ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

1. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΓΙΑ
ΣΤΑΘΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ
Ας θεωρήσουμε την απλούστερη δυνατή περίπτωση δηλαδή τη
μονοδιάστατη περίπτωση κατά την οποία μια σταθερή δύναμη δρα πάνω
σε ένα αρχικά ακίνητο σώμα μάζας m. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η
δύναμη αυτή επιδρά στο σώμα για χρόνο t και ότι το σώμα αποκτά
ταχύτητα  (t ) . Θα έχουμε:
F
dP
dt
ή
dP  Fdt
ή
P  Ft
(1)
(αφού σύμφωνα με τη διατύπωσή του προβλήματός μας, για t  0 , έχουμε
P0  0 ).
Στη σχέση (1), η (σχετικιστική) ορμή του σωματιδίου, όταν αυτό
κινείται με ταχύτητα υ, είναι:
P  m
(2)
ή
m
P
1
(3)
2
c2
(m, μάζα ηρεμίας του σώματος).
Από τις σχέσεις (1) και (3) έχουμε:
m
1
2
c2
 Ft
ή

2. m 2 2
1

2
 F 2t 2
ή
c2
m2 2c 2
 F 2t 2
2
2
c 
ή
m2 2c2  F 2t 2c2  F 2t 2 2
ή
 2 ( m2 c 2  F 2 t 2 )  F 2 t 2 c 2
ή
F 2t 2 c 2
  2 2
m c  F 2t 2
ή
2
c2
 
m2c 2
1 2 2
F t
2
   (t ) 
οπότε τελικά:
c
(4)
m2c 2
1 2 2
F t
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
i) Ας θεωρήσουμε ότι:
m2c 2
F 2t 2
1
ή
F 2t 2
m2 c 2
ή
t
η σχέση (4) δίνει:
 (t ) 
c
mc
Ft
ή
 (t ) 
(όπως θα περιμέναμε από την Νευτώνεια μηχανική).
F
t
m
mc
F
,

3. ii) Ας θεωρήσουμε ότι:
m2c 2
F 2t 2
ή
1
F 2t 2
m2 c 2
ή
t
mc
F
,
m2c 2
τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι 2 2  0 οπότε η σχέση (4) δίνει:
F t
 (t )  c
Στη συνέχεια θα βρούμε την θέση x(t), στην οποία βρίσκεται τη
χρονική στιγμή t το σώμα.
Θα έχουμε λοιπόν:
c
   (t ) 
dx

dt
c
1
m2c 2
1 2 2
F t
1
A
1 2
t
ή
(5))
dt
ή
dt
ή
t
t A
2
dt
m2c 2
A 2
F
(θέτοντας:
x  c
ή
m2c 2
1 2 2
F t
x  x(t )  c 
x  c
ή
m2c 2
1 2 2
F t

4. 1
dt 2
x  c
2
t2  A
ή
1 d (t 2  A)
x  c
2
t2  A
ή
x  x(t )  c t 2  A  D
(6)
Υποθέτοντας ότι για t  0 είναι x(0)  0 , η σχέση (6) δίνει:
D  c A
ή
(μέσω της σχέσης (5))
mc 2
D
F
(7)
Από τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουμε:
m2c 2 mc 2
x(t )  c t  2 
F
F
2
ή
mc 2
F2 2
x(t ) 
(
t  1  1)
F
m2c 2
(8)
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
Για
F 2t 2
m2c 2
1
ή
η σχέση (8) δίνει:
mc 2
1 F2 2
x(t ) 
(1 
t  1)
F
2 m2c 2
1 mc 2 F 2 2
x(t ) 
t
2 F m2c 2
ή
ή
t
mc
F
,

5. 1 F
x(t )  ( )t 2
2 m
(9)
(Παίρνουμε δηλαδή το γνωστό μας αποτέλεσμα της Νευτώνειας
μηχανικής).
Στη συνέχεια θα βρούμε τη (σχετικιστική) επιτάχυνση του σώματος.
Από τη σχέση:
   (t ) 
c
m2c 2
1 2 2
F t
Έχουμε διαδοχικά:
d
d
m2c 2  1
 c (1  2 2 ) 2
dt
dt
F t
ή
c
m2 c 2  3
m2c 2
2
a   (1  2 2 ) (2 2 3 )
2
F t
F t
ή
a
m2c3
F2
a
m2c 2 3
t 3 (1  2 2 ) 2
F t
ή
m2c3
F2
a
m2c 2 3
2
(t  2 ) 2
F
ή
m2c3
2
a  2 2 F2
3
mc F 2
[ 2 ( 2 2 t  1)] 2
F
mc
ή
m2c3
2
a  3 3 F2
3
mc F 2
( 2 2 t  1) 2
F3 m c
ή

6. F
m
a
F2 2 3
(1  2 2 t ) 2
mc
(10)
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
Για
F 2t 2
m2c 2
1
ή
mc
F
t
,
η σχέση (10) δίνει:
a
F
m
, όπως περιμένουμε από την Νευτώνεια μηχανική.
Για
F 2t 2
m2c 2
1
ή
η σχέση (10) δίνει:
a  a(t )  0
ΜΑΡΤΗΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
t
mc
F
,