Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành vật lí với đề tài: Ngưng tụ Bose – Einstein, siêu chảy và siêu tinh thể, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Họ và tên: Lê Thị Vân Khánh
TÊN ĐỀ TÀI:
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN, SIÊU CHẢY VÀ
SIÊU TINH THỂ
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Hà Nội, 10 - 2019

2. BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Họ và tên: Lê Thị Vân Khánh
TÊN ĐỀ TÀI:
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN, SIÊU CHẢY VÀ
SIÊU TINH THỂ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TS. NGUYỄN TOÀN THẮNG
Hà Nội, 10 - 2019

3. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hướng dẫn của
giáo viên hướng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình
nghiên cứu của người khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo.
Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới
bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về
sự cam đoan này.
Hà Nội, tháng 10/2019
Học viên
Lê Thị Vân Khánh

4. LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dưới sự hướng dẫn của
GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức Vật lý,
Toán học. Để hoàn thành được Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở thành một
người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến người thầy
hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý
cũng như lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và
GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận
văn Thạc sĩ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Học Viện Khoa Học và Công Nghệ và Viện Vật lý
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại
học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình
dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước
chân tôi.
Hà Nội, tháng 10/2019
Học viên
Lê Thị Vân Khánh

5. DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, DỒ THỊ
Hình 2.1 Sự phụ thuộc của nhiệt dung của He vào nhiệt độ...........................13
Hình 2.2 Giản đồ pha của He..........................................................................15
Hình 2.3 Phổ phonon và roton của He theo Landau.......................................18
Hình 2.4. Phổ kích thích hệ boson khi tương tác yếu và tương tác mạnh...........
Hình 2.5: So sánh tỷ số nồng độ hạt giữa lý thuyết và thực nghiệm ..............20
Hình 2.6 So sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng vào nhiệt độ. ......................21
Hình 3.1. Mô hình boson lõi cứng trên mạng hình vuông..............................34

6. MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Đối tượng nghiên cứu. ............................................................................... 2
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu....................................................... 2
4. Cấu trúc luận văn. ...................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN............................................. 3
1.1. THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN VÀ THỐNG KÊ FERMI DIRAC.... 3
1.2. HIỆN TƯỢNG BEC CHO CÁC BOSON TỰ DO (KHÔNG CÓ
TRƯỜNG NGÒAI)........................................................................................... 5
1.3 HIỆN TƯỢNG BEC CHO CAC BOSON BẪY ..................................... 7
1.4. PHÂN LOẠI CHUYỂN PHA ................................................................ 9
1.5. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VỀ BEC........................................ 10
CHƯƠNG 2. PHA SIÊU CHẢY VÀ SIÊU TINH THỂ............................ 12
2.1. SIÊU CHẢY CỦA He .......................................................................... 12
2.2. LÝ THUYẾT CHẤT LỎNG HAI THÀNH PHẦN VÀ TIÊU CHÍ
LANDAU........................................................................................................ 14
2.2.1. Lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau .................................. 14
2.2.2. Tiêu chí của Landau về vận tốc siêu chảy tới hạn........................ 16
2.3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BEC VÀ SIÊU CHẢY ..................................... 18
2.3.1. Đánh giá chung ............................................................................. 18
2.3.2. Hàm sóng vĩ mô............................................................................ 21
2.4. SIÊU TINH THỂ .................................................................................. 23
2.4.1. Khái niệm pha siêu tinh thể .......................................................... 23
2.4.1.1. Trật tự tầm xa chéo và pha tinh thể. ......................................24

7. 2.4.1.2. Trật tự tầm xa không chéo và siêu chảy. ...............................24
2.4.2. Kết quả thực nghiệm về siêu tinh thể trong He 4. ........................ 25
2.4.3. Siêu tinh thể trong mạng quang học. ............................................ 26
CHƯƠNG 3: SIÊU TINH THỂ HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN
MẠNG HÌNH VUÔNG TRONG MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG TRONG
BIỂU DIỄN SPIN.......................................................................................... 28
3.1. MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG .......................................................... 28
3.2.1. Ánh xạ boson lõi cứng sang spin ............................................... 28
3.2.2. Tham số trật tự trong không gian spin ......................................... 29
3.2.3. Hamiltonian boson lõi cứng trong biểu diễn spin......................... 32
3.3. ÁP DỤNG CHO HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN MẠNG HÌNH
VUÔNG. ......................................................................................................... 33
KẾT LUẬN.................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39

8. 1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) được Bose và Einstein tiên đoán
lý thuyết năm 1924 [1] và sau đó được phát hiện bằng thực nghiệm năm 1995
[4,5] đã mở ra một hướng nghiên cứu mới đang được các nhà khoa học trên
khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Liên quan tới BEC là những vấn đề rất thú
vị khác của vật lý lượng tử: siêu chảy, chuyển pha siêu chảy, điện môi, sự giao
nhau của siêu dẫn và ngưng tụ Bose – Einstein, siêu tinh thể. Hiện tượng ngưng
tụ Bose – Einstein là khi các hạt boson do không bị cấm bởi nguyên lý Pauli có
thể phân bố với số lượng lớn vĩ mô tại trạng thái lượng tử với năng lượng nhỏ
nhất ở vùng nhiệt độ siêu thấp (cỡ µK – nK). Cũng ở vùng nhiệt độ thấp, một
số hệ nhiều hạt, thí dụ 4
He thể hiện là một chất lỏng có độ nhớt bằng không và
được gọi là siêu chảy. Hiện tượng siêu chảy được nhiều người cho rằng có quan
hệ mật thiết với hiện tượng BEC, tuy hiện nay người ta vẫn chưa chỉ ra một
cách chính xác bản chất của mối liên quan này. Các hiệu ứng vật lý thú vị nêu
ở trên được nghiên cứu rất nhiều trong thời gian gần đây là do những thành tựu
mới trong công nghệ tạo cách mạng quang học và tạo nhiệt độ siêu thấp. Bằng
các bẫy các nguyên tử trong từ trường hoặc (và) trong trường điện từ của các
laser, người ta có thể khư trú các nguyên tử trên các nút mạng với cấu trúc mạng
tùy ý: mạng 3 chiều như mạng lập phương, mạng 2 chiều như mạng tam giác,
mạng hình vuông, mạng tổ ong .v.v... Bằng cách thay đổi các tham số của từ
trường và trường laser giam cầm các nguyên tử, người ta có thể thay đổi độ
lớn của thế giam cầm, xác suất chui ngầm giữa các nút, tương tác giữa các
nguyên tử trên một nút .v.v... Ngoài ra, bằng các phương pháp làm lạnh rất hiện
đại như làm lạnh bằng từ trường, quang học, bốc hơi .v.v... người ta đạt được
nhiệt độ siêu thấp cỡ nK. Như vậy, về nguyên tắc người ta có thể tạo ra các hệ
nhiều hạt với các tham số tùy ý ở vùng nhiệt độ rất thấp để quan sát các hiệu
ứng lượng tử. Chẳng hạn, bằng cách thay đổi mối tương quan giữa tham số chui
ngầm với tương tác của nguyên tử trên mỗi nút ta có thể quan sát sự chuyển
pha lượng tử của hệ, từ linh động sang định xứ, mà trong hệ nguyên tử siêu
lạnh được gọi là chuyển pha siêu chảy sang điện môi Mott [6,7]. Trong một số

9. 2
điều kiện hệ nguyên tử siêu lạnh trên các nút mạng có thể vừa ở trạng thái BEC
(trật tự trong không gian xung lượng), vừa phân bố lại trên các nút mạng để tạo
ra một mạng nguyên tử mới với hằng số mạng khác với hằng số mạng ban đầu
(trật tự trong không gian tọa độ) và được gọi là pha siêu tinh thể (Supersolid).
Pha siêu tinh thể ban đầu được tiên đoán bằng lý thuyết cho 4
He dưới áp suất
lớn hơn 25 atm và nhiệt độ thấp [8,9] và sau đó các kết quả thực nghiệm vẫn
còn đang gây tranh cãi [10,11,12].
Với mục đích tìm hiểu một số vấn đề lý thú của hệ nguyên tử trung hòa ở nhiệt
độ siêu lạnh, tôi chọn đề tài luận văn là “Ngưng tụ Bose – Einstein, siêu chảy
và siêu tinh thể”.
2. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh. Nghiên cứu hiện
tượng BEC, siêu chảy và siêu tinh thể.
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu.
Mục đích: Thu thập chọn lọc, đọc và tổng quan về BEC, siêu chảy và siêu tinh
thể. Thực hiện một số tính toán giải tích nghiên cứu pha siêu tinh thể bằng ánh
xạ toán tử boson lõi cứng sang các toán tử spin.
Phương pháp nghiên cứu: phương pháp lý thuyết trường lượng tử áp dụng cho
hệ nhiều hạt.
4. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Ngưng tụ Bose – Einstein
Chương 2: Pha siêu chảy và siêu tinh thể
Chương 3: Siêu tinh thể hệ nguyên tử siêu lạnh trên mạng hình vuông trong mô
hình boson lõi cứng trong biểu diễn spin.

