ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

1. ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ΢
Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο
λήκαηνο κήθνπο L ,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην
ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο ην εθθξεκέο,
απηό εθηειεί παιηλδξνκηθή θίλεζε (ηαιάληωζε).
Ο ζεκειηώδεο λόκνο ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο δίλεη:
η = Ι . αγωλ.
ή

2. -m.g.sinζ.L = m.L2 . αγωλ.
ή
2
d

 L m 2
m s L
...i
g n ..
d
t
2
ή
2
d
 gs  0
 .i 
n
2
d
t
L
(Yπνζέηνληαο όηη δελ ππάξρνπλ ηξηβέο ή αληηζηάζεηο ζηελ θίλεζε ηνπ
ζώκαηνο.)
Γηα κηθξέο γωλίεο εθηξνπήο (π.ρ. κηθξόηεξεο από 50 ) ηζρύεη όηη:
sin  
(Με ηελ πξνππόζεζε όηη ε γωλία ζ κεηξηέηαη ζε rad), νπόηε ε εμίζωζε ηεο
θίλεζεο γίλεηαη:
2
d g
 . 
 0
d2 L
t
Η παξαπάλω δηαθνξηθή εμίζωζε έρεη ηε γεληθή ιύζε:

3. g
g
A(L B L
o . i
. s t .n .
c
) s
( t
)
Όπνπ νη ζηαζεξέο Α θαη Β πξνζδηνξίδνληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Έηζη,
αλ γηα παξάδεηγκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ε αξρηθή γωλία είλαη ζ0 θαη ε
ηαρύηεηα είλαη κεδέλ ,ηόηε ε ιύζε απινπζηεύεηαη ζηελ:
 . o
 0 cs
(
g
.)
t
L
΢ηελ πεξίπηωζε απηή ην εθθξεκέο εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάληωζε θαη ε
πεξίνδόο ηνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε:
T  2. .
L
g
0
Αλ ηώξα ε αξρηθή γωλία δελ είλαη πνιύ κηθξή (ζ0 > 0.1 rad ,ή ζν>6 ),
ηόηε απνδεηθλύεηαη όηη ε πεξίνδνο ηνπ εθθξεκνύο δίλεηαη από ηε ζρέζε:
0
L
d

T4 .

. 
g 1 2i2
kn
0 s 

Όπνπ:

0
k s (
in
2
)

4. ΢εκεηώζηε όηη ε παξαπάλω εμίζωζε γηα κηθξή αξρηθή γωλία νδεγεί ζηε
γλωζηή καο απιή ζρέζε γηα ηελ πεξίνδν ηνπ εθθξεκνύο. Πξάγκαηη γηα πνιύ
κηθξέο ηαιαληώζεηο ην θ είλαη πνιύ θνληά ζην κεδέλ ,θαη ε πεξίνδνο γίλεηαη:

2
L
T 4 . d
.
L
 2 g
g0
Αλ ηώξα ε ηαιάληωζε γίλεηαη κε κεγαιύηεξν πιάηνο ηόηε αλαπόθεπθηα
πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην νινθιήξωκα,ην νπνίν είλαη έλα ελλειπτικό
ολοκλήρωμα πρώτου είδουςπνπ δελ κπνξεί λα εθθξαζζεί ζπλαξηήζεη
ζηνηρεηωδώλ
ζπλαξηήζεωλ.Μπνξεί
όκωο
λα
εθθξαζζεί
ζπλαξηήζεη
ελλειπτικών συναρτήσεων πνπ απνηεινύλ γελίθεπζε ηωλ ηξηγωλνκεηξηθώλ
ζπλαξηήζεωλ. Όπωο ινηπόλ απνδεηθλύεηαη ε ιύζε κπνξεί λα πάξεη ηε κνξθή:


L 21 1 6 
1 .
3 .2
3
.
5
T  2 (2 ( ) .
 4
21 k )
(
)
k
k

.
.

g2 2 2
.
4 .
4 
.
6

όπνπ:
 )
0
k s n
i (
2
(Σην ηέινο δίλεηαη ε πιήξεο κειέηε γηα όπνηνλ ζάζειε λα ηελ δεη.)
Δελ ρξεηάδεηαη όκωο λα αλεζπρνύκε. Η απιή ιύζε καο θαιύπηεη κε
αξθεηά ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε αθόκε θαη γηα κεγαιύηεξεο ηωλ 50 γωλίεο.
΢ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί θαίλεηαη ε απόθιηζε ηεο πιήξνπο ιύζεο από ηελ
πξνζεγγηζηηθή ,θαζώο θαη ην αληίζηνηρν ζθάικα επί ηνηο εθαηό.

