เนื้อหาเบื้องต้นของหลักการนับแบบรูปต่างๆ(Combination) รวมถึงการหาค่าความน่าจะเป็นเบื้องต้น(Probability)

1. 1
วิธีนับ
•แฟกทอเรียล
(Factorial)
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน
(Permutation)
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
วิธีจัดหมู
(Combination)
ทฤษฎีบททวินามความนาจะเปน
•SampleSpace
•Event
•การทดลองสุม
สมบัติที่สําคัญของความนาจะเปน
โจทยปญหา

2. 2
ความนาจะเปน
1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
จํานวนวิธีที่เราใชในการนับ แบงออกเปนหลักการคูณ และ หลักการบวก ในการนับจํานวน
วิธีที่ตองมีขั้นตอนการนับ หลายขั้นตอน และมีการทํางานที่ตอเนื่องกันได เราสามารถใชหลักการ
คูณการทํางานแตละขั้นตอน ออกมาเปนจํานวนวิธีนับรวมได เชน การนับจํานวนวิธีใสเสื้อและ
กางเกง กอนออกจากบาน ถามีเสื้อ 3 ตัว 3 สี และมีกางเกง 3 ตัว 3 สี เชนเดียวกัน เราสามารถ
นับจํานวนวิธีการแตงตัวกอนออกจากบานได โดยมีการทํางานตามขั้นตอนตางๆดังนี้
ขั้นตอน 1 ขั้นตอนการใสเสื้อ -สามารถเลือกใสเสื้อได 3 แบบ
ขั้นตอน 2 ขั้นตอนการใสกางเกง –สามารถเลือกใสกางเกงได 3 แบบ เชนเดียวกัน
รวมจํานวนวิธีที่จะเลือกทั้งเสื้อและกางเกงได 3x3 = 9 แบบ
ถาการทํางานมี r ขั้นตอน คือ ขั้นตอน 1 สามารถทํางานได n1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 สามารถทํางานได n2 วิธี,
ขั้นตอนที่ 3 สามารถทํางานได n3 วิธี,…
ขั้นตอนที่ r สามารถทํางานได nr วิธี⇒ สามารถนับจํานวนวิธีการทํางานรวมได
1 2 3 4 ... rn n n n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ตัวอยาง เชน
1. มีหีบอยู 5 ใบ ถาเรานําลูกบอล 3 ลูกใสลงในหีบจะมีวิธีการใสไดกี่วิธี
วิธีทํา
1) นําลูกบอลลูกแรก เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 แบบ คือ
2) นําลูกบอลลูกที่ 2 เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 วิธี เชนกัน
1 2 3 4 5

3. 3
3) นําลูกบอลลูกที่ 3 เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 วิธี เชนกัน
รวมจํานวนวิธีทั้งหมด เทากับ 5x5x5=125 วิธี
2. กําหนดใหใชตัวเลข 0,1,2,3,4 และ 5 สรางจํานวนที่มี 3 หลัก (ตั้งแต 100 ถึง
999) โดยมีเงื่อนไขตอไปนี้
ก. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากัน
ข. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากันและเปนจํานวนคี่
ค. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากันและมีคามากกวา 300
ง. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากัน และเปนจํานวนที่ 10 หารลงตัว
วิธีทํา
ก. สรางจํานวนที่มี 3 หลัก (100-999) ไมซ้ํา
-ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ 1,2,3,4,5
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขไดจํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป
แลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 …. เลือกไปแลว 1 เหลือ 5)
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขไดจํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอย
และหลักสิบไปแลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 …. เลือกไปแลว 2 เหลือ 4)
∴สามารถสรางได 5x5x4=100 จํานวน
ข. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และเปนจํานวนคี่
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 3 ตัว คือ 1,3,5
-ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย
ไปแลว และหามเปนศูนย(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5……เลือกไปแลว 1 และหาม
เปนศูนย เหลือ 4)
5 5 4
(1,2,3,4,5)
× ×
4 4 3
(1,3,5)
× ×

4. 4
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย
และหลักรอยไปแลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5……เลือกไปแลว 2 เหลือ 4)
∴สามารถสรางได 4x4x3=48 จํานวน
ค. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และมีคามากกวา 300
-ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 3 ตัว คือ 3,4,5
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป
แลวจากทั้งหมด 6 ตัว
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอย
และหลักสิบไปแลว
∴สามารถสรางได 3x5x4=60 จํานวน
ง. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และเปนตัวเลขที่ 10 หารลงตัว
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 1 ตัว คือ 0 (ตัวเลขที่ 10 หารลงตัว ตองลง
ทายดวย 0)
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวยไป
แลวจากทั้งหมด 6 ตัว
- ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย
และหลักสิบไปแลว 2 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว
∴สามารถสรางได 4x5x1=20 จํานวน
3 5 4
(3,4,5)
× ×
4 5 1
(0)
× ×

5. 5
กรณีการนับ แบบใชวิธี หลักการบวก คือจะออกแบบวิธีนับแยกเปนกรณี วามีทั้งหมดกี่กรณี
และนับจํานวนวิธีในแตละกรณี วามีจํานวนแบบวิธีเทาใด แลวนํามาบวกกัน เชน จากตัวอยางขอที่
แลว
จงหาจํานวนวิธีสรางตัวเลข 3 หลัก ที่แตละหลักไมซ้ํากัน และมีคามากกวา 350 แบงเปน
กรณีที่ 1 –ตัวเลขในหลักรอย เปน 3 มีจํานวนวิธีในการสรางดังนี้
-ตัวเลขหลักรอยเปน 3 สามารถเลือกได 1 วิธี
-ตัวเลขหลักสิบเปน 5 สามารถเลือกได 1 วิธี
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกได 4 ตัว คือ 0,1,2,4
∴สามารถสรางได 1x1x4= 4 จํานวน
กรณีที่ 2 –ตัวเลขในหลักรอย เปน 4,5 มีจํานวนวิธีในการสรางดังนี้
-ตัวเลขหลักรอยเปน 4,5 สามารถเลือกได 2 วิธี
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกได 5 วิธี คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป 1 ตัวจาก
ทั้งหมด 6 ตัว
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกได 4 วิธี คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยและหลักสิบไป
2 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว
∴สามารถสรางได 2x5x4= 40 จํานวน
รวมจํานวนวิธีทั้งหมดโดยใชหลักการบวกทั้ง 2 กรณี คือ 4+40= 44 จํานวน
2. แฟกทอเรียล (Factorial)
เราใชสัญลักษณ !n แทนแฟคทอเรียล มีความหมายดังนี้
! ( 1)( 2)( 3)...(2)(1)n n n n n= − − −
1 1 4
(5)
× ×
(3) (0,1,2,4)
2 5 4× ×
(4,5)