10. 3
CHƯƠNG 1: NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN VÀ THỐNG KÊ FERMI DIRAC
[1,2,3]
Các hạt đồng nhất chia thành hai loại: các hạt với spin bán nguyên là các
fermion tuân theo thống kê Fermi-Dirac khi số hạt nk ở trạng thái lượng tử k
chỉ có thể là nk = 0,1; còn các hạt với spin nguyên là các boson thì nk có thể là
số nguyên bất kỳ.
Ta xét hệ hạt không tương tác với số hạt k
k
N n  . Trong tập hợp chính tắc lớn
tổng thống kê là:
ˆ( )
Tr H N
Z e   

 
'
0
exp exp ,k k
N n k
N n   


 
  
 
   (1.1)
Trong đó k là năng lượng một hạt ở trạng thái lượng tử
1
,k
T
  dấu phẩy trên
tổng có nghĩa là nk phải thỏa mãn k
k
N n  . Viết lại (1.1) khi bỏ qua dấu phẩy
“/”
 
1 2
exp k k
n n k
Z n  

  

 
 exp
k
k k
nk
n  
 
  
 
 (1.2)
Cho Fermion vì nk = 0,1 nên ta có:
 1 exp k
k
Z         (1.3)
Cho boson vì nk = 0,1… nên sau khi tính tổng cấp số nhân vô hạn ta có:
 
1
1 exp k
k
Z   

     (1.4)

11. 4
Để tiện tính toán ta ký hiệu: expz  Từ tổng thống kê ta thu được phương trình
trạng thái và tổng số hạt theo các công thức chung của vật lý thống kê:
  ln ln 1 exp ,k
k
PV Z z    (1.5)
 
 
exp
ln .
1 exp
k
k
z
N z Z
z z



 
 
 (1.6)
Trong các công thức trên thì dấu ở trên (-) ứng với boson còn dấu ở dưới (+)
ứng với fermion.
Từ (1.6) ta có các hàm phân bố Bose – Einstein và Fermi – Dirac tương ứng là:
 /
1
1
k
B Fn
e
   
 (1.7)
Từ giờ trở đi ta chỉ quan tâm đến hệ boson. Các trạng thái lượng tử có thì được
mô tả bằng số lượng tử k gián đoạn hoặc liên tục.
Khi nghiên cứu hiện tượng BEC người ta làm việc với các nguyên tử bị giam
cầm trong các bẫy, như vậy k là gián đoạn. Thí dụ trong các hố thế thì hạt boson
không tương tác mô tả bằng các giả xung lượng l
l
k
L
 trong đó l = 0, 1, 2....
L là kích thước của bẫy, năng lượng một hạt là:
 
2 2 2 2
2
2 2
l
l
k l
m mL

   (1.8)
Người ta thường sử dụng mô hình các trạng thái liên tục khi thay tổng theo k
gián đoạn bằng tích phân theo 𝜀 liên tục.
 3
0
,
k
d k d  

    (1.9)
Trong đó    là mật độ trạng thái. Cho hạt tự do 3 chiều:
  2
2
4 ,
m
d V d     
 
  
 
(1.10)
trong đó V là thể tích của bẫy.

12. 5
Các công thức (1.9) và (1.10) sẽ được sử dụng trong các phần dưới đây.
1.2. HIỆN TƯỢNG BEC CHO CÁC BOSON TỰ DO (KHÔNG CÓ
TRƯỜNG NGOÀI) [13,14]
Từ công thức (1.7) ta thấy rằng thế hóa học luôn phải nhỏ hơn mức năng lượng
thấp nhất 0  để số hạt n0 là số dương. Từ đây suy ra ở nhiệt độ đủ thấp T <
Tc (Tc được gọi là nhiệt độ tới hạn sẽ tính cụ thể sau) thì trạng thái cơ bản sẽ
lấp đầy một cách vĩ mô tức là 01 .N N Hiện tượng này được gọi là BEC.
Trạng thái với năng lượng nhỏ nhất 0 được lấp đầy vĩ mô là trạng thái BEC
còn số hạt ở các trạng thái với năng lượng cao hơn. NT được gọi là số hạt ngoài
ngưng tụ. Ta có:
0 TN N N  (1.11)
Nếu lấy năng lượng mức thấp nhất 0 là mốc tính năng lượng, ta sẽ có từ (1.6),
(1.9) và (1.10)
( )0
( )
1
T
e
N d
e   



 


3/2
3
( )g z
V

 , (1.12)
Trong đó  là bước sóng de Broglie nhiệt
2
2
mk T

  (1.13)
Còn hàm  3/2g z là trường hợp riêng của tổng quát  g z :
1
0
1
1
1
( ) ,
( ) 1
l
p
l
x
p
p
x z
g z dx
p z e e




 
 
 (1.14)
Với ( ) ( 1)!p p   là hàm Gamma
Ta tìm nhiệt độ chuyển pha bằng cách viết lại (1.11) chú ý tới (1.12)
 0 3/23
V
N N g e

  . (1.15)

13. 6
Nhiệt độ chuyển pha Tc xác định thì điều kiện khi số hạt trong ngưng tụ N0=0
khi thế hóa học 0 0   . Từ (1.15) ta có
3
3/
/
2
2
2
(1)
2
B C
n
k T
m g
  
  
 
2
2/3
3,31
h
n
m
 
  
 
(1.16)
Vì  3/2 1 2,612g 
Từ (1.16) ta thấy rằng muốn Tc lớn ta cần mật độ hạt n lớn và khối lượng hạt
m nhỏ. Tuy nhiên n quá lớn cũng không tốt vì lúc đó không thể coi các hạt là
không tương tác.
Để tìm sự phụ thuộc của số hạt trong ngưng tụ và nhiệt độ N0(T) ta chú ý so
sánh
T < Tc từ (1.12) và (1.16) suy ra
 
3
2
33
2
1T
c
V T
N g N
T
 
   
 
(1.17)
Vì thế từ (1.11) ta có
 
3/2
0 1
c
T
N T N
T
  
   
   
(1.18)
Để tìm nhiệt dung đẳng tích ta cần tính năng lượng từ phương trình
 
1k
k
k
E
e
  




 . (1.19)
Chuyển từ tổng theo các trạng thái lượng tử k sang tích phân theo năng lượng
 (1.9) và sử dụng cho trường hợp 3 chiều mật độ trạng thái (1.10) ta thu được
+ T<Tc :  53
2
3
1
2
B
V
E k T g


+ T> TC :  53
2
3
2
B
V
E k T g z

 . (1.20)

14. 7
Thay (1.20)vào công thức tính nhiệt dung đẳng tích V
V
E
C
T
 
  
 
ta thu được :
+ T<Tc :  53
2
15
1
4
V
B
C V
g
k 

+ T> Tc :  
 
 
3
2
53
2
1
2
15 9
4 4
V
B
g zC V
g z
k g z
  . (1.21)
Các công thức (1.16) và (1.21) cho ta sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha và
nhiệt dung đẳng tích mà sau này ta sẽ cần để so sánh BEC với siêu chảy.
1.3 HIỆN TƯỢNG BEC CHO CÁC BOSON BẪY
Các bẫy quang học trong các thí nghiệm gần đây được tạo ra bởi các chùm laser
cường độ cao phân bố theo không gian dưới dạng hàm Gauss [13 ].
Vì vậy người ta có thể mô hình hóa hệ các nguyên tử trung hòa trong bẫy như
là các hạt boson không tương tác trong trường thế giao động tử điều hòa ba
chiều [13,14]. Năng lượng của mỗi boson sẽ là :
 
 
1 2 3 1 1 2 2 3 3 0
0 1 2 3
1 2 3
1
2
, , 0,1,2
n n n n n n
n n n
    
   
   
  

(1.22)
Để tìm nhiệt độ chuyển pha và các đại lượng nhiệt động học khác ta lại sử dụng
gần đúng năng lượng liên tục trên cơ sở các dữ liệu thưc nghiệm. Trong thực tế
các phép đo tiến hành ở T K tần số laser 100i Hz nên 1i
Bk T

, vì vậy có
thể coi các mức năng lượng i là liên tục. Lúc đó tổng theo các số lượng tử
gián đoạn 1 2 3, ,n n n thay bằng tích phân theo năng lượng 
Mật độ trạng thái tính như sau :

15. 8
 
1 1 2 3
1 2 33 3
0 0 0
1 1
,
6
d d d
    

    
 
  
   
(1.23)
trong đó 1/3
1 2 3( )   .
Lúc này công thức (1.11) có dạng :
   0
22
0 0 33
0
1 1
2 1
Bk Td
N N N g z
e
   
 


 
 
    
  
 (1.24)
Tại 0  , 1z  và  3
1 1,202.g  ta có
3
0 .1,202Bk T
N N

 
  
 
. (1.25)
Từ đây suy ra nhiệt độ chuyển pha :
1
5
1,202
B c
N
k T 
 
  
 
. (1.26)
Từ (1.25) và (1.26) ta suy ra :
3
0
1
c
N T
N T
 
  
 
