1. Matrix and Determinant

2. เมตริกซ์
เมตริกซ์ คือตาราง ที่ประกอบด้วยตัวเลข ที่มีความหมาย สามารถนำามา
คำานวณทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายขึ้น เมตริกซ์นิยมนำามาใช้แก้สมการเชิง
เส้น และมีการประยุกต์การใช้เมตริกซ์ในทางคณิตศาสตร์อย่างกว้างขวาง

3. n คอลัมม์
เราเรียกว่าเมตริกซ์มีขนาดเป็น m-by-n
หรือ m×n สมาชิกของเมตริกซ์ในแถว
ที่ i กับคอลัมม์ที่ j นิยมเขียนเป็น Ai,j
หรือ A[i,j] โดยที่ aij , 1 ≤ i ≤ m และ 1 ≤
j ≤ n
เมตริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียว
เรียกว่า เมตริกซ์แถว ส่วนเมตริกซ์ที่มี
สมาชิกเพียงคอลัมม์เดียวเรียกว่า เมตริ

4. ตัวอย่าง
เมตริกซ์ A เป็นเมตริกซ์ขนาด 4×3.
สมาชิกแถวที่ 2 คอลัมม์ที่ 3 หรือ A[2,3] หรือ
a(2,3) คือ 7
เมตริกซ์ R
เป็นเมตริกซ์แถวขนาด 1×9 หรือเวคเตอร์แถวที่
มีสมาชิก 9 ตัว

5. เมตริกซ์ทะแยงมุม(diagonal matrix)
นเมตริกซ์จตุรัสที่มีสมาชิกเฉพาะแถวทะแยงมุม
กนั้นจะมีค่าเป็น 0 เช่น










=
300
020
001
C

6. สเกลาเมตริกซ์ (Scalar matrix)










=
200
020
002
D










=
100
010
001
3I
เป็นเมตริกซ์ทะแยงมุมที่สมาชิกแถว
ทะแยงมุม มีค่าเป็นเท่ากันเช่น และ
ถ้ามีค่าเป็น 1 เรียกว่าเมตริกซ์
เอกลักษณ์ (Identity matrix)






=
1
1
2I

7. เมตริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular
matrix)










=
400
310
132
A
เป็นเมตริกซ์ที่สมาชิกเหนือหรือใต้แถว
ทะแยงมุม นอกนั้นมีค่าเป็น0










=
435
011
002
B
Upper triangular matrix Lower triangular matrix

8. เมตริกซ์ทรานส์โพส(Transpose
matrix)





 −
=
42
11
A 





−
=
41
21T
A
เมตริกซ์ที่สลับสมาชิกของแถวกับคอลัมม์ เช่น





 −
=
351
624
B










−=
36
52
14
t
B

9. คุณสมบัติของ Transpose matrix
( ) AA tt
=
( ) tt
kAkA =
ttt
BABA +=+ )(
ttt
ABAB =)(
1.
2.
3.
4.

10. การบวกลบเมตริกซ์
เมตริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน (ทั้งจำานวนแถวและจำา
นวนคอลัมม์สามารถ
บวก ลบกันได้โดยนำาค่าของสมาชิกมาบวกกัน
หรือลบกันโดยตรง
[ ] [ ] nmijnmij baBA ××
±=±






−
−
=
1142
163
A 




 −−
=
9108
750
B





 −
=+
20610
813
BA

11. คุณสมบัติการบวกลบเมตริกซ์
ABBA +=+
CBACBA ++=++ )()(
AA =+ 0
0=− AA
[ ] nmijkakA ×
=
CBCABAC +=+ )(
BA = เมื่อขนาดของ A เท่ากับ
ขนาดของ B
และสมาชิกทุกตัวเท่ากัน

12. การคูณเมตริกซ์
qnnmqm BAC ××× ×=
∑=
=
n
k
kjikij bac
1
[ ]421=A
จำานวนคอลัมม์ของ A
ต้องเท่ากับจำานวนแถวของ B










−
−=
63
47
50
B
[ ]212=⋅ BA
[ ]212=⋅ BA

13. คุณสมบัติการคูณเมตริกซ์
)()( BCACAB =
nn AIAAI ==
ACABCBA +=+ )(
CABAACB +=+ )(
BAAB ≠

14. ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์
ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ det(A) หรือ มี
ความสำาคัญในการ
คำานวณทางคณิตศาสตร์ วิธีคำานวณหาดีเทอร์มิแน
นท์มีหลายวิธีดังนี้
1. การหาโดยตรง (ในกรณีของเมตริกซ์ขนาด
เล็ก) เช่น
A
cbadA
dc
ba
A −=





= det
ซ์ขนาด 2x2 (หาดีเทอร์มิแนนท์ได้ในกรณีของเมตริกซ์จต
+
-

15. เมตริกซ์ขนาด 3x3
33
22
11
333
222
111
ba
ba
ba
cba
cba
cba
A










=
++ +
-- -
123123123
321321321det
bacacbcba
bacacbcbaA
−−−
++=
นาดมากกว่านี้จะทำาแบบนี้ไม่ได้ ต้องใช้วิธีกระจาย cofac

16. การหา Determinant โดยใช้วิธีการกระ
จาย Cofactor
Cofactor Aij หาได้จาก Matrix A ถูกตัดแถว
ที่ i และ Column ที่ j
ออกไปแล้วหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ที่
เหลือ (จะมีขนาดเล็กลง
เสมอ) แล้วนำา cofactor มาหาค่าดีเทอร์มิแน
นท์
ตัวอย่างที่ 1. จงหาค่าของ A12
และ A23
2 1 0
9 4 6
5 3 8
A
 
 =  
  

17. A12 ต้องตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
 
 
 
  
9 6
5 8
คูณข้างหน้าด้วย (-1)(1+2)
จะได้
( )
(1 2)
12
9 6
1 42
5 8
A
+
= − = −

18. ตัวอย่างที่ 1. (ต่อ)
A23 ต้องตัดแถวที่ 2 และ Column ที่ 3 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
 
 
 
  
2 1
5 3
คูณข้างหน้าด้วย (-1)(2+3)
จะได้
( )
(2 3)
23
2 1
1 1
5 3
A
+
= − = −
การกระจาย Cofactor เราสามารถเลือกว่าจะใช้แถว
หรือ Column ใดเป็นหลักก็ได้
แต่การคำานวณจะง่ายขึ้นถ้าเราเลือกแถวหรือ
Column ที่มีสมาชิกเป็น 0 อยู่มาก

19. 4 3 1 0
1 2 3 5
0 1 1 2
0 2 3 5
A
 
 − − =
 −
 
− 
ย่างที่ 2. จงหา Determinant ของ Matrix
ขั้นที่ 1 เลือกแถวหรือ Column ที่จะเป็นหลัก
ในข้อนี้จะเห็นว่า Column ที่ 1
มีสมาชิกเป็นเลข 0 ถึง 2 ตัว ดังนั้นเรา
ควรจะเลือก Column ที่ 1 เป็น
หลักในการกระจาย Cofactor
ขั้นที่ 2 เขียนสูตรกระจาย Cofactor ในที่นี้เรา
ใช้การกระจายแบบ Column
เราจะต้องทำาดังนี้

20. 11 21 31 41a a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
  
1. เลือกสมาชิกทุกตัวใน Column ที่ 1
มา เราจะได้
จากนั้นจึงเขียนสูตร
11 11 21 21 31 31 41 41det( )A a A a A a A a A= + + +
(ในกรณีทีเลือกแถวที่ 1 เป็นหลัก จะได้ว่า
))det( 1414131312121111 AaAaAaAaA +++=

21. 31A 41A 11A 21A
ofactor ตามสูตรโดยไม่จำาเป็นต้องคำานวณ ถ้าค่า a ij เป
แล
ะ
ดังนั้นไม่ต้องคำานวณ จะเหลือเพียง และ ที่ต้องคำาน
( )
1 1
11
2 3 5
1 1 1 2
2 3 5
A
+
−
= − −
−
11Aจะเห็นว่าในสูตร
ของ
มีแถวที่ซำ้ากัน 2 แถวดังน
011 =A
ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ที่มีแถวซำ้ากันมีค่าเป็น 0)
( ) ( )
2 1
21
3 1 0
1 1 1 2 (3)( 1)(5) (1)(2)(2) (0)(1)( 3) (2)( 1)(0) (2)( 3)(3) (1)(1)(5)
2 3 5
( 15 4 0 0 18 5) 2
A
+
= − − = − − + + − − − − − −
−
= − − + + + + − = −
31 41det( ) (4)(0) ( 1)( 2) (0)( ) (0)( ) 2A A A= + − − + + =∴

