hội nghị khoa học kỹ thuật lần thứ 34đhyd

1. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
Chủ nhiệm đề tài: Huỳnh Thanh Toàn
TP Hồ Chí Minh - 2017
.
1 / 24

2. Tổng quan đề tài
Khái niệm bình phương cực tiểu bắt nguồn từ công trình tiên phong
của Gauss và Legendre trong khoảng đầu thế kỷ 19. Bình phương cực
tiểu được sử dụng nhiều trong thống kê hiện đại và mô hình toán
học.
Các bài toán có nhu cầu sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu:
giải hệ phương trình, tìm đường cong phù hợp nhất ứng với dải dữ liệu
cho trước (curve fitting), tìm phương trình hồi quy trong thống kê ...
2 / 24

3. Tổng quan đề tài
Bài toán giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b với A ∈ Rm×n,
b ∈ Rm, x ∈ Rn. Trường hợp Ax = b vô nghiệm
+ Phương pháp khử Gauss không đưa ra nghiệm chính xác.
+ Phương pháp thay thế: tìm ¯x ∈ Rn sao cho ¯x là gần nhất để trở
thành nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là A¯x − b 2 nhỏ
nhất. Nghiệm ¯x trong trường hợp này được gọi là nghiệm bình
phương cực tiểu (least squares solution), xem [3].
3 / 24

4. Tổng quan đề tài
Bài toán giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b với A ∈ Rm×n,
b ∈ Rm, x ∈ Rn. Trường hợp Ax = b vô nghiệm
+ Phương pháp khử Gauss không đưa ra nghiệm chính xác.
+ Phương pháp thay thế: tìm ¯x ∈ Rn sao cho ¯x là gần nhất để trở
thành nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là A¯x − b 2 nhỏ
nhất. Nghiệm ¯x trong trường hợp này được gọi là nghiệm bình
phương cực tiểu (least squares solution), xem [3].
3 / 24

5. Tổng quan đề tài
Bài toán tìm đường cong khớp nhất với dữ liệu cho trước.
Giả sử với dữ liệu (ti , yi )i=1..m, ta cần tìm đường cong g(xj , t)j=1..n
sao cho g(ti ) ≈ yi . Đặt χ2 =
m
i=1
[yi − g(xj , ti )]2
, phương pháp bình
phương cực tiểu là tìm các tham số xj sao χ2 là bé nhất.
Bài toán tìm phương trình hồi quy trong thống kê
4 / 24

6. Tổng quan đề tài
Bài toán tìm đường cong khớp nhất với dữ liệu cho trước.
Giả sử với dữ liệu (ti , yi )i=1..m, ta cần tìm đường cong g(xj , t)j=1..n
sao cho g(ti ) ≈ yi . Đặt χ2 =
m
i=1
[yi − g(xj , ti )]2
, phương pháp bình
phương cực tiểu là tìm các tham số xj sao χ2 là bé nhất.
Bài toán tìm phương trình hồi quy trong thống kê
4 / 24

7. Các định nghĩa và định lý
Giả sử A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, x ∈ Rn
Định nghĩa 1. (Hệ không nhất quán (inconsistent))
Hệ Ax = b không có nghiệm gọi là hệ không nhất quán.
Định nghĩa 2. (Nghiệm bình phương cực tiểu (least squares
solution))
Nghiệm ¯x của hệ không nhất quán Ax = b thỏa A¯x − b 2 nhỏ nhất
gọi là nghiệm bình phương cực tiểu.
5 / 24

8. Các định nghĩa và định lý
Giả sử F : Rn → R, f : Rn → Rm và fi : Rn → R
Định nghĩa 3. (Bài toán bình phương cực tiểu (least squares
problem))
Bài toán bình phương cực tiểu là bài toán tìm điểm cực tiểu địa
phương x∗ của F(x) = 1
2
m
i=1
[fi (x)]2
, trong đó fi : Rn → R là hàm
cho trước và m > n.
Định nghĩa 4. (Điểm cực tiểu địa phương (local minimizer))
Cho số dương nhỏ δ và hàm số F(x). Điểm x∗ gọi là điểm cực tiểu
địa phương của F(x) nếu F(x∗) F(x), ∀x thỏa x − x∗ < δ.
6 / 24