. (1.27)
Trong trường hợp boson trong các bẫy ta cần lưu ý là không thể thực hiện giới
hạn nhiệt động học V  , N  ,
N
n const
V
  vì thể tích bẫy là hữu hạn, N
cũng là hữu hạn.
Từ (1.26) nếu lấy  ~ 100 Hz, N thay đổi trong khoảng 104
– 107
như trong các
thí nghiệm thì nhiệt độ cần thiết để có BEC là 2
10 .cT nK
Thực hiện các tính toán tương tự như theo công thức (1.20) cho năng lượng của
hệ ta có :
 
3
0 33 B
B
k T
k T g z 

 
   
 
nếu CT T

16. 9
 
3
0 33 1B
B
k T
k T g 

 
   
 
nếu CT T (1.28)
Từ đó suy ra nhiệt dung riêng
 
 
3
4
3
1
12
1
B
C
g T
C Nk
g T
  
  
 
CT T
 
 
 
 
4 3
3 2
3 4.B
g z g z
C Nk
g z g z

 
  
 
CT T (1.29)
Tại cT nhiệt dung riêng không liên tục trái với kết quả cho hệ boson không ở
trong bẫy. Tính số cho thấy [13,14]
6,6 BC C C Nk 
    (1.30)
1.4. PHÂN LOẠI CHUYỂN PHA
Kết quả về sự liên tục của nhiệt dung khi chuyển pha sang BEC khác nhau trong
hai trường hợp boson trong bẫy và boson không ở trong trường ngoài đặt ra
vấn đề là phải xem xét lại về sự phân loại chuyển pha. Mặc dù sự phân loại
chuyển pha không dễ dàng trong trường hợp tổng quát vì có rất nhiều loại
chuyển pha khác nhau. Tuy nhiên thông dụng nhất là hai cách phân loại : của
Ehrenfest và của Landau [ 16,17 ]. Năm 1933 Ehrenfest đề xuất : Chuyển pha
được gọi là bậc n nếu đạo hàm bậc n theo nhiệt độ của ít nhất một đại lượng
mô tả trạng thái của hệ như thế hóa học  T , nội năng  T , entropy  S T
… không liên tục ở điểm chuyển pha, còn tất cả các đạo hàm bậc thấp hơn là
liên tục. Thí dụ chuyển pha khí – lỏng là bậc một vì T


là gián đoạn. Áp
dụng cho BEC thì đạo hàm bậc nhất của nội năng là nhiệt dung sẽ phụ thuộc
vào hệ bị giam cầm hay không mà đạo hàm đó sẽ gián đoạn hay liên tục. Tuy
nhiên đạo hàm của thế hóa học theo nhiệt độ T


luôn là gián đoạn, tức là
chuyển pha sang BEC là bậc một. Các kết quả nghiên cứu sâu hơn [16 ] cho
thấy, tương tác và kích thước của bẫy luôn có xu hướng làm nhòe đi sự gián
đoạn của đạo hàm thế hóa học . Như vậy, nếu chú ý đến các yếu tố khác thì

17. 10
chuyển pha bậc 1 theo Ehrenfest có thể trở thành bậc 2 hoặc cao hơn. Để sự
phân loại có tính tổng quát hơn, Landau đưa ra khái niệm tham số trật tự gắn
liền với tính đối xứng của hệ. Tham số trật tự là đại lượng vĩ mô lượng hóa tính
chất đối xứng của hệ. Theo Landau, thông thường pha ở nhiệt độ cao hơn ở
nhiệt độ chuyển pha sẽ có tính đối xứng cao hơn pha ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt
độ chuyển pha. Tham số trật tự sẽ bằng không ở pha đối xứng cao hơn còn nó
sẽ khác không ở pha đối xứng thấp hơn. Tham số trật tự có thể định nghĩa ngay
cả khi không có sự thay đổi tính đối xứng của hệ qua điểm chuyển pha. Thí dụ
từ pha lỏng sang pha khí hệ luôn là đồng nhất (isotropic), nhưng mật độ hạt
thay đổi một cách gián đoạn. Tham số trật tự có thể rất khác nhau : có thể là đại
lượng vô hướng như số hạt trong ngưng tụ của pha BEC, có thể là vectơ như
momen từ hóa khi xét chuyển pha từ... Khi đi qua điểm chuyển pha từ nhiệt độ
cao hơn xuống thấp hơn, nếu đối xứng của hệ thay đổi trở thành thấp hơn đối
xứng ban đầu của Hamiltonian của hệ thì người ta nói rằng đối xứng của hệ bị
phá vỡ tự phát. Tự phát là vì đối xứng thay đổi mà không cần số hạng phá vỡ đối
xứng trong Hamiltonian. Trong BEC, như ta thấy ở phần dưới, đối xứng chuẩn (
đối xứng gauge) của hệ boson bị phá vỡ tự phát. Landau phân các chuyển pha
thành 2 loại : chuyển pha loại một hay còn gọi là chuyển pha gián đoạn nếu tham
số trật tự thay đổi một cách gián đoạn qua điểm chuyển pha (khí sang lỏng-sang
rắn), chuyển pha loại hai hay chuyển pha liên tục khi tham số trật tự thay đổi liên
tục qua điểm chuyển pha (sắt từ-thuận từ, siêu dẫn – kim loại...).
Theo phân loại theo tiêu chí của Landau thì BEC là chuyển pha loại 2 vì số hạt
ngưng tụ  0n T luôn là liên tục theo T dù có hay không tương tác, có hay không
bẫy giam cầm các nguyên tử trung hòa.
1.5. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VỀ BEC
Khẳng định bằng thực nghiệm hiện tượng BEC đã từng là một giấc mơ dài lâu
của vật lý. Ứng viên đầu tiên là 4
He , nhất là hiện tượng tiêu chảy được cho có
liên hệ trực tiếp với BEC đã được phát hiện từ rất sớm (năm 1938) bởi nhà vật
lí Nga Kapitza. Tuy nhiên 4
He là một hệ tương tác mạnh với thăng giáng lượng
tử quá lớn (là nguyên nhân nó không kết tinh dù ở nhiệt độ rất thấp) không cho

18. 11
phép chỉ ra một cách rõ ràng các biểu hiện trực tiếp của BEC. Sau đó người ta
chuyển sang tìm BEC trong hệ các exciton. Exciton là cặp điện tử lỗ trống liên
kết nên là boson. Khối lượng điện tử và lỗ trống nhỏ hơn nhiều khối lượng các
hạt nhân nên hy vọng sẽ cho nhiệt độ chuyển pha cT cao theo công thức (1.16).
Tuy nhiên mấy chục năm tìm kiếm trên Cu2 O không cho kết quả đáng kể nào
vì sau khi bị kích thích thì điện tử lại tái hợp rất nhanh với lỗ trống vì vậy không
tạo được một lượng exciton đủ lớn để có thể quan sát được BEC.
Mãi tới gần đây vào năm 1995 người ta mới quan sát được BEC trong hệ khí
kim loại kiềm siêu lạnh. Đầu tiên BEC được quan sát ở trong khí 87
Rb gồm
2000 nguyên tử ở nhiệt độ dưới 170x10-9
K [ 4 ]. Sau đó người ta quan sát được
BEC ở hệ khí 7
Li với 2x105
nguyên tử với Tc ≈ 400x10-9
K, và của hệ gồm 5x105
nguyên tử Na ở nhiệt độ thấp hơn 2µK [5]. Có một vài biểu hiện khác nhau đặc
trưng cho BEC có thể nhận biết bằng thực nghiệm như phân bố nồng độ hạt, đo
các đại lượng nhiệt động học. Thí dụ chụp phân bố hạt boson theo vận tốc của hạt
ta có thể nhìn thấy dấu hiệu quan trọng là nồng độ hạt tăng vọt ở trạng thái cơ bản
ứng với vận tốc chuyển động nhiệt xấp xỉ bằng không.
Sau đó người ta cũng quan sát được BEC trong hệ khí Hydro siêu lạnh với 108
nguyên tử ở nhiệt độ thấp hơn 50 µK [18].
Được sự khích lệ của các kết quả với nguyên tử kim loại kiềm và hydro, hiện
nay người ta đang nỗ lực tìm BEC trong các hệ exciton, biexciton với điện từ
và lỗ trống cách ly trong không gian bằng các giếng thế cấu trúc nano để tăng
thời gian sống cho các hạt này [18] cũng như tìm BEC trong hệ kích thích từ
(magnon) trong các vật liệu từ [18 ].

