พัน พัน, profile picture
Uploaded byพัน พัน
8,293 views

แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556

ครูขวัญแก้ว มีเหมือน โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์ กาญจนบุรี

Embed presentation

Downloaded 115 times
แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชุ ดที่ 1 เมทริกซ์ และการดาเนินการของเมทริกซ์ เรื่องที่ 1 เมทริกซ์ และสั ญลักษณ์ ของเมทริกซ์
2 1. เมทริกซ์ และสั ญลักษณ์ ของเมทริกซ์ ผลการเรียนรู้ ทคาดหวัง ี่ มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมทริ กซ์และการดาเนิ นการของเมทริ กซ์ จุดประสงค์ การเรี ยนรู้ : นักเรี ยนสามารถ 1. บอกมิติของเมทริ กซ์และตาแหน่งของสมาชิกใดๆ ได้ ่ 2. หาคาตอบสมาชิกของเมทริ กซ์ที่อยูในตาแหน่งที่กาหนดให้ และเมทริ กซ์ในรู ปทัวไปได้ ่ 3. มีคุณธรรม จริ ยธรรม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ศึกษาจุดประสงค์ และเนือหาก่อนดีกว่า ้
3 1. เมทริกซ์ และสั ญลักษณ์ ของเมทริกซ์ 1.1 ความหมายของเมทริกซ์ ให้นกเรี ยนพิจารณาตารางจานวนเงินที่นกเรี ยนชั้น ม.4/1 โรงเรี ยนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จ ั ั พระศรี นคริ นทร์ กาญจนบุรี ใช้จ่ายใน 1 วัน จานวน 3 คน ดังนี้ ชื่อนักเรียน แซม ใหม่ อีฟ ค่ ารถประจาทาง 16 26 0 ค่ าอาหาร 25 20 20 ค่ าขนม 10 5 15 ถ้าเราตัดข้อความบนสุ ดและซ้ายสุ ดออกเหลือเฉพาะตัวเลข แล้วปิ ดล้อมด้วยเครื่ องหมาย วงเล็บ จะเรี ยกรู ปแบบ 16  26  0  25 20 20 10  5  15   นี้ในวิชาคณิ ตศาสตร์ เรี ยกว่า เมทริ กซ์ และเรี ยก ่ จานวนแต่ละจานวนในเมทริ กซ์วา สมาชิกของเมทริ กซ์ ดังนั้น ถ้ามีกลุ่มของจานวนซึ่ งถูกเขียนเรี ยงเป็ นแถว แถวละเท่าๆกัน และถูกล้อมรอบด้วย วงเล็บ [ ] เราเรี ยกสัญลักษณ์ดงกล่าวว่า เมทริ กซ์ เช่น ั  1 - 1  2 4 3 0  ;  9 - 4     5   ; 6  0 2 ; 7 - 6 - 6  -5 10 0 5 จานวนแต่ละจานวนภายในวงเล็บ [ ] เรี ยกว่า สมาชิกของเมทริ กซ์ - 6 ; -9  11 10 9
4 1.2 สั ญลักษณ์ และมิติของเมทริกซ์ โดยทัวไปนิยมใช้อกษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนเมทริ กซ์ เช่น A, B, C, … และ ั ่ ใช้อกษร a, b, c, … แทนสมาชิกของเมทริ กซ์ ั หลัก 1 หลัก 2 หลัก 3 เช่น A = 1 0 4 แถว 1 A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 1 แถว มี 3 หลัก เป็ นเมทริ กซ์ 1×3 เมทริ กซ์ ดังนั้นเมทริ กซ์ A มีมิติ 1×3 ่ ่ สมาชิกของเมทริ กซ์ที่เรี ยงกันอยูตามแนวนอน เรี ยกว่าสมาชิกที่อยูในแถว(row) ของ เมทริ กซ์ เมทริ กซ์แต่ละเมทริ กซ์จะมีกี่แถวก็ได้ ่ ่ สมาชิกของเมทริ กซ์ที่เรี ยงกันอยูตามแนวดิ่ง(แนวตั้ง) เรี ยกว่าสมาชิกที่อยูในหลัก(column) ของเมทริ กซ์ เมทริ กซ์แต่ละเมทริ กซ์จะมีกี่หลักก็ได้ ตัวอย่างที่ 2 จงบอกมิติของเมทริ กซ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ข้อ เมทริ กซ์ จานวนแถว 1 4 1 1 1×1 1×1 3 2 3×2 3×2 3 1 3×1 3×1 1 4 1×4 1×4  1  2  - 1  2 2 6    4   3 4 4 5  - 2  1 4 0 9 จานวนหลัก จานวนแถว×จานวนหลัก มิติของเมทริ กซ์
5 ข้อ เมทริ กซ์ 5 6 7 8 6  0  1 - 1  16  26   0  จานวนแถว 2  7 2 4 25 20 20 a 1 1 a 12 ... a a ...  2 1 22    a m1 a m 2 ... a 1n  a 2n     a mn  3 0  10  5  15   จานวนหลัก จานวนแถว×จานวนหลัก มิติของเมทริ กซ์ 2 2 2×2 2×2 2 3 2×3 2×3 3 3 3×3 3×3 m n m×n m×n สรุ ป ถ้า A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี m แถว และมี n หลัก จะเรี ยก A ว่ามีมิติ m × n
6 1.3 รู ปทัวไปของเมทริกซ์ ่ ่ เพื่อให้ทราบว่าสมาชิกแต่ละตัวอยูในตาแหน่งแถวที่เท่าใด และหลักที่เท่าใด เราจะใช้ ij วางไว้ตรงมุมล่างขวามือของสมาชิกตัวนั้น เช่น ถ้าเขียนว่า aij ทาให้เราทราบว่า สมาชิกตัวนี้อยู่ ในตาแหน่งแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริ กซ์ A เช่น ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A = 1 4 7 2  0 3  เป็ นเมทริ กซ์ 2×3 เมทริ กซ์ ดังนั้น A มีมิติ 2×3 ่ ่ จะได้วา a11 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 ่ a12 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 ่ a13 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 ่ a21 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 ่ a22 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 ่ a23 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A = 5 9  8 -2 0 6 และหลักที่ 1 และหลักที่ 2 และหลักที่ 3 และหลักที่ 1 และหลักที่ 2 และหลักที่ 3 4 1  แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย a11 a12 a13 a21 a22 a23 = = = = = = 1 4 0 7 2 3 จงหา (1) A เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ 2 × 4 ่ (2) a11 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ่ a12 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 2 ่ a13 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 3 ่ a14 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 4 ่ a21 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 1 ่ a22 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 2 ่ a23 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ่ a24 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 4 (3) a11 + a23 - [2a14 + a23] = 5 + 6 – [( 2 × 4 ) + 6 ] = แทนด้วย a11 แทนด้วย a12 แทนด้วย a13 แทนด้วย a14 แทนด้วย a21 แทนด้วย a22 แทนด้วย a23 แทนด้วย a24 11 - 14 = - 3 =5 =8 = -2 =4 =9 =0 =6 =1
7 ตัวอย่างที่ 5 จงเติมข้อความให้สมบูรณ์และถูกต้อง ข้อ เมทริ กซ์ 1 A= 2  1  2  - 1  B =  4 5  - 2  5 8 -2 9 0 6 C= 3 มิติ (1) (2) (3) (4) 3×2 A= 2×4 4 1  1  5   3   ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ B = สัญลักษณ์ในรู ปการแจกแจงสมาชิก B= b11 b  21 3×1 a 11 a  21 a 31  b12 b13 b 22 b 23 C= 5 8 - 2 9 0 6  7 - 3 - 1  4 1  - 5  a 12  a 22   a 32   สัญลักษณ์รูปทัวไป ่ A = [ a ij ] 3 2 b14  b 24   c11    c   21   c31  B = [ b ij ] 24 C = [c ij ] 31 จงตอบคาถามต่อไปนี้ B เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ 3 × 4 สมาชิกในแถวที่ 2 คือ 9, 0, 6, 1 สมาชิกในหลักที่ 3 คือ -2, 6, -1 3a21 + 2a23 - [a14 + 2a34] = 3(9) + 2(6) – [ 4+ 2(-5) ] = 27+12 - [ - 6 ] = 39 + 6 = 45 ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้ A = วิธีทา a11 a  21 a 31  a12 a 22 a 32 ตัวแทนของสมาชิก A เป็ นเมทริ กซ์ที่มิติ 3 × 3 ดังนั้น A = [ a ij ] 33 ตอบ a13  a 23   a 33   จงเขียนเมทริ กซ์ A โดยใช้ a ij เป็ น
