Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή.

1. ΟΛΟΚΛΗΡΩ΢Η ΣΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ
ΚΙΝΗ΢Η΢.
ΚΙΝΗ΢Η ΢Ε ΜΙΑ ΔΙΑ΢ΣΑ΢Η.
(Η ΠΕΡΙΠΣΩ΢Η ΣΟΤ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤ ΣΑΛΑΝΣΩΣΗ).
Για ένα σωματίδιο μάζας m, το οποίο κινείται σε μια διάσταση
υπό την επίδραση δύναμης ( )
F x , έχοντας ολική ενέργεια Ε (που
αποτελεί σταθερά της κίνησης), η διατήρηση της ενέργειας δίνει:
2
1
( )
2
E mx U x

(1)
΢τη σχέση (1), Ε είναι η ολική ενέργεια του σωματιδίου, ( )
U x
είναι η δυναμική του ενέργεια και x
 η ταχύτητά του. ( dx
x
dt
 ). Από τη
σχέση λοιπόν (1), έχουμε διαδοχικά:
2
1
( )
2
mx U x E
 ή
2
1
( ) ( )
2
dx
m U x E
dt
ή
2 2
( ) [ ( )]
dx
E U x
dt m
ή
2
[ ( )]
dx
E U x
dt m
ή

2. 2 ( )
m dx
dt
E U x
(2)
΢την παραπάνω σχέση (2), η υπόριζη ποσότητα ( )
E U x
ισούται με την κινητική ενέργεια του σωματιδίου και πρόκειται
προφανώς για μη αρνητική ποσότητα.
Με ολοκλήρωση της σχέσης (2), παίρνουμε:
0
0
2 ( )
x
x
m dx
t t
E U x
(3)
΢τη σχέση (3), 0
x είναι η θέση του σωματιδίου τη χρονική
στιγμή 0
t . Εισάγοντας στη σχέση (3) τη συνάρτηση ( )
U x που μας
δίνει τη δυναμική ενέργεια στο εκάστοτε πρόβλημά μας και
ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε τη συνάρτηση ( )
t x , η αντίστροφη της
οποίας ( ( )
x t ) αποτελέι την εξίσωση κίνησης του σώματος.
΢τη συνέχεια ας θεωρήσουμε την περίπτωση του αρμονικού
ταλαντωτή. Η δυναμική ενέργεια είναι:
2
1
( )
2
U x kx
(4)
΢τη σχέση (4) για την σταθερά k , έχουμε ότι: 0
k .

3. ΢χήμα 1. Σο δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή
΢το σχήμα (1) βλέπουμε τη γραφική παράσταση του δυναμικού
ενός αρμονικού ταλαντωτή, του οποίου η ολική ενέργεια (σταθερά
της κίνησης) είναι: 2
1
2
E ka . Η δύναμη που απορρέει από το
δυναμικό αυτό είναι:
2
( ) 1
ˆ ˆ ˆ
( )
2
dU x d
F i kx i kxi
dx dx
(5)
Σο ˆ
i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στο x-άξονα.
Όπως είναι γνωστό, στην περίπτωση αυτή η κίνηση του
σωματίδιου είναι περιοδική μεταξύ των (ακραίων) θέσεων a και a.
Εμείς όμως θα προσποιηθούμε ότι δεν το γνωρίζουμε και θα
προσπαθήσουμε να φτάσουμε στο συμπέρασμα αυτό, μέσω
ολοκλήρωσης της εξίσωσης κίνησης. Ξεκινάμε λοιπόν...

4. Από την διατήρηση της ενέργειας έχουμε:
2
1
( )
2
mx U x E
 ή
2 2 2
1 1 1
( )
2 2 2
dx
m kx ka
dt
ή
2 2 2
( ) ( )
dx k
a x
dt m
ή
2 2
( )
dx k
a x
dt m
ή
2 2
k dx
dt
m a x
(7)
Με ολοκλήρωση λοιπόν θα έχουμε:
2 2
k dx
dt
m a x
(8)
Όμως:
2 2
arcsin( )
dx x
a
a x
(9)
Πράγματι:
Αν θέσουμε: arcsin( )
x
y
a
, θα έχουμε: sin
x
y
a
και τότε:
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
cos 1 sin
1
dy
dx
dx a y a y x a x
a
dy a
Έτσι λοιπόν με τη βοήθεια της (9), η (8) μας δίνει:

5. arcsin( )
x k
t C
a m
(10)
΢τη συνέχεια για ευκολία ας περιορισθούμε στη λύση με το
πρόσημο + (στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και με επιλογή
του πρόσημου -). Προκειμένου να προσδιορίσουμε τ σταθερά C της
ολοκλήρωσης, ας θεωρήσουμε (αρχική συνθήκη) ότι τη χρονική
στιγμή 0
t το σώμα βρίσκεται στο a . Από την σχέση (10) λοιπόν
θα έχουμε:
arcsin( )
a
C
a
ή
arcsin(1)
2
C
(11)
Μέσω της σχέσης (11) λοιπόν, η (10) γράφεται:
arcsin( )
2
x k
t
a m
ή
sin( )
2
x k
t
a m
ή
sin( )
2
k
x a t
m
(12)
΢τη συνέχεια (κατά τα γνωστά) θέτοντας:
k
m
, η σχέση
(12) γράφεται:
sin( ) cos( )
2
x a t a t
(13)

6. Επίσης:
Από τη σχέση: arcsin( )
2
x k
t
a m
, έχουμε:
arcsin( )
2
k x
t
m a
(14)
Έτσι λοιπόν αν ονομάσουμε 1
t τη χρονική στιγμή που το σώμα
βρίσκται στη θέση a , θα είναι: 1 arcsin(1) 0
2 2 2
k
t
m
ή
1 0
t (όπως άλλωστε αναμένουμε, αφού αυτή ήταν η αρχική μας
συνθήκη).
Αν ονομάσουμε 2
t τη χρονική στιγμή που για πρώτη φορά το
σώμα έρχεται στη θέση a, θα είναι:
2
3
arcsin( ) arcsin( 1)
2 2 2 2
k a
t
m a
ή
2
m
t
k
Έτσι λοιπόν ο χρόνος που κάνει το σώμα για να πάει από το ένα
άκρο στο άλλο άκρο της τροχιάς του είναι:
2 1
m
t t t
k
(15)
Ο χρόνος όμως αυτός, αντιστοιχεί στο μισό της περιόδου. Έτσι
λοιπόν έχουμε:

7. 2
T m
k
ή
2
m
T
k
(16)
Βρίσκουμε λοιπόν έτσι την (γνωστή μας) σχέση για την περίοδο
του αρμονικού ταλαντωτή.
ΑΤΓΟΤ΢ΣΟ΢ 2013
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