19. 12
CHƯƠNG 2. PHA SIÊU CHẢY VÀ SIÊU TINH THỂ
2.1. SIÊU CHẢY CỦA He [13]
Hiện tượng siêu chảy được Kapitza phát hiện bằng thực nghiệm năm 1938. Ông
ta thấy rằng ở TC = 2.18K, gọi là điểm , 4
He từ pha lỏng thông thường (pha
He I) chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy (pha He II) . Siêu chảy là hiện
tượng chất lỏng chảy trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi
vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). 4
He
luôn ở pha lỏng ở áp suất khí quyển. Ngay cả khi nhiệt độ xuống tới nhiệt độ
không tuyệt đối T = 0K thì vẫn không chuyển sang thể rắn. Nó ở thể rắn khi áp
suất cao (ở T xấp xỉ 0K thì cần áp xuất P = 25 atm). Ở dưới nhiệt độ tới hạn
TC
4
He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô cùng. Nếu cho He II vào ống
nghiệm hình trụ treo bằng sợi dây mảnh và khảo sát tần số dao động xoắn của
ống hình trụ thì người ta thấy rằng có sự truyền xung lượng của thành bình chứa
cho He II, nghĩa là trong một số điều kiện thí nghiệm thì độ nhớt không bằng
không. Điều này có thể giải thích nếu giả thiết He II là chất lỏng hai thành phần;
thành phần siêu chảy với mật độ s không có độ nhớt và thành phần chất lỏng
thông thường với mật độ n . Trong thí nghiệm với dòng chất lỏng trong ống
nghiệm thì thành phần siêu chảy tham gia, còn trong thí nghiệm với con lắc
xoắn thì thành phần chất lỏng thông thường nhận xung lượng của thành bình.
Nhiệt dung riêng ở điểm chuyển pha có dạng sau ( H.2.1) trong đó v pC C
. Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi
chuyển pha này được gọi là chuyển pha .

20. 13
Hình 2.1 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ.
Tóm lại là ở 4.2   , 4
He ở thể khí hoặc hơi bình thường, khi nhiệt độ xuống
dưới 4.2K, với áp suất khí quyển 4
He chuyển từ pha khí sang pha rắn. Khi hạ
tiếp nhiệt độ xuống tới 2.17c   4
He tiếp tục ở pha lỏng He I. Khi c   , chất
lỏng4
He chuyển động tập thể không có độ nhớt - pha He II. Khi áp suất tăng
(quãng 2.5MPa) thì pha rắn với cấu trúc lập phương tâm khối xuất hiện. Như
vậy ở nhiệt độ thấp4
He có bốn pha, trong đó hai pha lỏng siêu chảy và lỏng
thông thường được ngăn cách bằng đường 
Trong hình dưới là giản đồ pha của He.
4
T (K)1 2 3 5
Cv
6
T3

21. 14
2.2. LÝ THUYẾT CHẤT LỎNG HAI THÀNH PHẦN VÀ TIÊU CHÍ
LANDAU
2.2.1. Lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau [13]
Lý thuyết bán hiện tượng luận chất lỏng hai thành phần được Landau đề xuất
vào năm 1941 để giải thích hiện tượng siêu chảy. Nội dung của lý thuyết này
là: He II gồm chất lỏng siêu chảy có độ nhớt bằng không và các kích thích,
được coi như là các phonon với nồng độ n (tương tự mô hình tinh thể gồm
mạng tinh thể và các kích thích tập thể dao động mạng gọi là phonon). Các
1 2 3 4 5 T (K)
5
10
15
20
25
P (atm)
30
35
40
45
6
T = 2.22K
P = 2.29 atm
Khí
He I
(chất lỏng thông thường)
4
He II
(siêu
chảy)
He I
(rắn)
T = 1,743K
P = 29,09 atm
H.2.2. Giản đồ pha của 4
He
He II: pha siêu chảy
He I: Pha lỏng thông thường

22. 15
kích thích này đóng vai trò là thành phần chất lỏng thông thường. Đại lượng n
được đưa vào một cách giả định mà không phải là mật độ cụ thể nào. Từ giả
thiết về các phonon suy ra ngay nhiệt dung riêng của He II ở nhiệt độ thấp tỷ
lệ 3
 vì đó là đóng góp của phonon.
Tổng nồng độ hai thành phần chất lỏng của He II là không đổi nhưng tỷ số của
chúng n
s


có thể thay đổi, nhưng khi n thay đổi thì nhiệt độ thay đổi. Điều này
dẫn tới sự xuất hiện của một loại dao động mới, được gọi là sóng âm thứ hai,
để phân biệt với phonon –được gọi là sóng âm thứ nhất. Bản chất của sóng âm
thứ hai là sự lan truyền của dao động nhiệt độ và có thể kích thích bằng các
xung nhiệt độ thay vì là các xung áp suất đối với phonon. Sóng âm thứ hai có
thể coi như sóng của mật độ trong khí phonon. Nếu như vậy thì vận tốc sóng
âm thứ hai sẽ bằng
1
3
vận tốc sóng âm thứ nhất bởi vì từ phương trình chung
của thủy động học có thể chứng minh rằng nếu vận tốc của các hạt trong chất
lỏng là c thì vận tốc sóng âm trong chất lỏng đó là
3
c
. Tiên đoán lý thuyết này
của Landau sau đó đã được xác nhận bằng thực nghiệm.
Để giải thích các đại lượng đo được bằng thực nghiệm ở pha He II lân
cận điểm  , Landau giả thiết sự tồn tại một loại kích thích khác nữa và được
gọi là roton với phổ năng lượng phụ thuộc xung lượng của phonon và roton có
dạng như sau:
Hình 2.3 . Phổ phonon và roton theo Landau
E(P)
P
Phonon
roton

23. 16
Ở nhiệt độ thấp, phổ năng lượng kích thích có dạng   cp P  và các kích thích
là phonon, ở xung lượng lân cận 0 , các kích thích là roton và năng lượng kích
thích có dạng:
2
0( )
( )
2

  
p p
p

(2.1)
Ở công thức trên 8,5  K , 0,16 Hem là khối lượng hiệu dụng còn
8 1
0p 1,9.10 cm
 Sau này lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau cũng được
xác nhận bằng lý thuyết vi mô.
2.2.2. Tiêu chí của Landau về vận tốc siêu chảy tới hạn [13].
Xét chất lỏng ở T= 0 K, mọi hạt ở trạng thái cơ bản và chuyển động tương đối
so với ống chứa với vận tốc không đổi u . Nếu chất lỏng có độ nhớt thì do ma
sát với mặt ống mà động năng giảm. Ta coi quá trình giảm vận tốc là thông qua
quá trình sinh ra các kích thích cơ bản (kiểu như chuẩn hạt Bogoliubov trong
khí Bose có tương tác.
Xét hệ quy chiếu K gắn với chất lỏng (chuyển động với vận tốc u với hệ phòng
thí nghiệm). Trong hệ quy chiếu này chất lỏng đứng yên. Nếu một kích thích
cơ bản với xung lượng p sinh ra trong chất lỏng thì năng lượng của toàn bộ
chất lỏng trong hệ quy chiếu K sẽ là  0E p , trong đó 0E là năng lượng
trạng thái cơ bản của chất lỏng ( vì ở T = 0 K), còn  p là năng lượng kích
thích cơ bản
Bây giờ ta xét trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm K’
. Hệ quy chiếu phòng
thí nghiệm K’
sẽ chuyển động so với K với vận tốc -u .
Ta xét biến đổi Galileo dạng tổng quát. Xét một vật có năng lượng E và xung
lượng P trong hệ quy chiếu K. Chuyển sang hệ quy chiếu '
K , chuyển động
với vận tốc V so với K theo hướng X:
'
P P MV  (2.2)

24. 17
'
'
2'
2
' 1
2 2
X X Vt
v v V
P
E P MV
M M
   
 
   
  
21
2
E PV MV   (2.3)
Thay V =-u vào (2.2) và (2.3) ta có:
 
'
' 21
.
2
o
P p Mu
E E p p u M u
  


   

(2.4)
Nếu không có kích thích thì
'
' 21
2
o
P M u
E E M u
 


 

(2.5)
Tức là khi có kích thích cơ bản thì xung lượng chất lỏng thay đổi một lượng
p còn năng lượng thay đổi   . 0p pu   , hay:
  . . 0p pu pu     và
 p
u
p


Vậy muốn có siêu chảy thì trong hệ không được có kích thích cơ bản, tức là
vận tốc chảy của chất lỏng phải nhỏ hơn vận tốc tới hạn
 minc
p
p
v
p

 (2.6)
(min
p
có nghĩa là phải tìm cực tiểu trong cả khoảng giá trị của p )
Đây là tiêu chí của Landau về vận tốc tới hạn siêu chảy..
Áp dụng cho khí Bose lý tưởng ta có:

25. 18
 
 
2
2
min 0c
p
p
m
p
v
p



 
Nghĩa là không có siêu chảy nếu hệ boson không tương tác.
Hệ boson có tương tác nói chung không thể giải một cách chính xác để thu
nghiệm giải tích. Tuy nhiên, bằng một số gần đúng thích hợp, người ta có thể
thu được các kết quả sau cho phổ kích thích của hệ khi tương tác là yếu (H.2.4a)
và khi tương tác là mạnh (H.2.4b).
Hình 2.4:
a) Phổ kích thích khi tương tác yếu. b) Phổ kích thích khi tương tác mạnh
Ta thấy khi tương tác yếu, hình 2.4a cho ta dạng 2.3 như lý thuyết của Landau.
2.3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BEC VÀ SIÊU CHẢY [13,14,16]
2.3.1. Đánh giá chung
Nhiều người cho rằng siêu chảy có liên quan chặt chẽ với BEC, trong đó phần
chất lỏng siêu chảy chính là các boson ở trong ngưng tụ. Tuy nhiên, giữa BEC
và siêu chảy không có mối quan hệ đơn nhất, cụ thể là BEC không là điều kiện
cần và đủ của siêu chảy. Chẳng hạn, ở các hệ thấp chiều như các nguyên tử bị
bẫy trong không gian hai chiều tính chất siêu chảy không kèm theo ngưng tụ
Bose- Einstein. Hay qua thí dụ ở trên, hệ boson lý tưởng bao giờ cũng có BEC
ở nhiệt độ thấp nhưng muốn có siêu chảy thì phải có tương tác để phổ kích thích
Roton