8 ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนเมทริ กซ์ A = [ a ij ] 23 และกาหนดว่า i + j เป็ นเลขคี่แล้ว aij = 0 และถ้า i + j เป็ นเลขคู่แล้ว aij = -1 วิธีทา A = [ a ij ] 23 เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 2 แถวและมี 3 หลัก ดังนั้น A = จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a21 จาก a22 จาก a23 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=1 i=1 i=1 i=2 i=2 i=2 a11 a  21 และ และ และ และ และ และ ดังนั้น A = j j j j j j a 22 a13  a 23   1 2 3 1 2 3 i+j = 1+1 = 2 เป็ นเลขคู่ i+j = 1+2 = 3 เป็ นเลขคี่ i+j = 1+3 = 4 เป็ นเลขคู่ i+j = 2+1 = 3 เป็ นเลขคี่ i+j = 2+2 = 4 เป็ นเลขคู่ i+j = 2+3 = 5 เป็ นเลขคี่ a12 = = = = = = - 1  0  0 -1 แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว - 1 0  ตอบ ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนเมทริ กซ์ A แบบแจกแจงสมาชิกจากเงื่อนไข - 2 เมื่อ i < j ถ้า A = [aij] 43 โดยที่ aij = 0 เมื่อ i = j 2 เมื่อ i > j วิธีทา จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a21 จาก a22 จาก a23 จาก a31 จะได้ A = จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=1 i=1 i=1 i=2 i=2 i=2 i=3  a11   a 21 a  31  a 41  และ และ และ และ และ และ และ a12 a 22 a 32 a 42 j j j j j j j = = = = = = = 1 2 3 1 2 3 1 a13   a 23  a 33   a 43   แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว i=j i<j i<j i>j i=j i<j i>j ดังนั้น a11 = 0 ดังนั้น a12 = -2 ดังนั้น a13 = -2 ดังนั้น a21 = 2 ดังนั้น a22 = 0 ดังนั้น a23 = -2 ดังนั้น a31 = 2 ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น a11 = -1 a12 = 0 a13 = -1 a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0
9 จาก จาก จาก จาก จาก a32 a33 a41 a42 a43 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=3 i=3 i=4 i=4 i=4 ดังนั้น A = และ และ และ และ และ j j j j j = = = = = 0 2  2  2 2 3 1 2 3 -2 แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว - 2 - 2  0  2 0 2 2 i>j i=j i>j i>j i>j ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น a32 = a33 = a41 = a42 = a43 = 2 0 2 2 2 ตอบ ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนเมทริ กซ์ B แบบแจกแจงสมาชิก ถ้า B = [bij] 23 โดยที่ bij = 2i + j2 วิธีทา จาก B = [bij] 23 โดยที่ bij = 2i + j2 ดังนั้น B = จาก จาก จาก จาก จาก จาก b11 b12 b13 b21 b22 b23 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=1 i=1 i=1 i=2 i=2 i=2 ดังนั้น B = และ และ และ และ และ และ 3 5  j j j j j j = = = = = = 6 4 1 2 3 1 2 3 แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว 11  13  b11 b12 b13 b21 b22 b23 = = = = = = 2 1 + 12 2 1 + 22 2 1 + 32 2 2 + 12 2 2 + 22 2 2 + 32 = = = = = = 2+1 2+4 2+9 4+1 2+2 4+9 b11 b  21 =3 =6 = 11 =5 =4 = 13 ตอบ ศึกษาตัวอย่างก่อน นะครับ แล้วค่ อยทาแบบ ฝึ ก b12 b 22 b13  b 23  
10 บทนิยามเมทริกซ์ และสัญลักษณ์ ของเมทริกซ์ บทนิยาม เมทริกซ์ คือ ชุ ดของจานวน mn ตัว m, n 1  ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก  ภายในเครื่องหมายวงเล็บ ในรู ปแบบ a 11 a 12 a a  21 22    a m1 a m 2 ... a 1n   ... a 2 n     ... a mn  แถวที่ 1 แถวที่ 2 ┆ แถวที่ m หลักที่ 1 หลักที่ 2 ... หลักที่ n เรียก aij ว่าเป็ นสมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่า เป็ นสมาชิกในตาแหน่ งที่ ij ของเมทริกซ์ เมื่อ i = 1, 2, … , m และ j = 1, 2, … , n เรียก เมทริกซ์ ทมี m แถว และ n หลัก ว่าเป็ น m × n เมทริกซ์ ี่ (อ่านว่า เอ็ม คูณ เอ็น เมทริกซ์ ) และเรียก m × n ว่าเป็ นมิติของเมทริกซ์ ศึกษาตัวอย่างแล้ว ทาแบบฝึ ก ด้ วยความมั่นใจนะครับ
11 แบบฝึ กหัด เรื่องที่ 1 เมทริกซ์ และสัญลักษณ์ ของเมทริกซ์ ตอนที่ 1 คาชี้แจง จงเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง คะแนนเต็ม 5 คะแนน 1. กาหนดให้ A =  -1  7  0 2 3 5 4 1  จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (1) A เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ มิติ ……  4 (2) a11 = -1 , a12 = 0 a21 = ……. , a13 = ……. , a22 = ……. , a23 = 5 , a14 = 4 , a24 = ……. (3) a11 + a23 = ………………. = 4 (4) 2a24 - 3a11 + a14 = ……................................………………. = 9 (5) 3(a11- a12+ 3a21) - (2a14 + a23) = ………………………………………………... 2. กาหนดให้ B =  1  2  - 1  4 5  - 2  จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (1) B เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ …..  ….. (2) b11 = ……. , b12 = 4 , b21 = -1 , b22 = 5 , b31 = ……. , b32= - 2 (3) 3b11 - 2b32 = ………………………………….
12 3. กาหนดให้ A = [aij] 3 4 จงเขียนเมทิกซ์ A ในรู ปแจกแจงสมาชิก วิธีทา จากโจทย์จะได้ A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 3 แถว และมี 4 หลัก ดังนั้นสมาชิกของ A ได้แก่ a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a 31 , a 3 2 , a 3 3 , a 3 4  A= a11 a12 ..... a  21 a 22 a 23 a 31 ..... a 33  4. กาหนดให้ B =  b 11 b  21 b 12  b 22   a14  a 24   a 34   ตอบ จงเขียนเมทริ กซ์ B โดยใช้ bij เป็ นตัวแทนของสมาชิก วิธีทา B เป็ นเมทิกซ์ที่มีมิติ 2  2 ดังนั้น B = ……………………………. ตอบ 5. จงเขียนเมทริ กซ์ที่กาหนดให้แบบแจกแจงสมาชิกจากเงื่อนไขต่อไปนี้ (1) ถ้า A = [aij] 23 และกาหนดว่า i + j เป็ นเลขคี่แล้ว aij = 3 และถ้า i + j เป็ นเลขคู่ แล้ว aij = 4 วิธีทา A = [ a ij ] 23 เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 2 แถวและมี 3 หลัก ดังนั้น A = จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a21 จาก a22 จาก a23 a11 a  21 a12 a 22 a13  a 23   จะได้ i = 1 และ j = 1 แล้ว i+j = 1+1 = 2 เป็ นเลขคู่ ดังนั้น a11 = 4 จะได้ i = 1 และ j = 2 แล้ว i+j = 1+2 = 3 เป็ นเลขคี่ ดังนั้น a12 = 3 ……………………………………………………………………………… จะได้ i = 2 และ j = 1 แล้ว i+j = 2+1 = 3 เป็ นเลขคี่ ดังนั้น a21 = 3 จะได้ i = 2 และ j = 2 แล้ว i+j = 2+2 = 4 เป็ นเลขคู่ ดังนั้น a22 = 4 จะได้ ………………………………………………………………………..  A = a 11 a  21 a 12 a 22 a 13  a 23   = ………………………….. ตอบ
