1. Η ΕΞΙ΢Ω΢Η KLEIN-GORDON
Ξεκινάμε με τη σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής:
E2
(1)
c 2 P 2 m2 c 4
΢τη συνέχεια θεωρούμε τους κβαντομηχανικούς τελεστές:
ˆ
P
ˆ
E
(2)
i
i
(3)
t
Εισάγοντας τους τελεστές στην σχέση (1), έχουμε:
2
(i) 2
t
2
2
t
1 2
c2 t 2
2
2

( r , t ) [ c 2 ( i ) 2

(r , t )

(r , t )
2c 2
2

m2 c 4 ] ( r , t )
2


( r , t ) m2 c 4 ( r , t )
2
m2 c 2

(r , t )
2
(

(r , t )
1 2
c2 t 2
2
ή
ή
ή
m2 c 2

) (r , t ) 0
2

(4)
Η σχέση (4) είναι η εξίσωση Klein – Gordon ελεύθερου
σωματιδίου.
Για την χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Klein – Gordon, έχουμε:
(
2
m2 c 2

) (r ) 0
2

(5)

2. ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢
Η εξίσωση K – G είναι δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο, σε
αντίθεση με τη μη-σχετικιστική εξίσωση του Schrödinger που είναι
πρώτης τάξης. Έτσι ενώ για τη λύση της Schrödinger χρειαζόμαστε
την τιμή της

(r , t ) κάποια
δεδομένη χρονική στιγμή (μία αρχική
συνθήκη), για την λύση της K – G απαιτείται πέραν της τιμής της

(r , t )

(r , t )
t
και η τιμή της
κάποια δεδομένη χρονική στιγμή.
Λόγω του γεγονότος ότι η εξίσωση είναι δεύτερης τάξης ως
i 
( P .r

(r , t ) e 
προς το χρόνο, στις λύσεις
E
c P 2 m2 c 2
είτε
c P 2 m2 c 2
E
E .t )
, η ενέργεια μπορεί να είναι
. (Οι λύσεις θετικής ενέργειας
περιγράφουν σωματίδια ενώ οι λύσεις αρνητικής ενέργειας
περιγράφουν αντισωματίδια).
Η εξίσωση είναι επιλύσιμη για το δυναμικό Coulomb.
H (4) μπορεί να γραφεί και με τη μορφή:
(
όπου: 
και
1 2
c2 t 2
2
2

) (r , t ) 0
(6)
, ο τελεστής D’ Alembert (Νταλαμπερσιανή)
mc
.

Αξίζει να σημειωθεί ότι κάθε λύση της εξίσωσης Dirac είναι
και λύση της K – G, ενώ δεν ισχύει το αντίστροφο.
Σέλος η εξίσωση Klein – Gordon, εκτός του ότι δέχεται και
λύσεις αρνητικής ενέργειας παρουσιάζει και άλλες «παθογένειες»,

3. όπως: η μη ύπαρξη κάτω φράγματος στην ενέργεια, καθώς και η
αδυναμία να ερμηνευθεί κάποια ποσότητα ως ρεύμα πιθανότητας.
(Σο γεγονός ότι δεν υπάρχει κάτω φράγμα στην ενέργεια σημαίνει
ότι κάποιο σωμάτιο ευρισκόμενο σε κάποια στάθμη θα μπορεί πάντα
να μεταπέσει σε άλλη χαμηλότερης ενέργειας, αφού πάντα θα
υπάρχει τέτοια, αποδίδοντας έτσι «άπειρη» ενέργεια).
Ι΢ΣΟΡΙΑ
Η εξίσωση οφείλει την ονομασία της στους φυσικούς Oskar
Klein και Walter Gordon, οι οποίοι στα 1926 την πρότειναν σαν την
εξίσωση που περιγράφει τα σχετικιστικά ηλεκτρόνια.
Oskar Klein

4. Ονομάζεται επίσης και εξίσωση Klein-Fock-Gordon, αφού την
ίδια χρονιά προτάθηκε και από τον Ρώσο φυσικό Vladimir Fock.
Vladimir Fock
Βέβαια η σωστή περιγραφή των ηλεκτρονίων (φερμιονίων με
spin ½) δόθηκε
τελικά στα 1928 από τον Paul Dirac, με την
διάσημη εξίσωσή του που περιγράφει τα στοιχειώδη σωματίδια με
spin ½, η οποία ως γνωστόν τον οδήγησε στην ανακάλυψη της
«αντιύλης».

5. Paul Dirac
Η εξίσωση Klein-Fock-Gordon περιγράφει σωστά τα
σωμάτια με spin 0, όπως πχ το πιόνιο. Σο πιόνιο βέβαια είναι
σύνθετο σωμάτιο. Μέχρι σήμερα δεν έχουν ανακαλυφθεί στοιχειώδη
σωμάτια με spin 0. (Σο μποζόνιο του Higgs, όπως προβλέπεται από
το Καθιερωμένο πρότυπο – Standard Model – είναι ένα μποζόνιο
μηδενικού spin).
΢την εξίσωση K – G είχε καταλήξει και ο ίδιος ο Schrödinger
στα τέλη του 1925, επειδή όμως η εφαρμογή της στο άτομο του
υδρογόνου δεν προέβλεπε σωστά την λεγόμενη «λεπτή υφή» του
ατόμου (επειδή δεν λαμβάνοταν υπόψη το spin του ηλεκτρονίου),

6. οδήγησε το διάσημο Αυστριακό φυσικό στο να δημοσιεύσει τελικά
την (πασίγνωστη πλέον) μη σχετικιστική εξίσωσή του.
Erwin Schrödinger
ΑΘΗΝΑ, ΑΤΓΟΤ΢ΣΟ΢ 2012
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