26. 19
phụ thuộc tuyến tính vào xung lượng ở gần đúng sóng dài để thoả mãn tiêu chí
Landau. Ta so sánh cụ thể siêu chảy của hệ 4
He với các kết quả lý thuyết về
BEC tính toán trên giả thiết hệ nguyên tử He tự do. Trước hết 4
He là hệ các
boson mà tính chất siêu chảy và ngưng tụ Bose- Einstein đều ở nhiệt độ thấp.
Ta thực hiện một số đánh giá định lượng sau.
Trước hết so sánh nhiệt độ chuyển pha BEC tính lý thuyết với nhiệt độ chuyển
pha siêu chảy thực nghiệm. Thay số cho hệ 4
He vào công thức (1.16) ta có:
2 2
2/3
2
1
.3,31. 3,31 3,07C
B B
T n K
k m ma k
 
   
  (2.7)
Ta thu được nhiệt độ TC chuyển pha BEC cho hệ bosons lý tưởng cũng khá
gần nhiệt độ chuyển pha TC siêu chảy đo thực nghiệm (2,17K).
Ta xét mật độ ngưng tụ hạt trong ngưng tụ ở pha BEC cho hệ 4
He tự do theo công
thức (1.18 ). Nếu ta coi BEC gồm 2 thành phần: với số hạt No (tương ứng siêu
chảy) và với số hạt NT (chất lỏng bình thường). Từ (1.18) ta có đồ thị so sánh
tỷ số nồng độ hạt ở hai pha giữa lý thuyết BEC và thực nghiệm trong hình 2.5

27. 20
Hình 2.5: So sánh tỷ số nồng độ hạt ở hai pha
Bây giờ ta so sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng CV vào T của BEC tính theo
( 1.21 ) với kết quả thực nghiệm siêu chảy.
T (K)
20.5 1 1.5 2.5 3
Thực nghiệm
0.5
1
Lý thuyết BEC

28. 21
Hình 2.6 So sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng vào nhiệt độ.
Các so sánh thực nghiệm siêu chảy với lý thuyết hệ khí boson He tự do ở trên
là cơ sở để giả thiết rằng có mối liên quan trực tiếp giữa BEC và siêu chảy của
4
He.
2.3.2: Hàm sóng vĩ mô [13]
Ma trận mật độ một hạt của hệ nhiều hạt định nghĩa như sau:
(2.8)
Trong đó và là các toán tử trường (hủy và sinh hạt tại r

), ký hiệu
<.... > là lấy trong bình nhiệt động học (khi N, V   thì N/V = constant, N
là số hạt, V là thể tích). Trung bình của toán tử ˆA tương ứng với đại lượng vật
lý A định nghĩa là
T (K)2,41,6 2 2,2 2,8 3,2
Thực nghiệm
2
4
Thực nghiệm BEC bose gas6
8
10
12
1,2
.
Phụ thuộc Cv vào T

29. 22
ˆ ˆˆA Tr A (2.9)
trong đó ˆ là ma trận mật độ ứng với Hamiltonian đã cho.
Nếu 'rr

 thì ma trận mật độ một hạt )(),()',()1(
rnrrnrrn

 được gọi là mật
độ chéo (diagonal density) hay phân bố một hạt.
Phân tích toán từ trường dưới dạng (2.10)
với ˆ ˆ,i ia a
là toán tử hủy (sinh) hạt ở trạng thái i. Tách số hạng với i=0 ứng với
trạng thái cơ bản trong (2.10):
(2.11)
Theo Bogoliubov, vì số hạt trong ngưng tụ 1No  
oo aa nên có thể coi gần
đúng 0
ˆa và 0
ˆa
là c số: oN~ . Nguyên nhân là giao hoán tử của hai toán tử sinh
hủy bằng một, còn bản thân toán tử 1~ oN nên có thể bỏ qua giao hoán tử
của chúng và coi 0
ˆa và 0
ˆa
là c số. Lúc đó ooaˆ ~ ( )o oN r được xem như là
trường cổ điển và (2.11) trở thành :
(2.12)
với
Cho hệ khí Bose loãng, ở nhiệt độ T nhỏ, có thể bỏ qua và làm việc với
trường cổ điển và hệ coi như cổ điển (giống như giới hạn cổ điển trong điện
động lực, khi trường photon thay bằng trường điện từ cổ điển).
Hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật
tự. Đây là đại lượng phức:
(2.13)

30. 23
o xác định phần đóng góp của ngưng tụ vào mật độ chéo, còn thừa số pha
S(r) đóng vai trò chính trong hiện tượng kết hợp và siêu chảy. Ở T > TC thì
( ) 0o r  . Toán tử trường xác định chính xác tới thừa số pha ei
mà không
thay đổi gì tính chất của hệ (Hamiltonian không thay đổi), nghĩa là hệ ban đầu
có đối xứng gauge. Nhưng khi chọn hàm sóng với pha xác định thì vectơ trạng
thái không còn đối xứng gauge nữa tức là đã phá vỡ đối xứng gauge. Như vậy
sự tồn tại của hàm song dạng (2.13) liên quan tới phá vỡ đối xứng gauge tự
phát.
Từ cơ học lượng từ; vận tốc k
mm
p
v



 của hạt bằng tác dụng của toán tử vận
tốc lên hàm sóng
(2.14)
Trong pha BEC thì n(1)
(r,r') = ˆf+
(r)
⌢
f(r') @ no, nên coi oo nr )( ; số hạng đầu
bằng không. Vậy suy ra:
(2.15)
Công thức (2.15) cho thấy mối liên hệ trực tiếp giữa vận tốc siêu chảy và pha
của hàm sóng BEC.
2.4. SIÊU TINH THỂ
2.4.1. Khái niệm pha siêu tinh thể
Pha siêu tinh thể được đề xuất từ cách đây hơn 50 năm [8,9]. Sau khi phát hiện
siêu chảy của He, một câu hỏi xuất hiện là có thể tồn tại đồng thời pha rắn tinh
thể và pha siêu chảy, nhất là khi 4
He có thể ở trạng thái rắn khi áp xuất p > 25
atm, và nhiệt độ T nhỏ. Thoạt nhìn thì pha tinh thể là sự sắp xếp có trật tự của
các nguyên tử còn pha siêu chảy là sự chuyển động tự do của các nguyên tử,
như hai pha này cùng đồng tồn tại là vô lý. Ta sẽ xem xét vấn đề từ quan điểm
chuyển pha của Landau.

31. 24
2.4.1.1. Trật tự tầm xa chéo và pha tinh thể.
Như trên đã nói, trong công thức (2.8) ta đặt 'rr

 thì ma trận mật độ một hạt
)(),()',()1(
rnrrnrrn

 được gọi là mật độ chéo (diagonal density). Nếu )(rn

thỏa mãn:
)()( rnarn

  (2.17)
trong đó a

là bộ các vecto bất kỳ, khác không, thì người ta nói rằng hệ có trật
tự tầm xa chéo (DLRO-Diagonal Long Range Order).
Với tinh thể với các nguyên tử ở nút mạng, khi không kể tới dao động mạng, ta
luôn có mật độ nguyên tử thoả mãn:
(2.18)
Ta thấy (2.18) là trường hợp riêng của (2.17).
Trong không gian liên tục, đồng nhất và đẳng hướng, không có trường ngoài
thì Hamiltonian có đối xứng tịnh tiến, tức là bất biến khi dịch chuyển tọa độ
với bất kỳ một vectơ cơ sở nào và trạng thái với )(rn

bằng hằng số trong toàn
không gian là một vectơ riêng của Hamiltonian. Điều kiện (2.17) có nghĩa là hệ
chỉ bất biến với phép tịnh tiến với vecto a

, nghĩa là bất biến tịnh tiến bị phá
vỡ một cách tự phát (Hamiltonian ban đầu bất biến, nhưng vectơ trạng thái
không còn bất biến). Người ta nói rằng, pha tinh thể đã phá vỡ đối xứng tịnh
tiến tự phát và có tham số trật tự chéo. “Tự phát” có nghĩa là không cần thêm
vào một số hạng phá vỡ đối xứng vào Hamiltonian ban đầu. Pha lỏng là khi mật
độ hạt )(rn

là hằng trong toàn chất lỏng, nên không phá vỡ đối xứng tịnh tiến
và không có DLRO. Tương tự như vậy, trong lý thuyết từ, Hamiltonian
Heisenberg ban đầu bất biến với phép quay trong không gian spin, nhưng trạng
thái sắt từ và phản sắt từ có từ hóa theo một hướng (thí dụ oz); tức là đối xứng
quay bị phá vỡ một cách tự phát. Tham số trật tự là độ từ hóa z
S .
2.4.1.2. Trật tự tầm xa không chéo và siêu chảy.