13 (2) ถ้า B = [bij] 33 โดยที่ bij = 3i – j2 i 2 วิธีทา จาก B = [bij] 33 โดยที่ bij = 3 – j ดังนั้น B = จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก  i = 1 และ j = 1 แล้ว b11 = 31 – 12 = 3 – 1 = 2 i = 1 และ j = 2 แล้ว b12 = 31 – 22 = 3 – 4 = -1 ………………………………………………………... i = 2 และ j = 1 แล้ว b21 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8 ……………………………………………………….. i = 2 และ j = 3 แล้ว b23 = 32 – 32 = 9 – 9 = 0 ………………………………………………………... i = 3 และ j = 2 แล้ว b32 = 33 – 22 = 27 – 4 = 23 i = 3 และ j = 3 แล้ว b33 = 33 – 32 = 27 – 9 = 18 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ B=  b 11 b 12 b 13  b   21 b 22 b 23   b 31 b 32 b 33    = ………………………….. ตอบ (3) ถ้า A = [aij] 4 4 โดยที่ aij = วิธีทา จะได้ A = จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a14 จาก a21 จาก a22 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้  b 11 b 12 b 13     b 21 b 22 b 23   b 31 b 32 b 33     a11 a  21 a  31  a 41  a12 a13 a 22 a 23 a 32 a 33 a 42 a 43 2 เมื่อ i < j 0 เมื่อ i = j -2 เมื่อ i > j a14  a 24   a 34   a 44   i = 1 และ j = 1 แล้ว i = j ดังนั้น a11 = 0 ………………………………………………………. i = 1 และ j = 3 แล้ว i < j ดังนั้น a13 = 2 i = 1 และ j = 4 แล้ว i < j ดังนั้น a14 = 2 ……………………………………………………… ………………………………………………………
14 จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ ดังนั้น A = …………………………………………………….. i = 2 และ j = 4 แล้ว i < j ดังนั้น a24 = 2 ……………………………………………………… i = 3 และ j = 2 แล้ว i > j ดังนั้น a32 = -2 ……………………………………………………… i = 3 และ j = 4 แล้ว i < j ดังนั้น a34 = 2 i = 4 และ j = 1 แล้ว i > j ดังนั้น a41 = -2 ……………………………………………………… i = 4 และ j = 3 แล้ว i > j ดังนั้น a43 = -2 i = 4 และ j = 4 แล้ว i = j ดังนั้น a44 = 0 a 11 a  21 a 31  a 41 a 12 a 13 a 14  a 22 a 23 a 24   a 32 a 33 a 34   a 42 a 43 a 44  = ………………………………….. ตอบ สนุกจังเลยค่ ะ ทาตอนที่ 2 ต่ อเลยนะคะ
15 ตอนที่ 2 คาชี้แจง จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง คะแนนเต็ม 5 คะแนน 1. กาหนดให้ A = 1  2 ,   3    B = [0 -1 -3] และ C = 2 1  0 3   จงหา (1) a11 + b13 = 1 + (-3) = ……. (2) 2a31 - b12 + c22 = ………………….……………. = 10 (3) (a21 + 3b11) × c21 = ……………………… = ………….. 2. จงหาจานวนสมาชิกของเมทริ กซ์ในแต่ละข้อ (1) [ aij] 3 2 ตอบ (2) 2 × 3 = 6 ตัว [ bij] 25 ตอบ ……………………… (3) [ cij] 41 ตอบ ……………………… (4) [ dij] mn ตอบ m  n ตัว
16 3. กาหนดให้ A = [aij] 15 จงเขียนเมทิกซ์ A ในรู ปแจกแจงสมาชิก วิธีทา จากโจทย์จะได้ A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 1 แถวและมี 5 หลัก ดังนั้นสมาชิกของ A ได้แก่ a11 , a12 , a13 , a14 , a15  A = ………………………………… ตอบ 4. จงเขียนเมทริ กซ์แบบแจกแจงสมาชิกจากเงื่อนไขต่อไปนี้ (1) ถ้า A = [aij] 12 โดยที่ aij = i + j วิธีทา A = [aij] 12 เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 1 แถวและมี 2 หลัก ดังนั้น A =  a11 a12  จาก a11 จะได้ i = 1 และ j = 1 แล้ว a11 = 1 + 1 = 2 จาก a12 จะได้ …………………………………………………………..  A = ……………… = ………………….. ตอบ (2) ถ้า B = [bij] 2 2 โดยที่ bij = วิธีทา จาก B = [bij] 2 2 ดังนั้น B = จาก จาก จาก จาก b11 b12 b21 b22 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้  0 เมื่อ i = j 1 เมื่อ i  j  b11 b12  b   21 b 22  i = 1 และ j = 1 แล้ว i = j ดังนั้น b11 = 0 …………………………………………………………. i = 2 และ j = 1 แล้ว i  j ดังนั้น b21 = 1 …………………………………………………………. B = ………………… = …………………… ตอบ
17 (3) ถ้า C = [cij] 41 โดยที่ c ij = i – 2j วิธีทา จาก C = [cij] 41 ดังนั้น C = จาก จาก จาก จาก c11 c21 c31 c41 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้  i = 1 และ j = 1 แล้ว c11 = 1 – 2(1) = 1 – 2 = -1 …………………………………………………………………………….. i = 3 และ j = 1 แล้ว c31 = ………… = …………. = …… i = 4 และ j = 1 แล้ว c41 = ………… = …………. = 2 C = c11  c   21 c31    c 41 5. กาหนดให้ C = (1) (2) (3) (4) (5) c11  c   21 c31    c 41 1 0  0  = 0 1 0 ....... .......   .......    2  0 0  1  ตอบ จงตอบคาถามต่อไปนี้ C เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ ………………. สมาชิกในแถวที่ 1 คือ 1 , …….. , ……. สมาชิกในหลักที่ 3 คือ ……………………. ถ้า i = j แล้ว cij = ………… ถ้า i  j แล้ว c ij = ………… จบแล้ว ขอบคุณคะ
18 เฉลยแบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 1 เมทริกซ์ และการดาเนินการของเมทริกซ์ เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องที่ 1 เมทริกซ์ และสั ญลักษณ์ ของเมทริกซ์ ตอนที่ 1 1. (1) 2  4 (2) a11  - 1 , (3) 4 a12  0 , a13  2 , a14  4 (1) 3  2 (2) b11  1 , (3) 7 b12  4 , b 21  2 , b 22  5 , b31  - 1 , b32  - 2 (4) 9 , a 21  7 , (5) 60 a 22  3 , a 23  5 , a 24  1 2. 3. A = (4) 5 (5) -18 a 11 a 12 a 13 a 14  a   21 a 22 a 23 a 24  a 31 a 32 a 33 a 34    4. B = [bij] 2 2 5. (1) A = (2) B = a 11 a 12 a  21 a 22  b 11 b 12 b  21 b 22  b 31 b 32  a 13  a 23   b 13  b 23   b 33   =  4 3 4 3 4 3    = 2 8   26  -1 5 5 - 6 0  18  
19 (3) A = a11 a  21 a 31  a 41 a12 a13 a14  a 22 a 23 a 24   a 32 a 33 a 34   a 42 a 43 a 44  =  0 2 - 2 0  - 2 - 2  - 2 - 2 2 2 0 -2 2 2  2  0 ตอนที่ 2 1. (1) a11 + b13 = 1+(-3) = -2 (2) 2a31 - b12 + c22 = 2(3) – (-1) +3 = 6 +1+3 = 10 (3) (a21 + 3b11) × c21 = ( 2+ 3(0) )  0 = 0 (1) 6 ตัว (3) 4 ตัว 2. (2) 10 ตัว (4) mn ตัว 3. (1) A = a11 (2) B = (3) C = a12  = 1  1 b11 b12  0 b  =   21 b 22  1 c11  1 - 2(1)  c     21 = 2 - 2(1)  c31  3 - 2(1)      4 - 2(1)  c 41 1  2 = 2 3 1 0  = - 1   0    1    2 4. (1) 3  3 (2) 1, 0, 0 (4) 1 (3) 0, 0, 1 (5) 0 “”””””””””””””””””””””””””””””””””””””” แล้วเจอกันชุด 2 นะคะ เรื่ อง การเท่ากันของเมทริ กซ์

