Λίγα στοιχεία για τις υπερβολικές συναρτήσεις

1. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΦΥΣΙΚΟΣ MSc.
14/3/2020
Abstract
Στα επόμενα θα δούμε μερικά σvτοιχεία για τις υπερβολικές σvυναρτήσvεις. Θα δούμε πως
ορίζονται και ποια είναι τα γραφήματά τους. Επίσvης κάποιες ιδιότητες τους (ταυτότητες που
ικανοποιούν κατ' αναλογία με τις τριγωνομετρικές σvυναρτήσvεις). Και τέλος θα δούμε και κάποια
πράγματα που αφορούν σvτο λογισvμό (διαφόρισvη, ολοκλήρωσvη) των υπερβολικών σvυναρτήσvεων.
ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ: cosh(x)
Ορισvμός:
Το υπερβολικό σvυνημίτονο ορίζεται με βάσvη την εκθετική σvυνάρτησvη ex
μέσvω της σvχέσvης:
cosh(x) =
ex
+ e−x
2
(1)
Γραφική παράσvτασvη:
Γνωρίζοντας τις ιδιότητες και τα γραφήματα των σvυναρτήσvεων ex
και e−x
, μπορούμε να σvχεδιάσvουμε
την σvυνάρησvη cosh(x).
Ας ξεκινήσvουμε με την τιμή του cosh(x) σvτο x = 0. Θα είναι:
cosh(0) =
e0
+ e−0
2
=
1 + 1
2
= 1
Στη σvυνέχεια ας δούμε τι ισvχύει για την περίπτωσvη που το x είναι θετικό και παίρνει όλο και
μεγαλύτερες τιμές. Τότε η σvυνάρτησvη cosh(x) = ex+e−x
2
= ex
2
+ e−x
2
, γράφεται:
cosh(x) ≈
ex
2
αφού τότε το e−x
2
τείνει σvτο μηδέν (βλέπε Figure 1). ΄Ομως παρά το ότι τείνει σvτο μηδέν, το e−x
2
είναι θετικό και άρα το cosh(x) θα είναι πάντα μεγαλύτερο από το ex
2
(βλέπε Figure 2). Στο Figure 2
βλέπουμε ότι πρακτικά για τιμές του x μεγαλύτερες του 2 ή 3, η διαφορά μεταξύ του cosh(x) και της
ex
2
δεν είναι πλέον ορατή.
Η σvυνάρτησvη λοιπόν cosh(x) είναι άρτια και άρα η γραφική της παράσvτασvη θα έχει άξονα σvυμμετρίας
των άξονα των y.
1

2. Figure 1: Οι σvυναρτήσvεις eχ
2
και e−x
2
2

3. Figure 2: Οι σvυναρτήσvεις ex
2
,
e−x
2
, cosh(x)
Το πεδίο ορισvμού της σvυνάρτησvης cosh(x) είναι όλο το (δηλαδή το διάσvτημα (−∞,+∞)) και το
πεδίο τιμών είναι το διάσvτημα [1,+∞).
3

4. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΗΜΙΤΟΝΟ: sinh(x)
Ορισvμός:
Το υπερβολικό ημίτονο (sinhx), ορίζεται με βάσvη την εκθετική σvυνάρτησvη ex
μέσvω της σvχέσvης:
sinh(x) =
ex
− e−x
2
(2)
Γραφική παράσvτασvη:
Ας δούμε την τιμή του περβολικού ημιτόνου σvτη θέσvη x = 0. θα είναι:
sinh(0) =
e0
− e−0
2
=
1 − 1
2
= 0
Ας δούμε τώρα την σvυμπεριφορά του υπερβολικού ημιτόνου για μεγάλα x. Γράφοντας το sinh(x)
σvτη μορφή: sinh(x) = ex
2
− e−x
2
και παρατηρώντας ότι για μεγάλα x το ex
2
γίνεται πολύ μεγάλο, ενώ
αντίσvτοιχα το e−x
2
γίνεται (πολύ γρήγορα) ολοένα και μικρότερο (τείνοντας σvτο μηδέν), μπορούμε να
γράψουμε:
sinh(x) ≈
ex
2
΄Ομως παρ' ότι το e−x
2
γίνεται πολύ μικρό εν τούτοις δεν είναι μηδέν, οπότε αφαιρούμενο από το ex
2
θα
έχει σvαν αποτέλεσvμα η γραφική παράσvτασvη του sinh(x) να βρίσvκεται κάτω από αυτήν του ex
2
(βλέπε
Figure 4). Καθώς όμως το x μεγαλώνει η διαφορά μεταξύ των δύο γραφικών παρασvτάσvεων γίνεται
όλο και μικρότερη (τείνοντας σvτο μηδέν).
Πάμε τώρα σvτην περιοχή των αρνητικών τιμών του x. Για x 0 , το −e−x
παίρνει πολύ γρήγορα
μεγάλες αρνητικές τιμές καθώς απομακρυνόμασvτε από το μηδέν, ενώ το ex
μειώνεται τείνοντας σvτο
μηδέν. Επομένως για μεγάλα αρνητικά x η σvυνάρτησvη: sinh(x) = ex
2
− e−x
2
γράφεται:
sinh x) ≈ −
e−x
2
Τώρα όμως η γραφική παράσvτασvη του υπερβολικού ημιτόνου θα βρίσvκεται πάνω από αυτήν του −e−x
2
.
Και τούτο διότι παρά το γεγονός ότι το ex
2
γίνεται πολύ μικρό, είναι όμως θετικό. Καθώς όμως το x
παίρνει όλο και μεγαλύτερες αρνητικές τιμές, η διαφορά γίνεται ολοένα και μικρότερη (Figure 4).
Τώρα αν κάνουμε την αντικατάσvτασvη: x → −x παρατηρούμε ότι:
sinh(−x) =
e−x
− ex
2
= −
ex
+ e−x
2
= − sinh(x)
Η σvυνάρτησvη λοιπόν sinh(x) είναι περιττή και άρα σvυμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
4

5. Figure 3: Οι σvυναρτήσvεις ex
2
και −e−x
2
5

6. Figure 4: Οι σvυναρτήσvεις eχ
2
,
−e−x
2
και sinh(x)
Το πεδίο ορισvμού και το πεδίο τιμών της σvυνάρτησvης sinh(x) είναι το σvύνολο των πραγματικών
αριθμών ().
6

7. Figure 5: sinh(x), cosh(x)
Για μεγάλα x, είδαμε ότι τόσvο το cosh(x) όσvο καιι το sinh(x) ποσvεγγίζουν την ex
2
. Επομένως για
μεγάλα x μπορούμε να γράψουμε:
sinh(x) ≈ cosh(x)
Για μεγάλα αρνητικά x το sinh(x) πλησvιάζει το −e−x
2
ενώ το cosh(x) πλησvιάζει το e−x
2
. ΄Ετσvι λοιπόν
για μεγάλα αρνητικά x μπορούμε να γράψουμε:
sinh(x) ≈ − cosh(x)
7

8. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ: tanh(x)
Ορισvμός:
Η υπερβολική εφαπτομένη ορίζεται μέσvω της σvχέσvης:
tanh(x) =
sinh(x)
cosh(x)
(3)
Με την βοήθεια των σvχέσvεων (1) και (2), η υπερβολική εφαπτομένη γράφεται:
tanh(x) =
sinh(x)
cosh(x)
=
ex
− e−x
ex + e−x
(4)
Γραφική παράσvτασvη:
Ας δούμε κατ' αρχήν την τιμή της σvυνάρτησvης για x = 0. ΄Εχουμε:
tanh(0) =
sinh(0)
cosh(0)
=
0
1
= 0
Πάμε τώρα να δούμε τι σvυμβαίνει για μεγάλες τιμές του x. ΄Οπως είδαμε σvτα πρηγούμενα, για το
sinh(x) και το cosh(x) θα έχουμε:
sinh(x) ≈ cosh(x)
΄Ετσvι λοιπόν τότε θα ισvχύει:
tanh(x) ≈ 1
Είδαμε όμως ότι τότε το sinh(x) είναι μικρότερο από το cosh(x), οπότε η τιμή της σvυνάρτησvης tanh(x)
θα είναι μικρότερη του 1 (τείνοντας σvτο 1 για όλο και μεγαλύτερα x).
Στη σvυνέχεια πάμε να δούμε τι σvυμβαίνει για τις αρνητικές τιμές του x. Για μεγάλα αρνητικά x,
είδαμε προηγουμένως ότι:
sinh(x) ≈ − cosh(x)
οπότε:
tanh(x) ≈ −1
και όπως επίσvης είδαμε το sinh(x) είναι τότε μεγαλύτερο από την απόλυτη τιμή του − cosh(x) άρα η
σvυνάρτησvη tanh(x) θα είναι μεγαλύτερη από το -1. (τείνοντας σvτο -1 για όλο και μεγαλύτερα αρνητικά
x).
Τώρα αν κάνουμε την αντικατάσvτασvη: x → −x παρατηρούμε ότι:
tanh(−x) =
sinh(−x)
cosh(x)
= −
sinh(x)
cosh(x)
= − tanh(x)
Η σvυνάρτησvη λοιπόν tanh(x) είναι περιττή και άρα σvυμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
8