9. Các định nghĩa và định lý
Định nghĩa 5. (Điểm dừng (stationary point))
Điểm xs gọi là điểm dừng của F(x) nếu F (xs) = 0.
Định nghĩa 6. (Ma trận xác định dương (positive definite matrix))
Ma trận đối xứng M ∈ Rn×n gọi là
+ Xác định dương nếu xT Mx > 0, ∀x ∈ Rn, x = 0.
+ Nửa xác định dương (positive semidefinite) nếu xT Mx 0,
∀x ∈ Rn, x = 0.
7 / 24

10. Các định nghĩa và định lý
Định nghĩa 7. Gradient của F là
F (x) =
∂F
∂xj
(x) =







∂F1
∂x1
(x)
...
∂F
∂xn
(x)







.
Định nghĩa 8. Ma trận Hessian của F là
F (x) =
∂2F
∂xi ∂xj
(x)
Định lý 1. Nếu x∗ là một điểm cực tiểu địa phương của F(x) thì
F (x∗) = 0.
Định lý 2. Nếu x là điểm dừng của F(x) và F (x) xác định dương
thì x là một cực tiểu địa phương của F(x) .
8 / 24

11. Nghiệm bình phương cực tiểu của hệ không nhất quán
Xét hệ phương trình không nhất quán Ax = b
Định lý 3. (Nghiệm bình phương cực tiểu)
Đặt S = {x ∈ Rn, b − Ax 2 → min} và rx = b − Ax. Khi đó
x ∈ S ⇔ AT rx = 0
Chứng minh
(i) AT rx = 0 ⇒ x ∈ S
(ii) x ∈ S ⇒ AT rx = 0
Kết quả từ định lý 3: nghiệm bình phương cực tiểu của Ax = b là
nghiệm ¯x thỏa AT r¯x = 0. Khi đó
AT
r¯x = 0 ⇔ AT
(A¯x − b) = 0 ⇔ AT
A¯x = AT
b
9 / 24

12. Phương pháp đạo hàm cho bài toán bình phương cực tiểu
1. Xấp xỉ bởi hàm tuyến tính
Giả sử g(xj , t) = α + βt là hàm cần tìm, trong đó (x1, x2) = (α, β).
Đặt G(x) =
m
i=1
[α + βti − yi ]2
. Khi đó (α, β) được tìm từ hệ



∂G
∂α
= 0
∂G
∂β
= 0
⇔



mα +
m
i=1
ti β =
m
i=1
yi
m
i=1
ti α +
m
i=1
t2
i β =
m
i=1
yi ti
10 / 24

13. Phương pháp đạo hàm cho bài toán bình phương cực tiểu
2. Xấp xỉ bởi hàm bậc 2
Giả sử g(xj , t) = α + βt + γt2 là hàm cần tìm, trong đó
(x1, x2, x3) = (α, β, γ).
Đặt G(x) =
m
i=1
α + βti + γt2
i − yi
2
. Khi đó (α, β, γ) được tìm từ
hệ



∂G
∂α
= 0
∂G
∂β
= 0
∂G
∂γ
= 0
⇔



mα +
m
i=1
ti β +
m
i=1
t2
i γ =
m
i=1
yi
m
i=1
ti α +
m
i=1
t2
i β +
m
i=1
t3
i γ =
m
i=1
yi ti
m
i=1
t2
i α +
m
i=1
t3
i β +
m
i=1
t4
i γ =
m
i=1
yi t2
i
11 / 24

14. Phương pháp đạo hàm cho bài toán bình phương cực tiểu
3. Xấp xỉ bởi hàm mũ
Giả sử g(xj , t) = CeAt là hàm cần tìm, trong đó (x1, x2) = (C, A).
Khi đó ln g(xj , t) = ln C + At
Đưa về bài toán tìm hàm xấp xỉ tuyến tính ˜g(˜xj , t) = α + βt, trong
đó ˜x = (α, β) = (ln C , A)
12 / 24

15. Phương pháp Gauss-Newton cho bài toán bình phương cực
tiểu
Giả sử f : Rn → Rm, (m > n) là hàm liên tục, khả vi cấp 2 và hàm
F : Rn → R thỏa
F(x) =
1
2
m
i=1
[fi (x)]2
=
1
2
f (x) 2
=
1
2
f T
(x)f (x)
Thuật toán Gauss-Newton tìm nghiệm bình phương cực tiểu
(i) Tính ma trận Jacobian J(x) của f và tìm hgn từ hệ phương trình
tuyến tính
JT
Jhgn = −JT
f
(ii) Bước lặp x = x + hgn .
13 / 24