More Related Content

PDF
06แบบฝึกเครื่องกล
byPhanuwat Somvongs
 
PDF
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
byAon Narinchoti
 
PDF
ฟังก์ชันเชิงเส้น
byY'Yuyee Raksaya
 
PDF
วงกลมหนึ่งหน่วย
byJiraprapa Suwannajak
 
PDF
ข้อสอบอัจฉริยะ
byKodchaporn Siriket
 
PDF
linear function
byNuttiNoy Chutanun
 
PDF
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
byKruNistha Akkho
 
PDF
Ex2
byTwistiez Knott
 
06แบบฝึกเครื่องกล
byPhanuwat Somvongs
 
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
byAon Narinchoti
 
ฟังก์ชันเชิงเส้น
byY'Yuyee Raksaya
 
วงกลมหนึ่งหน่วย
byJiraprapa Suwannajak
 
ข้อสอบอัจฉริยะ
byKodchaporn Siriket
 
linear function
byNuttiNoy Chutanun
 
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
byKruNistha Akkho
 
Ex2
byTwistiez Knott
 

What's hot

PDF
แรงลัพธ์
byKan Pan
 
PDF
04แบบฝึกการประยุกต์กฎการอนุรักษ์พลังงานกล
byPhanuwat Somvongs
 
PDF
อสมการ ม3
byPrang Donal
 
PDF
ใบงานที่ 4 ตารางธาตุ
byCoverslide Bio
 
PDF
เฉลยค่ากลางของข้อมูล
bykrurutsamee
 
PDF
แบบทดสอบตามตัวชี้วัด ม.1.doc.pdf
byssuser2feafc1
 
PDF
เล่ม 2 สมการเคมี
byPreeyapat Lengrabam
 
DOCX
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
byวรรณิภา ไกรสุข
 
PDF
กระบวนการถ่ายทอดลักษณะทางพันธุกรรม
byJariya Jaiyot
 
PDF
7.ชุดที่ 4 การสังเคราะห์แสง
byเอเดียน คุณาสิทธิ์
 
PDF
เลขยกกำลังม.4
byKruGift Girlz
 
PDF
ช่วงและการแก้อสมการ
byAon Narinchoti
 
PDF
วิทย์ ม.2 บทที่ 5 งาน กำลัง และเครื่องกลอย่างง่าย (คาน รอก พื้นเอียง ลิ่ม ล้อ...
byssuser920267
 
PDF
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
bykroojaja
 
PDF
Slแบบฝึกหัดทบทวน เรื่อง อัตราเร็ว ความเร็ว ระยะทาง และการกระจัด
bykrupornpana55
 
DOC
แบบทดสอบ เรื่องส่วนประกอบของพืช ป.4
byNgamsiri Prasertkul
 
PDF
แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง แบบจำลองอะตอมของดอลตันและทอมสัน
byKatewaree Yosyingyong
 
PDF
เคมี
bycrazygno
 
PPTX
การแลกเปลี่ยนแก๊ส การคายน้ำ และการลำเลียงสารในพืช
byLi Yu Ling
 
PDF
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
แรงลัพธ์
byKan Pan
 
04แบบฝึกการประยุกต์กฎการอนุรักษ์พลังงานกล
byPhanuwat Somvongs
 
อสมการ ม3
byPrang Donal
 
ใบงานที่ 4 ตารางธาตุ
byCoverslide Bio
 
เฉลยค่ากลางของข้อมูล
bykrurutsamee
 
แบบทดสอบตามตัวชี้วัด ม.1.doc.pdf
byssuser2feafc1
 
เล่ม 2 สมการเคมี
byPreeyapat Lengrabam
 
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
byวรรณิภา ไกรสุข
 
กระบวนการถ่ายทอดลักษณะทางพันธุกรรม
byJariya Jaiyot
 
7.ชุดที่ 4 การสังเคราะห์แสง
byเอเดียน คุณาสิทธิ์
 
เลขยกกำลังม.4
byKruGift Girlz
 
ช่วงและการแก้อสมการ
byAon Narinchoti
 
วิทย์ ม.2 บทที่ 5 งาน กำลัง และเครื่องกลอย่างง่าย (คาน รอก พื้นเอียง ลิ่ม ล้อ...
byssuser920267
 
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
bykroojaja
 
Slแบบฝึกหัดทบทวน เรื่อง อัตราเร็ว ความเร็ว ระยะทาง และการกระจัด
bykrupornpana55
 
แบบทดสอบ เรื่องส่วนประกอบของพืช ป.4
byNgamsiri Prasertkul
 
แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง แบบจำลองอะตอมของดอลตันและทอมสัน
byKatewaree Yosyingyong
 