9. Figure 6: tanh(x)
Το πεδίο ορισvμού της σvυνάρτησvης tanh(x) είναι όλο το (δηλαδή το διάσvτημα (−∞,+∞)) και το
πεδίο τιμών είναι το διάσvτημα (−1, 1).
9

10. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΗΣΕΩΝ
Οι υπερβολικές σvυναρτήσvεις υπακούουν σvε ταυτότητες που μας θυμίζουν τις τριγωνομετρικές ταυτότητες.
΄Οπως θα δούμε παρακάτω η ομοιότητα είναι εμφανής, αν και κάποιες φορές το + έχει αντικατασvταθεί
από - και αντίσvτροφα. Στα επόμενα θα δούμε και θα αποδείξουμε κάποιες από αυτές τις ταυτότητες.
cosh2
(x) − sinh2
(x) = 1 (5)
Θα έχουμε διαδοχικά:
cosh2
(x) − sinh2
(x) =(
ex
+ e−x
2
)2
− (
ex
− e−x
2
)2
=
=
e2x
+ 2 + e−2x
4
−
e2x
− 2 + e−2x
4
=
e2x
+ 2 + e−2x
− e2x
+ 2 − e−2x
4
=
4
4
= 1
sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x) (6)
Θα ξεκινήσvουμε από το δεύτερο μέλος και θα καταλήξουμε σvτο πρώτο:
2 sinh(x) cosh(x) = 2(
ex
− e−x
2
)(
ex
+ e−x
2
) =
e2x
− e−2x
2
= sinh(2x)
cosh(2x) = cosh2
(x) + sinh2
(x) (7)
Θα έχουμε:
cosh2
(x) + sinh2
(x) = (
ex
+ e−x
2
)2
− (
ex
− e−x
2
)2
=
e2x
+ 2 + e−2x
+ e2x
− 2 + e−2x
4
=
e2x
− e−2x
2
= cosh(2x)
sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + sinh(y) cosh(x) (8)
Πράγματι:
sinh(x) cosh(y) + sinh(y) cosh(x) =
(ex
− e−x
)(ey
+ e−y
)
4
+
(ex
+ e−x
)(ey
− e−y
)
4
=
=
ex+y
+ ex−y
− ey−x
− e−(x+y)
+ ex+y
− ex−y
+ ey−x
− e−(x+y)
4
=
ex+y
− e−(x+y)
2
= sinh(x + y)
10

11. cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) (9)
Είναι:
cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) =
(ex
+ e−x
)(ey
+ e−y
)
4
+
(ex
− e−x
)(ey
− e−y
)
4
=
=
ex+y
+ ex−y
+ ey−x
+ e−(x+y)
+ ex+y
− ex−y
− ey−x
+ e−(x+y)
4
=
ex+y
+ e−(x+y)
2
= cosh(x + y)
cosh2
(
x
2
) =
1 + cosh(x)
2
(10)
Με την χρήσvη των ταυτοτήτων (7) και (5), έχουμε διαδοχικά:
cosh(2x) = cosh2
(x) + sinh2
(x) = cosh2
(x) + (cosh2
(x) − 1 ⇒
cosh(2x) = 2 cosh2
(x) − 1 ⇒ 2 cosh2
(x) = 1 + cosh(2x) ⇒
cosh2
(x) =
1 + cosh(2x)
2
Κάνοντας την αντικατάσvτασvη: x → −x, προκύπτει:
cosh2
(
x
2
) =
1 + cosh(x)
2
sinh2
(
x
2
) =
cosh(x) − 1
2
(11)
tanh(x + y) =
tanh(x) + tanh(y)
1 + tanh(x) tanh(y)
(12)
Από τις σvχέσvεις (8) και (9), έχουμε:
tanh(x + y) =
sinh(x + y)
cosh(x + y)
=
sinh(x) cosh(y) + sinh(y) cosh(x)
cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)
=
=
sinh(x) cosh(y)+sinh(y) cosh(x)
cosh(x) cosh(y)
cosh(x) cosh(y)+sinh(x) sinh(y
cosh(x) cosh(y)
=
sinh(x)
cosh(x)
+ sinh(y)
cosh(y)
1 + sinh(x)
cosh(x)
sinh(y)
cosh(y)
=
tanh(x) + tanh(y)
1 + tanh(x) tanh(y)
11

12. tanh(x − y) =
tanh(x) − tanh(y)
1 − tanh(x) tanh(y)
(13)
Αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως η (12), παίρνοντας τις σvχέσvεις:
sinh(x − y) = sinh(x) cosh(y) − sinh(y) cosh(x) (14)
cosh(x − y) = cosh(x) cosh(y) − sinh(x) sinh(y) (15)
και μια ακόμη (τελευταία προς το παρόν) ταυτότητα :
tanh(2x) =
2 tanh(x)
1 + tanh2
(x)
(16)
Αποδεικύεται εύκολα αν σvτην (12) κάνουμε την αντικατάσvτασvη: y → x
΄Οπως με τις τριγωνομετρικές σvυναρτήσvεις, έτσvι και με τις υπερβολικές, ορίζουμε επίσvης και τις
σvυναρτήσvεις: υπερβολική σvυνεφαπτομένη (coth(x)), υπερβολική τέμνουσvα (sech(x)) και υπερβολική
σvυντέμνουσvα (csch(x)). Ακολουθούν οι ορισvμοί, οι αντίσvτοιχες γραφικές παρασvτάσvεις καθώς και
κάποιες ταυτότητες που οι σvυναρτήσvεις αυτλες ικανοποιούν.
ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ: coth(x)
Ορισvμός:
Η υπερβολική σvυνεφαπτομένη του x, ορίζεται μέσvω της σvχέσvης:
coth(x) =
1
tanh(x)
=
cosh(x)
sinh(x)
=
ex
+ e−x
ex − e−x
(17)
Το πεδίο ορισvμού (domain) είναι το: (−∞, 0) ∪ (0, +∞) (ή αλλοιώς το − {0}), ενώ το πεδίο τιμών
(range) είναι το (-∞, −1) ∪ (1, +∞) (ή αλλοιώς το − [−1, 1]).
ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΤΕΜΝΟΥΣΑ: sech(x)
Ορισvμός:
Η υπερβολική τέμνουσvα του x, ορίζεται μέσvω της σvχέσvης:
sech(x) =
1
cosh(x)
=
2
ex + e−x
(18)
Το πεδίο ορισvμού (domain) είναι το: (−∞, +∞) (ή αλλοιώς το ), ενώ το πεδίο τιμών (range) είναι
το διάσvτημα (0,1).
ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΣΥΝΤΕΜΝΟΥΣΑ: csch(x)
Ορισvμός:
Η υπερβολική σvυντέμνουσvα του x, ορίζεται μέσvω της σvχέσvης:
csch(x) =
1
sinh(x)
=
2
ex − e−x
(19)
12

13. Figure 7: coth(x)
Το πεδίο ορισvμού (domain) είναι το: (−∞, 0) ∪ (0, +∞) (ή αλλοιώς το − {0}), ενώ το πεδίο τιμών
(range) είναι το (-∞, −1) ∪ (1, +∞) (ή αλλοιώς το − [−1, 1]).
13

14. Figure 8: sech(x)
Το πεδίο ορισvμού (domain) είναι το: (−∞, +∞) (ή αλλοιώς το ), ενώ το πεδίο τιμών (range) είναι
το διάσvτημα (0,1).
14

15. Figure 9: csch(x)
Το πεδίο ορισvμού (domain) είναι το: (−∞, 0) ∪ (0, +∞) (ή αλλοιώς το − {0}), ενώ το πεδίο τιμών
(range) είναι επίσvης το διάσvτημα (-∞, 0) ∪ (0, +∞) (ή αλλοιώς το − {0}).
15

