Θεωρούμε το σύστημα ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια διάσταση και του οποίου η συνάρτηση Lagrange δεν εξαρτάται μόνον από τη θέση του σωματιδίου καιτην ταχύτητά του (όπως απαιτούμε για για μια Lagrangian) αλλά και από την επιτάχυνσή του.
Συνοπτική θεωρία του 2ου Κεφαλαίου (Κύματα) βασισμένη στο σχολικό βιβλίο και συμπληρωμένη όπου αυτό κρίνεται απαραίτητο. Το αρχείο διορθώνεται και ανανεώνεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του μαθήματος και των μαθητών αλλά και βάσει των δικών σας παρατηρήσεων!
1. ΑΠΟ ΣΗ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΙ
ΕΞΙΩΕΙ ΚΙΝΗΗ
Η Lagrangian ενός σωματιδίου μάζας m είναι:
(1)
a
t
m
L
e (T V )
τη σχέση (1):
Σο a είναι σταθερά,
T
1
m( x 2
2
V
V ( x, y, z) είναι η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου.
y2
z 2 ) είναι η κινητική ενέργεια,
Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για το εν λόγω σωματίδιο.
Η Lagrangian γράφεται:
L
a
t
m
ή
e (T V )
L
a
t
m
1
e [ m( x 2
2
y2
z 2 ) V ( x, y, z )]
(2)
Έχουμε λοιπόν:
L
x
e
a
t
m
1
m2 x
2
a
t
m
e mx
(3)
2. d L
( )
dt x
a
a
t
a mt
e mx e m mx
m
ή
a
t
m
d L
( )
dt x
e ( mx ax)
(4)
Και:
L
x
e
a
t
m
V ( x, y , z )
x
(5)
Για τη συγκεκριμένη συντεταγμένη η εξίσωση Lagrange
γράφεται:
d L
( )
dt x
L
x
0
(6)
Από τις σχέσεις(4), (5) και (6) έχουμε:
a
t
m
e ( mx ax) e
a
t
m
V ( x, y , z )
x
mx
ή
0
ax
V ( x, y , z )
x
(7)
Ή απλουστεύοντας τη γραφή: V ( x, y, z) V
mx
ax
Δουλεύοντας με ανάλογο τρόπο:
V
x
(8)
3.
my
ay
V
y
(9)
mz
az
V
z
(10)
Οι εξισώσεις (8), (9) και (10) μπορούν να συνδυασθούν και να
γραφούν σε διανυσματική μορφή:
mr
ar
V
την εξίσωση κίνησης (11), ο όρος
(11)
V αντιστοιχεί σε
συντηρητική δύναμη που απορρέει από το δυναμικό V , ενώ ο όρος
ar αντιστοιχεί σε δύναμη αντίστασης (αντίθετης στην ταχύτητα).
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