6. 6
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 5!
5!=5x4x3x2x1
2. จงหาคาของ
5!
3!2!
5!
3!2!
=
5 4 3 2 1
3 2 1 2 1
× × × ×
× × × ×
3. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (Permutation)
3.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด
เราใชสูตร r
!
P
( )!
n n
n r
=
− หมายถึง มีของ n สิ่ง เลือกมา r อยางแลวจัดเรียงสับเปลี่ยน
เปนเสนตรง
และในการวางสิ่งของ n สิ่ง เรียงเปนเสนตรง เราสามารถทําได n! วิธี
ตัวอยาง เชน
1. ในการแขงขันวิ่งระยะทาง 100 ม. มีผูเขาแขงขัน 8 คน จะมีกี่วิธีที่ผูเขาแขงขันไดรับ
เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง ถาผูเขาแขงขันมีโอกาสที่จะชนะเทาๆกันทุก
คน
วิธีทํา จากจํานวนผูเขาแขงขัน 8 คน จะมีเพียง 3 คน ที่จะไดรับรางวัล 3 รางวัลที่แตกตางกันคือ
เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง
ใชสูตร r
!
P
( )!
n n
n r
=
−
8
3
8!
P
(8 3)!
=
−
8
3
8!
P 8 7 6 336
5!
= = × × =
3.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งที่มีบางสวนซ้ํากัน
เราใชสูตร
1 2 3
!
! ! !... !r
n
n n n n โดยของ n สิ่งมีของซ้ํากัน n1,n2,…,nr สิ่ง
ตัวอยาง เชน

7. 7
1. จะมีวิธีนําตัวอักษรในคําวา MISSISSIPPI มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหมทั้งหมดไดกี่วิธี
โดยไมจําเปนตองมีความหมาย(ตัวอักษรในคําวา MISSISSIPPI มีทั้งหมด 11
ตัว)
วิธีทํา
มีอักษรทั้งหมด 11 ตัว
มี m 1 ตัว
มี I 4 ตัว
มี S 4 ตัว
มี P 2 ตัว
4. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
ใชสูตร ( 1)!n − เมื่อ n คือ สิ่งของที่นํามาเรียงเปนวงกลมทั้งหมด
ตัวอยาง เชน
1. จงหาจํานวนวิธีที่สามารถจัดคน 6 คน นั่งรอบโตะกลม
วิธีทํา ( 1)! (6 1)! 5!n⇒ − = − =
2. จงหาจํานวนวิธีในการจัดคน 6 คน นั่งเปนวงกลม โดยที่ นาย ก. และ นาย ข.
ก. ตองนั่งติดกัน
ข. หามนั่งติดกัน
วิธีทํา ก. นั่งติดกัน วาดรูป
⇒ นําคน 5 คน มานั่งเรียงกันเปนวงกลม (5 1)! 4! 24⇒ − = = วิธี
⇒ สลับที่ ก และ ข ได 2! วิธี
⇒ รวมจํานวนวิธี 24(2!)= วิธี
11!
34,650
1!4!4!2!
⇒ = วิธี
ก ข
นํา นาย ก และนาย ข มาผูก
ติดกันนับเปน 1 คน จะเหลือ
คนทั้งหมด 5 คน (จาก
ทั้งหมด 6 คน)

8. 8
ข. หามนั่งติดกัน
(จํานวนวิธีที่ ก และ ข หามนั่งติดกัน) = (จํานวนวิธีทั้งหมด)-(จํานวนวิธีที่ ก และ ข นั่งติดกัน)
(6 1)! 24(2!)
5! (24)(2!)
120 48
72
= − −
= −
= −
=
5. วิธีจัดหมู(Combination)
หมายถึง วิธีการเลือกสงของจํานวน r สิ่ง จากของทั้งหมด n สิ่ง จะสามารถเลือกไดดังนี้
r
!
!( )!
n n
C
r n r
=
−
ตัวอยาง เชน
1. มีนักเรียนอยูในหองทั้งหมด 30 คน ตองการเลือกนักเรียนมา 2 คน จะมีวิธีการเลือกกี่
แบบ
วิธีทํา
1) พิจารณาโจทย เปนการเลือกของ 2 สิ่ง จากสิ่งของทั้งหมด 30 สิ่ง โดยไมสนใจลําดับ
2) จะมีวิธีการเลือกได
30
2
30!
2!(30 2)!
C =
−
30!
2!(28)!
30 29
2
435
=
×
=
=
2. เสนขนานชุดหนึ่งมี 4 เสน ตัดกับเสนขนานอีกชุดหนึ่งซึ่งมี 3 เสน ทําใหเกิดรูปสี่เหลี่ยม
ดานขนานกี่รูป
วิธีทํา
1) พิจารณาวาสี่เหลี่ยมดานขนาน 1 รูป เกิดจากเสนขนานในแนวตั้ง 2 เสน ตัดกับเสนขนาน
ในแนวนอน 2 เสน
2) ออกแบบการทํางานโดย
แบบ