5. Αξρηθή γωλία
(κνίξεο)
0
5
10
15
20
30
45
60
Πεξίνδνο
(s)
ζ%
Σ
Σ.1,0005
Σ.1,0019
Σ.1,0043
Σ.1,0077
Σ.1,0174
Σ.1,0396
Σ.1,0719
0,00
0,05
0,19
0,43
0,77
1,74
3,96
7,19
Αθόκα θαη γηα πνιύ κεγάιεο γωλίεο ν ηύπνο :
T  2. .
L
g
καο παξέρεη ηελ πεξίνδν ηνπ απινύ εθθξεκνύο κε ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε.
Μπνξνύκε ινηπόλ λα ιέκε όηη γηα θάζε πξαθηηθή αλάγθε ε πεξίνδνο ηνπ
απινύ εθθξεκνύο είλαη αλεμάξηεηε ηνπ πιάηνπο ηαιάληωζεο. Απηό ζεκαίλεη
όηη ην απιό εθθξεκέο απνηειεί έλα ηθαλνπνεηηθήο αθξίβεηαο ρξνλόκεηξν.
ΤΠΟ΢ΗΜΕΙΩ΢Η:
Άο δνύκε ηώξα πωο θηάλνπκε ζηε ζρέζε:
0
L
d

T4 .

. 
g 1 2i2
s 
kn
0

Όπνπ:

6. 
0
k s (
in
2
)
Η εμίζωζε ηεο θίλεζεο ηνπ απινύ εθθξεκνύο είλαη:
2
d
g
 .i 
 sn
2
d
t
L
(1)
Βάδνπκε:
d
u
dt
Τόηε:




2
d d u
ud
d d
u


u
2
d d dd d
t
t
t
Οπόηε ε (1) γίλεηαη:
d
u
g
u  sn
 i
d
 L
(2)
Με νινθιήξωζε παίξλνπκε:
2
u g
 cs 
o c
2 L
(3)
Τώξα αλ ζ=ζ0 , u=0 είλαη:
g
c c s 0
o
L
θαη ε (3) γξάθεηαη:

7. g
2 2
u
 ( s s0
cc
o o)
L
ή

 
d
2
g

 ( s 0
c
o c
o
s
d
t
L
(4)
Εζηηάδνληαο ηελ πξνζνρή καο ζην ηκήκα ηεο θίλεζεο από ζ=ζ0 ζε ζ=0 ,πνπ
αληηζηνηρεί ζην έλα ηέηεξην ηεο πεξηόδνπ,πξέπεη λά πάξνπκε ην αξλεηηθό
πξόζεκν θαη ε (4) μαλαγξάθεηαη:
d
go s
2

( s c
c o
0
d
t
L
Με ρωξηζκό ηωλ κεηαβιεηώλ θαη νινθιήξωζε έρνπκε:
L
d

t 

2 cc
g o 0
s o
s
Αθνύ t=0 ζηε ζέζε ζ=ζ0 θαη t=Τ/4 ζηε ζέζε ζ=0 ,έρνπκε:
0
L
d

t4 

2 cc
g o 0
s o
s
0

Χξεζηκνπνηώληαο ηελ ηξηγωλνκεηξηθή ηαπηόηεηα:

c  2n ) 1
o s 2
s
i ( 
2
(5)

8. θαη αληηθαζηζηώληαο ην ζ κε ην ζ0 ε (5) γξάθεηαη:
d


0
L
t 2 

g
0


s2 0  2 )
i ( )s (
n
i
n
2
2
(6)
Έζηω ηώξα όηη:


s ( ) s (0 s 
i
n n )i
i
n
2
2
(7)
Τόηε κε δηαθόξηζε θαη ηωλ δύν πιεπξώλ παίξλνπκε:

  

1
c d s 0c .
o
s
()  ) s
i
n od
(
2 2
2
Καη βάδνληαο :

0
k s (
in
2
)
Έρνπκε:

2i ( 0) o . 
s
n cs d

2
d

1 ks 2
2 i 
n
Από ηελ (7) βιέπνπκε όηη: όηαλ ζ=0 είλαη θαη θ=0 θαη όηαλ ζ=ζ0 ηόηε θ=π/2
Έηζη ε (6) θαηαιήγεη ζηελ:

9. 
T4
.
2
L
d

.
 2 i 
g0 1 ks 2
n
Τν δηώλπκν ηνπ Νεύηωλα καο ιέεη όηη:
x 1
Αλ :
ηόηε:
p 2 ()2
() p p
p
 p
1 )
1 3
(
p
() 
11
 p
x x

 x

x

.
.
.
2
.
1
3
.
2
.
1
p 
Αλ
1
2
Τν δηώλπκν γξάθεηαη:
1

2
1.
1
31 3
.
3
.
5
(x 1 2
1
 x x
) 
 x.

.
.
2.
2
13
.
2
.
1
Θέηνληαο :
x k sn 
2 i 2
Καη νινθιεξώλνληαο από 0 έωο π/2 , βξίζθνπκε:

10. 
2
L
d

T4 .
.
 1ks 2
g0 2 i 
n


 
2
L 1 2 1 4 
.
3

 k 4
4 2
1 s
i
n
k 
s ..
i
n. d
.

g 2
2
.
4


0

L
1 . 4.
3 3
.
5
 21 1 6 
  2 ( 2 ( )
2 1 k ) 2 .
 k
(
)
k
.
.

g2 2 2
.
4 .
4
.
6 

Όπνπ θάλνπκε ρξήζε ηνπ νινθιεξώκαηνο:

152 )
...( 
.
.
s2 .
i nd
n
 36n1

2 .( ) 2
.. . 2
4. n
0
2
Η νινθιήξωζε ηωλ επί κέξνπο όξωλ είλαη δπλαηή θαζόζνλ:
k 1
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΦΥΣΙΚΟΣ
MSC. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