1. ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΜΕ ΜΑΖΑ
L
x
M
y
dy
Υποθέτουμε ότι το ελατήριο έχει μάζα m και σταθερά k και ενώ το
αριστερό άκρο του συνδέεται σε σταθερό σημείο, στο δεξιό άκρο υπάρχει
δεμένο σώμα μάζας Μ.
Ας θεωρήσουμε σε απόσταση y από το σταθερό άκρο του ελατηρίου, το
απειροστό κομμάτι με μήκος dy και μάζα: dm
m
dy . Έστω x η ολική
L
επιμήκυνση του ελατηρίου. Θα είναι:
dy
y
x
L
Η ταχύτητα του στοιχειώδους κομματιού είναι:

y
dy
dt
y dx
( )
L dt
y

( )x
L
Η κινητική ενέργεια του κομματιού είναι:
dK
1

dm( y ) 2
2
1
y

dm( ) 2 ( x) 2
2
L
1m
y

dy ( ) 2 ( x) 2
2L
L
1m

( x) 2 y 2 dy ,
3
2L
οπότε η ολική κινητική ενέργεια του ελατηρίου είναι:
L
K
L
dK
0
1m 2 2
1 m 2 L3
 ) y dy

(x
( x)
2 L3
2 L3
3
0
1 m

( )( x)2 .
2 3

2. Μοιάζει δηλαδή σαν να έχουμε προσθέσει στο άκρο ενός (θεωρούμενου
ως ιδανικού ελατηρίου) μια επί πλέον μάζα ίση με
m
.
3
Έτσι λοιπόν η περίοδος της ταλάντωσης θα είναι:
m
3
M
T
2
k
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