9. 9
2.1) เลือกเสนขนานในแนวตั้งจํานวน 2 เสน จากทั้งหมด 4 เสน
4
2
4 3 2!
6
2!2!
C
× ×
⇒ = = วิธี
2.2) เลือกเสนขนานในแนวนอนจํานวน 2 เสน จากทั้งหมด 3 เสน
3
2
3 2!
3
2!1!
C
×
⇒ = = วิธี
2.3) รวมวิธีการทํางาน 6 3 18⇒ × = วิธี
3) เสนขนาน 4 เสน ตัดกับเสนขนาน 3 เสน สามารถทําใหเกิดรูปสี่เหลี่ยมดานขนานจํานวน
ทั้งหมด 18 รูป
3. มีลูกตุมขนาดตางๆกัน คือ ขนาด 2,6,10,11,15 และ 19 กิโลกรัม จะใชตุมน้ําหนัก
เหลานี้ชั่งของไดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทํา
1) ออกแบบการทํางาน โดยแบงเปนกรณีการทํางาน ไดดังนี้
1.1) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใชเพียง 1 ลูก
6
1C⇒ วิธี
1.2) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 2 ลูก
6
2C⇒ วิธี
1.3) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 3 ลูก
6
3C⇒ วิธี
1.4) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 4 ลูก
6
4C⇒ วิธี
1.5) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 5 ลูก
6
5C⇒ วิธี
1.6) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 6 ลูก
6
6C⇒ วิธี
2) จะมีวิธีการใชตุมน้ําหนักเหลานี้ชั่งของได
6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6
6 15 20 15 6 1
63
C C C C C C= + + + + +
= + + + + +
=
4. มีคน 10 คน ตองเดินทางไปตางจังหวัดดวยรถยนต 3 คัน ซึ่งจุคนได 2,4 และ 5 คน
ตามลําดับ จะมีกี่วิธีที่จะจัดคนทั้ง 10 คน ขึ้นรถ 3 คันนี้
วิธีทํา
1) พิจารณาวา รถยนตทั้ง 3 คัน จุคนรวมกันได 2+4+5=11 คน เมื่อนําคน 10 คน ให
ขึ้นรถทั้ง 3 คัน จะตองมีที่วาง 1 ที่เหลืออยู
2) ออกแบบการทํางานดังนี้
วิธี

10. 10
2.1) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 2 คน นั่นคือ
รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 1 คน
รถยนตที่จุคนได 4 คน จะมีคนนั่ง 4 คน
รถยนตที่จุคนได 5 คน จะมีคนนั่ง 5 คน
10 9 5
1 4 5 10 126 1 1,260C C C⇒ × × = × × =
2.2) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 4 คน นั่นคือ
รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 2 คน
รถยนตที่จุคนได 4 คน จะมีคนนั่ง 3 คน
รถยนตที่จุคนได 5 คน จะมีคนนั่ง 5 คน
10 8 5
2 3 5 45 56 1 2,520C C C⇒ × × = × × =
2.3) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 5 คน นั่นคือ
รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 1 คน
รถยนตที่จุคนได 4 คน จะมีคนนั่ง 4 คน
รถยนตที่จุคนได 5 คน จะมีคนนั่ง 4 คน
10 8 4
2 4 4 45 70 1 3,150C C C⇒ × × = × × =
3) รวมจํานวนวิธี = 1,260+2,520+3,150=6,930 วิธี
5. มีนักเรียน 12 คน จะมีกี่วิธีที่จะแบงนักเรียนเพื่อทําแบบทดสอบ 3 ชุด ที่ไมเหมือนกัน
โดยใหทําชุดละ 4 คน
วิธีทํา
1) ออกแบบการทํางาน
1.1) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 1
12
4C⇒ วิธี
1.2) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 2
8
4C⇒ วิธี
1.3) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 3
4
4C⇒ วิธี
2) รวมจํานวนวิธี
12 8 4
4 4 4 34,650C C C⇒ × × = วิธี
10 คน
วิธี
10 คน
วิธี
10 คน
วิธี

11. 11
6. ทฤษฎีบททวินาม
ถา n เปนจํานวนเต็มบวก
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( 1) 1 ( 2) 2 ( 1) 0
0 1 2 1( ) ...n n n n n n n n n n n
n na b a b a b a b ab a b− − −
−+ = + + + + +
หรือถาใช 1rT + แทนพจนที่ r+1 ของการกระจาย ( )n
a b+ จะไดวา
( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
ตัวอยาง เชน
1. จงกระจาย
5
(1 )x+
วิธีทํา
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 0 5 4 1 5 3 2 5 2 3 5 1 4 5 0 5
0 1 2 3 4 5(1 ) (1) (1) (1) (1) (1) (1)x x x x x x x+ = + + + + +
2 3 4 5
1 5 10 10 5x x x x x= + + + + +
2. จงหา ส.ป.ส. ของ
2
x ในการกระจาย
101
( )x
x
+
วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่ a x= และ
1
b
x
= และ n=10
( )
( )
( )
( )
10 (10 )
1
10 (10 ) ( )
1
10 (10 )
1
10 (10 2 )
1
1
r
r
r r
r r
r r
r r
r r
r
r r
T x
x
T x x
T x
T x
−
+
− −
+
− −
+
−
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=
=
แสดงวา
(10 2 ) 2r
x x−
= ⇒ สามารถหาคา r ไดคือ