เคมี
bycrazygno
 
การแลกเปลี่ยนแก๊ส การคายน้ำ และการลำเลียงสารในพืช
byLi Yu Ling
 
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 

Similar to แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556

PPT
Maaaaaaaatttttttttttttgggggtgtgtgtgtrix.ppt
bymarut1999
 
PDF
สรุปเมทริกซ์ม.5 ง่ายๆ สไตล์คนคูลเก๋ๆเก๋า
byเมทริกซ์ง่ายๆ
 
PDF
เมทริกซ์.pdf
byssusera0c3361
 
PDF
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
byThanuphong Ngoapm
 
PDF
เมทริกซ์
byTerayut Jeenjam
 
PDF
เนื้อหาเมทริกซ์
byBeer Aksornsart
 
PPT
1.1 matrix
bySatreeprasertsin school
 
PDF
สิ่งพิมพ์ เรื่อง เมทริกซ์
bypohn
 
DOCX
59 matrix-101059
bySutthi Kunwatananon
 
PDF
60 matrix-021060
bySutthi Kunwatananon
 
PDF
60 matrix-081060
bySutthi Kunwatananon
 
PDF
เมทริกซ์ (Matrix)
byK'Keng Hale's
 
PDF
Matrix
byAon Narinchoti
 
PPTX
Matrix53
byAon Narinchoti
 
PDF
เมทริกซ์...
byJiraprapa Suwannajak
 
PDF
การดำเนินการบนเมทริกซ์
bykroojaja
 
PDF
59 matrix-171059
bySutthi Kunwatananon
 
PDF
สรุป matrices
bySutthi Kunwatananon
 
PPT
31201-01-03 Type
byคุณครูพี่อั๋น
 
PDF
Matrix1
byKrupom Ppk
 
Maaaaaaaatttttttttttttgggggtgtgtgtgtrix.ppt
bymarut1999
 
สรุปเมทริกซ์ม.5 ง่ายๆ สไตล์คนคูลเก๋ๆเก๋า
byเมทริกซ์ง่ายๆ
 
เมทริกซ์.pdf
byssusera0c3361
 
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
byThanuphong Ngoapm
 
เมทริกซ์
byTerayut Jeenjam
 
เนื้อหาเมทริกซ์
byBeer Aksornsart
 
1.1 matrix
bySatreeprasertsin school
 
สิ่งพิมพ์ เรื่อง เมทริกซ์
bypohn
 
59 matrix-101059
bySutthi Kunwatananon
 
60 matrix-021060
bySutthi Kunwatananon
 
60 matrix-081060
bySutthi Kunwatananon
 
เมทริกซ์ (Matrix)
byK'Keng Hale's
 
Matrix
byAon Narinchoti
 
Matrix53
byAon Narinchoti
 
เมทริกซ์...
byJiraprapa Suwannajak
 
การดำเนินการบนเมทริกซ์
bykroojaja
 
59 matrix-171059
bySutthi Kunwatananon
 
สรุป matrices
bySutthi Kunwatananon
 
31201-01-03 Type
byคุณครูพี่อั๋น
 
Matrix1
byKrupom Ppk
 

More from พัน พัน

PDF
เรื่องระบบปฏิบัติการ
byพัน พัน
 
PDF
เรื่องภาษาซี
byพัน พัน
 
PDF
ประวัติความเป็นมาของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
DOCX
การเปลี่ยนตัวเลขให้เป็นตัวอักษร
byพัน พัน
 
PDF
หลักการทำงาน บทบาทและอุปกรณ์พื้นฐานของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
รายงานเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
การทำงานพื้นฐานของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
การทำงานของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
ระบบคอมพิวเตอร์และยุคสมัย
byพัน พัน
 
PDF
เรื่องเทคโนโลยีสารสนเทศ
byพัน พัน
 
PDF
ประเภทของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
เครือข่ายคอมพิวเตอร์เบื้องต้น
byพัน พัน
 
PDF
เรื่องคอมพิวเตอร์เบื้องต้น
byพัน พัน
 
PDF
เรื่องด้านคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
เรื่องคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
PDF
โครงงานคอม
byพัน พัน
 
PDF
การปริ้น
byพัน พัน
 
PDF
Office
byพัน พัน
 
PDF
ปัญหาทรัพยากรป่าไม้
byพัน พัน
 
PDF
ยาเสพติด
byพัน พัน
 
เรื่องระบบปฏิบัติการ
byพัน พัน
 
เรื่องภาษาซี
byพัน พัน
 
ประวัติความเป็นมาของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
การเปลี่ยนตัวเลขให้เป็นตัวอักษร
byพัน พัน
 
หลักการทำงาน บทบาทและอุปกรณ์พื้นฐานของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
รายงานเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
การทำงานพื้นฐานของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
การทำงานของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
ระบบคอมพิวเตอร์และยุคสมัย
byพัน พัน
 
เรื่องเทคโนโลยีสารสนเทศ
byพัน พัน
 
ประเภทของคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
เครือข่ายคอมพิวเตอร์เบื้องต้น
byพัน พัน
 
เรื่องคอมพิวเตอร์เบื้องต้น
byพัน พัน
 
เรื่องด้านคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
เรื่องคอมพิวเตอร์
byพัน พัน
 