22. คุณสมบัติของ ดีเทอร์มิแนนท์
1. ถ้าสลับแถวหรือสลับคอลัมม์จะทำาให้ดีเทอร์
มิแนนท์เปลี่ยนเครื่องหมาย
2. ถ้ามีแถวเหมือนกัน 2 แถว หรือคอลัมม์เหมือน
กัน 2 คอลัมม์จะทำาให้
เมตริกซ์นั้นมีดีเทอร์มิแนนท์เป็น 0
3. det(At
)=det (A)
4. ถ้า A เป็น triangular matrix ดีเทอร์มิแน
นท์คือ A11A22…Ann
5. det (AB)=det(A)det(B)
6. det(kA)=det(kI A)=kn
det(A)

23. 8. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรือของคอ
ลัมม์ใดคอลัมม์หนึ่ง
ถูกคูณด้วย k จะทำาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็น k
เท่าด้วย
9. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรือของคอ
ลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่งเป็น0
จะทำาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็น 0
10. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรือของคอ
ลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่งถูก
คูณด้วย k แล้วนำาไปบวกหรือลบกับแถวหรือ
คุณสมบัติของ ดีเทอร์มิแนนท์

24. Elementary operationใช้สำาหรับแปลง Matrix ให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น
เช่นในเรื่องการแปลง Matrix
ให้อยู่ในรูป Normal form หรือเรื่องการหา
Inverse matrix โดยการแปลง
[A : I] ให้เป็น [I : B]
Elementary operation มีให้เลือก
มากมายหลายอย่าง หากเลือก
Operation ไม่เหมาะสมอาจจะเสียเวลาคำานวณ
มาก การเข้าใจในหลักการเลือก Operation
เป็นสิ่งสำาคัญ จะทำาให้ไม่เสียเวลามากในการ
คำานวณ

25. mentary row operation ในการหา Inverse matr
mentary column operation ในการหา Inverse
ตัวอย่างที่ 3. จงหา Inverse matrix
ของ Matrix ต่อไปนี้โดยใช้
Elementary row
operation
1. ตั้งเป้าหมายการแปลง Matrix
5 5 0 10
1 0 4 8
2 3 4 0
0 4 2 10.5
A
 
 
 =
 
 
− − 
[ ] [ ] )(, AinverseBBIIA =⇒

26. รามี Matrix ตั้งต้นคือ
[ ]
5 5 0 10 1 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
:
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
A I
 
 
 =
 
 
− −  
หมายคือเราจะต้องใช้
mentary row operation
ลง Matrix ให้เป็น
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b b b b
b b b b
b b b b
b b b b
 
 
 
 
 
  
)(Ainverse

27. atrix [A : I ] ให้เป็นตามเป้าหมาย
ห้ a11 เป็น 1 ในที่นี้เรามีสามารถทำาได้หลายวิธีเช่นหารแถ
รือ สลับแถว 1 กับ แถว 2 ในที่นี้เราเลือกการหาร แถว 1
5 5 0 10 1 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
 
 
 
− −  
1 1 0 2 0.2 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
 
 
 
− −  
5/1R
ทำาให้ a21, a31, และ a41 เป็น 0 โดยการ
2.2.1 แถว 2 – (แถว 1)*a21 แล้วเก็บไว้ในแถว 2
2.2.2 แถว 3 – (แถว 1)*a31 แล้วเก็บไว้ในแถว 3
2.2.3 แถว 4 – (แถว 1)*a41 แล้วเก็บไว้ในแถว 4

28. 1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
− − 
 − −
 
− −  
1 1 0 2 0.2 0 0 0
1 0 4 8 0 1 0 0
2 3 4 0 0 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
 
 
 
− −  
12 RR −
13 2RR −

29. ให้ a22 เป็น 1 โดยกำรหำรแถวที่ 2 ด้วย a22 ซึ่งเท่ำกับ -1
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
− − 
 − −
 