12. 12
10 2 2
8 2
4
r
r
r
− =
=
∴ =
( )10 (10 2 )
1
r
r rT x −
+⇒ = เมื่อ r=4
( )
( )
10 (10 2(4))
4 1 4
10 2
5 4
2
5 210
T x
T x
T x
−
+ =
=
=
∴ พจนที่ 5 มีสัมประสิทธของ
2
x เทากับ 210
3. จงหา ส.ป.ส. ของ
2
x ในการกระจาย
3 10
( )
a
x
x
+
วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่
3
a x= และ
a
b
x
= และ n=10
( )( )
( )
( )
( )
(10 )10 3
1
10 (30 3 ) ( )
1
10 (30 3 ) ( )
1
10 (30 4 )
1
r
r
r r
r r r
r r
r r r
r r
r r
r r
a
T x
x
T x a x
T a x x
T a x
−
+
− −
+
− −
+
−
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=
=
เทียบ
(30 4 ) 2r
x x−
=
30 4 2r⇒ − =
28 4
7
r
r
=
∴ =
( )10 (30 4 )
1
r r
r rT a x −
+⇒ = เมื่อ r=7

13. 13
( )
( )
( )
10 7 (30 4(7))
7 1 7
10 7 2
8 7
7 2
8 120
T a x
T a x
T a x
−
+ =
=
=
∴ สัมประสิทธของ
2
x ในการกระจาย
3 10
( )
a
x
x
+ เทากับ
7
120a
4. จงหาพจนที่ 5 จากการกระจาย
2 6
( 2 )x y−
วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่
2
a x= และ 2b y= − และ n=6 และ r+1=5 นั่นคือ r=4
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
(6 4) 46 2
4 1 4
2 46 2
5 4
46 4 4
5 4
4 4
5
4 4
5
2
2
2
(15)(16)
240
T x y
T x y
T x y
T x y
T x y
−
+ = −
= −
= −
=
=
5. จากการกระจาย
2 8
( 2 )x x+ จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มี 4
x
วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่
2
a x= และ 2b x= และ n=8
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
(8 )8 2
1
8 (16 2 )
1
(16 2 )
8 2
1
3
(16 )
8 2
1
2
2
2
2
rr
r r
r
r r
r r
r
r
r
r r
r
r
r r
T x x
T x x
T x
T x
−
+
−
+
− +
+
−
+
=
=
=
=

14. 14
เทียบ
3
(16 )
42
r
x x
−
=
3
16 4
2
r
⇒ − =
3
12
2
8
r
r
=
∴ =
( )
3
(16 )
8 2
1 2
r
r
r rT x
−
+⇒ = เมื่อ r=8
( )
( )
3(8)
(16 )
8 8 2
8 1 8
8 8 4
9 8
4
9
2
2
256
T x
T x
T x
−
+ =
=
=
∴ส.ป.ส. ของพจนที่มี 4
x เทากับ 256
7. ความนาจะเปน
การทดลองสุม คือ การทดลองที่ผลลัพธจะสามารถเกิดขึ้นไดแตกตางกันหลายอยาง แตเราไม
ทราบวาผลลัพธใดจะเกิดขึ้น
ผลลัพธ คือ ผลที่เกิดขึ้นหลังจากการทดลองสุมไดเสร็จสิ้นเรียบรอยแลว
ปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) คือ เซตของผลลัพธที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจาก
การทดลองสุม และเปนสิ่งที่เราสนใจจะนําไปศึกษา เขียนแทนดวยสัญลักษณ S

15. 15
เหตุการณ(Event) คือ สับเซตของปริภูมิตัวอยาง เขียนแทนดวยสัญลักษณ E
การหาความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ คือ การหาวาโอกาสที่จะเกิดเหตุการณดังกลาวนั้นมี
มากนอยเพียงใด ซึ่งก็คือ
ความนาจะเปนของเหตุการณ A เขียนแทนดวย P(A) มีคาเทากับ
( )P A = =
( )
( )
n A
n S
ตัวอยาง เชน
1) ทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) ของลูกเตาที่หงายขึ้น
วิธีทํา
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,
S =
4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
2) ทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) ของผลรวมของแตมบน
ลูกเตาทั้งสองลูก
วิธีทํา {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S =
3) ในการทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาเซตของเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนลูกเตามีคานอยกวา
5
วิธีทํา
E(ผลรวมของแตมนอยกวา 5)={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}
จํานวนสมาชิกใน A
จํานวนสมาชิกในปริภูมิตัวอยาง

16. 16
4) ในการทอดลูกเตาที่สมดุล 2 ลูก จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมบนลูกเตาทั้ง 2
ลูก มีคามากกวา 3
วิธีทํา
1) หาเซตของเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนลูกเตามีคามากกวา 3
E(ผลรวมของแตมมากกวา 3) = {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),
(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6)}
n(E)=33
2) หา Sample Space ของการทอดลูกเตา 2 ลูก ได
n(S)=36
3) หาความนาจะเปนของเหตุการณผลรวมของแตมมีคามากกวา 3
( ) 33 11
( ) 36 12
n E
P
n S
= = =
5. ถาเราเลือกหลอดไฟ 3 หลอด จากหลอดไฟ 15 หลอด ซึ่งในหลอดไฟ 15 หลอดนี้ มี
หลอดไฟเสียอยู 5 หลอด จงหา
ก. ความนาจะเปนที่หลอดไฟทั้ง 3 หลอด ไมเสียเลย
ข. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียเพียง 1 หลอด
ค. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียทั้ง 3 หลอด
วิธีทํา
ก. ความนาจะเปนที่หลอดไฟทั้ง 3 หลอดไมเสียเลย
( )
( )
10
3
15
3
( ) 120 24
( ) 455 91
n E
P
n S
= = = =

17. 17
ข. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียเพียง 1 หลอด
( )( )
( )
5 10
1 2
15
3
( ) 5 45 225 45
( ) 455 455 91
n E
P
n S
×
= = = = =
ค. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียทั้ง 3 หลอด
( )
( )
5
3
15
3
( ) 10 2
( ) 455 91
n E
P
n S
= = = =
6. ถาจัดสามี- ภรรยา 4 คู นั่งเกาอี้รอบโตะกลมแลว จงหาความนาจะเปนที่สามีคนหนึ่งนั่ง
ติดกับภรรยาของเขา
วิธีทํา
1) หาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สามีคนหนึ่งนั่งติดกับภรรยาของเขา(n(E))
2) หาจํานวนวิธี(Sample Space) ของการจัดสามี-ภรรยา 4 คู นั่งรอบโตะกลม
(n(S))
3)
( ) 6!2! 2
( ) 7! 7
n E
P
n S
= = =
สามี-ภรรยา
(7-1)!2!
=6!2!
แทนคน1คน
(8-1)!
=7!

