ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

1. ΚΙΝΗ΢Η ΜΕ ΑΝΣΙ΢ΣΑ΢Η ΑΝΑΛΟΓΗ ΣΗ΢
ΝΙΟ΢ΣΗ΢ ΔΤΝΑΜΗ΢ ΣΗ΢ ΣΑΦΤΣΗΣΑ΢
Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη
χρονική στιγμή 0
t να βρίσκεται στη θέση 0
x και να έχει ταχύτητα
0
ˆ
i Σο σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής:
ˆ
n
F k i (δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο της
νιοστής δύναμης της ταχύτητας). Με την είσοδο του σώματος στο μέσο,
θεωρείστε ότι η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι η αντίσταση του μέσου.
Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.
ΑΠΑΝΣΗ΢Η
Έχουμε διαδοχικά:
d
m F
dt
ή
d F
dt m
ή
n
d k
dt m
ή
n
d k
dt
m
ή
n
d k
t C
m
(1)
Α) Τποθέτουμε ότι: 1
n (Η περίπτωση με 1
n , έχει μελετηθεί στην εργασία
με τίτλο: Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας).
Για 1
n , έχουμε:
n
d k
t C
m
ή

2. 1
1
n
k
t C
n m
(2)
Για 0
t , 0 0, οπότε:
1
0
1
n
C
n
(3)
Από τις (2) και (3) , παίρνουμε:
1
1
0
1 1
n
n
k
t
n m n
ή
1 1
0
1
( )
1
n n
k
t
m n
(4)
Α1) Για 1
n , έχουμε:
1 1
0 1 1
0
1 1 1 1
( ) ( )
1 1
n n
n n
k
t
m n n
ή
1 1
0
1 1
( 1) n n
k
n t
m
ή
1 1
0
1 1
( 1)
n n
k
n t
m
ή
1
0
1 1
0
( 1)
1 n
n n
n k t m
m
ή
1
1 0
1
0
( 1)
n
n
n
m
m n k t
ή
1
1
0 1
0
[ ]
( 1)
n
n
m
m n k t
(5).
Α2) Για 1
n , η σχέση:
1 1
0
1
( )
1
n n
k
t
m n
, γράφεται:
1 1
0
(1 ) n n
k
n t
m
ή

3. 1 1
0 (1 )
n n k
n t
m
ή
1
1 0 (1 )
n
n m n kt
m
ή
1
1
0 1
(1 )
[ ]
n
n
m n kt
m
(6)
Προκειμένου στη συνέχεια να βρούμε τη σχέση: ( )
f x , έχουμε:
d
m F
dt
ή
n
d dx
m k
dx dt
ή
n
d k
dx m
ή
1
n
d k
dx
m
ή
1
n
d k
dx
m
ή
2
2
n
k
C x
n m
ή
2
1
( 2) n
k
C x
n m
, με 2
n (7)
(Η περίπτωση με 2
n έχει μελετηθεί στην εργασία: Κίνηση με δύναμη
ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας)
Για 0
x , έχουμε: 0 , οπότε από την (7) παίρνουμε:
2
0
1
( 2) n
C
n
(8)
Από τις σχέσεις (6) και (7) έχουμε:

4. 2 2
0
1 1 1
[ ]
( 2) n n
k
x
m n
(9)
Β1) Για 2
n , η σχέση (9) γράφεται:
2 2
0
1 1
( 2) n n
k
n x
m
ή
2 2
0
1 1
( 2)
n n
k
n x
m
ή
2
0
2 2
0
( 2)
1 n
n n
m n k x
m
ή
2
2 0
2
0
( 2)
n
n
n
m
m n k x
ή
1
2
0 2
0
[ ]
( 2)
n
n
m
m n k x
(10)
Β2) Για 2
n , έχουμε:
2 2
0
1 1 1
[ ]
( 2) n n
k
x
m n
ή
2 2
0
1
[ ]
2
n n
k
x
m n
ή
2 2
0
(2 ) n n
k
n x
m
ή
2 2
0 (2 )
n n k
n x
m
ή
2
2 0 (2 )
n
n m n kx
m
ή
1
2
0 2
(2 )
[ ]
n
n
m n kx
m
(11)

5. ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢
1). Για 1
n , τόσο ο χρόνος κίνησης, όσο και το διάστημα είναι πεπερασμένα.
΢τη σχέση:
1
1
0 1
(1 )
[ ]
n
n
m n kt
m
,
Θέτοντας 0, βρίσκουμε τον ολικό χρόνο της κίνησης t t . Έχουμε:
1
0 (1 ) 0
n
m n kt ή
1
0
(1 )
n
m
t
n k
(12)
Έχει ενδιαφέρον η περίπτωση με 0
n , δηλαδή η περίπτωση της σταθερής
αντίστασης F k , για την οποία η (12) δίνει:
0 0 0
m
t
k
k a
m
(13),
όπου α, το μέτρο της σταθερής (αρνητικής) επιτάχυνσης .
Επίσης η (11), αν για 0 θέσουμε x x , δίνει:
2
0 (2 ) 0
n
m n kx ή
2
0
(2 )
n
m
x
n k
(14)
΢την περίπτωση με 0
n , (σταθερή δύναμη F k ), η σχέση (14) δίνει:
2 2 2
0 0 0
2 2
2
m
x
k
k a
m
(15)
2). Για 1
n , ο χρόνος κίνησης είναι άπειρος, ενώ το διάστημα είναι
πεπερασμένο (: Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας)

6. 3). Για 1 2
n , ο χρόνος κίνησης είναι άπειρος (σχέση (5)), , ενώ το
διάστημα είναι πεπερασμένο (σχέση (11))
4). Για 2
n , η περίπτωση έχει μελετηθεί διεξοδικά: Κίνηση με δύναμη
ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας)
5). Για 2
n , τόσο ο χρόνος κίνησης (σχέση (5)), όσο και το διάστημα
είναι άπειρα (σχέση (10)), δηλαδή δεν υπάρχει πεπερασμένη τιμή του t ή του x
που να μηδενίζει την ταχύτητα.
ΑΘΗΝΑ
ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2012
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