32. 25
Trong công thức (2.8), nếu n(1)
(r,r’)  no0 khi |r-r’|  ∞ thì ta nói rằng hệ
có trật tự tầm xa không chéo (ODLRO – Off Diagonal Long Range Order). Ý
nghĩa của ODLRO là sự có mặt của hạt ở 'r và sự có mặt của hạt ở r là hai
sự kiện ảnh hưởng qua lại lẫn nhau.
Mở rộng cho trường hợp các hạt phân bố trên mạng, nếu (1)
ˆ ˆ 0ij i j on a a n
  
khi độ lớn của  ji RR

thì nói rằng hệ hạt trên mạng có trật tự tầm xa không
chéo ( ở đây ˆia và ˆia
là các toán tử hủy và sinh hạt ở iR

chứ không phải là
toán tử sinh hủy hạt ở trạng thái )(ri

 ).
Như vậy hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ như được định nghĩa ở
(2.14) đóng vai trò là tham số trật tự tầm xa không chéo, trong đó phần modun
o là đóng góp của ngưng tụ BEC, còn thừa số pha S(r) đóng vai trò chính
trong hiện tượng siêu chảy.
Từ những trình bày ở đây ta thấy sự tồn tại pha siêu chảy không mâu thuẫn với
sự có mặt của pha tinh thể. Pha tinh thể là trật tự trong không gian thực, với
tham số trật tự tầm xa chéo, phá vỡ đối xứng tịnh tiến tự phát. Pha siêu lỏng là
trật tự trong không gian xung lượng, với tham số trật tự tầm xa không chéo phá
vỡ đối xứng gauge tự phát (kết hợp pha trên toàn hệ).
2.4.2. Kết quả thực nghiệm về siêu tinh thể trong He 4 [10,11]
Những thí nghiệm đầu tiên về siêu tinh thể được thực hiện với He. Pha tinh thể
có thể xác định bằng bằng tán xạ Bragg. Còn pha siêu chảy trong vật rắn có thể
dùng phép đo moment quán tính không cổ điển do Leggett đề xuất. Giả sử ta
có một bình chứa và vật ở trong bình, ta cho bình chứa đó quay với vận tốc góc
w. Moment quán tính của cả hệ bằng tổng moment của bình chứa Ibình và của
vật Ivật:
Icl = Ibình + Ivật.
Tổng moment quán tính Icl là moment quán tính cổ điển.
Bây giờ trong bình ta chứa vật liệu sinh thể với No nguyên tử siêu chảy. Nếu
vận tốc quay v = wr < vC , vì không có ma sát nên các nguyên tử này không

33. 26
quay theo (r là khoảng cách từ nguyên tử siêu chảy tới trục quay). Vì vậy
momen quán tính I của vật liệu siêu tinh thể (moment quán tính không cổ điển)
nhỏ hơn moment quán tính cổ điển. Tỷ số
clI
I
cho ta biết tỷ lệ số nguyên tử siêu
chảy so với số nguyên tử bình thường.
cl
s
I
I
N
N
1 (2.19)
Công thức (2.19) là cơ sở của phép đo momen quán tính không cổ điển.
Năm 2004, trong một thí nghiệm tinh tế đo dao động xoắn của Heli 4 ở thể rắn,
Chan và Kim [10] đã cho rằng tồn tại pha siêu tinh thể dựa trên sự giảm tần
số dao động ở nhiệt độ thấp của Heli 4. Sau đó đã có rất nhiều công trình thực
nghiệm nghiên cứu vấn đề này [xem 12 và tài liệu trích dẫn trong đó] Năm
2012 một số thực nghiệm cho thấy sự thay đổi của hệ số đàn hồi xoắn ở nhiệt
độ thấp cũng có thể cho hiệu ứng về sự thay đổi tần số con lắc xoắn cùng bậc
với giả thiết do siêu chảy [11], vì vậy các kết luận về sự tồn tại pha siêu tinh
thể là không hiển nhiên [11]. Năm 2015 một số tác giả thực hiện các thí nghiệm
với dao động xoắn chế độ đôi và ba cho rằng có sự tồn tại siêu tinh thể . Tuy
nhiên hiện nay sự tồn tại pha siêu tinh thể trong He 4 vẫn chưa được khẳng định
một cách chắc chắn.
2.4.3. Siêu tinh thể trong mạng quang học
Những tiến bộ trong kỹ thuật bẫy quang học và tạo nhiệt độ siêu lạnh đã mở ra
nhiều triển vọng mới trong việc phát hiện pha siêu tinh thể. Bằng cách phối hợp
các chùm laser và từ trường người ta có thể tạo nên hệ các nguyên tử trung hòa
phân bố trên các mạng có cấu trúc đa dạng : mạng hình vuông, mạng tam giác,
mạng tổ ong…Ngoài ra tương tác giữa các nguyên tử trên mỗi nút, tương tác
giữa các nút, cũng như xác xuất nhảy nút có thể điều khiển được bằng cách thay
đổi điều kiện thí nghiệm. Điều này đã khích lệ các nhà lý thuyết nghiên cứu
những hiệu ứng vật lý trên các mô hình rất đa dạng. Về mặt thực nghiệm, có
nhiều kết quả đã chỉ ra rằng có dấu hiệu tồn tại trạng thái siêu tinh thể trong
các khí nguyên tử lưỡng cực như khí Cr, Dy, Er ở nhiệt độ siêu lạnh [19,20].

34. 27
Trong các thí nghiệm này, pha tinh thể thể hiện ở sự tồn tại của sóng mật độ
chụp ảnh được, còn pha siêu chảy thể hiện ở một số đại lượng liên quan tới sự
kết hợp pha trên toàn hệ. Hiện nay các thí nghiệm về pha siêu tinh thể trong hệ
nguyên tử siêu lạnh vẫn đang được tiếp tục tiến hành mạnh mẽ.

35. 28
CHƯƠNG 3: SIÊU TINH THỂ HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN
MẠNG HÌNH VUÔNG TRONG MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG
TRONG BIỂU DIỄN SPIN
3.1. MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG
Mô hình thông dụng nhất để nghiên cứu hệ nguyên tử trung hoà trên mạng
quang học là mô hình Bose-Hubbard mở rộng được mô tả bằng Hamiltonian
sau [7]
(3.1)
Trong đó: tương ứng là toán tử sinh và hủy boson trên nút i, là tích
phân nhảy nút do chui ngầm, số hạng thứ ba là tương tác trên một nút, là số
hạng tương ứng với tương tác giữa nguyên tử trên hai nút i và j, thường nhỏ
hơn so với U. Nếu Vij không rất nhỏ so với U thì người ta gọi là boson mềm,
còn nếu U rất lớn thì người ta gọi là boson lõi cứng. Lúc đó người ta bỏ số hạng
chứa U đi, nhưng phải chú ý là không thể có hai boson trên một nút. Khi đó,
các toán từ sinh hủy boson lõi cứng có hai tính chất sau:
 Thỏa mãn các hệ thức giao hoán ở hai nút khác nhau:
,
với . (3.2)
 Thỏa mãn hệ thức phản giao hoán ở trên cùng một nút để hoặc bằng
1, hoặc bằng 0:
. (3.3)
3.2. MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG TRONG BIỂU DIỄN SPIN
3.2.1. Ánh xạ boson lõi cứng sang spin [21 ]
ˆH = m ˆni
i
å + tij
ˆbi
†
- ˆbj
†
( ) ˆbi
- ˆbj( )ij
å +U ˆni
ˆni
i
å + Vij
ˆni
ˆnj
ij
å
†ˆ ˆ,i ib b ijt
ijV
† † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0i j i j i j
b b b b b b             i j
†ˆ ˆˆi i i
n b b
 
   
†
† †
ˆ ˆ, 1
ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0
i i
i i i i
b b
b b b b
 


 


36. 29
Các toán tử boson lõi cứng là không chính tắc, vì vậy không có định lý Wick
nên không áp dụng một cách trực tiếp các phươmg pháp lý thuyết hệ nhiều hạt
[1,2]. Người ta có thể chuyển từ toán tử bosons lõi cứng sang toán tử spin.
Tuy toán tử spin cũng không là chính tắc, nhưng vì spin liên quan với tính chất
từ của vật liệu nên người ta phát triển rất nhiều phương pháp hiện đại cho hệ
spin. Thí dụ : thí dụ biểu diễn các toán tử spin qua các toán tử chính tắc bosons
kiểu Holstein – Primakov, Dyson-Maleev, Schwinger boson, hay qua toán tử
chính tắc fermion- kiểu Absikosov fermion). Hơn thế nữa, nếu biến đổi mô hình
boson lõi cứng sang dạng mô hình Heisenberg thì có rất nhiều kết quả đã thu
được và ta có thể sử dụng ngay. Có thể ánh xạ từ boson lõi cứng sang spin vì
nếu biểu diễn :
, (3.4)
trong đó
, (3.5)
với :
thì ta thấy các toán tử (3.4) thoả mãn (3.2) và (3.3). Ta chú ý là từ hệ thức cuối
của (3.4) thì nếu spin lên thì nút i bị chiếm, còn nếu spin xuống thì không có
boson ở i
3.2.2. Tham số trật tự trong không gian spin [21]
bi
+
= Si
+
= Si
x
+iSi
y
bi
= Si
-
= Si
x
-iSi
y
ni
= bi
+
bi
= Si
+
Si
-
=
1
2
+ Si
z
 