โครงงานคอม
byพัน พัน
 
การปริ้น
byพัน พัน
 
Office
byพัน พัน
 
ปัญหาทรัพยากรป่าไม้
byพัน พัน
 
ยาเสพติด
byพัน พัน
 

แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556

  • 1.
    แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชุ ดที่1 เมทริกซ์ และการดาเนินการของเมทริกซ์ เรื่องที่ 1 เมทริกซ์ และสั ญลักษณ์ ของเมทริกซ์
  • 2.
    2 1. เมทริกซ์ และสัญลักษณ์ ของเมทริกซ์ ผลการเรียนรู้ ทคาดหวัง ี่ มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมทริ กซ์และการดาเนิ นการของเมทริ กซ์ จุดประสงค์ การเรี ยนรู้ : นักเรี ยนสามารถ 1. บอกมิติของเมทริ กซ์และตาแหน่งของสมาชิกใดๆ ได้ ่ 2. หาคาตอบสมาชิกของเมทริ กซ์ที่อยูในตาแหน่งที่กาหนดให้ และเมทริ กซ์ในรู ปทัวไปได้ ่ 3. มีคุณธรรม จริ ยธรรม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ศึกษาจุดประสงค์ และเนือหาก่อนดีกว่า ้
  • 3.
    3 1. เมทริกซ์ และสัญลักษณ์ ของเมทริกซ์ 1.1 ความหมายของเมทริกซ์ ให้นกเรี ยนพิจารณาตารางจานวนเงินที่นกเรี ยนชั้น ม.4/1 โรงเรี ยนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จ ั ั พระศรี นคริ นทร์ กาญจนบุรี ใช้จ่ายใน 1 วัน จานวน 3 คน ดังนี้ ชื่อนักเรียน แซม ใหม่ อีฟ ค่ ารถประจาทาง 16 26 0 ค่ าอาหาร 25 20 20 ค่ าขนม 10 5 15 ถ้าเราตัดข้อความบนสุ ดและซ้ายสุ ดออกเหลือเฉพาะตัวเลข แล้วปิ ดล้อมด้วยเครื่ องหมาย วงเล็บ จะเรี ยกรู ปแบบ 16  26  0  25 20 20 10  5  15   นี้ในวิชาคณิ ตศาสตร์ เรี ยกว่า เมทริ กซ์ และเรี ยก ่ จานวนแต่ละจานวนในเมทริ กซ์วา สมาชิกของเมทริ กซ์ ดังนั้น ถ้ามีกลุ่มของจานวนซึ่ งถูกเขียนเรี ยงเป็ นแถว แถวละเท่าๆกัน และถูกล้อมรอบด้วย วงเล็บ [ ] เราเรี ยกสัญลักษณ์ดงกล่าวว่า เมทริ กซ์ เช่น ั  1 - 1  2 4 3 0  ;  9 - 4     5   ; 6  0 2 ; 7 - 6 - 6  -5 10 0 5 จานวนแต่ละจานวนภายในวงเล็บ [ ] เรี ยกว่า สมาชิกของเมทริ กซ์ - 6 ; -9  11 10 9
  • 4.
    4 1.2 สั ญลักษณ์และมิติของเมทริกซ์ โดยทัวไปนิยมใช้อกษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนเมทริ กซ์ เช่น A, B, C, … และ ั ่ ใช้อกษร a, b, c, … แทนสมาชิกของเมทริ กซ์ ั หลัก 1 หลัก 2 หลัก 3 เช่น A = 1 0 4 แถว 1 A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 1 แถว มี 3 หลัก เป็ นเมทริ กซ์ 1×3 เมทริ กซ์ ดังนั้นเมทริ กซ์ A มีมิติ 1×3 ่ ่ สมาชิกของเมทริ กซ์ที่เรี ยงกันอยูตามแนวนอน เรี ยกว่าสมาชิกที่อยูในแถว(row) ของ เมทริ กซ์ เมทริ กซ์แต่ละเมทริ กซ์จะมีกี่แถวก็ได้ ่ ่ สมาชิกของเมทริ กซ์ที่เรี ยงกันอยูตามแนวดิ่ง(แนวตั้ง) เรี ยกว่าสมาชิกที่อยูในหลัก(column) ของเมทริ กซ์ เมทริ กซ์แต่ละเมทริ กซ์จะมีกี่หลักก็ได้ ตัวอย่างที่ 2 จงบอกมิติของเมทริ กซ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ข้อ เมทริ กซ์ จานวนแถว 1 4 1 1 1×1 1×1 3 2 3×2 3×2 3 1 3×1 3×1 1 4 1×4 1×4  1  2  - 1  2 2 6    4   3 4 4 5  - 2  1 4 0 9 จานวนหลัก จานวนแถว×จานวนหลัก มิติของเมทริ กซ์
  • 5.
    5 ข้อ เมทริ กซ์ 5 6 7 8 6  0  1 -1  16  26   0  จานวนแถว 2  7 2 4 25 20 20 a 1 1 a 12 ... a a ...  2 1 22    a m1 a m 2 ... a 1n  a 2n     a mn  3 0  10  5  15   จานวนหลัก จานวนแถว×จานวนหลัก มิติของเมทริ กซ์ 2 2 2×2 2×2 2 3 2×3 2×3 3 3 3×3 3×3 m n m×n m×n สรุ ป ถ้า A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี m แถว และมี n หลัก จะเรี ยก A ว่ามีมิติ m × n
  • 6.
    6 1.3 รู ปทัวไปของเมทริกซ์ ่ ่ เพื่อให้ทราบว่าสมาชิกแต่ละตัวอยูในตาแหน่งแถวที่เท่าใดและหลักที่เท่าใด เราจะใช้ ij วางไว้ตรงมุมล่างขวามือของสมาชิกตัวนั้น เช่น ถ้าเขียนว่า aij ทาให้เราทราบว่า สมาชิกตัวนี้อยู่ ในตาแหน่งแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริ กซ์ A เช่น ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A = 1 4 7 2  0 3  เป็ นเมทริ กซ์ 2×3 เมทริ กซ์ ดังนั้น A มีมิติ 2×3 ่ ่ จะได้วา a11 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 ่ a12 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 ่ a13 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 ่ a21 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 ่ a22 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 ่ a23 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A = 5 9  8 -2 0 6 และหลักที่ 1 และหลักที่ 2 และหลักที่ 3 และหลักที่ 1 และหลักที่ 2 และหลักที่ 3 4 1  แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย แทนด้วย a11 a12 a13 a21 a22 a23 = = = = = = 1 4 0 7 2 3 จงหา (1) A เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ 2 × 4 ่ (2) a11 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ่ a12 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 2 ่ a13 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 3 ่ a14 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 1 และหลักที่ 4 ่ a21 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 1 ่ a22 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 2 ่ a23 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ่ a24 แทนสมาชิกที่อยูในตาแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 4 (3) a11 + a23 - [2a14 + a23] = 5 + 6 – [( 2 × 4 ) + 6 ] = แทนด้วย a11 แทนด้วย a12 แทนด้วย a13 แทนด้วย a14 แทนด้วย a21 แทนด้วย a22 แทนด้วย a23 แทนด้วย a24 11 - 14 = - 3 =5 =8 = -2 =4 =9 =0 =6 =1
  • 7.
    7 ตัวอย่างที่ 5 จงเติมข้อความให้สมบูรณ์และถูกต้อง ข้อ เมทริกซ์ 1 A= 2  1  2  - 1  B =  4 5  - 2  5 8 -2 9 0 6 C= 3 มิติ (1) (2) (3) (4) 3×2 A= 2×4 4 1  1  5   3   ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ B = สัญลักษณ์ในรู ปการแจกแจงสมาชิก B= b11 b  21 3×1 a 11 a  21 a 31  b12 b13 b 22 b 23 C= 5 8 - 2 9 0 6  7 - 3 - 1  4 1  - 5  a 12  a 22   a 32   สัญลักษณ์รูปทัวไป ่ A = [ a ij ] 3 2 b14  b 24   c11    c   21   c31  B = [ b ij ] 24 C = [c ij ] 31 จงตอบคาถามต่อไปนี้ B เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ 3 × 4 สมาชิกในแถวที่ 2 คือ 9, 0, 6, 1 สมาชิกในหลักที่ 3 คือ -2, 6, -1 3a21 + 2a23 - [a14 + 2a34] = 3(9) + 2(6) – [ 4+ 2(-5) ] = 27+12 - [ - 6 ] = 39 + 6 = 45 ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้ A = วิธีทา a11 a  21 a 31  a12 a 22 a 32 ตัวแทนของสมาชิก A เป็ นเมทริ กซ์ที่มิติ 3 × 3 ดังนั้น A = [ a ij ] 33 ตอบ a13  a 23   a 33   จงเขียนเมทริ กซ์ A โดยใช้ a ij เป็ น