18. 18
สมบัติที่สําคัญของความนาจะเปน
ให A เปนเหตุการณใดๆ(Event) และ S เปนปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) โดยที่
A S⊂
1) 0 ( ) 1P A≤ ≤
2) ถา A = ∅ แลว ( ) 0P A =
3) ถา A S= แลว ( ) 1P A =
4) ( ) 1 ( )P A P A′= −
5) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ หรือ
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + เมื่อ A B∩ = ∅
เรียก A และ B วาเปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน(Mutually exclusive
events)
6) ( ) ( ) ( )P A B P A P A B− = − ∩
ตัวอยาง เชน
1. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบฟรีสไตลเทากับ
1
5
ความนาจะเปนที่นักเรียนผูนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบผีเสื้อเทากับ
3
7
ความนาจะ
เปนที่เขาจะชนะทั้ง 2 ประเภท เทากับ
2
5
จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนผูนี้จะชนะการ
แขงขันวายน้ําอยางนอย 1 ประเภท จาก 2 ประเภทดังกลาว
วิธีทํา
ให A = ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบฟรีสไตล
B = ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบผีเสื้อ
∴ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะการแขงขันวายน้ําอยางนอย 1 ประเภท คือ
( )P A B∪
จาก ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
1 3 2
( )
5 7 5
8
( )
35
P A B
P A B
∪ = + −
∴ ∪ =

19. 19
แบบฝกหัด
1. นางสาวอั้มมีเสื้อ 10 แบบ มีกระโปรง 8 แบบ และมีรองเทา 5 คู นางสาวอั้มจะมีวิธีการ
แตงตัวกี่แบบ
2. โยนลูกเตา 3 ลูก และโยนเหรียญ 5 เหรียญพรอมกัน จะมีวิธีการออกแตมของลูกเตาและ
การออกหนาของเหรียญกี่วิธี

20. 20
3. จงหาจํานวนวิธีจะสรางจํานวน 3 หลักจากเลขโดด 4 ตัว คือ 4,7,8,9 โดย
3.1) ไมมีเงื่อนไข
3.2) เลขตองไมซ้ํากัน
3.3) เลขตองไมซ้ํากัน และจํานวนนั้นตองไมเกิน 800

21. 21
4. จํานวนเต็ม 4 หลัก ที่มีคาระหวาง 2000 ถึง 5000 โดยแตละหลักไมมีตัวเลขใดซ้ํากัน
เลย จะมีกี่จํานวน
5. จากตัวเลข 0,1,2,3,4,5 ถานํามาสรางตัวเลข 3 หลัก จะไดกี่วิธี ถา
5.1) ถาตัวเลขใชซ้ํากันได
5.2) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได

22. 22
5.3) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขคี่
5.4) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขคู

23. 23
5.5) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่มากกวา 300
5.6) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่นอยกวา 250

24. 24
5.7) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่มากกวา 150 แตนอยกวา 450
6. ในการแจกขนม 3 ชิ้นใหกับเด็ก 6 คน จะแจกไดกี่วิธี เมื่อ
6.1) แจกอยางไรก็ได
6.2) ไมแจกซ้ําคน

25. 25
6.3) มีการแจกซ้ําคน
7. ในการโยนลูกเตา 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาจํานวนวิธีที่ลูกเตาจะขึ้นแตมตามเงื่อนไขดังนี้
7.1) ผลรวมของแตมเปนเลขคู
7.2) ผลรวมของแตมเปนเลขคี่

26. 26
7.3) ผลรวมของแตมนอยกวา 10
8. คน 3 คน ตองการขึ้นลิฟทซึ่งมีอยู 5 ตัว จะมีวิธีการขึ้นลิฟทกี่วิธี เมื่อ
8.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
8.2) แตละคนขึ้นลิฟทไมซ้ํากัน

27. 27
8.3) มีอยางนอย 2 คน ขึ้นลิฟทตัวเดียวกัน
8.4) ไมขึ้นลิฟทตัวเดียวกันทั้ง 3 คน

28. 28
9. ขอสอบชุดหนึ่งเปนขอสอบกาถูกกาผิด จํานวน 10 ขอ จะมีวิธีการทํากี่วิธี เมื่อ
9.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม และตองตอบทุกขอ
9.2) กาถูก 1 ขอ และกาผิด 9 ขอ
9.3) ตองตอบทุกขอ และ กาถูกและกาผิดอยางนอย 1 ขอ

29. 29
10. ในการสรางจํานวน 3 หลัก จากตัวเลข 0,1,2,5,6,7 จะมีวิธีการสรางกี่วิธี เมื่อ
10.1) ใชเลขซ้ํากันได
10.2) หามใชเลขซ้ําและเปนเลขคู

30. 30
10.3) หามใชเลขซ้ํา และเปนเลขคี่ที่มีคาอยูระหวาง 200-600
11. ในการสรางคําที่ประกอบดวยตัวอักษร 3 ตัว โดยไมคํานึงถึงความหมายโดยใช
ตัวอักษรจากคําวา AMOUNT โดยไมใชอักษรซ้ํากัน จะสามารถสรางคําไดกี่คํา เมื่อ
11.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม

31. 31
11.2) มีสระอยางนอย 1 ตัว
11.3) ขึ้นตนดวยสระและลงทายดวยพยัญชนะ

32. 32
12. ในการเลือกหัวหนาหองและรองหัวหนาหองอยางนอย 1 คน (เด็ก 1คนเปนได
แคตําแหนงเดียวเทานั้น) จากนักเรียนชั้น ป.1/1 ซึ่งมีเด็กนักเรียนชาย 4 คน เด็กนักเรียน
หญิง 6 คน จะมีวิธีเลือกกี่วิธี เมื่อ
12.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
12.2) ใหหัวหนาหองเปนผูชาย
12.3) มีผูหญิงไดรับตําแหนงอยางนอย 1 คน

33. 33
13. ครูพัฒนาตองการสงจดหมาย 5 ฉบับ ลงตู 3 ตู จะทําไดกี่วิธี
14. ในการเดินทางจากจังหวัดบุรีรัมยไปจังหวัดเชียงใหม มีถนนจากจังหวัดบุรีรัมยไป
ยังจังหวัดพิษณุโลกจํานวน 3 สาย และมีถนนจากจังหวัดพิษณุโลกไปยังจังหวัดเชียงใหม
จํานวน 2 สาย ถาผูปกครองนักเรียนขับรถยนตจากจังหวัดบุรีรัมยไปยังจังหวัดเชียงใหม
โดยผานจังหวัดพิษณุโลก ผูปกครองจะสามารถเดินทางไดกี่วิธี

34. 34
15. รถยนตมีที่นั่งขางหนา 2 ที่ ขางหลัง 3 ที่ ชาย 5 คนที่ขับรถเปน 2 คน ตองการ
ขึ้นรถคันนี้ อยากทราบวาพวกเขามีวิธีการนั่งไดกี่วิธี
16. ชาย 2 คน ตองการเขาและออกสวนสนุกที่มีประตูทั้งหมด 8 ประตู อยากทราบ
วาชายทั้ง 2 คน จะทําไดกี่วิธี เมื่อ
16.1) ไมมีเงื่อนไขใดๆ

35. 35
16.2) ทั้ง 2 คน เขาออกดวยวิธีเหมือนกันได แตเขาประตูใดแลวออกประตูนั้นไมได
16.3) ทั้ง 2 คนเขาออกดวยวิธีที่ตางกัน โดยที่เขาปรนะตูใดแลวสามารถออกประตูนั้นได

36. 36
17. ถาตองการสรางคําที่ประกอบดวยตัวอักษรที่ตางกัน 4 ตัว โดยสรางตัวอักษร
เหลานี้มาจากคําวา PROBABILITY จะสรางไดทั้งหมดกี่คํา โดยไมคํานึงถึง
ความหมายของคําเหลานี้
17.1) อักษรทั้ง 4 ตัว เปนตัวใดก็ได
17.2) คํานั้นจะตองขึ้นตนและลงทายดวยพยัญชนะ

37. 37
18. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล
18.1) 7 6 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
18.2) 6 7 8⋅ ⋅
18.3) ( 3) ( 2) ...n n n+ ⋅ + ⋅ ⋅
18.4)
2 2 2
(3 5) (3 4) (3 3)n n n+ ⋅ + ⋅ +
19. จงหาคา n จากสมการตอไปนี้
19.1) ! 720n =

38. 38
19.2)
( 2)!
120
( 1)!
n
n
+
=
−
19.3)
! ( 1)!
( 3)! ( 5)!
n n
n n
−
=
− −
19.4) ( 1)! 8( 2)!( 1)! !n n n n− − − − =

39. 39
20. 149!มี 0 ลงทายทั้งหมดกี่ตัว
21. มีคน 8 คน จะมีวิธีการจัดคนเขาแถวกี่วิธี เมื่อ
21.1) นําคนมาจัดแถวเพียง 5 คน
21.2) ใชคนทั้ง 8 คนในการจัดแถว

40. 40
21.3) จัดคนทั้งหมดเปน 2 แถว แถวละ 4 คน
22. จากอักษรคําวา “Mississippi”
22.1) ถานํามาเรียงสลับกันทั้งหมดไดกี่วิธี
22.3) ถานํามาเรียงกันทีละ 4 ตัวไดกี่วิธี

41. 41
23. มีดินสอสีที่แตกตางกัน 5 แทง นํามาเรียงสับเปลี่ยนทีละ 3 แทง จะมีวิธีเรียง
สับเปลี่ยนไดกี่วิธี
24. มีตําแหนงงานวางอยู 5 ตําแหนง สําหรับชาย 3 ตําแหนง สําหรับหญิง 2
ตําแหนง ถามีผูสมัครที่เปนชาย 7 คน และเปนหญิง 4 คน จะมีวิธีบรรจุคนเหลานี้เขา
ทํางานไดกี่วิธี

42. 42
25. มีชาย 3 คน และหญิง 2 คน จะมีวิธีที่จะจัดใหคนทั้ง 5 มายืนเปนแถว โดยที่
ชายทั้ง 3 คน ตองยืนติดกัน และหญิง 2 คนยืนติดกันดวย
26. มีอักษร E 3 ตัว F 4 ตัว และ G 5 ตัว จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรเหลานี้
ไดกี่วิธี

43. 43
27. มีหนังสือเลข 2 เลม เคมี 3 เลม และฟสิกส 4 เลม จะมีวิธีจัดเรียงหนังสือกี่วิธี
เมื่อ
27.1) จัดอยางไรก็ได
27.2) หนังสือฟสิกสอยูติดกันเสมอ
27.3) วิชาเดียวกันอยูติดกัน
27.4) หนังสือเคมีไมอยูติดกัน

44. 44
27.5) หนังสือเลขอยูริม 2 ขาง
27.6) หนังสือเลขติดกัน แตหนังสือเคมีอยูติดกันทั้ง 4 เลมไมได
28. ชาย 6 คน หญิง 6 คน ตอคิวเขาซื้ออาหาร จะมีวิธีตอคิวกี่วิธี เมื่อ
28.1) เพศเดียวกันยืนติดกัน

