โครงงานคอมพิวเตอร์สาขาพัฒาสื่อเพื่อการศึกษาเรื่องเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ง่ายจะตาย
จัดทาโดย
นาย อดิศักดิ์ ภัทรวังฟ้ า
ชั้น5/9 เลขที่17
เสนอ
อ. นิคม ทิศแก้ว
โรงเรียนสุราษฎร์ธานี

2. นิยาม
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจานวนหรือสมาชิกเขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส
กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่
ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้(ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียก
จานวนแต่ละจานวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์
จะต้องระบุตาแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

3. เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถวnหลัก เรียกว่า เมทริกซ์ mxnเราเรียกจานวนmและn
ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์เราใช้สัญลักษณ์ A=(aij)mxnเพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A
ซึ่งมี mแถว และ nหลัก โดยที่aijหมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตาแหน่ง แถวiและหลักjของเมทริกซ์

4. 1.สัญลักษณ์ของเมทริกซ์
a11= 1 a12= 0 a21= 0 a22= 2

5. 2.การเท่ากันของเมทริกซ์

6. 3.การบวกและการลบเมทริกซ์

7. 4.การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
บทนิยามถ้า A=[aij]mxnและ c เป็นจานวนจริง แล้ว cA=[caij]mxn
สมบัติ
สาหรับเมทริกซ์ A,Bที่มีมิติ mxn และc,d เป๋ นจานวนจริง
1. (cd)A = c(dA) = d(cA)
2. c(A+B) = cA+cB
3. (c+d)A = cA+dA
4. 1A = A และ -1A = -A
5. 0A = 0
6. c0 = 0

8. 5.การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

9. สมบัติ
1.สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ถ้า A,B,C เป็นเมทริกซ์ที่สามารถคูณติดต่อกันได้
A(BC) = (AB)C
2.สมบัติการมีเอกลักษณ์
สาหรับ Anxn ใดๆ จะมี In ที่ AI = IA = A
เรียก I ว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ
3.สมบัติการแจกแจง
สาหรับเมทิกซ์ A,B,C ที่สามารถหา A+B,B+C,AB,AC และBCได้
(A+B)C = AC+BC
A(B+C) = AB+AC

10. ข้อระวัง

11. 6.ทรานสโพสของเมทริกซ์
บทนิยาม ถ้าA=[aij] mxn แล้วทรานสโพสของเมทริกซ์ A คือAt= [aij] nxm
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเอาสมาชิกทั้งหมดใน แถวที่ 1 ของเมทริกซ์ A
มาเขียนเป็นสมาชิกในหลักที่ 1 และเอาสมาชิกทั้งหมดในแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A มาเขียนเป็น
สมาชิกในหลักที่ 2 และทาเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนหมด เช่น
ถ้า
ทรานสโพสของเมทริกซ์
สัญลักษณ์ที่เราใช้แทนทรานสโพสของเมทริกซ์ A คือ Aᶧ

12. สมบัติ

13. 7.อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

14. 8.ดีเทอร์มิแนนต์

16. สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

20. กาหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2
จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ
ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0,
0), (a, b), (a+c, b+d), และ (c, d) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจานวนจริงพื้นที่ที่
คานวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จากดีเทอร์
มิแนนต์สามารถเป็นค่าติดลบได้ถ้าจุดยอดดังกล่าวเรียงลาดับตามเข็มนาฬิกา

21. กาหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3
ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้
ซึ่งสูตรนี้สามารถจาได้จากผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วย
ผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรก
ไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้
โปรดทราบว่าวิธีลัดนี้ไม่สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่านี้ได้

23. แบบฝึกหัดที่1
1.
1)หาABได้
2)หาBAได้
3) หาABและBAได้
4)ไม่มีข้อถูก
2.
1) 2)
3) 4)

24. 3
1)A=B=C=D 2)A≠B=C≠D
3)A=B=D≠C 4)A≠B≠C≠D
4.
1)300 2)350
3)400 4)450

25. 5.
1) 2)
3) 4)
6.
1) 2)
3) 4)

26. 7.
1)±√2 2)±2
3)±4 4)±√4
8.
1)12
2)18
3)27
4)36

27. 9.
1) -24 2) 24
3) -36 4) 36
10
1). (2,5)
2) (2,-5)
3) (-2,5)
4) (-2,-5)

28. เฉลยแบบฝึกหัดที่ 1.
ตอบ
1. 2 เพราะหาได้เฉพาะ BA 2x2,2x3 ABหาไม่ได้
2. 1 เพราะ เมื่อหา 2A+3Bแล้วจะได้
3. 3 เพราะA=B=D≠C เป็นคาตอบที่ถูกที่สุด
4. 3 เพราะเมื่อหาdet Aและจะได้ 400
5. 4 เพราะ เมื่อนา +Aแล้วจะได้
6. 4 เพราะ เมื่อแก้สมการแล้วจะได้
7. 2 เพราะ หาค่าxแล้วจะได้±2
8. 2 เพราะ เมื่อหา จะได้ 18
9. 1 เพราะ เมิ่อหาdet Bแล้วจะได้ -24
10. 3 เพราะ ค่าx= (-2,5)ทาให้เมทริกซ์Aเป็นเอกฐาน

29. แบบฝึกหัดที่ 2.

33. เฉลยแบบฝึกหัดที่ 2.
1.

34. 2.
3.

35. 4.
5.

38. 6.