  • 8.
    8 ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนเมทริกซ์ A = [ a ij ] 23 และกาหนดว่า i + j เป็ นเลขคี่แล้ว aij = 0 และถ้า i + j เป็ นเลขคู่แล้ว aij = -1 วิธีทา A = [ a ij ] 23 เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 2 แถวและมี 3 หลัก ดังนั้น A = จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a21 จาก a22 จาก a23 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=1 i=1 i=1 i=2 i=2 i=2 a11 a  21 และ และ และ และ และ และ ดังนั้น A = j j j j j j a 22 a13  a 23   1 2 3 1 2 3 i+j = 1+1 = 2 เป็ นเลขคู่ i+j = 1+2 = 3 เป็ นเลขคี่ i+j = 1+3 = 4 เป็ นเลขคู่ i+j = 2+1 = 3 เป็ นเลขคี่ i+j = 2+2 = 4 เป็ นเลขคู่ i+j = 2+3 = 5 เป็ นเลขคี่ a12 = = = = = = - 1  0  0 -1 แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว - 1 0  ตอบ ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนเมทริ กซ์ A แบบแจกแจงสมาชิกจากเงื่อนไข - 2 เมื่อ i < j ถ้า A = [aij] 43 โดยที่ aij = 0 เมื่อ i = j 2 เมื่อ i > j วิธีทา จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a21 จาก a22 จาก a23 จาก a31 จะได้ A = จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=1 i=1 i=1 i=2 i=2 i=2 i=3  a11   a 21 a  31  a 41  และ และ และ และ และ และ และ a12 a 22 a 32 a 42 j j j j j j j = = = = = = = 1 2 3 1 2 3 1 a13   a 23  a 33   a 43   แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว i=j i<j i<j i>j i=j i<j i>j ดังนั้น a11 = 0 ดังนั้น a12 = -2 ดังนั้น a13 = -2 ดังนั้น a21 = 2 ดังนั้น a22 = 0 ดังนั้น a23 = -2 ดังนั้น a31 = 2 ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น a11 = -1 a12 = 0 a13 = -1 a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0
  • 9.
    9 จาก จาก จาก จาก จาก a32 a33 a41 a42 a43 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=3 i=3 i=4 i=4 i=4 ดังนั้น A = และ และ และ และ และ j j j j j = = = = = 0 2  2  2 2 3 1 2 3 -2 แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว -2 - 2  0  2 0 2 2 i>j i=j i>j i>j i>j ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น ดังนั้น a32 = a33 = a41 = a42 = a43 = 2 0 2 2 2 ตอบ ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนเมทริ กซ์ B แบบแจกแจงสมาชิก ถ้า B = [bij] 23 โดยที่ bij = 2i + j2 วิธีทา จาก B = [bij] 23 โดยที่ bij = 2i + j2 ดังนั้น B = จาก จาก จาก จาก จาก จาก b11 b12 b13 b21 b22 b23 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ i=1 i=1 i=1 i=2 i=2 i=2 ดังนั้น B = และ และ และ และ และ และ 3 5  j j j j j j = = = = = = 6 4 1 2 3 1 2 3 แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว 11  13  b11 b12 b13 b21 b22 b23 = = = = = = 2 1 + 12 2 1 + 22 2 1 + 32 2 2 + 12 2 2 + 22 2 2 + 32 = = = = = = 2+1 2+4 2+9 4+1 2+2 4+9 b11 b  21 =3 =6 = 11 =5 =4 = 13 ตอบ ศึกษาตัวอย่างก่อน นะครับ แล้วค่ อยทาแบบ ฝึ ก b12 b 22 b13  b 23  
  • 10.
    10 บทนิยามเมทริกซ์ และสัญลักษณ์ ของเมทริกซ์ บทนิยามเมทริกซ์ คือ ชุ ดของจานวน mn ตัว m, n 1  ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก  ภายในเครื่องหมายวงเล็บ ในรู ปแบบ a 11 a 12 a a  21 22    a m1 a m 2 ... a 1n   ... a 2 n     ... a mn  แถวที่ 1 แถวที่ 2 ┆ แถวที่ m หลักที่ 1 หลักที่ 2 ... หลักที่ n เรียก aij ว่าเป็ นสมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่า เป็ นสมาชิกในตาแหน่ งที่ ij ของเมทริกซ์ เมื่อ i = 1, 2, … , m และ j = 1, 2, … , n เรียก เมทริกซ์ ทมี m แถว และ n หลัก ว่าเป็ น m × n เมทริกซ์ ี่ (อ่านว่า เอ็ม คูณ เอ็น เมทริกซ์ ) และเรียก m × n ว่าเป็ นมิติของเมทริกซ์ ศึกษาตัวอย่างแล้ว ทาแบบฝึ ก ด้ วยความมั่นใจนะครับ
  • 11.
    11 แบบฝึ กหัด เรื่องที่ 1เมทริกซ์ และสัญลักษณ์ ของเมทริกซ์ ตอนที่ 1 คาชี้แจง จงเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง คะแนนเต็ม 5 คะแนน 1. กาหนดให้ A =  -1  7  0 2 3 5 4 1  จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (1) A เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ มิติ ……  4 (2) a11 = -1 , a12 = 0 a21 = ……. , a13 = ……. , a22 = ……. , a23 = 5 , a14 = 4 , a24 = ……. (3) a11 + a23 = ………………. = 4 (4) 2a24 - 3a11 + a14 = ……................................………………. = 9 (5) 3(a11- a12+ 3a21) - (2a14 + a23) = ………………………………………………... 2. กาหนดให้ B =  1  2  - 1  4 5  - 2  จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (1) B เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ …..  ….. (2) b11 = ……. , b12 = 4 , b21 = -1 , b22 = 5 , b31 = ……. , b32= - 2 (3) 3b11 - 2b32 = ………………………………….
  • 12.
    12 3. กาหนดให้ A= [aij] 3 4 จงเขียนเมทิกซ์ A ในรู ปแจกแจงสมาชิก วิธีทา จากโจทย์จะได้ A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 3 แถว และมี 4 หลัก ดังนั้นสมาชิกของ A ได้แก่ a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a 31 , a 3 2 , a 3 3 , a 3 4  A= a11 a12 ..... a  21 a 22 a 23 a 31 ..... a 33  4. กาหนดให้ B =  b 11 b  21 b 12  b 22   a14  a 24   a 34   ตอบ จงเขียนเมทริ กซ์ B โดยใช้ bij เป็ นตัวแทนของสมาชิก วิธีทา B เป็ นเมทิกซ์ที่มีมิติ 2  2 ดังนั้น B = ……………………………. ตอบ 5. จงเขียนเมทริ กซ์ที่กาหนดให้แบบแจกแจงสมาชิกจากเงื่อนไขต่อไปนี้ (1) ถ้า A = [aij] 23 และกาหนดว่า i + j เป็ นเลขคี่แล้ว aij = 3 และถ้า i + j เป็ นเลขคู่ แล้ว aij = 4 วิธีทา A = [ a ij ] 23 เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 2 แถวและมี 3 หลัก ดังนั้น A = จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a21 จาก a22 จาก a23 a11 a  21 a12 a 22 a13  a 23   จะได้ i = 1 และ j = 1 แล้ว i+j = 1+1 = 2 เป็ นเลขคู่ ดังนั้น a11 = 4 จะได้ i = 1 และ j = 2 แล้ว i+j = 1+2 = 3 เป็ นเลขคี่ ดังนั้น a12 = 3 ……………………………………………………………………………… จะได้ i = 2 และ j = 1 แล้ว i+j = 2+1 = 3 เป็ นเลขคี่ ดังนั้น a21 = 3 จะได้ i = 2 และ j = 2 แล้ว i+j = 2+2 = 4 เป็ นเลขคู่ ดังนั้น a22 = 4 จะได้ ………………………………………………………………………..  A = a 11 a  21 a 12 a 22 a 13  a 23   = ………………………….. ตอบ