16. Ταυτότητες:
sech2
(x) + tanh2
(x) = 1 (20)
Αποδεικνύεται πολύ εύκολα (με τη βοήθεια της σvχέσvης (5)) :
sech2
(x) + tanh2
(x) =
1
cosh2
(x)
+
sinh2
(x)
cosh2
(x)
=
1 + sinh2
(x)
cosh2
(x)
=
cosh2
(x)
cosh2
(x)
= 1
coth2
(x) − csch2
(x) = 1 (21)
Επίσvης αποδεικνύεται πολύ εύκολα (με τη βοήθεια της σvχέσvης (5)) :
coth2
(x) − csch2
(x) =
cosh2
(x)
sinh2
(x)
−
1
sinh2
(x)
=
cosh2
(x) − 1
sinh2
(x)
=
sinh2
(x)
sinh2
(x)
= 1
coth(x ± y) =
coth(x)coth(y) ± 1
coth(y) ± coth(x)
(22)
Παρακάτω δίνονται οι τύποι για το άθροισvμα, τη διαφορά και το γινόμενο υπερβολικών σvυ-
ναρτήσvεων:
sinh(x) + sinh(y) = 2 sinh(
x + y
2
) cosh(
x − y
2
) (23)
sinh(x) − sinh(y) = 2 cosh(
x + y
2
) sinh(
x − y
2
) (24)
cosh(x) + cosh(y) = 2 cosh(
x + y
2
) cosh(
x − y
2
) (25)
cosh(x) − cosh(y) = 2 sinh(
x + y
2
) sinh(
x − y
2
) (26)
sinh(x) sinh(y) =
1
2
[cosh(x + y) − cosh(x − y)] (27)
cosh(x) cosh(y) =
1
2
[cosh(x + y) + cosh(x − y)] (28)
sinh(x) cosh(y) =
1
2
[sinh(x + y) + sinh(x − y)] (29)
16

17. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αν x = sinh(y) τότε η y = sinh−1
(x) ονομάζεται αντίσvτροφο υπερβολικό ημίτονο του x. Με παρό-
μοιο τρόπο μπορούμε να ορίσvουμε και τις υπόλοιπες αντίσvτροφες υπερβολικές σvυναρτήσvεις. Πριν
προχωρήσvουμε, ας τονίσvουμε κάτι. Ενώ η σvυνάρτησvη πχ cosh2
(x) είναι μια άλλη γραφή για την
(cosh(x))2
, η cosh−1
(x) (δηλαδή το αντίσvτροφο υπερβολικό σvυνημίτονο του x), είναι διαφορετική από
την (cosh(x))−1
= 1
cosh(x)
, δηλαδή την sech(x)). Στη βιβλιογραφία αλλά και σvε μαθηματικά υπο-
λογισvτικά προγράμματα (CAS) χρησvιμοποιούναι οι σvυμβολισvμοί π.χ arcsinh(x) είτε asinh(x) για το
υπερβολικό ημίτονο (και αντίσvτοιχα για τις υπόλοιπες αντίσvτροφες υπερβολικές σvυναρτήσvεις). Τώρα οι
σvυναρτήσvεις sinh(x), tanh(x), coth(x) και csch(x) είναι σvυναρτήσvεις ένα προς ένα, ενώ οι σvυναρτήσvεις
cosh(x) και sech(x) δεν είναι. Ας εξετάσvουμε λοιπόν την cosh(x). Δεν είναι ένα προς ένα σvτο πεδίο
ορισvμού της δηλαδή σvτο (−∞,+∞). Για κάθε τιμή του y 1 υπάρχουν δύο διαφορετικές λύσvεις της
εξίσvωσvης cosh(x) = y. Δείτε το Figure 2. Αν για α 1 φέρουμε την ευθεία y = α, αυτή θα τμήσvει τη
γραφική παράσvτασvη της cosh(x) σvε δύο διαφορετικά σvημεία, που αντισvτοιχούν σvε δύο διαφορετικά x
με αντίθετες τιμές. Στο διάσvτημα όμως [0,+∞) η σvυνάρησvη είναι γνησvίως αύξουσvα παίρνοντας τιμές
σvτο διάσvτημα [1,+∞). Επομένως μπορούμε να ορίσvουμε την αντίσvτροφή της σvυνάρτησvη, που θα έχει
πεδίο ορισvμού το διάσvτημα [1,+∞) και πεδίο τιμών το [0,+∞).
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ:
sinh−1
(x) = ln(x +
√
x2 + 1), −∞ x +∞ (30)
cosh−1
(x) = ln(x +
√
x2 − 1), x ≥ 1, πρωτεύουσvα τιμή: cosh−1
(x) 0 (31)
tanh−1
(x) =
1
2
ln(
1 + x
1 − x
) − 1 x 1 (32)
coth−1
(x) =
1
2
ln(
x + 1
x − 1
) x 1 ∪ x −1 (33)
sech−1
(x) = ln(
1
x
+
r
1
x2
− 1) = ln(
1 +
√
1 − x2
x
), 0 x ≤ 1, πρωτεύουσvα τιμή: sech−1
(x) 0
(34)
csch−1
(x) = ln(
1
x
+
r
1
x2
+ 1), x 6= 0 (35)
17

18. Figure 10: asinh(x) ή sinh−1
(x)
18

19. Figure 11: acosh(x) ή cosh−1
(x)
19

20. Figure 12: atanh(x) ή tanh−1
(x)
20

21. Figure 13: acoth(x) ή coth−1
(x)
21

22. Figure 14: asech(x) ή sech−1
(x)
22

23. Figure 15: acsch(x) ή csch−1
(x)
23

24. ΣΧΕΣEΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ:
csch−1
(x) = sinh−1
(
1
x
) (36)
sech−1
(x) = cosh−1
(
1
x
) (37)
coth−1
(x) = tanh−1
(
1
x
) (38)
sinh−1
(−x) = − sinh−1
(x) (39)
tanh−1
(−x) = − tanh−1
(x) (40)
coth−1
(−x) = − coth−1
(x) (41)
csch−1
(−x) = −csch−1
(x) (42)
Από τον ορισvμό της αντίσvτροφης σvυνάρτησvης έχουμε (για το πεδίο ορισvμού της υπερβολικής
σvυνάρτησvης και της αντισvτρόφου της) και τις παρακάτω μάλλον προφανείς αλλά και χρήσvιμες σvχέσvεις.
(Θα τις επικαλεσvτούμε αργότερα για την εύρεσvη της παραγώγου των αντίσvτροφων υπερβολικών σvυ-
ναρτήσvεων):
sinh(sinh−1
(x)) = x, sinh−1
(sinh(x)) = x (43)
cosh(cosh−1
(x)) = x, cosh−1
(cosh(x)) = x (44)
tanh(tanh−1
(x)) = x, tanh−1
(tanh(x)) = x (45)
coth(coth−1
(x)) = x, coth−1
(coth(x)) = x (46)
sech(sech−1
(x)) = x, sech−1
(sech(x)) = x (47)
csch(csch−1
(x)) = x, csch−1
(csch(x)) = x (48)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
΄Ενα πολύ ενδιαφέρον χαρακτηρισvτικό των αντίσvτροφων υπερβολικών σvυναρτήσvεων είνα το γεγονός
ότι μπορεί να υπολογισvτούν και να εκφρασvθύν ρητά, σvχετικά εύκολα. Ας πάρουμε για παράδειγμα το
sinh−1
(x). Αν μας ρωτήσvει κάποιος να λύσvουμε την εξίσvωσvη sinh(y) = x, ως προς y (σvυναρτήσvει του
x), η απάντησvη (που είναι η y = sinh−1
(x)) μπορεί να δοθεί μέσvω του υπολογιμού που ακολουθεί:
sinh(y) = x ή sinh(y) =
ey
− e−y
2
ή ey
−e−y
= 2x ή ey
−2x−e−y
= 0
Πολλαπλασvιάζοντας και τα δύο μέλη της ey
− 2x − e−y
= 0 με ey
έχουμε:
(ey
)2
− 2xey
− 1 = 0
Η παραπάνω εξίσvωσvη είναι μια δυτεροβάθμια με λύσvεις:
ey
= x +
√
x2 + 1 και ey
= x −
√
x2 + 1
΄Ομως η δεύτερη λύσvη είναι αρνητική επομένως απορριπτέα (αφού για y πραγματικό είναι: ey
0).
Οπότε η λύσvη είναι:
ey
= x +
√
x2 + 1
24

