ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

1. ΚΙΝΗ΢Η ΜΕ ΑΝΣΙ΢ΣΑ΢Η ΑΝΑΛΟΓΗ ΣΟΤ
ΣΕΣΡΑΓΩΝΟΤ ΣΗ΢ ΣΑΦΤΣΗΣΑ΢
Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη
ˆ
χρονική στιγμή t 0 να βρίσκεται στη θέση x 0 και να έχει ταχύτητα
0i
Σο σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής: F k 2iˆ
(δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο του τετράγωνου
της ταχύτητας). Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.
ΑΠΑΝΣΗ΢Η
Έχουμε διαδοχικά:
m
d
dt
F ,
m
d
dt
F
ή
(παίρνοντας τα μέτρα):
d
dt
F
m
d
dt
k
m
d
ή
ή
2
k
dt
m
2
1
0
,
ή
k
t C
m
d
ή
k
dt
m
2
΢ύμφωνα με την εκφώνηση: (0)
ή
(1)
οπότε η (1) δίνει: C
1
0
Από τις (1) και (2) λοιπόν έχουμε:
(2)

2. 1
1
k
t
m
k
t
m
1
ή
0
1
ή
0
k 0t m
m 0
1
οπότε:
m 0
k 0t m
(3)
dx
dt
ή
Σώρα:
dt
dx
dx
m
m
k
x
0
0
0
ή
1
dt
k 0t m
ή
d (k 0t m)
k 0t m
ή
m
ln( k 0t m) D
k
x
(4)
΢ύμφωνα πάλι με την εκφώνηση για t 0 , έχουμε x 0 , οπότε η (4),
δίνει:
m
k ln(m) D
k
, ή
0
D
m
ln( m)
k
(5)
Από τις (4) και (5) , έχουμε:
m k 0t m
ln(
)
k
m
x
x
ή
k 0t
m
ln(1
)
k
m
(6)

3. Ακολούθως θα βρούμε την επιτάχυνση. Θα έχουμε:
a
a
m
0
m 0
d
(
)
dt k 0t m
d
dt
d
( k 0t m)
dt
a
1
km
ή
( 1)m 0 (k 0t m) 2 k
0
, και τελικά:
1
( k 0 t m) 2
2
0
(7)
Όπου κατά τα γνωστά το πρόσημο μείον μας πληροφορεί ότι πρόκειται για
επιβράδυνση.
f ( x) . Από την εξίσωση (3), η
Θα βρούμε στη συνέχεια τη συνάρτηση
οποία μας παρέχει το σαν συνάρτηση του t , λύνοντας ως προς t, έχουμε:
m 0
k 0t m
k
t
0
k
t m
m(
t
0
0
ή
)
m( 0
k 0
m
0
ή
)
(8)
Εισάγοντας την (8) στην (6), έχουμε:
x
k 0t
m
ln(1
)
k
m
ή
x
x
m
ln(1
k
0
m
ln(
k
x
ln(
0
em
0
e
)
ή
]
ή
1)
x
k
x
m
)
ή
k
x
m
)
k
0
k 0 m( 0
m
[1
k
m
k 0
ή
0
και τελικά:
(9)

4. Για την επιτάχυνση, έχουμε:
a
d
dt
d dx
dx dt
d
( 0e
dx
k
x
m
)
0
k
m
a
2
0
k
x
m
e
e
2
k
)e
0(
m
k
x
m
,
και τελικά:
k
x
m
(10)
΢ΗΜΕΙΩ΢Η:
Θα μπορούσαμε να φτάσουμε στη σχέση (9), δουλεύοντας και ως εξής:
m
d
dt
d dx
dx dt
F
m
k
m
d
dt
k
d
dt
2
d
dx
2
d
k
m
(0)
0
d
2
2
k
dx
m
k
dx
m
k
x C
m
ln
Σώρα για x=0, έχουμε
k
m
(11)
, οπότε από την (11) παίρνουμε:
C ln
(12)
0
Από τις (11) και (12) προκύπτει:
ln
k
x ln
m
ln
0
0
ln
k
x
m
ln
k
x
m
0
e
0
k
x
m
και τελικά:

5. 0
e
k
x
m
(13)
Μάλιστα ο παραπάνω τρόπος «υπερτερεί» του προηγούμενου (με απαλοιφή
του t) μιας και σε άλλες περιπτώσεις (όπου ο εκθέτης της δύναμης είναι πχ
μεγαλύτερος) δεν είναι εύκολη (και ίσως να είναι και αδύνατη) η απαλοιφή του
t.
ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢Η
Από τις σχέσεις που βρήκαμε βλέπουμε (από καθαρά
μαθηματική σκοπιά) ότι η ταχύτητα δεν μηδενίζεται για κάποια
πεπερασμένη τιμή του t ή του x, αλλά τείνει στο μηδέν καθώς τόσο ο
χρόνος t όσο και το x τείνουν στο άπειρο.
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