− −  
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
− − − 
 − −
 
− −  
2R−

30. 4 ทำำให้ a12, a32, และ a42 เป็น 0 โดยกำร
2.4.1 แถว 1 – (แถว 2)*a12 แล้วเก็บไว้ในแถว 1
2.4.2 แถว 3 – (แถว 2)*a32 แล้วเก็บไว้ในแถว 3
2.4.3 แถว 4 – (แถว 2)*a42 แล้วเก็บไว้ในแถว 4
1 1 0 2 0.2 0 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 1 4 4 0.4 0 1 0
0 4 2 10.5 0 0 0 1
 
 
− − − 
 − −
 
− −  
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 8 2 0.6 1 1 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
 
 
− − − 
 −
 
−  
21 RR −
23 RR −
24 4RR −

31. ให้ a33 เป็น 1 โดยกำรหำรแถวที่ 3 ด้วย a33 ซึ่งเท่ำกับ 8
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 8 2 0.6 1 1 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
 
 
− − − 
 −
 
−  
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
 
 
− − − 
 −
 
−  
8/3R

32. ทำำให้ a13, a23, และ a43 เป็น 0 โดยกำร
2.6.1 แถว 1 – (แถว 3)*a13 แล้วเก็บไว้ในแถว 1
2.6.2 แถว 2 – (แถว 3)*a23 แล้วเก็บไว้ในแถว 2
2.6.3 แถว 4 – (แถว 3)*a43 แล้วเก็บไว้ในแถว 4
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 10 0.25 2.25 1.75 1
 − 
 
− − − 
 −
 
−  
1 0 4 8 0 1 0 0
0 1 4 6 0.2 1 0 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 14 13.5 0.8 4 0 1
 
 
− − − 
 −
 
−  
31 4RR −
32 4RR +
34 14RR −

33. ทำำให้ a44 เป็น 1 โดยกำรหำรแถวที่ 4 ด้วย a44 ซึ่งเท่ำกับ
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 10 0.25 2.25 1.75 1
 − 
 
− − − 
 −
 
−  10/4R
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1
 − 
 
− − − 
 −
 
−  

34. ำให้ a14, a24, และ a34 เป็น 0 โดยกำร
2.8.1 แถว 1 – (แถว 4)*a14 แล้วเก็บไว้ในแถว 1
2.8.2 แถว 2 – (แถว 4)*a24 แล้วเก็บไว้ในแถว 2
2.8.3 แถว 3 – (แถว 4)*a34 แล้วเก็บไว้ในแถว 3
1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0
0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0
0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0
0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1
 − 
 
− − − 
 −
 
−  
41 7RR −
42 5RR +
43 25.0 RR −
1 0 0 0 0.125 1.075 0.725 0.7
0 1 0 0 0.025 0.625 0.375 0.5
0 0 1 0 0.08125 0.06875 0.16875 0.025
0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1
 − − 
 
− 
 − −
 
−  

35. 1
0.125 1.075 0.725 0.7
0.025 0.625 0.375 0.5
0.08125 0.06875 0.16875 0.025
0.025 0.225 0.175 0.1
A−
− − 
 − =
 − −
 
− 
ได้คำำตอบ
เป็น
ทดสอบคำำตอบ
โดย
IAA =⋅ −1












=












−
−−
−
−−
⋅












−− 1000
0100
0010
0001
1.0175.0225.0025.0
025.016875.006875.008125.0
5.0375.0625.0025.0
7.0725.0075.1125.0
5.10240
0432
8401
10055
หรือไม่
ถูกต้อง
ห็นว่ำเสียเวลำในกำรคำำนวณมำกถ้ำทำำด้วยมือ)

36. กำรใช้ Elementary operation ในกำรแปลง
Matrix ให้อยู่ในรูป Normal form






00
0nI
[ ]0nI
เรำสำมำรถใช้ Row operation หรือ Column
operation ก็ได้ โดยมีเป้ำหมำยคือต้องกำรให้
Matrix อยู่ในรูปของ