25. Παίρνοντας και σvτα δύο μέλη της προηγούμενης ισvότητας τον λογάριθμο έχουμε:
y = ln(x +
√
x2 + 1)
Οπότε:
sinh−1
(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
βρίσvκουμε δηλαδή τη σvχέσvη (30).
Με παρόμοιο τρόπο βρίσvκουμε και τις σvχέσvεις: cosh−1
(x) = ln(x +
√
x2 − 1) (σvχέσvη (31) και
tanh−1
(x) = 1
2
ln(1+x
1−x
) (σvχέσvη (32).
Ας βρούμε τώρα την σvχέσvη που μας δίνει τη σvυνάρτησvη csch−1
(x), δηλαδή τη σvχέσvη (35).
Από την σvχέσvη (36) έχουμε:
csch−1
(x) = sinh−1
(
1
x
)
¨Ετσvι λοιπόν η ζητούμενη σvυνάρτησvη βρίσvκεται αν σvτη σvχέσvη για το sinh−1
(x) κάνουμε την
αντικατάσvτασvη: x → 1
x
. Οπότε:
csch−1
(x) = sinh−1
(
1
x
) = ln(
1
x
+
r
(
1
x
)2 + 1) = ln(
1
x
+
r
1 + x2
x2
) ή
csch−1
(x) = ln(
1
x
+
√
1 + x2
|x|
)
Με παρόμοιο τρόπο καταλήγουμε και σvτις σvχέσvεις: coth−1
(x) = 1
2
ln(x+1
x−1
) και sech−1
(x) =
ln(1+
√
1−x2
x
).
ix
ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΡΙΓΩΜΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Στα προηγούμενα είδαμε πόσvο πολύ μοιάζουν οι σvχέσvεις που ισvχύουν για τις υπερβολικές σvυναρτήσvεις
με τις αντίσvτοιχες σvχέσvεις για τις τριγωνομετρικές. Στα επόμενα θα δούμε ότι αυτό μόνο τυχαίο δεν
είναι. Απορρέει από το γεγονός ότι και οι μεν και οι δε ορίζονται (με παρόμοιο τύπο) μέσvω των
εκθετικών ex
και e−x
μόνο που όπως θα δούμε παρακάτω για τις τριγωνομετρικές ο εκθέτης πρέπει
να είναι φαντασvτικός.
Θα ξεκινήσvουμε με τον πασvίγνωσvτο τύπο του Euler:
eix
= cos(x) + i sin(x) (49)
και τη σvυζυγή μορφή του:
e−ix
= cos(x) − i sin(x) (50)
(σvτις παραπάνω σvχέσvεις: το i είναι η λεγόμενη φαντασvτική μονάδα (i2
= −1).
Προσvθέτοντας κατά μέλη τις σvχέσvεις (49) και (50) παίρνουμε: eix
+ e−ix
= 2 cos(x), οπότε:
cos(x) =
eix
+ e−ix
2
(51)
25

26. Στην παραπάνω σvχέσvη το x έιναι πραγματικός αριθμός (x ∈ ), οπότε το ix και το σvυζυγές του
−ix είναι φαντασvτικοί αριθμοί (±ix ∈ =). Η σvχέσvη (51) είναι ο ορισvμός του σvυνημιτόνου του x μέσvω
της εκθετικής. Συγκρίνοντας τον τύπο (51) με τον τύπο (1) (δηλαδή τον ορισvμό του υπερβολικού
σvυνημιτόνου cosh(x) = ex+e−x
2
, βλέπουμε ότι οι δύο τύποι διαφέρουν μόνον ως προς τους εκθέτες
(±x∈ για το cosh x), ±ix ∈ = για το cos(x).
Στη σvυνέχεια αφαιρώντας από την σvχέσvη (50) την (49) παίρνουμε: eix
− e−ix
= 2i sin(x), οπότε:
sin(x) =
eix
− e−ix
2i
(52)
Ο τύπος (51) μπορεί να θεωρηθεί ως ορισvμός του ημιτόνου του x, και σvυγκρίνοντάς τον με τη
σvχέσvη (2) βλέπουμε την ομοιότητα του με τον αντίσvτοιχο τύπο για το υπερβολικό ημίτονο (με τις
διαφορές που προαναφέραμε).
Οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί τύποι, εκφρασvμένοι μέσvω εκθετικών είναι:
tan(x) =
eix
− e−ix
i(eix + e−ix)
= −i(
eix
− e−ix
eix + e−ix
) (53)
cot(x) = i(
eix
+ e−ix
eix − e−ix
) (54)
sec(x) =
2
eix + e−ix
(55)
csc(x) =
2i
eix − e−ix
(56)
Μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισvμό και των τριγωνομετρικών και των υπερβολικών σvυναρτήσvεων
για μιγαδικό όρισvμα. ΄Ετσvι λοιπόν έχουμε: sin(z) = eiz−e−iz
2i
για το ημίτονο και sinh(z) = ez−e−z
2
για
το υπερβολικό ημίτονο, όπου τώρα το z είναι μιγαδικός αριθμός (z ∈ C). Οι τύποι που μας δίνουν τις
μιγαδικές τριγωνομετρικές και υπερβολικές σvυναρτήσvεις είναι οι ίδιο με αυτούς που γράψαμε για τις
αντίσvτοιχες πραγματικές με μόνη αλλαγή την αντικατάσvτασvη της πραγματικής μεταβλητής x από την
μιγαδική z.
Μεταξύ των τριγωνομετρικών και υπερβολικών μιγαδικών σvυναρτήσvεων ισvχύουν οι παρακάτω
σvχέσvεις:
sin(iz) = i sinh(z) (57)
cos(iz) = cosh(z) (58)
tan(iz) = i tanh(z) (59)
csc(iz) = −icsch(z) (60)
sec(iz) = sech(z) (61)
cot(iz) = −i coth(z) (62)
sinh(iz) = i sin(z) (63)
cosh(iz) = cos(z) (64)
tanh(iz) = i tan(z) (65)
csch(iz) = −icsc(z) (66)
26

27. sech(iz) = sec(z) (67)
coth(iz) = −i cot(z) (68)
Από τις παραπάνω ισvότητες θα αποδείξουμε μερικές (οι υπόλοιπες αφήνονται σvαν άσvκησvη για τον
αναγνώσvτη).
Aς αποδείξουμε λοιπόν την ισvότητα (57). ΄Εχουμε:
sin(iz) =
ei(iz)
− e−i(iz)
2i
=
e−z
− ez
2i
= i
(ez
− e−z
)
2
= i sinh(z)
Για την (58) έχουμε:
cos(iz) =
ei(iz)
+ e−i(iz)
2
=
e−z
+ ez
2
= cosh(z)
Για την (59), έχουμε:
tan(iz) = −i
ei(iz)
− e−i(iz)
ei(iz) + e−i(iz)
= −i
e−z
− ez
e−z + ez
= i
ez
− e−z
ez + e−z
= i tanh(z)
Και για την (63) θα έχουμε:
sinh(iz) =
eiz
− e−iz
2
= i
eiz
− e−iz
2i
= i sin(z)
Μιας και ανφερόμασvτε σvε μιγαδικές σvυναρτήσvεις ας γράψουμε κάποιοα ακόμα σvτοιχεία από τη
θεωρία τους. Η σvυνάρτησvη ez
είναι αναλυτική για όλα τα z (z ∈ C). Το ίδιο λοιπόν ισvχύει και για τις
σvυnαρτήσvεις sin(z) και cos(z). Οι σvυναρτήσvεις tan(z) και sec(z) είναι αναλυτικές εκτός των σvημείων
όπου μηδενίζεται το cos(z). Οι σvυναρτήσvεις cot(z) και csc(z) είναι αναλυτικές εκτός των σvημείων
σvτα οποία μηδενίζεται το sin(z). Μια σvπουδαία ιδιότητα των μιγαδικών σvυναρτήσvεων sin(z) και cos(z)
είναι ότι μηδενίζονται σvτα ίδια σvημεία με τις αντίσvτοιχες πραγματικές σvυναρτήσvεις, δηλαδή:
sin(z) = 0 αν και μόνο αν z = nπ (n ακέραιος)
cos(z) = 0 αν και μόνο αν z = (2n + 1)π
2
(n ακέραιος)
Τώρα μια μιγαδική σvυνάρτησvη f(z) λέμε ότι είναι αναλυτική σvε κάποιο σvημείο z0, αν υπάρχει η
παράγωγός της f0
(z0) για όλα τα σvημεία z σvε μια περιοχή δ σvτη γειτονιά του z0 (Πδ(z0)). Λέμε επίσvης
ότι η f(z) είναι αναλυτική σvε μια περιοχή R, αν είναι αναλυτική σvε κάθε σvημείο της περιοχής R (∀
z∈ R). Ας δούμε τώρα πότε υπάρχει η παράγωγος της f(z)σvε κάποιο σvημείο z0. ΄Εσvτω λοιπόν ότι
z = x + iy,(x, y∈ ) η ανεξάρτητη μεταβλητή και f(z) = u(x, y) + iv(x, y) η μιγαδική σvυνάρτησvη σvε
κάποια περιοχή D που εμπεριέχει το z0. Αν η f(z) ικανοποιεί τις εξισvώσvεις Cauchy-Riemann:
∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂u
∂x
= −
∂v
∂y
και έχει σvυνεχείς τις παραπάνω μερικές παραγώγους σvτη γειτονιά του z0, τότε η f0
(z0) υπάρχει και
δίνεται από τη σvχέσvη:
f0
(z) = lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
27