 














SS
i
S
SSS
iSSS
y
x
yx
2
1
2
1
Si
,Sj
é
ë
ù
û = ieijk
Sk
,
Si
,Sk{ }=0
ì
í
ï
îï

37. 30
Khi xét siêu tinh thể ta quan tâm tới hai tham số trật tự tầm xa chéo và không
chéo
a. Tham số trật tự tầm xa chéo:
. (3.6)
Vì hằng số không ảnh hưởng kết quả, nên ta bỏ qua và DLRO tương ứng sẽ
là . Nếu phụ thuộc i và tạo thành các phân mạng nhỏ (sublattice),
tương ứng trật tự phản sắt từ trong không gian spin, lúc đó có DLRO trong
không gian hardcore boson, nghĩa là hệ boson có cấu trúc tinh thể (với mạng
mới là các phân mạng từ, không trùng với mạng ban đầu).
b. Tham số trật tự tầm xa không chéo ;
  1
,
2
i j i j j in R R b b b b 
  . (3.7)
Thay (3.4) ) vào (3.7), chú ý ở hai nút khác nhau
(3.8)
Vậy ODLRO trong biểu diễn spin là:
. (3.9)
Vậy nếu thì hệ boson lõi cứng đang xét là ở
pha siêu chảy.
Kết hợp a và b, ta xét ví dụ trên ngôn ngữ spin của mạng hai chiều trên mặt
(xz). Gọi góc hợp bởi spin và trục Oz là .
a. Sắt từ
  z
iiiii SbbRRn  
2
1
,

2
1
z
iS z
iS
  0, 
ji SS
     
y
j
y
i
x
j
x
i
y
i
x
i
y
j
x
j
y
j
x
j
y
i
x
iijji
SSSS
iSSiSSiSSiSSbbbb

 
2
1
2
1
  y
j
y
i
x
j
x
iji SSSSRRn ,
0x x y y
i j i j i jS S S S khi R R    

A B
B A

38. 31
Trung bình spin không phụ thuộc i, không có tham số trật tự tầm xa chéo, là
chất lỏng thông thường, không phải tinh thể.. nên
không có tham số trật tự tầm xa không chéo, không có siêu chảy.
b) Thuận từ
vì hỗn loạn từ nên
Trường hợp này không tạo thành mạng, không có tham số trật tự tầm xa chéo,
là chất lỏng thông thường. Mặt khác nên không có
tham số trật tự tầm xa không chéo, không có siêu chảy.
c) Phản sắt từ
Vì
phụ thuộc phân mạng, do đó có tham số trật tự tầm xa chéo, là tinh thể.
Mặt khác không có tham số trật tự tầm xa không chéo,
không có siêu chảy.
d) Sắt từ nghiêng đồng tuyến
0;cos cos 1
1ˆ
2
A B A B
z
i
S m
      
 
1
sin sin 0
4
x x
i j A B
S S   
,A B
  0 
1
cos
2
z
i i
S 
1
sin sin 0
4
x x
i j A B
S S   
ˆcos cos 1; z
A B i
S   
0x x x x
A B A B
S S S S 
A B
A
A
BB
A B
B A
A B

39. 32
, không phụ thuộc i, vậy nên không có
tham số trật tự tầm xa chéo, không có tinh thể.
e) Săt từ nghiêng không đồng tuyến
Lúc này có cả tham số trật tự tầm xa chéo và tham số trật tự tầm xa không
chéo, có thể tồn tại pha siêu tinh thể.
f) Phản sắt từ nghiêng
trường hợp này có cả tham số trật tự tầm xa chéo và tham số trật tự tầm xa
không chéo, nên có thể tồn tại siêu tinh thể.
3.2.3. Hamiltonian boson lõi cứng trong biểu diễn spin.
Thay (3.4) vào (3.1), sau khi bỏ qua số hạng chứa U, nếu ta không xét đến số
hạng hằng số thì ta thu được:
ˆH = m + 2 tij
j
å + Vij
j
å
æ
èç
ö
ø÷
ˆSi
z
i
å + tij
-2 ˆSi
x ˆSj
x
- 2 ˆSi
y ˆSj
y
( )ij
å + Vij
ˆSi
z ˆSj
z
ij
å
.
(3.10)
Để đưa về dạng quen thuộc khi làm việc với hệ spin, ta ký hiệu:
. (3.11)
Lúc đó (3.10) viết lại thành:
1ˆcos cos 1; os ons
2
z
A B i
S c c t     
1 os os 1
sin sin
A B
A B
c c 
 
    


2
1ˆcos cos 1; os
2
1
sin 0
4
z
A B i i
x x
i j A
S c
S S
  


   

   

2ij ij
ij ij
z
ij ij
j j
J t
J V
h J J



 



  
 
A B
A
B

40. 33
. (3.12)
Nếu chỉ tính đến tương tác giữa hai nút lân cận gần nhất thì ta có thể coi
là hằng số và đặt:
. (3.13)
Lúc đó ta thu được:
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ z z x x y y z z
i i j i j i j
i ij
H h S J S S S S S S     
   (3.14)
Tương tự, trong trường hợp tính đến gần đúng tiếp theo lân cận gần nhất ta có:
ˆH = hz ˆSi
z
i
å + J1
D1
ˆSi
x ˆSj
x
+ ˆSi
y ˆSj
y
( )+ ˆSi
z ˆSj
zé
ë
ù
ûij
å + J2
D2
ˆSi
x ˆSk
x
+ ˆSi
y ˆSk
y
( )+ ˆSi
z ˆSk
zé
ë
ù
û<<ik>>
å
(3.15)
Các tham số J1, Δ1 và J2, Δ2 được định nghĩa tương tự như (3.13) cho các nút
lân cận gần nhất và tiếp theo lân cận gần nhất.
Mô hình (3.14) và (3.15) là mô hình Heisenberg bất đẳng hướng trong không
gian spin và đã được nghiên cứu nhiều bằng nhiều phương pháp khác nhau
trong các gần đúng khác nhau cho các loại mạng tinh thể khác nhau. Vì vậy ta
có thể sử dụng các kết quả nghiên cứu mô hình này đê khảo sát hiện tượng siêu
tinh thể trong hệ.
3.3. ÁP DỤNG CHO HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN MẠNG HÌNH
VUÔNG.
Ta xét mạng quang học mà các nguyên tử trung hòa bị giam cầm trên các nút
mạng hai chiều hình vuông trong gần đúng boson lõi cứng và lân cận gần nhất
như vẽ trên hình 3.1a.
,ij ij
J J
; ;ij ij
J
J J J J
J

 
   

41. 34
t
i V k
a. Mạng quang hình học vuông
J
i j
b. Mô hình Heisenberg trên mạng
hình vuông
Hình 3.1. Mô hình boson lõi cứng trên mạng hình vuông
Mỗi nguyên tử trên nút i có thể chui ngầm sang nút k lân cận gần nhất với tham
số nhảy nút t, đồng thời nếu trên nút i và j đồng thời có ni và nj nguyên tử thì
giữa chúng có thế tương tác V ni nj. V là tương tác kiểu van der Waals đã được
lấy gần đúng. Số hạng tương tác trên mỗi nút là lớn vô cùng và ta thay bằng
cách coi các toán tử boson thỏa mãn phản giao hoán tử (3.3). Tương tác V luôn
là dương, còn t là âm để số hạng nhảy nút ở lân cận k=0 tương ứng với động
năng của hạt tự do.
Bây giờ ta áp dụng biến đổi (3.4) thì từ mô hình boson lõi cứng ta thu được mô
hình Heisenberg bất đẳng hướng (3.14). Ta ký hiệu J
là tích phân trao đổi bất
đẳng hướng: 2x y
J J t   , còn z
J V .
Kết quả thu được, có thể viết lại dạng quen thuộc khi nghiên cứu các hệ momen
từ định xứ như sau:
 x x y y z z
z
i j i j i ji
i ij
H h s J S S S S S S
 
     
  
  (3.16)
trong đó 4 2h t V  
2
J V
t
V


 
(3.17)

