+ 4x3
y3
+ 5 x + 90 y = 0
8. x2
y2
z2
= ln( 4z + 3y) dll
Turunan fungsi dua variable dikenal dengan diferensial parsial ( per
bagian ) ,untuk deferensial parsial orde satu sebagai berikut :
Diferensial parsial orde satu Fungsi Dua variable
Bentuk z = f(x,y )
1. Diferensial parsial orde satu Fungsi Dua variable bentuk z = f(x,y )
terhadap x yaitu turunan pertama z = f(x,y) terhadap x dengan
menganggap variable y sebagai konstanta , dan ditulis sebagai

2. x
z
x
f
x
z
2. Diferensial parsial orde satu Fungsi Dua variable bentuk z = f(x,y )
terhadap y yaitu turunan pertama z = f(x,y) terhadap y dengan
menganggap variable x sebagai konstanta , dan ditulis sebagai
y
z
y
f
y
z
Contoh-contoh :
Tentukan
y
z
dan
x
z
. dari fungsi dua variable berikut :
1. z = x3
+ y3
+ 4 xy
Jawab:
y
x
x
z
4
0
3
. 2
x
y
y
z
4
3
0 2
2. z = ln ( x2
+ y2
)
Jawab :
)
0
2
.(
1
. 2
2
x
y
x
x
z
)
2
0
.(
1
. 2
2
y
y
x
y
z
3. z = e-4x+5y
Jawab :
)
0
4
.(
. 5
4 y
x
e
x
z
)
5
0
.(
. 5
4 y
x
e
x
z
4. z =
x
y
xy
4
sin
6
3

3. Jawab:
.
)
4
(sin
4
.
4
cos
)
6
3
(
)
3
(
4
sin
. 2
x
x
y
xy
y
x
x
z
.
)
4
(sin
.
4
cos
)
24
12
(
4
sin
3
. 2
x
x
y
xy
x
y
x
z
.
)
4
(sin
0
)
6
3
(
)
6
3
(
4
sin
. 2
x
y
xy
x
x
y
z
=
x
x
4
sin
6
3
5. z = x x
y
y
Jawab :
y
y
x
y
x
z x
y
ln
.
. 1
1
.
ln
.
. x
x
y
x
x
y
y
z
Diferensial parsial orde satu Fungsi Dua variable
Bentuk implicit F(x,y,z)= c
1. Diferensial parsial orde satu Fungsi Dua variable bentuk F(x,y,z)= c
terhadap x yaitu turunan pertama F(x,y,z)= c terhadap x dengan
menganggap variable y sebagai konstanta , dan variable z diturunkan
dikalikan dengan
x
z
2. Diferensial parsial orde satu Fungsi Dua variable bentuk F(x,y,z)= c
terhadap y yaitu turunan pertama F(x,y,z)= c terhadap y dengan
menganggap variable x sebagai konstanta , dan variable z diturunkan
dikalikan dengan
y
z
Contoh-contoh :
Tentukan
y
z
dan
x
z
. dari fungsi dua variable berikut :
1 x3
+ y3
+ 4 xyz = 10

4. Jawab:
Turunan terhadap x :
3x2
+ 0 + 4yz + 4xy
x
z
= 0
4xy
x
z
= -3x2
- 4yz
x
z
=
xy
yz
x
4
4
3 2
Turunan terhadap y :
0 + 3y2
+ 4xz + 4xy
y
z
= 0
4xy
y
z
= -3y2
– 4xz
y
z
=
xy
xz
x
4
4
3 2
2 x3
+ y3
+ z3
= 10z
Jawab:
Turunan terhadap x :
3x2
+ 0 + 3z2
x
z
= 10
x
z
3z2
x
z
- 10
x
z
= -3x2
(3z2
- 10)
x
z
= -3x2
x
z
=
)
10
3
(
3
2
2
z
x
Turunan terhadap y :
0+ 3y2
+ 3z2
y
z
= 10
y
z

5. 3z2
y
z
- 10
y
z
= -3y2
(3z2
- 10)
y
z
= -3y2
y
z
=
)
10
3
(
3
2
2
z
y
3 ln(x3
+ y3
+ z3
) = 16
Jawab:
Turunan terhadap x :
0
)
3
0
3
(
1 2
2
3
3
3
x
z
z
x
z
y
x
0
)
3
0
3
( 2
2
x
z
z
x
2
2
3
)
3 x
x
z
z
x
z
= 2
2
3
3
z
x
Turunan terhadap y :
0
)
3
3
0
(
1 2
2
3
3
3
y
z
z
y
z
y
x
0
)
3
3
0
( 2
2
y
z
z
y
2
2
3
)
3 y
y
z
z
y
z
= 2
2
3
3
z
y
4. sin(x3
+ y3
+ z3
) = 16
Jawab:
Turunan terhadap x :

6. .cos (x3
+ y3
+ z3
) .{ 0
}
3
0
3
( 2
2
x
z
z
x
0
)
3
0
3
( 2
2
x
z
z
x
2
2
3
)
3 x
x
z
z
x
z
= 2
2
3
3
z
x
Turunan terhadap y :
.cos (x3
+ y3
+ z3
) .{ 0
}
3
3
0
( 2
2
y
z
z
y
0
)
3
3
0
( 2
2
y
z
z
y
2
2
3
)
3 y
y
z
z
y
z
= 2
2
3
3
z
y
TUGAS:
Tentukan
y
z
dan
x
z
. dari fungsi dua variable berikut :
1. z= tg( 3x2
+ 6 y3
)
2. z = sec ( 4xy + 7 x5
)
3. z = 3sin(3x+7y)
4. xyz + ln(4x) – tg 7y = 6z
5. 5xy + e9z
+ 5z = sin y
Tugas diupload paling lambat hari Minggu, 11 Maret 12 jam 20.00
Tugas akan dikoreksi pada kuliah Tatap Muka selanjutnya.
LINK INTERNAL

7. LINK EKSTERNAL
LINK DOKUMEN :
TAMBAHAN REFERENSI: Fungsi Dua Peubah.pdf