ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

1. ΚΙΝΗ΢Η ΜΕ ΑΝΣΙ΢ΣΑ΢Η ΑΝΑΛΟΓΗ ΣΗ΢
ΣΑΦΤΣΗΣΑ΢
Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη
ˆ
χρονική στιγμή t 0 να βρίσκεται στη θέση x 0 και να έχει ταχύτητα
0i
Σο σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής: F k iˆ
(δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο της ταχύτητας).
Με την είσοδο του σώματος στο μέσο, θεωρείστε ότι η μόνη δύναμη που του
ασκείται είναι η αντίσταση του μέσου. Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.
ΑΠΑΝΣΗ΢Η
Έχουμε διαδοχικά:
m
d
dt
d
dt
F
ή
F
m
ή
k
m
(1)
d
dt
k
m
ή
d
k
dt
m
ή
d
k
dt
m
ή
k
t C
m
(2)
d
dt
Παίρνοντας λοιπόν τα μέτρα, έχουμε:
ln

2. Θεωρώντας ότι για t 0 , είναι:
, η (2) δίνει:
0
C ln
(3)
0
Από τις (2) και (3) έχουμε:
k
t ln
m
ln
ln
ln
ln(
ή
0
k
t
m
0
ή
k
t
m
)
0
e
k
t
m
ή
ή
0
0
e
k
t
m
(4)

3. Μπορούμε στη συνέχεια να βρούμε το x, με ολοκλήρωση:
dx
dt
dx
ή
dt
dx
0
m
k
x
ή
e
0e
k
t
m
ή
dt
k
t
m
D
(5)
Για t 0 , έχουμε x 0 , οπότε η (5) δίνει:
D
m
k
(6)
0
Από τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουμε:
x
m
k
0
(1 e
k
t
m
)
(7)

4. Ας δούμε στη συνέχεια πως μεταβάλλεται το υ, συναρτήσει του x.
Από τις σχέσεις (4) και (7), βλέπουμε ότι:
x
m
k
0
k
t
m
(1 e
m
(
k
)
0
k
x
m
0
),
οπότε:
(8)
Μπορούμε επίσης να φτάσουμε στη σχέση (8), δουλεύοντας ως ακολούθως:
m
d
dt
m
d dx
dx dt
m
d
dx
m
ή
k
k
ή
k
k
d
dx
ή
ή
k
dx
m
Για x 0 , είναι
0
ή
k
x E
m
d
(9)
, οπότε η (9) δίνει:
E
(10)
0
Από τις (9) και (10) έχουμε:
0
΢τη σχέση (11) βλέπουμε ότι για
k
x
m
(11)
0 , έχουμε:
x
m
k
0
(12)

5. Δηλαδή στην περίπτωση αυτή (αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας), ο χρόνος
κίνησης είναι άπειρος, το διάστημα όμως που διανύει το σώμα είναι
πεπερασμένο.
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