0
nI
หรือ หรือ
โดย 0 หมำยถึง Zero matrix

37. ำรเลือกใช้ Operation ต่ำงๆ จะคล้ำยกับของกำรหำ Inv
น คือเรำจะต้องรู้ว่ำตำำแหน่งใดที่ควรจะเป็นเลข 1 และตำำแ
ข 0 จำกนั้นจึงเลือก Operation ที่ต้องกำร
งกำรทำำ Normal form คือใช้ในกำรตรวจสอบหำ Rank
Rank ของ Matrix A คือขนำดของ Matrix ย่อย
ของ A ที่โตที่สุดที่ Determinant
มีค่ำไม่เป็น 0
ค่ำ Rank ได้จำกกำรสุ่มหำ Determinant ที่ไม่เป็น 0 ข
ำรดูจำก Normal form ของ A แต่ดูจำก Normal form
ง matrix คือจำำนวนสมกำร ที่ไม่ขึ้นต่อกันของระบบสมกำ

38. วิธีกำรหำ Rank จำก Normal form ของเมตริ
กซ์ A
ห้อยู่ในรูป Normal form โดยใช้ Elementary row ope
mentary column operation
Matrix I ที่อยู่ใน Normal form ของ A จะเป็น Rank
ormal form ของ A สมมูลกับ A จะมี Rank เป็นตัวเดียว
ำงที่ 4. จงหำ Rank ของ Matrix A ต่อไปนี้
7 2 1 2
0 2 6 3
2 3 4 0
0 4 2 10.5
A
− − 
 
 =
 
 
− − 

39. ตั้งเป้ำหมำยก่อนว่ำจะแปลง Matrix ให้อยู่ในรูปใด ในท
Matrix เป้ำหมำยเป็น Normal form ซึ่งอำจเป็นได้หลำ
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
หรือ หรือ หรือ
Rank=4 Rank=3 Rank=2 Rank=1

40. operation เพื่อให้ได้ Normal form
(ในที่นี้กำรทำำ Normal form สำมำรถใช้ทั้ง
row หรือ column operation ก็ได้
ไม่เหมือนกับกำรหำ inverse matrix หรือกำร
หำคำำตอบของสมกำร
ที่เรำจะต้องใช้ Row operation เพียงอย่ำง
เดียวเท่ำนั้น)
2.1 ทำำให้ a11 เป็น 1 โดย สลับแถว 1 กับแถว 3
(เพรำะว่ำ เลข 7 หำรลำำบำก)
7 2 1 2
0 2 6 3
2 3 4 0
0 4 2 10.5
− − 
 
 
 
 
− − 
2 3 4 0
0 2 6 3
7 2 1 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − −
 
− − 

รหำ rank กำรเปลี่ยนแปลงของดีเทอร์มิแนนท์ไม่จำำเป็นต

41. 1.1 หำรแถว 1 ด้วย a11
2 3 4 0
0 2 6 3
7 2 1 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − −
 
− − 
1 1.5 2 0
0 2 6 3
7 2 1 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − −
 
− − 
2/1R
a21, a31, และ a41 เป็น 0 (a21, และ a41 เป็น อยู่แล้ว)
1 1.5 2 0
0 2 6 3
7 2 1 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − −
 
− − 
1 1.5 2 0
0 2 6 3
0 12.5 13 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − − −
 
− − 
13 7RR −

42. ำให้ a22 เป็น 1 โดยกำรหำรแถว 2 ด้วย a22
1 1.5 2 0
0 2 6 3
0 12.5 13 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − − −
 
− − 
2/2R
1 1.5 2 0
0 1 3 1.5
0 12.5 13 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − − −
 
− − 
4 ทำำให้ a12, a32, และ a42 เป็น 0
1 1.5 2 0
0 1 3 1.5
0 12.5 13 2
0 4 2 10.5
 
 
 
 − − −
 
− − 
1 0 2.5 9/ 4
0 1 3 1.5
0 0 24.5 67 / 4
0 0 14 33/ 2
− − 
 
 
 
 
− − 
21 5.1 RR −
23 5.12 RR +
24 4RR −

43. ทำำให้ a33 เป็น 1 โดยกำรหำรแถว 3 ด้วย a33
1 0 2.5 9/ 4
0 1 3 1.5
0 0 1 67 /98
0 0 14 33/ 2
− − 
 
 
 
