1. Vandermonde Matrix

2. จัดทำโดย นางสาว สิริรัตน์ ตุ้นสกุล รหัสประจำตัว 43040989 อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์ กรรณิกา คงสาคร เสนอ อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์

3. เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า Vandermonde determinant ในรูป = Vandermonde Matrix

4.  Vandermonde Matrix ตัวอย่าง  det = (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2  det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4)) = (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12

5. ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก Vandermonde matrix เป็น … (1) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ n 2 … (2)

6. พิสูจน์ กรณี n = 2 เห็นได้ชัดเจนว่า … .(3) สมมติให้ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ต้องการแสดงว่า det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) เป็นจริง เป็นจริง

7. det V (x,…x k ,x k+1 ) = det พิจารณา … (4)

8. เมื่อกระจายตามหลักที่ 1 ค่าของ det V(x,…,x k ,x k+1 ) จะเป็นพหุนามดีกรี k ใน x และถ้าแทน x ด้วย จะเห็นว่า ค่าของตัวกำหนด (determinant) เป็นศูนย์ ดังนั้นสามารถ เขียนได้ว่า det V(x,…,x k ,x k+1 ) = A(x-x 2 ) (x-x 3 )…(x-x k ) (x-x k+1 ) ….(5)

9. เมื่อ A เป็นค่าคงที่ จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ x k ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า A = = det V(x 2 ,…,x k+1 ) = (-1) k สรุปว่า detV= (x-x 2 )(x-x 3 )…(x-x k )(x-x k+1 ) =

10. เมื่อแทน x ด้วย x 1 det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) = (x 1 -x 2 ) (x 1 -x 3 )…(x 1 -x k ) (x 1 -x k+1 ) = = โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า (2) เป็นจริงทุก ๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใด ๆ

11. เรามักจะพบ Vandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) 2 . ปัญหาค่าเริ่มต้นของ สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation initial value problem) และ 3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences) ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง 3 อย่างที่กล่าวไว้แล้ว ข้างต้น และบทบาทของ Vandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียน V แทน V

12. 1. พหุนามค่าสอดแทรก (Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรี n-1 ผ่านจุด (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ),….,(x n ,y n ) ต่างกัน n จุด เขียนในรูป q(x) = ….(6) สัมประสิทธิ์ c i หาได้จากระบบสมการ q(x j ) = y j ; j = 1, 2 ,…,n

13. เมื่อแทนค่า j = 1, 2,…,n ในพหุนาม q(x) จะได้ระบบสมการดังนี้ . . . . . . = y n = y 1 = y 2 … (7)

14. จากระบบสมการ สามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ดังนี้ = … (8) สังเกตว่า เมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน (transposed) ของ Vandermonde matrix และ ตัวกำหนด (determinant) ของเมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ของ (7) จะเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ (2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อ x i ต่างกันหมด ตัวกำหนด (determinant) จะไม่เท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ของ q มีเพียงหนึ่งเดียว

15. q(x) จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้ กำหนดให้ Q(x) = det … (9)

16. เมื่อแทน x ใน หลักสุดท้ายด้วย x i จะได้ Q( x i ) = det

17. นำหลักสูตรท้ายลบด้วย หลักที่ i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้าย เป็น 0 ยกเว้น สมาชิกตัวสุดท้าย มีค่าเป็น -y i และ Q( x i ) = det = -y i det V(x 1 ,…,x n ) หรือ y i = - ….(10)

18. สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก i = 1, 2, 3…,n และเพราะว่า q(x i ) = y i ดังนั้นจะได้ว่า q(x) = ….(11) ในที่นี้ Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัด ในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกัน n จุด

19. กำหนดให้พหุนามกำลัง 2 ที่ผ่านจุด (-3, 4), (0, 1), (2, 9) ตัวอย่าง คือ q(x) = เมื่อแทนค่า (x 1 , y 1 ) =(-3,4) , (x 2 y 2 ) = (0,1) และ (x 3 , y 3 ) = (2,9) ลงในสมการ จะได้ = 4 = 1 = 9

20. จากระบบสมการ สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ ดังนี้ V T C = Y = det V(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = det = (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2) = 30

21. Q(x) = det = - จะได้ Q(x) = -30 + (-60)x -30 x 2 จาก (11) ; q(x) = ดังนั้น q(x) = 1 + 2x + x 2 จาก (9) ; กำหนดให้ #

22. 2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ … .(12) เมื่อ a 0 ,a 1 ,…a n เป็นค่าคงที่ และ D แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับ t พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13) สมการ (12) มีพหุนามลักษณะเฉพาะ ( characteristic polynomial)

23. จากสมการ (12) จะมีผลเฉลย y i = ; i = 1, 2,…,n และเมื่อ ผลเฉลยทั้ง n ผลเฉลย จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations) ของ y i = คือ y = เป็นผลเฉลยของ (12) ด้วย Dy เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก (13) จะได้ระบบสมการ = y j ; j = 0,1,2,…,n-1 และ …

24. ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ ในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = Y …(14) เมื่อ V = , C = , Y = ถ้า x i ต่างกัน ผลเฉลยของ (14) มีหนึ่งเดียว จะเห็นว่า Vandermonde matrix มีบทบาทในการหาค่าคงที่ C ของผลเฉลยของปัญหา

25. ตัวอย่าง = 0 ; y 0 = 1,y 1 = 9, y 2 = 17 ( D 3 - 3D 2 – D + 3 )y = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D 3 - 3D 2 – D + 3 = (D + 1)(D – 1)(D – 3) วิธีทำ เมื่อแทนเงื่อนไข เริ่มต้น (13) จะได้ ผลเฉลย คือ = 1 = 9 =17

26. จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = C = #

27. 3. ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recursively defined sequences ) ให้ เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ … . (15) เมื่อ a i ไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่า recurrent sequence ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดี คือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ ที่อยู่ข้างหน้า

28. ในอีกทางหนึ่ง เรากำหนดให้ {y j } เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น … . (16) ซึ่ง y 0 , y 1 ,y 2 , …, y n-1 เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอน สมการที่ (16) จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่าง ๆ

29. สมการ ( 16 ) หาคำตอบได้โดยการให้ y j อยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่ L {y j } = {y j+1 } , j=0,1,2,… เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับ y 0 , y 1 , y 2 ,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y 1 , y 2 , y 3 ,… สมการ (16) เขียนใหม่ได้เป็น L n {y j }+ a n-1 L n-1 {y j }+…+a 1 L{y j }+a 0 L{y j }={0} ….(17)

30. ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(L) = L n +a n-1 L n-1 +…+ a 0 = (L-x 1 )(L-x 2 )…(L-x n ) ถ้า x 1 , x 2 ,…, x n ต่างกันหมด ผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้ จะเป็นผลเฉลยของสมการ (17) ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ (17) คือ

31. เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์ c j จะสอดคล้องกับ (14) คือ

32. จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น เมื่อ V = V(x 1 ,…,x n ) , C = [c 1 c 2 …c n ] T , Y = [y 0 y 1 …y n-1 ] T

33. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 23 เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L 2 – 5L + 6)y n = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้นผลเฉลย คือ y n = c 1 2 n + c 2 3 n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น จะได้ c 1 + c 2 = 9 2c 1 +3c 2 = 23

34. จากระบบสมการ นำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น C = V -1 Y 0 เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆ ตามที่กล่าวมา #

35. แต่ละกรณีข้างต้น Vandermonde matrix เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทรก ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ และของสมการเชิงผลต่าง สามารถหาสูตรของผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ V(x 1 ,…,x n ) โดยตรง โดยหลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับการใช้ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations)

36. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ (12) หรือ มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ

37. เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดย กำหนด

38. เขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น … .(18) หรือ D Y = A Y ….(19) เมื่อ Y เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก A เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ (18)

39. ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง (18) ทำได้โดยหาค่าเจาะจง จากสมการ กระจายตัวกำหนดตามแถวที่ n จะได้สมการ

40. สำหรับ หาเวกเตอร์เจาะจง C 1 จาก ดังนั้น

41. เลือก c 1 = 1 จะได้ และ

42. ทำนองเดียวกัน 

43. ผลเฉลยทั่วไป คือ

44. จัดเป็น … (20) เมื่อ =

45. เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0,1,2,…,n -1 จะแทนด้วย Y (0) = Y 0 ….(21) ทำให้ได้ว่า Y 0 = VI C = V C หรือ C = V -1 Y 0 สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (19) และ (21) จะอยู่ในรูป … . (22)

46. สังเกตว่า ถ้า แล้ว ดังนั้น … .(23)

47. ในทำนองเดียวกัน จาก (22 ) กำหนดเมทริกซ์ exponential ดังนั้น ผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คือ … . (24)

48. ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของสมการ วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ ดังนั้น กำหนดให้ และ

49. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ และ #

50. พิจารณาสมการเชิงผลต่าง (17) L n {y j }+a n-1 L n-1 {y j }+….+a 1 L{y j }+a 0 {y j }= {0} จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธีทำนองเดียวกัน โดยเราจะพิจารณาลำดับของเวกเตอร์ {y j } สมการ ( 17) จะกลายเป็น L{ Y j } = {A Y j } ….(25) เมื่อ A คือ เมทริกซ์ที่เคยกล่าวถึง เมื่อ L{ Y j } = { Y j+1 } แล้วสมการ (25) จะสมมูลกับ Y j+1 = A Y j ….(26)

51. ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น (0) = 0 สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (26) จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช้ (23) ได้ว่าผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงผลต่างคือ เมื่อ

52. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 2 วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้น กำหนดให้ และ

53. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ y n = และ y n+ 1 = #