28. και τότε η σvυνάρτησvη f(z) λέγεται μιγαδικά διαφορίσvιμη (complex dierentiable) , ή αναλυτική (an-
alytic) ή ολόμορφη (holomorphic). Ο όρος αναλυτική σvυνάρτησvη είναι περισvσvότερο διαδεδομένος
μεταξύ των φυσvικών και μηχανικών.
Να σvημειώσvουμε εδώ μια μεγάλη διαφορά των πραγματικών και των μιγαδικών σvυναρτήσvεων για το
ημίτονο και το σvυνημίτονο: Οι πραγματικές σvυναρτήσvεις παίρνουν τιμές σvτο κλεισvτό διάσvτημα [−1, 1]
ενώ oι μιγαδικές μπορούν να πάρουν πολύ μεγάλες τιμές. Για παράδειγμα, αν το y είναι πραγματικός
τότε: cos(iy) = ey+e−y
2
→ ∞ όταν y → ±∞.
ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ
ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Στις σvχέσvεις που ακολουθούν, θεωρούμε ότι : z ∈ C και x ∈
sin−1
(iz) = i sinh−1
(z) (69)
sinh−1
(iz) = i sin−1
(z) (70)
cos−1
(x) = ±i cosh−1
(x) (71)
cosh−1
(x) = ±i cos−1
(x) (72)
tan−1
(iz) = i tanh−1
(z) (73)
tanh−1
(iz) = i tanh−1
(z) (74)
cot−1
(iz) = −i coth−1
(z) (75)
coth−1
(iz) = −i cot−1
(z) (76)
sec−1
(x) = ±isech−1
(x) (77)
sech−1
(x) = ±isec−1
(x) (78)
csc−1
(iz) = −icsch−1
(z) (79)
csch−1
(iz) = −icsc(z) (80)
28

29. ΛΟΓΙΣΜΟΣ (CALCULUS) ΤΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Στα επόμενα θα δούμε κάποια σvτοιχεία για την παραγώγισvη, την ολοκλήρωσvη και την ανάλυσvη σvε
σvειρά Taylor-Maclaurin των υπερβολικών σvυναρτήσvεων.
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
Θα ξεκινήσvουμε με την παραγώγισvη των υπερβολικών σvυναρτήσvεων (αρχικά πραγμαμτικών και σvτη
σvυνέχεια μιγαδικών). Για τα επόμενα λοιπόν θεωρούμε ότι x ∈ και z = (x+iy) ∈ C. Η παραγώγισvη
των sinh(x) και cosh(x) είναι σvχετικά εύκολη λόγω της ευκολίας σvτην παραγώγισvη της ex
.
sinh(x):
d
dx
(sinh(x))=
d
dx
(ex−e−x
2
) = ex−(−e−x)
2
= ex+e−x
2
= cosh(x).
d
dx
(sinh(x)) = cosh(x) (81)
cosh(x):
d
dx
(cosh(x)) = d
dx
(ex+e−x
2
) = ex−e−x
2
= sinh(x).
d
dx
(cosh(x)) = sinh(x) (82)
tanh(x):
d
dx
(tanh(x)) = d
dx
(sinh(x)
cosh(x)
) = cosh(x)[sinh(x)]0−sinh(x)[cosh(x)]0
cosh2
(x)
= cosh(x) cosh(x)−sinh(x) sinh(x)
cosh2
(x)
= cosh2
(x)−sinh2
(x)
cosh2
(x)
=
= 1
cosh2
(x)
= sech2
(x).
d
dx
(tanh(x)) = sech2
(x) (83)
coth(x) :
d
dx
(coth(x)) = d
dx
(cosh(x)
sinh(x)
) = sinh(x)[cosh(x)]0−cosh(x)[sinh(x)]0
sinh2
(x)
= sinh(x) sinh(x)−cosh(x) cosh(x)
sinh2
(x)
= sinh2
(x)−cosh2
(x)
sinh2
(x)
=
−1
sinh2
(x)
= −csch2
(x) .
d
dx
(coth(x)) = −csch2
(x) (84)
sech(x):
d
dx
(sech(x)) = d
dx
(cosh(x))−1
= (−1)[cosh(x)]−2
[cosh(x)]0
= (−1)[cosh(x)]−2
sinh(x) = −sech(x) tanh(x).
d
dx
(sech(x)) = −sech(x) tanh(x) (85)
29

30. csch(x):
d
dx
(csch(x)) = d
dx
(sinh(x))−1
= (−1)[sinh(x)]−2
[sinh(x)]0
= (−1)[sinh(x)]−2
cosh(x) = −csch(x) coth(x).
d
dx
(csch(x)) = −csch(x) coth(x) (86)
Για τις αντίσvτοιχες μιγαδικές σvυναρτήσvεις έχουμε:
d
dz
(sinh(z)) = cosh(z) (87)
d
dz
(cosh(z)) = sinh(z) (88)
d
dz
(tanh(z)) = sech2
(z) (89)
d
dz
(coth(z)) = −csch2
(z) (90)
d
dz
(sech(z)) = −sech(z) tanh(z) (91)
d
dz
(csch(z)) = −csch(z) coth(z) (92)
30

31. Figure 16: Η tanh(x) και η παράγωγός της
31

32. Figure 17: Η coth(x) και η παράγωγός της
32

33. Figure 18: Η sech(x) και η παράφωγός της
33

34. Figure 19: Η csch(x) και η παράγωγός της
34

35. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Είδαμε προηγουμένως τις σvχέσvεις (43) έως και (48), που θα μπορούσvαμε να ονομάσvουμε σvχέσvεις-
νόμους διαγραφής ή απαλειφής (cancellation laws), τις οποίες όπως προείπαμε μπορούμε να χρησvι-
μοποιήσvουμε για την εύρεσvη των παραγώγων των αντίσvτροφων υπερβολικών (αλλά και τριγωνομετρικών)
σvυναρτήσvεων. Στη σvυνέχεια θα δούμε πως βρίσvκουμε την παράγωγο αντίσvτροφου υπερβολικού
ημίτονου και θα δώσvουμε τους σvχετικούς τύπους για τις υπόλοιπες. Ο αναγνώσvτης μπορεί, ακολου-
θώντας ξεκινώντας από την κατάλληλη σvχέσvη απαλειφής και ακολουθώντας ανάλογη πορεία, να
αποδείξει τις υπόλοιπες. Στα επόμενα θεωρούμε ότι το x είναι πραγματικός x ∈ , ενώ με το
σvύμβολο: abs(x)ενοούμε την απόλυτη τιμή του x.
sinh−1
(x) :
Ξεκινάμε με την πρώτη από τις δύο σvχέσvεις (43). Θα έχουμε:
sinh(sinh−1
(x)) = x. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη:
d
dx
[sinh(sinh−1
(x)] = 1 ή
cosh(sinh−1
(x)) d
dx
(sinh−1
(x)) = 1 ή d
dx
(sinh−1
(x)) = 1
cosh(sinh−1
(x))
Από τη σvχέσvη (5) : cosh2
(x) − sinh2
(x) = 1 παίρνουμε: cosh(x) =
q
1 + sinh2
(x).
Οπότε: cosh(sinh−1
(x)) =
q
1 + sinh2
(sinh−1
(x) =
q
1 + [sinh(sinh−1
(x)]2 =
√
1 + x2
τελικά έχουμε:
d
dx
(sinh−1
(x)) = 1
cosh(sinh−1
(x))
= 1
√
1+x2
d
dx
(sinh−1
(x)) =
1
√
1 + x2
, x ∈ (93)
cosh−1
(x) :
d
dx
(cosh−1
(x)) =
1
√
x2 − 1
, x 1 (94)
tanh−1
(x):
d
dx
(tanh−1
(x)) =
1
1 − x2
, abs(x) 1 (95)
coth−1
(x):
d
dx
(coth−1
(x)) =
1
1 − x2
, abs(x) 1 (96)
sech−1
(x):
d
dx
(sech−1
(x)) =
−1
x
√
1 − x2
, x ∈ (0, 1) (97)
csch−1
(x):
d
dx
(csch−1
(x)) =
−1
abs(x)
√
1 + x2
, x 6= 0 (98)
35