  • 13.
    13 (2) ถ้า B= [bij] 33 โดยที่ bij = 3i – j2 i 2 วิธีทา จาก B = [bij] 33 โดยที่ bij = 3 – j ดังนั้น B = จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก  i = 1 และ j = 1 แล้ว b11 = 31 – 12 = 3 – 1 = 2 i = 1 และ j = 2 แล้ว b12 = 31 – 22 = 3 – 4 = -1 ………………………………………………………... i = 2 และ j = 1 แล้ว b21 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8 ……………………………………………………….. i = 2 และ j = 3 แล้ว b23 = 32 – 32 = 9 – 9 = 0 ………………………………………………………... i = 3 และ j = 2 แล้ว b32 = 33 – 22 = 27 – 4 = 23 i = 3 และ j = 3 แล้ว b33 = 33 – 32 = 27 – 9 = 18 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ B=  b 11 b 12 b 13  b   21 b 22 b 23   b 31 b 32 b 33    = ………………………….. ตอบ (3) ถ้า A = [aij] 4 4 โดยที่ aij = วิธีทา จะได้ A = จาก a11 จาก a12 จาก a13 จาก a14 จาก a21 จาก a22 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้  b 11 b 12 b 13     b 21 b 22 b 23   b 31 b 32 b 33     a11 a  21 a  31  a 41  a12 a13 a 22 a 23 a 32 a 33 a 42 a 43 2 เมื่อ i < j 0 เมื่อ i = j -2 เมื่อ i > j a14  a 24   a 34   a 44   i = 1 และ j = 1 แล้ว i = j ดังนั้น a11 = 0 ………………………………………………………. i = 1 และ j = 3 แล้ว i < j ดังนั้น a13 = 2 i = 1 และ j = 4 แล้ว i < j ดังนั้น a14 = 2 ……………………………………………………… ………………………………………………………
  • 14.
    14 จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก จาก a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ จะได้ ดังนั้น A = …………………………………………………….. i= 2 และ j = 4 แล้ว i < j ดังนั้น a24 = 2 ……………………………………………………… i = 3 และ j = 2 แล้ว i > j ดังนั้น a32 = -2 ……………………………………………………… i = 3 และ j = 4 แล้ว i < j ดังนั้น a34 = 2 i = 4 และ j = 1 แล้ว i > j ดังนั้น a41 = -2 ……………………………………………………… i = 4 และ j = 3 แล้ว i > j ดังนั้น a43 = -2 i = 4 และ j = 4 แล้ว i = j ดังนั้น a44 = 0 a 11 a  21 a 31  a 41 a 12 a 13 a 14  a 22 a 23 a 24   a 32 a 33 a 34   a 42 a 43 a 44  = ………………………………….. ตอบ สนุกจังเลยค่ ะ ทาตอนที่ 2 ต่ อเลยนะคะ
  • 15.
    15 ตอนที่ 2 คาชี้แจง จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องคะแนนเต็ม 5 คะแนน 1. กาหนดให้ A = 1  2 ,   3    B = [0 -1 -3] และ C = 2 1  0 3   จงหา (1) a11 + b13 = 1 + (-3) = ……. (2) 2a31 - b12 + c22 = ………………….……………. = 10 (3) (a21 + 3b11) × c21 = ……………………… = ………….. 2. จงหาจานวนสมาชิกของเมทริ กซ์ในแต่ละข้อ (1) [ aij] 3 2 ตอบ (2) 2 × 3 = 6 ตัว [ bij] 25 ตอบ ……………………… (3) [ cij] 41 ตอบ ……………………… (4) [ dij] mn ตอบ m  n ตัว
  • 16.
    16 3. กาหนดให้ A= [aij] 15 จงเขียนเมทิกซ์ A ในรู ปแจกแจงสมาชิก วิธีทา จากโจทย์จะได้ A เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 1 แถวและมี 5 หลัก ดังนั้นสมาชิกของ A ได้แก่ a11 , a12 , a13 , a14 , a15  A = ………………………………… ตอบ 4. จงเขียนเมทริ กซ์แบบแจกแจงสมาชิกจากเงื่อนไขต่อไปนี้ (1) ถ้า A = [aij] 12 โดยที่ aij = i + j วิธีทา A = [aij] 12 เป็ นเมทริ กซ์ที่มี 1 แถวและมี 2 หลัก ดังนั้น A =  a11 a12  จาก a11 จะได้ i = 1 และ j = 1 แล้ว a11 = 1 + 1 = 2 จาก a12 จะได้ …………………………………………………………..  A = ……………… = ………………….. ตอบ (2) ถ้า B = [bij] 2 2 โดยที่ bij = วิธีทา จาก B = [bij] 2 2 ดังนั้น B = จาก จาก จาก จาก b11 b12 b21 b22 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้  0 เมื่อ i = j 1 เมื่อ i  j  b11 b12  b   21 b 22  i = 1 และ j = 1 แล้ว i = j ดังนั้น b11 = 0 …………………………………………………………. i = 2 และ j = 1 แล้ว i  j ดังนั้น b21 = 1 …………………………………………………………. B = ………………… = …………………… ตอบ
  • 17.
    17 (3) ถ้า C= [cij] 41 โดยที่ c ij = i – 2j วิธีทา จาก C = [cij] 41 ดังนั้น C = จาก จาก จาก จาก c11 c21 c31 c41 จะได้ จะได้ จะได้ จะได้  i = 1 และ j = 1 แล้ว c11 = 1 – 2(1) = 1 – 2 = -1 …………………………………………………………………………….. i = 3 และ j = 1 แล้ว c31 = ………… = …………. = …… i = 4 และ j = 1 แล้ว c41 = ………… = …………. = 2 C = c11  c   21 c31    c 41 5. กาหนดให้ C = (1) (2) (3) (4) (5) c11  c   21 c31    c 41 1 0  0  = 0 1 0 ....... .......   .......    2  0 0  1  ตอบ จงตอบคาถามต่อไปนี้ C เป็ นเมทริ กซ์ที่มีมิติ ………………. สมาชิกในแถวที่ 1 คือ 1 , …….. , ……. สมาชิกในหลักที่ 3 คือ ……………………. ถ้า i = j แล้ว cij = ………… ถ้า i  j แล้ว c ij = ………… จบแล้ว ขอบคุณคะ
  • 18.
    18 เฉลยแบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชุดที่1 เมทริกซ์ และการดาเนินการของเมทริกซ์ เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องที่ 1 เมทริกซ์ และสั ญลักษณ์ ของเมทริกซ์ ตอนที่ 1 1. (1) 2  4 (2) a11  - 1 , (3) 4 a12  0 , a13  2 , a14  4 (1) 3  2 (2) b11  1 , (3) 7 b12  4 , b 21  2 , b 22  5 , b31  - 1 , b32  - 2 (4) 9 , a 21  7 , (5) 60 a 22  3 , a 23  5 , a 24  1 2. 3. A = (4) 5 (5) -18 a 11 a 12 a 13 a 14  a   21 a 22 a 23 a 24  a 31 a 32 a 33 a 34    4. B = [bij] 2 2 5. (1) A = (2) B = a 11 a 12 a  21 a 22  b 11 b 12 b  21 b 22  b 31 b 32  a 13  a 23   b 13  b 23   b 33   =  4 3 4 3 4 3    = 2 8   26  -1 5 5 - 6 0  18  
  • 19.
    19 (3) A = a11 a 21 a 31  a 41 a12 a13 a14  a 22 a 23 a 24   a 32 a 33 a 34   a 42 a 43 a 44  =  0 2 - 2 0  - 2 - 2  - 2 - 2 2 2 0 -2 2 2  2  0 ตอนที่ 2 1. (1) a11 + b13 = 1+(-3) = -2 (2) 2a31 - b12 + c22 = 2(3) – (-1) +3 = 6 +1+3 = 10 (3) (a21 + 3b11) × c21 = ( 2+ 3(0) )  0 = 0 (1) 6 ตัว (3) 4 ตัว 2. (2) 10 ตัว (4) mn ตัว 3. (1) A = a11 (2) B = (3) C = a12  = 1  1 b11 b12  0 b  =   21 b 22  1 c11  1 - 2(1)  c     21 = 2 - 2(1)  c31  3 - 2(1)      4 - 2(1)  c 41 1  2 = 2 3 1 0  = - 1   0    1    2 4. (1) 3  3 (2) 1, 0, 0 (4) 1 (3) 0, 0, 1 (5) 0 “”””””””””””””””””””””””””””””””””””””” แล้วเจอกันชุด 2 นะคะ เรื่ อง การเท่ากันของเมทริ กซ์