45. 45
28.2) หญิงทุกคนยืนติดกัน
28.3) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 1 คน
28.4) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 2 คน

46. 46
28.5) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 3 คน
28.6) หญิงยืนเปนหัวแถวและชายยืนเปนทายแถว
29. คน 7 คน มีนาย ก,ข และ ค รวมอยูดวย จงหาวิธีในการจัดเรียงคนทั้ง 7 เมื่อ
29.1) นาย ก,ข และ ค อยูแยกกัน

47. 47
29.2) นาย ก อยูติดกับ นาย ข แตนาย ค ไมติดกับ นาย ก และ ข
29.3) นาย ก อยูติดกับนาย ข แตไมติดกับ นาย ค
29.4) นาย ข อยูติดกับ นาย ค และ นาย ก

48. 48
29.5) นาย ก,ข และ ค หามอยูติดกัน 3 คน
30. สามี-ภรรยา 5 คู นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดกี่วิธี เมื่อ
30.1) สามี-ภรรยานั่งติดกัน
30.2) สามี-ภรรยาทุกคู นั่งตรงขามกัน

49. 49
31. ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดกี่วิธี เมื่อ
31.1) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 1 คน
31.2) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 2 คน

50. 50
31.3) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 3 คน
32. ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผูแทนจาก 3 ประเทศ เขารวมประชุมโดยมี ผูแทน
ประเทศละ 3 คน จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดใหผูแทนแตละประเทศนั่งติดกันในการ
ประชุมโตะกลม คือเทาใด

51. 51
33. ในการรอยพวงมาลัยเปนวงกลมพวงหนึ่ง มีดอกไมทั้งหมด 14 ดอก เปนดอก
มะลิที่แตกตางกัน 4 ดอก และดอกดาวเรืองที่แตกตางกัน 2 ดอก จะมีวิธีรอยพวงมาลัย
ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ
33.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
33.2) ดอกมะลิอยูติดกัน และดอกดาวเรืองอยูติดกัน

52. 52
34. ตองการคัดเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากคนทั้งหมด 5 คน จะไดกี่วิธี
35. โรงเรียนแหงหนึ่งมีผูสมัครเปนกรรมการนักเรียนจํานวน 8 คน โดยเปนนักเรียน
หญิงจํานวน 3 คน ชาย 5 คน จงหาจํานวนวิธีที่จะจัดผูสมัครใหเปนกรรมการนักเรียน
โดยคณะกรรมการชุดนี้มีจํานวน 5 คน ประกอบดวยหญิง 2 คน และชาย 3 คน

53. 53
36. มหาวิทยาลัยแหงหนึ่ง จัดหลักสูตรอบรมบัณฑิตวางงาน 3 หลักสูตร โดย
หลักสูตรที่หนึ่งรับได 7 คน หลักสูตรที่สองรับได 3 คน และหลักสูตรที่สามรับได 2 คน
ในการจัดบัณฑิตวางงาน 12 คน เขาอบรมใน 3 หลักสูตร ดังกลาว จะไดทั้งหมดกี่วิธี
37. นักเรียนหองหนึ่งมีจํานวน 10 คน ครูประจําชั้นตองการเลือกนักเรียนจํานวน 3
คน ใหมาชวยทํางาน 2 อยาง คือ ลบกระดาน 1 คน และทําความสะอาดหองเรียน 2 คน
ครูประจําชั้นจะเลือกนักเรียนใหทํางานดังกลาวไดทั้งหมดกี่วิธีที่แตกตางกัน

54. 54
38. ในการคัดเลือกนักศึกษาเพื่อเปนตัวแทนมหาวิทยาลัยไปประกวดการพูดสุนทร
พจนครั้งหนึ่ง มีผูสอบผานรอบแรกจํานวน 10 คน ในจํานวนนี้เปนนักศึกษาคณะ
มนุษยศาสตรจํานวน 6 คน ที่เหลือเปนนักศึกษาคณะอื่นๆ ถาสุมนักศึกษาที่ผานการ
คัดเลือกในรอบแรกจํานวน 3 คน เพื่อเขารับการสัมภาษณ จํานวนวิธีที่จะสุมไดนักศึกษา
คณะมนุษยศาสตรอยางนอย 1 คน เทากับเทาใด
39. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 12 ลูก เปนสีแดง 4 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีฟา 5 ลูก ถา
ตองการหยิบลูกบอลมา 6 ลูก จะมีวิธีการหยิบกี่วิธี เมื่อ
39.1) ไดสีเขียว 2 ลูก และสีฟา 4 ลูก

55. 55
39.2) ไดสีแดง 2 ลูก
39.3) ไดสีเขียวอยางนอย 1 ลูก
39.4) ไมไดสีเขียวเลย

56. 56
40. ขอสอบฉบับหนึ่งมี 2 ตอน ตอนแรกมี 5 ขอ ตอนที่สองมี 7 ขอ นักเรียนตอง
เลือกทํา 8 ขอ จะมีวิธีการทําขอสอบกี่วิธี เมื่อ
40.1) ตองทําตอนแรก 3 ขอ
40.2) ตองทําตอนแรกอยางนอย 2 ขอ
41. ในการเลือกตั้ง สส. ครั้งหนึ่ง ซึ่งมีผูแทนได 3 คน มีพรรคการเมืองสงผูสมัคร 5
พรรค พรรคละ 3 คน จะมีวิธีเลือกผูแทนทั้ง 3 คนไดกี่วิธี เมื่อ
41.1) อยูพรรคเดียวกันทั้ง 3 คน

57. 57
41.2) อยูตางพรรคกันทั้ง 3 คน
41.3) อยูพรรคเดียวกัน 2 คน
42. ตองการหยิบไพ 5 ใบจากไพสํารับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จะมีวิธีหยิบไดกี่วิธี เมื่อ
42.1) หยิบไดไพตางชนิดกันทั้งหมด