36. Figure 20: sinh−1
(x) και παράγωγος
36

37. Figure 21: cosh−1
(x) και παράγωγος
37

38. Figure 22: tanh−1
(x) και παράγωγος
38

39. Figure 23: coth−1
(x) και παράγωγος
39

40. Figure 24: sech−1
(x) και παράγωγος
40

41. Figure 25: csch−1
(x) και παράγωγος
41

42. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
Η ολοκλήρωσvη των σvυναρτήσvεων sinh(x) και cosh(x) προκύπτει πολύ εύκολα και από τους τύπους
ορισvμού (λογω της ευκολίας ολοκλήρωσvης της εκθετικής) και από και από του τύπους παραγώγισvής
τους (
d
dx
(sinh(x)) = cosh(x) και d
dx
(cosh(x)) = sinh(x) . Για την ολοκλήρωσvη των υπολοίπων
υπερβολικών σvυναρτήσvεων θα γράψουμε τον τρόπο υπολογισvμού.
sinh(x):
Z
sinh(x)dx =
Z
d(cosh(x)) = cosh(x) + C (99)
cosh(x) :
Z
cosh(x)dx =
Z
d(sinh(x)) = sinh(x) + C (100)
tanh(x) :
R
tanh(x)dx =
R sinh(x)
cosh(x)
dx.
Θέτουμε u = cosh(x) οπότε: du = sinh(x)dx, οπότε:
R
tanh(x)dx =
R 1
u
du = ln(abs(u)) + C = ln[abs(cosh(x))] + C = ln(cosh(x)) + C
Το τελευταίο βήμα προκύπτει από το γεγονός ότι cosh(x) ≥ 1,∀x ∈ . Τελικά:
Z
tanh(x)dx = ln(cosh(x)) + C (101)
coth(x) :
R
coth(x)dx =
R cosh(x)
sinh(x)
dx, οπότε όπως και για την προηγούμενη ολοκλήρωσvη:
R
coth(x)dx =
R d(sinh(x))
sinh(x)
= ln[abs(sinh(x))]+C. Οπότε:
Z
coth(x)dx = ln[abs(sinh(x))] + C (102)
Με abs(x) σvυμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του x, και έτσvι: abs(sinh(x)) είναι η απόλυτη τιμή του
sinh(x).
sech(x):
R
sech(x)dx =
R 1
cosh(x)
dx =
R cosh(x)
cosh2
(x)
dx =
R cosh(x)
1+sinh2
(x)
dx
Θέτουμε u = sinh(x) οπότε: du = cosh(x)dx ΄Ετσvι:
R
sech(x)dx =
R cosh(x)
1+sinh2
(x)
dx =
R 1
1+u2 du = tan−1
(u) + C = tan−1
(sinh(x)) + C.
Z
sech(x)dx = tan−1
(sinh(x)) + C (103)
42

43. csch(x) :
R
csch(x)dx =
R 1
sinh(x)
dx=
R sinh(x)
sinh2
(x)
dx =
R sinh(x)
cosh2
(x)−1
dx (i)
Θέτουμε u = cosh(x) (ii).
Οπότε: du = sinh(x)dx. H (i) λοιπόν γράφεται:
R
csch(x)dx =
R sinh(x)
cosh2
(x)−1
dx =
R 1
u2−1
du = −
R 1
1−u2 du = − tanh−1
(u)
και λόγω της (ii) γίνεται:
R
csch(x)dx − tanh−1
(cosh(x)) (iii)
΄Ομως από τη σvχέσvη (32), έχουμε ότι: tanh−1
(x) = 1
2
ln(1+x
1−x
), οπότε: − tanh−1
(cosh(x)) =
−1
2
ln(cosh(x)+1
cosh(x)−1
) (iv)
Από τη σvχέσvη (10) : cosh2
(x
2
) = 1+cosh(x)
2
, έχουμε ότι: cosh(x) + 1=2cosh2
(x
2
)
Και από την (11) : sinh2
(x
2
) = cosh(x)−1
2
, έχουμε ότι: cosh(x) − 1=2sinh2
(x
2
)
΄Ετσvι η (iv) γράφεται: − tanh−1
(cosh(x)) = −1
2
ln(cosh(x)+1
cosh(x)−1
) = 1
2
ln(cosh(x)−1
cosh(x)+1
) = 1
2
ln(
2 sinh2
( x
2
)
2 cosh2
( x
2
)
) =
= 1
2
ln(tanh2
(x
2
)) = ln(abs(tanh(x
2
)). ΄Εχουμε λοιπόν τελικά:
Z
csch(x)dx = ln(abs(tanh(
x
2
)) (104)
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Πριν δούμε τους τύπους για τα ολοκληρώματα των αντίσvτροφων υπερβολικών σvυναρτήσvεων, ας ρίξουμε
πάλι μια ματιά σvτις σvχέσvεις 93-98. Οι σvχέσvεις αυτές μας είναι ιδιαίτερα χρήσvιμες, γιατί μας βοηθούν
να υπολογίσvουμε άμεσvα κάποια ολοκληρώματα, τα οποία καταλήγουν σvε αντίσvτροφες υπερβολικές
σvυναρτήσvεις και τα οποία διαφορετικά θα ήταν πολυ δύσvκολο να υπολογισvθούν.
Σχέσvη (93):
d
dx
(sinh−1
(x)) = 1
√
1+x2 , x ∈ . Από τη σvχέσvη προκύπτει άμεσvα:
Z
1
√
1 + x2
dx = sinh−1
(x) + C (105)
Σχέσvη (94):
d
dx
(cosh−1
(x)) = 1
√
x2−1
, x 1, που οδηγεί σvτο:
Z
1
√
x2 − 1
dx = cosh−1
(x) + C, x 1 (106)
Σχέσvη (95):
d
dx
(tanh−1
(x)) = 1
1−x2 , abs(x) 1, που μας δίνει ότι:
Z
1
1 − x2
dx = tanh−1
(x) + C, abs(x) 1 (107)
Σχέσvη (96):
d
dx
(coth−1
(x)) = 1
1−x2 , abs(x) 1, από την οποία παίρνουμε:
Z
1
1 − x2
dx = coth−1
(x) + C, abs(x) 1 (108)
43

44. Σχέσvη (97):
d
dx
(sech−1
(x)) = −1
x
√
1−x2 , x ∈ (0, 1). Οδηγεί σvτο ολοκλήρωμα:
Z
−1
x
√
1 − x2
dx = sech−1
(x) + C, x ∈ (0, 1) (109)
Σχέσvη (98):
d
dx
(csch−1
(x)) = −1
abs(x)
√
1+x2 , x 6= 0. ΄Εχουμε άμεσvα:
Z
−1
abs(x)
√
1 + x2
dx = csch−1
(x), x 6= 0 (110)
Στη σvυνέχεια θα δούμε τα ολοκληρώματα των αντίσvτροφων υπερβολικών σvυναρτήσvεων.
sinh−1
(x) :
Θέλουμε τώρα να υπολογίσvουμε το ολοκλήρωμα:
R
sinh−1
(x)dx. Θα χρησvιμοποίσvουμε τη μέθοδο
ολοκλήρωσvης κατά παράγοντες (ή κατά μέρη -integration by parts). Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή,
έχουμε:
Z
udv = uv −
Z
vdu
Θέτουμε λοιπόν: u = sinh−1
(x). Θα είναι τότε: du = 1
√
1+x2 dx. Κατόπιν θέτουμε: v = x οπότε
dv = dx. ΄Ετσvι λοιπόν:
R
sinh−1
(x)dx = x sinh−1
(x) −
R
x 1
√
1+x2 dx (i)
Θα υπολογίσvουμε τώρα το ολοκλήρωμα:
R
x 1
√
1+x2 dx. ΄Εχουμε:
R
x 1
√
1+x2 dx = 1
2
R dx2
√
1+x2 = 1
2
R d(1+x2)
√
1+x2 = 1
2
R
(1 + x2
)−1
2 d(1 + x2
) = 1
2
(1+x2)
1
2
1
2
= (1 + x2
)
1
2 =
√
1 + x2 (ii)
Από τις (i), (ii) τελικά έχουμε:
Z
sinh−1
(x)dx = x sinh−1
(x) −
√
1 + x2 + C (111)
cosh−1
(x) :
Για το ολοκλήρωμα
R
cosh−1
(x)dx, εφαρμόζουμε την μέθοδο κατά παράγοντες, θέτοντας u = cosh−1
(x),
οπότε du = 1
√
x2−1
και επίσvης v = x, οπότε dv = dx.
R
cosh−1
(x)dx = x cosh−1
(x) −
R
x 1
√
x2−1
dx (i)
R
x 1
√
x2−1
dx =
R 1
2
dx2
√
x2−1
= 1
2
R d(x2−1)
√
x2−1
= 1
2
R
(x2
− 1)−1
2 d(x2
− 1 = 1
2
(x2−1)
1
2
1
2
=
√
x2 − 1 (ii)
Από τις (i) και (ii) έχουμε:
Z
cosh−1
(x)dx = x cosh−1
(x) −
√
x2 − 1 + C (112)
44