42. 35
Mô hình (3.16) là mô hình Heisenberg bất đẳng hướng đặt trong từ trường ngoài
h. Đây là bài toán từ phức tạp vẫn đang được nghiên cứu rất nhiều. Trong luận
văn này để phù hợp với khả năng của học viên sẽ lấy lại các kết quả đã biết cho
hệ từ (3.16) để suy ra cho hệ boson lõi cứng.
Như các tác giả khác đã làm trước hết bỏ qua số hạng chứa h bằng cách giả
thiết là ta chọn nồng độ hạt sao 4 2t V    và như vậy là h = 0. Khi đó (3.16)
là mô hình Heisenberg bất đẳng hướng trong không gian spin.
Ta phân biệt hai trường hợp:
i, 0 1   : 2 t V
Lúc đó (3.16) tương ứng là bất đẳng hướng kiểu Ising, nghĩa là trong gần đúng
cổ điển khi coi các spin là vec tơ cổ điển có độ dài là S thì các spin sẽ có trật
tự phản sắt từ (vì J>0) trong mặt phẳng bất kỳ đi qua trục Oz. Ta có thể chọn
đó là mặt xOz. Lúc này ta có:
. z
iS S  và tạo ra hai phân mạng từ
. 0x x y y
i j i jS S S S   (3.18)
Từ đây ta suy ra hệ boson lõi cứng ở pha tinh thể với hằng số mạng gấp 2 lần
hằng số mạng quang học ban đầu, nhưng không có pha siêu chảy.
Bây giờ ta xét thêm thăng giáng. Ở bậc hai theo thăng giáng sẽ có đóng góp
của sóng spin. Tuy nhiên đóng góp sóng spin chỉ làm thay đổi độ lớn của trung
bình theo hướng z một lượng zm
z
i zS S m   (3.19)
Từ (3.19) ta thấy (3.18) không bị ảnh hưởng nên cũng không có pha siêu chảy.
Như vậy ta thấy nếu 2 t V : không có pha siêu tinh thể.
ii, 1  : 2 t V
Trong trường hợp này mô hình Heisenberg (3.16) tương ứng với bất đẳng
hướng kiểu mặt từ dễ, nghĩa là trong gần đúng cổ điển các spin sẽ nằm trong

43. 36
mặt phẳng Oxy. Vì 0J  nên các spin định hướng phản sắt từ trong mặt đó,
chọn theo trục Ox chẳng hạn. Lúc đó 0z
iS  nên không thể có pha tinh thể.
Nếu ta xét thêm thăng giáng thì cũng chỉ có đóng góp của sóng spin vào thành
phần theo trục x của độ từ hóa tự phát vào khoảng lên xuống hiệu mômen từ
theo hướng Oz.
Như vậy khi 2 t V thì cũng không có pha siêu tinh thể.
Bây giờ ta xét thêm ảnh hưởng của số hạng chứa h. Ta lại phân ra hai trường
hợp:
iii, 0h  ; 2 t V
Vì tác dụng của h theo trục z nên không làm ảnh hưởng tới trật tự ở mặt Oxy,
vì vậy kết quả (3.18) vẫn giữ nguyên và không có pha siêu chảy, còn pha tinh
thể có còn tồn tại hay không lại phụ thuộc độ lớn của h. Nếu h nhỏ thì trật tự
phản sắt từ không mất đi, còn h tăng dần thì dần dần các spin sẽ định hướng
theo hướng từ trường, cuối cùng sẽ là trạng thái sắt từ.
Như vậy với 0h  ; 2 t V không có siêu tinh thể.
iv, 0h  ; 2 t V
Như lý luận trong ii, không có từ trường thì 0z
iS  , còn nếu có từ trường thì
0z
iS  vì các momen từ trên các nút định hướng theo từ trường. Tuy nhiên
z
iS  không tạo các phân mạng từ vì h không thay đổi theo các nút, vì thế
không có pha tinh thể.
Tóm lại với 0h  ; 2 t V cũng không có pha siêu tinh thể.
Tóm tắt lại các kết quả i) – iv) cho thấy mô hình boson lõi cứng trên mạng
quang học trong gần đúng lân cận gần nhất không cho ta siêu tinh thể trong tất
cả các khoảng biến đổi của tham số.
Từ đây ta thấy để có thể có siêu tinh thể có lẽ phải mở rộng mô hình boson lõi
cứng theo các hướng sau đây.

44. 37
1. Kể thêm các tương tác khác thí dụ tương tác tầm xa trong hệ nguyên tử lưỡng
cực.
2. Đi xa hơn gần đúng lân cận gần nhất. Lúc đó có thể có hệ từ vấp với các trật
tự từ đa dạng và phức tạp hơn để thỏa mãn điều kiện có siêu tinh thể.
3. Xét các mạng khác đặc biệt các mạng có vấp hình học như mạng tam giác,
mạng tổ ong, mạng Kagome.
Ngoài ra, có thể bỏ giả thiết boson lõi cứng và xét mô hình với U hữu hạn.
Các hướng này hiện đang được nghiên cứu cả về thực nghiệm và lý thuyết bởi
vì hiện nay người ta có thể tạo các mạng quang học với cấu trúc mạng tùy ý và
có thể thay đổi các tham số chui ngầm tij và tương tác giữa các nút Vij.

45. 38
KẾT LUẬN
Trong luận văn đã hoàn thành các công việc sau đây:
Tôi đã tổng quan các tài liệu về hiệu ứng ngưng tụ Bose Einstein trong hệ boson
tự do và hệ boson bị giam cầm trong bẫy dao động tử điều hòa.
Tôi cũng tìm hiểu về pha siêu chảy trong pha He lỏng và mối liên hệ với BEC.
Tôi đã tổng quan về siêu tinh thể trong He rắn và mạng quang học.
Tôi thực hiện các tính toán nghiên cứu pha siêu tinh thể trong hệ boson lõi cứng
trên mạng hai chiều hình vuông với sự nhảy nút của các nguyên tử trong gần
đúng lân cận gần nhất bằng cách ánh xạ từ các toán tử boson sang các toán tử
spin s=1/2.
Khảo sát tham số trật tự tương ứng trong không gian spin cho thấy trong tất cả
miền biến đổi của các tham số thì mô hình boson lõi cứng với tương tác giữa
hai nút lân cận gần nhất không cho pha siêu tinh thể.
Vì trình độ và thời gian của tôi còn hạn chế nên tôi chưa thể mở rộng cho một
mô hình cụ thể khác mà ở đó có thể có pha siêu tinh thể.
Vấn đề có thể tìm hiểu thêm:
Các thầy ở Viện Vật lý và ở trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã nghiên cứu và
thu được nhiều kết quả có giá trị khoa học cho hệ điện tử tương quan mạnh
bằng các phương pháp tính toán mới hiện đại và hiệu quả. Với sự quan tâm
giúp đỡ của các thày, có thể áp dụng những công cụ này để nghiên cứu pha siêu
tinh thể…

46. 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý
hệ nhiều hạt I và II (bản thảo).
2. Trần Minh Tiến, 2017, “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học và
Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam.
3. Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “ Vật lý hệ các nguyên tử siêu lạnh”.
Tiếng Anh
4. M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman,
and E. A. Cornell (1995), Observation of Bose-Einstein Condensation in a
Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198.
5. M. R. Andrews, M.-O. Mewes, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D.
M. Kurn, and W. Ketterle, (1996), Direct Nondestructive Observation of a Bose
Condensate, Science 273, 84.
6. M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hansch, and I. Bloch (2002)
Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas
of ultracold atoms, Nature 415, 39 .
7. Henk T.C. Stoof , Koos B. Gubbels , Dennis B.M. Dickerscheid
(2009),Ultracold Quantum Fields, Springer.
8. A. F.Andreev & I.M. Lifshitz (1969) Quantum theory of defects in crystals.
Sov. Phys. JETP 29, 1107–1113.
9. G.V.Chester (1970) Speculations on Bose–Einstein condensation and
quantum crystals. Phys. Rev. A 2, 256–258.
10. D.Y. Kim & M. H. W Chan (2004) Probable observation of a supersolid
helium phase. Nature 427, 225–227 .

47. 40
11. D.Y. Kim & M. H. W Chan (2012) Absence of supersolidity in solid helium
in porous Vycor glass. Phys. Rev. Lett. 109, 155301 (2012).
12. M. Boninsegni & N.V. Prokof’ev (2012) Supersolids: What and where are
they? Rev. Mod. Phys. 84, 759 (2012).
13. L.P. Pitaevskii, S. Stringari (2016) Bose Einstein Condensation and
superfluidity, Oxford Science.
14. C.J. Pethick and H. Smith, (2001) Bose– Einstein Condensation in Dilute
Gases. Cambridge University Press.
15. R. Grimm, M. Weidemüller, and Y. B. Ovchinnikov (2000), Optical dipole
traps for neutral atoms. Molecular and Optical Physics, 42, 95.
16. V.I. Yukalov (2009) Cold bosons in Optical Lattices Laser Phys. 19, 1.
17. D.Snoke and G.M,.Kavoulakis (2014), Bose- Einstein condensation of
excitons in Cu2O: Progress over 30 years, Rep.Prog.Phys. 77 11650.
18. K.H. Benneman and J.B.Ketterson (Eds.) (2014), Novel superconductivity.
Oxford Science Publications.
19. F. Bottcher et al (2019), Transitient Supersolid Properties in an Array of
Dipolar Quantum Droplets, Phys.Rev X9 011051
20. L.Tanzi et al (2019), Observation of a Dipolar Quantum Gas with
metastable Supersolid Properties, Phys.Rev.Lett. 123 130405
21. T. Matsubara T. and H. Matsuda , (1957), “A lattice model of liquid
Helium”, Prog. Theor. Phys. 17 19.