58. 58
42.2) หยิบไดไพโพธิ์ดํา 3 ใบ และโพธิ์แดง 2 ใบ
42.3) หยิบไดไพดอกเดียวกัน 4 ใบ
42.4) หยิบไดคูสองและตองหา

59. 59
42.5) หยิบไดคูสอง ที่เหลือไมเปนคูหรือตอง
43. ในงานเลี้ยงแหงหนึ่ง มีคูสามี-ภรรยา รวม 6 คู ถาตองการเลือกคนเหลานั้นมา 4
คน เปนชาย 2 คน และหญิง 2 คน เพื่อจับคูเตนรํา จะมีวิธีเลือกกี่วิธี เมื่อ
43.1) ทั้ง 4 คนไมมีใครเปนสามี-ภรรยากัน
43.2) ทั้ง 4 คน นี้ มีสามี-ภรรยาอยางนอย 1 คู

60. 60
44. จงหาพจนที่ 4 จากการกระจาย
62 1
( )
3 3
+
45. ส.ป.ส. ของ 12
x จากการกระจาย
3 81
( )
2
x
x
+ มีคาเทากับเทาใด

61. 61
46. จงหาพจนที่ 3 จากการกระจาย
9
( )x y+
47. จงหาพจนที่ 10 จากการกระจาย
2 13
( 2 )x y−

62. 62
48. ในการกระจาย
2 10
( 3 )a b− จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 12
b
49. ในการกระจาย
10
2
1
( )x
x
+ จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร
5
2
x
−

63. 63
50. ในการกระจาย
5
(3 2 )x y− จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 3
x
51. ถา a และ b เปนส.ป.ส. ของ 2
x−
และ 4
x ของการกระจาย
4 10
2
1
( )
2
x
x
− ตามลําดับแลว
a
b
มีคาเทากับเทาใด

64. 64
52. ในการกระจาย
3 8
( 2 )xy y−
− พจนที่มีผลบวกของกําลังของ x กับกําลัง
ของ y เทากับ -4 มีสัมประสิทธิ์เทากับเทาใด
53. พจนที่เปนคาคงตัวที่เกิดจากการกระจาย
8
(tan 2 cot )x x− มีคาเทากับ
เทาใด

65. 65
54. จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 3
x จากการกระจาย
2 4
( 2 1)x x+ −
55. มีจุด 7 จุด เรียงอยูบนวงกลมวงหนึ่ง จงหาจํานวนรูปเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดเหลานี้
เปนจุดยอด

66. 66
56. โยนเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 3 เหรียญ พรอมกัน 1 ครั้ง จงหาความนาจะเปนของ
เหตุการณดังตอไปนี้
56.1) เหรียญออกหัวอยางนอย 1 เหรียญ
56.2) เหรียญออกหัวและกอยอยางนอย 1 เหรียญ
56.3) เหรียญออกหัวมากกวาออกกอย

67. 67
57. มีหนังสือเลขที่เหมือนกัน 3 เลม หนังสือเคมีที่เหมือนกัน 2 เลม และหนังสือ
ฟสิกสที่เหมือนกัน 4 เลม ถาตองการจัดหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือ จงหาคาความ
นาจะเปนของเหตุการณดังตอไปนี้
57.1) วิชาเดียวกันอยูติดกัน
57.2) หนังสือเคมีไมอยูติดกัน
57.3) หนังสือเลขอยูริม 2 ขาง
57.4) หนังสือฟสิกสอยูติดกัน

68. 68
58. ในกลองใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู 5 หลอด ในจํานวนนี้มีหลอดดีอยู 3 หลอด หลอด
เสียอยู 2 หลอด ถาหยิบหลอดไฟขึ้นมาโดยสุมจํานวน 2 หลอด จงหาความนาจะเปนที่จะ
ไดหลอดเสีย 1 หลอด และหลอดดีจํานวน 1 หลอด
59. รานจําหนายผาไหมไทยแหงหนึ่ง พบวาจากการสั่งซื้อผาไหมมารุนหนึ่งจํานวน
10 ผืน มี 2 ผืน ที่มีรอยตําหนิ ถาสุมหยิบผาไหมไทยในรุนนี้มา 5 ผืน จงหาความนาจะ
เปนที่จะไดผาไหมไทยที่มีรอยตําหนิเพียงผืนเดียว

69. 69
60. ครอบครัวหนึ่งมีเด็ก 1 คน ผูหญิง 3 คน และผูชาย 3 คน นั่งรับประทานอาหาร
รอบโตะกลม ดังนั้นความนาจะเปนที่จะไดผูหญิงนั่งประกบเด็กเทากับเทาใด
61. สมบัติและสมชาติเลนเกมโดยแตละครั้งโยนลูกเตาคนละลูก ถาแตมที่เกิดขึ้น
รวมกันได 4 หรือ 7 สมบัติจะเปนผูชนะ แตถาแตมที่เกิดขึ้นรวมกันได 6 หรือ 11
สมชาติจะเปนผูชนะ ผลนอกจากนี้ถือวาเสมอกัน ถามีการโยนทั้งหมด 72 ครั้ง คาดวาจะ
เสมอกันกี่ครั้ง

70. 70
62. กําหนดความนาจะเปนของเหตุการณ ,A B และ A B∩ ดังนี้
( ) 0.5
( ) 0.3
( ) 0.1
P A
P B
P A B
=
=
∩ =
แลว ( )P A B′ ′∪ มีคาเทากับเทาใด
63. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณใดๆในปริภูมิตัวอยาง ให
1
( )
2
P A = ,
3
( )
5
P B = และ
3
( )
4
P A B∪ = จงหาคาของ ( )P A B′ ′∪

71. 71
64. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณใดๆ จงหา ( )P A B′ ∩ เมื่อ
( ) 0.6, ( ) 0.15P A B P A B∪ = ∩ = และ ( ) 0.75P A B′∪ =