45. tanh−1
(x) :
Για το ολοκλήρωμα
R
tanh−1
(x)dx, η μέθοδος ολοκήρωσvης κατά παράγοντες για τις σvυναρτήσvεις
u = tanh−1
(x) με du = 1
1−x2 dx και v = x , με dv = dx, δίνει:
R
tanh−1
(x)dx = x tanh−1
(x) −
R
x 1
1−x2 dx (i)
R
x 1
1−x2 dx = 1
2
dx2
(1−x2)
= −1
2
R d(1−x2)
1−x2 = −1
2
ln(1 − x2
) = −1
2
ln(abs(1 − x2
)) = −1
2
ln(1 − x2
)
(ii) , όπου η τελευταία ισvότητα προκύπτει από το γεγονός ότι abs(x) 1 (βλέπε σvχέσvη 95), οπότε
1 − x2
0 .
Από τις (i) και (ii) έχουμε:
Z
tanh−1
(x)dx = x tanh−1
(x) +
1
2
ln(1 − x2
) + C, abs(x) 1 (113)
coth−1
(x) :
Από τη σvχέσvη (96) έχουμε:
d
dx
(coth−1
(x)) = 1
1−x2 , abs(x) 1. Για το ολοκλήρωμα
R
coth−1
(x)dx,
η εφαρμογή της ολοκλήρωσvης κατά παράγοντες γίνεται με την επιλογή των u = coth−1
(x) και v =
x, με du = 1
1−x2 dx (βλέπε σvχέσvη 96) και dv = dx. Ακολουθώντας την ίδια πορεία με αυτή που
ακολουθήσvαμε προηγουμένως για την ολοκλήρωσvη της tanh−1
(x), καταλήγουμε σvτη σvχέσvη:
Z
coth−1
(x)dx = x coth−1
(x) +
1
2
ln(x2
− 1) + C, abs(x) 1 (114)
sech−1
(x):
Για το ολοκλήρωμα
R
sech−1
(x)dx , θέτουμε u = sech−1
(x), οπότε du = −1
x
√
1−x2 dx (βλέπε σvχέσvη
97), και v = x, οπότε dv = dx και η ολοκλήρωσvη κατά παράγοντες δίνει:
R
sech−1
(x)dx = xsech−1
(x) −
R
x( −1
x
√
1−x2 )dx = xsech−1
(x) +
R 1
√
1−x2 dx = xsech−1
(x) +
sin−1
(x) και τελικά:
Z
sech−1
(x)dx = xsech−1
(x) + sin−1
(x) + C x ∈ (0, 1), (115)
csch−1
(x):
Τώρα για το ολοκληρωμα
R
csch−1
(x)dx, θέτουμε u = csch−1
(x), οπότε du = −1
abs(x)
√
1+x2 dx (σvχέσvη
98) και v = x, οπότε dv = dx και τότε η ολοκλήρωσvη κατά παράγοντες δίνει:
R
csch−1
(x)dx = xcsch−1
(x)−
R
x.( −1
abs(x)
√
1+x2 )dx = xcsch−1
(x)+ x
abs(x)
R 1
√
1+x2 dx = xcsch−1
(x)+
sgn(x) sinh−1
+C.
Η σvυνάρτησvη sgn(x) = x
abs(x)
= abs(x)
x
, με x 6= 0 , μας δίνει το πρόσvημο του x. ΄Ετσvι λοιπόν:
sgn(x) =





+1 αν x 0
0 αν x = 0
−1 αν x 0
Επομένως:
Z
csch−1
(x)dx =
(
xcsch−1
(x) + sinh−1
+C, αν x 0
xcsch−1
(x) − sinh−1
+C, αν x 0
(116)
45

46. ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ TAYLOR-MACLAURIN
Υποθέτουμε ότι μια σvυνάρτησvη f(x) μπορεί να αναληθεί σvε σvειρά της μορφής:
f(x) =
∞
X
n=0
anxn
Στη σvυνέχεια βρίσvκουμε τον τύπο που μας δίνει τον γενικό όρο an της σvειράς.
Θα έχουμε λοιπόν:
f(x) =
∞
X
n=0
anxn
= a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ a4x4
+ a5x5
+ · · ·
Οπότε:
f(0) = a0
f0
(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2
+ 4a4x3
+ 5a5x4
+ · · ·
f00
(x) = 2a2 + 2 · 3a3x + 3 · 4a4x2
+ 4 · 5a5x3
+ · · ·
f000
(x) = 2 · 3a3 + 2 · 3 · 4a4x + 3 · 4 · 5a5x2
+ · · ·
f0000
(x) = 2 · 3 · 4a4 + 2 · 3 · 4 · 5a5x + · · ·
Επομένως:
f(0) = a0 ⇒ a0 = f(0) =
f(0)
0!
f0
(0) = a1 ⇒ a1 = f0
(0) =
f0
(0)
1!
f00
(0) = 2a2 ⇒ a2 =
f00
(0)
2
=
f00
(0)
2!
f000
(0) = 2 · 3a3 ⇒ a3 =
f000
(0)
2 · 3
=
f000
(0)
3!
f0000
(0) = 2 · 3 · 4a4 ⇒ a4 =
f0000
(0)
2 · 3 · 4
=
f0000
(0)
4!
Γενικεύοντας λοιπόν θα είναι:
an =
f(n)
(0)
n!
46

47. όπου f(n)
(0) είναι η n-οσvτή παράγωγος της σvυνάρτησvης f(x) σvτη θέσvη x = 0.
Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:
f(x) =
∞
X
n=0
anxn
⇔ an =
f(n)
(0)
n!
Η σvειρά που περιγράψαμε ονομάζεται σvειρά Maclaurin και μας δίνει το ανάπτυγμα σvε σvειρά της
σvυνάρτησvής μας γύρω από το 0. Μπορούμε όμως να αναπτύξουμε σvε σvειρά την σvυνάρτησvή μας γύρω
πχ από το σvημείο c (c 6= 0) που ανηκει σvτο πεδίο ορισvμού της. Η σvειρά που παίρνουμε τότε έχει τη
μορφή:
f(x) =
∞
X
n=0
f(n)
(c)
n!
(x − c)n
Η σvειρά με την παραπάνω μορφή ονομάζεται σvειρά Taylor. Στον τύπο της παραπάνω σvειράς για n
= 0, ο (πρώτος) όρος της σvειράς είναι ο f(0)(c)
0!
(x − c)0
= f(c)
1
1 = f(c). Η σvειρά Maclaurin είναι μια
υποπερίπτωσvη της σvειράς Taylor, για την ειδική τιμή c = 0.
Στα παραπάνω θεωρήσvαμε σvαν δεδομένο ότι η σvυνάρτησvή μας μπορεί να γραφεί με τη μορφή
δυναμοσvειράς (Taylor ή Maclaurin) και είδαμε τον τρόπο με τον οποίο βρίσvκουμε τους σvυντελεσvτές
της. ΄Ετσvι λοιπόν αν πχ. θέλουμε να βρούμε τη σvειρά Maclaurin για την σvυνάρτησvη f(x) = sin(x),
αρκεί να θυμηθούμε ότι η σvειρά θα έχει τη μορφή f(x) =
∞
P
n=0
anxn
και κατόπιν ακολουθώντας τον
τρόπο που περιγράψαμε (με τις διαδοχικές παραγωγίσvεις) μπορούμε να βρούμε τη μορφή πρέπει να
έχουν οι σvυντελεσvτές an. Πριν όμως σvυνεχίσvουμε σvτον υπολογισvμό των σvειρών για τις υπερβολικές
σvυναρτήσvεις, πρέπει να δούμε κάτω από ποιες προϋποθέσvεις μπορούμε να αναλύσvουμε μια σvυνάρτησvη
σvε σvειρά Taylor (ή Maclaurin) .
Για να προσvδιορίσvουμε λοιπόν τις σvυνθήκες που πρέπει να πληρούνται για να υπάρχει η σvειρά
Taylor για κάποια σvυνάρτησvη, ορίζουμε κατ' αρχήν το, νιοσvτού βαθμού και με κέντρο το σvημείο c,
πολυώνυμο Taylor της σvυνάρτησvης f(x) μέσvω της σvχέσvης:
Pn(x) =
n
X
k=0
f(k)
(c)
k!
(x − c)k
Το παραπάνω πολυώνυμο θα είναι ένα πολυώνυμο (το πολύ) βαθμού n. Η πλήρης σvειρά Taylor, (αν
υπάρχει) θα είναι:
f(x) =
∞
X
n=0
f(n)
(c)
n!
(x − c)n
΄Ετσvι λοιπόν το πολυώνυμό μας Pn(x) (αφού περιέχει μόνο τους πρώτους όρους, μέχρι n βαθμού της
απειροσvειράς), θα διαφέρει απ' αυτήν (και άρα και από την σvυνάρτησvη) κατά ένα υπόλοιπο (remainder)
ας το σvυμβολίσvουμε με Rn(x) = f(x)−Pn(x). Είναι το σvφάλμα που κάνουμε με το να προσvεγγίσvουμε
την σvυνάρτησvή μας με το πολυώνυμο Pn(x).
47