 
− − 
1 0 2.5 9/ 4
0 1 3 1.5
0 0 24.5 67 / 4
0 0 14 33/ 2
− − 
 
 
 
 
− − 
5.24/3R
6 ทำำให้ a13, a23, และ a43 เป็น 0
1 0 0 53/98
0 1 0 27 / 49
0 0 1 67/98
0 0 0 97 /14
− 
 − 
 
 
− 
1 0 2.5 9/ 4
0 1 3 1.5
0 0 1 67 /98
0 0 14 33/ 2
− − 
 
 
 
 
− − 
31 5.2 RR +
32 3RR −
34 14RR +

44. matrix แล้ว ซึ่ง Determinant ของ Upper
triangular matrix หำได้จำกกำรคูณสมำชิก
ในแนวทะแยงทั้งหมด ในข้อนี้จะเห็นว่ำ Determinant
ของ Upper triangular matrix
ในข้อนี้ไม่เท่ำกับ 0 ดังนั้น Rank ของ Upper
triangular matrix ตัวนี้จึงเป็น 4
และเนื่องจำก matrix นี้สมมูลกับ A ดังนั้น A จึงมี
Rank เท่ำกับ 4 ด้วย
ให้ a44 เป็น 1 โดยกำรหำรแถวที่ 4 ด้วย a44
1 0 0 53/98
0 1 0 27 / 49
0 0 1 67 /98
0 0 0 1
− 
 −
 
 
 
 
1 0 0 53/98
0 1 0 27 / 49
0 0 1 67 /98
0 0 0 97 /14
− 
 − 
 
 
− 





−
14
97
/4R

45. ทำำให้ a14, a24, และ a34 เป็น 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
1 0 0 53/98
0 1 0 27 / 49
0 0 1 67 /98
0 0 0 1
− 
 −
 
 
 
 
498
53
1 RR +
449
27
2 RR +
498
67
3 RR −
เรำได้ Normal form ของ A เป็น I4 ดังนั้น A มี Rank เท
ตุ เรำสำมำรถหำ Rank ได้จำกจำำนวนแถวหรือ Column
ของ matrix Normal form

46. กำรหำคำำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นด้วยเมตริกซ์วิธีกำรหำคำำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นมี 3 วิธีคือ
1 ใช้ Inverse matrix เหมำะกับระบบที่มีสมกำร
จำำนวนไม่มำก (2-3 สมกำร)
2 ใช้ Cramer’s rule เหมำะกับระบบที่มีสมกำร
จำำนวนไม่มำก
3 ใช้วิธีกำรของ Gauss-Elimination ซึ่งเหมำะ
กับระบบที่มีสมกำรจำำนวนมำก
ตัวอย่ำงที่ 5. จงหำคำำตอบของระบบสมกำรโดย
ใช้ Cramer’s rule
3 0
4 0
5
x y z
y z
x y z
+ − =
− =
− − =

47. 1. เขียนโจทย์ให้อยู่ในรูป Matrix
1 1 3 0
0 1 4 0
1 1 1 5
x
y
z
−     
     − =     
     − −     
เมตริกซ์
ของ
สัมประสิ
ทธิ์
เว็คเตอร์
ทรำบค่ำ
เว็คเตอร์
ไม่ทรำบ
ค่ำ

48. หำ Determinant ของ A
1 1 3
det( ) 0 1 4 6
1 1 1
A
−
= − = −
− −
3. หำค่ำ x โดย
0 1 3
0 1 4
5 1 1 5
det( ) 6
x
A
−
−
− −
= =
เว็คเตอร์
ทรำบค่ำ
แทน สปส
ของ x

49. 4. หำค่ำ y โดย เว็คเตอร์
ทรำบค่ำ
แทน สปส
ของ y
1 0 3
0 0 4
1 5 1 10
det( ) 3
y
A
−
−
−
= = −
5. หำค่ำ z โดย เว็คเตอร์
ทรำบค่ำ
แทน สปส
ของ z
1 1 0
0 1 0
1 1 5 5
det( ) 6
z
A
−
= = −
ของ Crammer rule ต้องหำดีเทอร์มิแนนท์หลำยครั้ง จงไ
ำรเชิงเส้นที่มีหลำยตัวแปร (มำกกว่ำ 3)

50. ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำคำำตอบของระบบสมกำร โดยวิธี
กำรของ Gauss-Elimination
2 2 3 8
2 3 4 7
4 2 11
4 5 2 4 28
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ − + =
− − + = −
− + − + =
+ − + =
ำ 1. เขียนโจทย์ให้อยู่ในรูป Matrix
1 2 2 3 8
2 3 4 1 7
1 4 1 2 11
4 5 2 4 28
x
y
z
w
−     
     − − −     =
     − −
     
−     

51. mented matrix โดยนำำเมตริกซ์สัมประสิทธิมำต่อกับเว็คเ
1 2 2 3 8
2 3 4 1 7
1 4 1 2 11
4 5 2 4 28
 − 
 
− − − 
 − −
 
−  
ป้ำหมำยของกำรแปลง Matrix ให้อยู่ในรูป
1 ... ... ... ...
0 1 ... ... ...
0 0 1 ... ...
0 0 0 1 ...
 
 
 
 
 
  

52. y row operation เพื่อแปลงให้Augmented matrix ก
งใช้ Row operation เท่ำนั้น ห้ำมใช้ Column operat
4.1 ทำำให้ a11 เป็น 1 โดยกำรหำรแถว 1 ด้วย a11
(ในที่นี้ไม่ต้องทำำเพรำะ a11
เป็น 1 อยู่แล้ว)ทำำให้ a21, a31, และ a41 เป็น 0 โดย
1 2 2 3 8
0 7 0 5 23
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
 − 
 
− − − 
 −
 
− − −  
1 2 2 3 8
2 3 4 1 7
1 4 1 2 11
4 5 2 4 28
 − 
 
− − − 
 − −
 
−  
12 2RR −
13 RR +
14 4RR −

53. ให้ a22 เป็น 1 โดยกำรหำรแถว 2 ด้วย a22
1 2 2 3 8
0 1 0 5/ 7 23/ 7
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
 − 
 
 
 −
 
− − −  
1 2 2 3 8
0 7 0 5 23
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
 − 
 
− − − 
 −
 
− − −  
7/2 −R
4 ทำำให้ a32, a42 เป็น 0 โดยกำร
1 2 2 3 8
0 1 0 5/ 7 23/ 7
0 6 3 5 19
0 3 6 8 4
 − 
 
 
 −
 
− − −  
1 2 2 3 8
0 1 0 5/ 7 23/ 7
0 0 3 5/ 7 5/ 7
0 0 6 41/ 7 41/ 7
 − 
 
 
 − −
 
−  
23 6RR −
24 3RR +

54. ให้ a33 เป็น 1 โดยกำรหำรแถว 3 ด้วย a33
1 2 2 3 8
0 1 0 5/ 7 23/ 7
0 0 3 5/ 7 5/ 7
0 0 6 41/ 7 41/ 7
 − 
 
 
 − −
 
−  
3/3 −R
1 2 2 3 8
0 1 0 5/ 7 23/ 7
0 0 1 5/ 21 5/ 21
0 0 6 41/ 7 41/ 7
 − 
 
 
 −
 
−  
ทำำให้a43 เป็น 0 โดยกำร
1 2 2 3 8
0 1 0 5/ 7 23/ 7
0 0 1 5/ 21 5/ 21
0 0 6 41/ 7 41/ 7
 − 
 
 
 −
 
−  
1 2 2 3 8
0 1 0 5/7 23/ 7
0 0 1 5/ 21 5/ 21
0 0 0 31/ 7 31/ 7
 − 
 
 
 −
 
−  
34 6RR −

55. ตอบจำก Matrix ที่ได้โดยวิธีแทนค่ำกลับ (Back substit
จำกสมกำรที่ 4 เรำจะได้ w = -1
2 จำกสมกำรที่ 3 เรำจะได้
5 5
21 21
z w− = z = 0
3 จำกสมกำรที่ 2 เรำจะได้
5 23
7 7
y w+ = y = 4
4 จำกสมกำรที่ 1 เรำจะได้
2 2 3 8x y z w+ − + = x = 3
ดังนั้นเรำได้คำำตอบเป็น
x = 3, y = 4, z
= 0, w = -1