16. Các bài toán áp dụng
Bài toán 1. Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữ
liệu về độ lệch nhiệt độ trung bình toàn cầu từ năm 1991-2000 được cho
như bảng sau (xem [4])
14 / 24

17. Các bài toán áp dụng
Dùng phương pháp đạo hàm. (ti , yi ) là dữ liệu cho trước.
g1(t) = 0.123 + 0.034t. g2(t) = −0.4078 + 0.2997t − 0.0241t2.
15 / 24

18. Các bài toán áp dụng
Bài toán 2. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu có chu kỳ về nhiệt
độ ghi nhận được ở Washington ngày 1/1/2001 được cho như bảng sau
(xem [3])
16 / 24

19. Các bài toán áp dụng
Dùng phương pháp giải hệ Ax = b với mô hình
g(xj , t) = x1 + x2 cos 2πt + x3 sin 2πt. Kết quả thu được
g(t) = −1.95 − 0.7445 cos 2πt − 2.5594 sin 2πt
17 / 24

20. Các bài toán áp dụng
Bài toán 3. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu về chiều cao và
trọng lượng trung bình của bé trai từ 2-11 tuổi được ghi nhận bởi trung
tâm kiểm soát dịch bệnh (Centers for Disease Control, CDC) năm 2002
như sau (U.S. National Health and Nutrition Examination Survey) (xem
[3])
18 / 24

21. Các bài toán áp dụng
Dùng phương pháp giải hệ Ax = b với mô hình
+ Mô hình 1: g1(xj , t) = αeβt. Kết quả thu được g1(t) = 2.0907e2.0553t
+ Mô hình 2: g2(xj , t) = αtβ. Kết quả thu được g2(t) = 16.3044t2.4199
19 / 24

22. Các bài toán áp dụng
Bài toán 4. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu mô tả số lượng ô
tô hoạt động trên thế giới từ năm 1950 đến 1980 (xem [3])
20 / 24

23. Các bài toán áp dụng
Dùng phương pháp Gauss-Newton sau 5 bước lặp với điều kiện ban đầu
(x1, x2) = (50, 0.1) và mô hình g(xj , t) = x1ex2t
21 / 24

24. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] ˚Ake Bj¨orck, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM,
1996.
[2] K. Madsen, H.B. Nielsen, O. Tingleff, Methods for Non-linear Least
Squares Problems, Informatics and Mathematical Modelling Technical
University of Denmark.
[3] Timothy Sauer, Numerical Analysis, George Mason University.
[4] Kap, The Methods of Least Squares, lectures INF2320.
[5] Stephen Boyd, Least Squares, EE103 Stanford University.
XIN CÁM ƠN QUÝ THẦY CÔ
22 / 24

25. Phụ lục về phương pháp Gauss-Newton
Giả sử f : Rn → Rm, (m > n) là hàm liên tục, khả vi cấp 2 và hàm
F : Rn → R thỏa
F(x) =
1
2
m
i=1
[fi (x)]2
=
1
2
f (x) 2
=
1
2
f T
(x)f (x) (1)
Ta có
Ma trận Jacobian của f : J(x) = ∂fi
∂xj
(x)
ij
Gradient của f : F (x) = JT (x)f (x)
Khai triển Taylor của f :
f (x + h) = f (x) + J(x)h + O( h 2
) (2)
23 / 24

26. Phụ lục về phương pháp Gauss-Newton
Từ (1) và (2) ta có
f (x + h) ≈ l(h) = f (x) + J(x)h (3)
F(x + h) ≈ L(h) = F(x) + hT
JT
f +
1
2
hT
JT
Jh (4)
Gradient và Hessian của L: L (h) = JT f + JT Jh, L (h) = JT J
Gọi hgn là điểm dừng của L, ta có L (hgn) = 0. Khi đó
JT
Jhgn = −JT
f (5)
L (h) = JT J là ma trận đối xứng, xác định dương nên hgn là cực trị
địa phương. Từ (5) ta có
hT
gnJT
f = −hT
gnJT
Jhgn < 0 (6)
Thay (6) vào (4) ta được F(x + hgn) ≈ F(x) − 1
2 hT
gnJT Jhgn
24 / 24