48. Από τον ορισvμό: Rn(x) = f(x) − Pn(x) προκύπτει ότι:
f(x) = Pn(x) + Rn(x)
΄Εχουμε λοιπόν το ακόλουθο θεώρημα:
΄Εσvτω ότι η σvυνάρτησvή μας γραφεται με τη μορφή f(x) = Pn(x) + Rn(x) . ΄Αν για το υπόλοιπο
Rn(x) ισvχύει ότι:
lim
n→∞
Rn(x) = 0
για abs(x − c) R, τότε υπάρχει η σvειρά Taylor για τη σvυνάρτησvή μας, δηλαδή:
f(x) =
∞
X
n=0
f(n)
(c)
n!
(x − c)n
, abs(x − c) R
Ο θετικός αριθμός R ονομάζεται και ακτίνα σvύγκλισvης της σvειράς με κέντρο το c και μας δίνει την
περιοχή σvτην οποία σvυγκλίνει η σvειρά. Δηλαδή η σvειρά σvυγκλίνει ∀x ∈ (c−R, c+R) και ενδεχομένως
(πρέπει να το εξετάσvουμε) σvτο x = c − R ή/και σvτο x = c + R.
ΣΕΙΡΕΣ MACLAURIN ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Ας ξεκινήσvουμε λοιπόν με την σvειρά Maclaurin (Taylor για c=0), για την σvυνάρτησvη f(x) = sinh(x).
sinh(x):
Θα έχουμε:
f(0) = sinh(0) = 0
f0
(x) =
d
dx
(sinh(x)) = cosh(x), f0
(0) = cosh(0) = 1
f00
(x) =
d
dx
(cosh(x)) = sinh(x), f00
(0) = sinh(0) = 0
f000
(x) = cosh(x), f000
(0) = 1
f(iv)
(x) = sinh(x) f(iv)
(0) = 0
f(v)
(x) = cosh(x), f(v)
(0) = 1
...............................................
...............................................
Η σvειρά Maclaurin γράφεται:
f(x) = f(0) + f0
(0)x +
1
2!
f00
(0)x2
+
1
3!
f000
(0)x3
+
1
4!
f(iv)
(0)x4
+ · · ·
Οπότε για το sinh(x), η σvειρά γράφεται:
f(x) = sinh(x) = x +
x3
3!
+
x5
5!
+ · · · =
∞
X
n=0
x2n+1
(n + 1)!
, x ∈ (117)
48

49. cosh(x):
cosh(x) = 1 +
x2
2!
+
x4
4!
+
x6
6!
+ · · · =
∞
X
n=0
x2n
(2n)!
, x ∈ (118)
tanh(x):
tanh(x) = x−
x3
3
+
2x5
15
−
17x7
315
+· · ·+
(−1)n−1
22n
(22n
− 1)Bnx2n−1
(2n)!
+· · · , abs(x)
π
2
, Bn : αριθµοί Bernoulli
(119)
coth(x):
coth(x) =
1
x
+
x
3
−
x3
45
+
2x5
945
+· · ·+
(−1)n−1
22n
Bnx2n−1
(2n)!
+· · · , 0 abs(x) π, Bn : αριθµοί Bernoulli
(120)
sech(x):
sech(x) = 1 −
x2
2
+
5x4
24
−
61x6
720
+ · · ·
(−1)n
Enx2n
(2n)!
+ · · · , abs(x)
π
2
, En : αριθµοί Euler (121)
csch(x) :
csch(x) =
1
x
−
x
6
+
7x3
360
−
31x5
15120
+· · ·
(−1)n
2(22n−1
− 1)Bnx2n−1
(2n)!
+· · · , 0 abs(x) π, Bn : αριθ.Bernoulli
(122)
ΣΕΙΡΕΣ MACLAURIN ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
sinh−1
(x):
sinh−1
(x) = x−(
1
2
)
x3
3
+(
1 · 3
2 · 4
)
x5
5
−(
1 · 3 · 5
2 · 4 · 6
)
x7
7
±· · · =
∞
X
n=0
(
(−1)n
(2n)!
22n(n!)2
)
x2n+1
2n + 1
, abs(x) 1 (123)
cosh−1
(x):
cosh−1
(x) = ln(2x)−[(
1
2
)
x−2
2
+(
1 · 3
2 · 4
)
x−4
4
+· · · ] = ln(2x)−
∞
X
n=1
(
(2n)!
22n(n!)2
)
x−2n
2n
, abs(x) 1 (124)
tanh−1
(x):
tanh−1
(x) = x +
x3
3
+
x5
5
+
x7
7
+ · · · =
∞
X
n=0
x2n+1
2n + 1
, abs(x) 1 (125)
49

50. coth−1
(x):
coth1
(x) = tanh−1
(
1
x
) = x−1
+
x−3
3
+
x−5
5
+
x−7
7
+ · · · =
∞
X
n=0
x−(2n+1)
2n + 1
, abs(x) 1 (126)
sech−1
(x) :
sech−1
(x) = cosh−1
(
1
x
) = ln(
2
x
) − [(
1
2
)
x2
2
+ (
1 · 3
2 · 4
)
x4
4
+ (
1 · 3 · 5
2 · 4 · 6
)
x6
6
+ · · · ] =
= ln(
2
x
)−
∞
X
n=1
(
(2n)!
22n(n!)2
)
x2n
2n
, 0 x 1 (127)
csch−1
(x) :
csch−1
(x) = sinh−1
(
1
x
) = x−1
− (
1
2
)
x−3
3
+ (
1 · 3
2 · 4
)
x−5
5
− (
1 · 3 · 5
2 · 4 · 6
)
x−7
7
± · · · =
=
∞
X
n=0
(
(−1)n
(2n)!
22n(n!)2
)
x−(2n+1)
2n + 1
, abs(x) 1 (128)
50

51. Figure 26: Η σvυνάρτησvη tanh(x) και τα πολυώνυμα Taylor τρίτου και έβδομου βαθμού.
51

52. Figure 27: ΟΛΕΣ ΟΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΖΙ
52

53. References
[1] Spiegel, M. R., Μαθηματικό τυπολόγιο, μετάφρασvη Σ. Κ. Περσvίδης, εκδόσvεις ΕΣΠΙ 1976.
[2] Δ. Σουρλάς, Μιγαδική Ανάλυσvη, Πανεπ. Πατρών, Τμήμα Φυσvικής 2012.
[3] Chow, T. L., Mathematical Methods for Physicists A concise introduction, Cambridge Univer-
sity Press 2000.
[4] Arfken, G., Mathematical Methods for Physjcists, Academic Press 1985.
[5] Dawkins P Section 4-16: Taylor Series, : Paul's Online Notes
[6] Mathcentre, Hyperbolic Functions, January 9 2006, pdf le, προσvωρινά απο-
θηκευμένη:http://webcache.googleusercontent.com/...
[7] University of Saskatchewan, Hyperbolic Functions, pdf le, προσvωρινά αποθηκευμένη
{i}{sv}{t}{o}{sv}{e}{l}{Ð}{d}{a}
53