Είναι η απόδειξη ενός λήμματος του T. Kobos (διαφορετική από την πρωτότυπη), σχετικού με την κυρτή ανάλυση και που χρησιμοποιήθηκε κατά την απόδειξη (του ιδίου) του Θεωρήματος Petty.

1. Απόδειξη Λήμματος
1 Δεκεμβρίου 2016
Λήμμα 1
΄Εστω C ⊆ R2 ένα κυρτό σώμα και 0 = u ∈ R2 ένα μη μηδενικό διάνυσμα.
Θεωρούμε την συνάρτηση fu(x) : C −→ [0, +∞) ως εξής:
fu(x) = sup{t ≥ 0 : x + tu ∈ C}
Τότε η fu είναι συνεχής.
Απόδειξη
Αρχικά παρατηρούμε ότι η fu έχει τις εξής ιδιότητες:
Ισχυρισμός 1
Αν λ ∈ R και x + λu ∈ C τότε fu(x + λu) = fu(x) − λ.
Απόδειξη
Πράγματι, έστω λ ∈ R. Τότε fu(x + λu) = sup{t ≥ 0 : x + λu + tu ∈ C} =
sup{s ≥ λ : x + su ∈ C}. ΄Εστω ότι fu(x + λu) < fu(x) − λ. Τότε, για
ε = fu(x) − λ − fu(x + λu) > 0 υπάρχει t0 ≥ 0 τέτοιο ώστε:
x + t0u ∈ C και t0 > fu(x) − ε = fu(x + λu) + λ, άτοπο
΄Εστω ότι fu(x + λu) > fu(x) − λ. Τότε, για ε = fu(x + λu) − fu(x) + λ > 0
υπάρχει s0 ≥ λ τέτοιο ώστε:
x + s0u ∈ C και s0 > fu(x + λu) − ε = fu(x) − λ, άτοπο
΄Αρα fu(x + λu) = fu(x) − λ.
Ισχυρισμός 2
Αν x, y ∈ C τέτοια ώστε y = x + λu τότε |fu(y) − fu(x)| = y−x
u .
Απόδειξη
Αν λ = 0 ο ισχυρισμός ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο. ΄Εστω, χωρίς βλάβη της
γενικότητας, λ > 0. Τότε:
y − x = x + λu − x = λ u ⇒ λ =
y − x
u
1

2. Διαδοχικά έχουμε:
|fu(y) − fu(x)| = |fu(x + λu) − fu(x)| = |fu(x) − λ − fu(x)| = |λ| =
y − x
u
Που ήταν και το ζητούμενο.
Στο εξής θα θεωρούμε ότι το u είναι μοναδιαίου μήκους (αν δεν είναι, τότε
το u = u
u είναι παράλληλο με το u και μοναδιαίο).
Θεωρούμε την εξής σχέση στο C:
x ∼ y ⇔ fu(x) = fu(y)
Ισχυρισμός 3
Η ∼ είναι σχέση ισοδυναμίας.
Απόδειξη
Πράγματι, έχουμε:
1. Η ∼ είναι αυτοπαθής:
fu(x) = fu(x) ⇔ x ∼ x
2. Η ∼ είναι συμμετρική:
x ∼ y ⇔ fu(x) = fu(y) ⇔ fu(y) = fu(x) ⇔ y ∼ x
3. Η ∼ είναι μεταβατική:
x ∼ y ∧ y ∼ x ⇔ fu(x) = fu(y) = fu(z) ⇔ fu(x) = fu(z) ⇔ x ∼ z
΄Αρα η ∼ είναι σχέση ισοδυναμίας στο C.
Ορίζεται επομένως ο χώρος πηλίκο C
∼. Θεωρούμε τώρα και την κανονική
προβολή:
π : (C, T ) −→ C
∼, Tπ
όπου T , Tπ είναι η σχετική τοπολογία του R2 στο C και η τοπολογία πηλίκο
που επάγεται από την κανονική προβολή, αντίστοιχα, δηλαδή:
Tπ = {G ⊆ C
∼ : π−1
(G) ∈ T }
Παρατηρούμε ότι η π είναι συνεχής (αφού αντιστρέφει ανοικτά σε ανοικτά).
Ορίζουμε τώρα μία συνάρτηση f : C
∼ −→ [0, +∞) ως εξής:
f([x]) = fu(x)
2

3. Παρατηρούμε ότι η f είναι καλά ορισμένη, αφού η fu είναι σταθερή σε κάθε
κλάση ισοδυναμίας στον χώρο C
∼. Επίσης παρατηρούμε ότι fu(x) = f([x]) =
f(π(x)) = (f ◦ π)(x), επομένως αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής.
Ορίζουμε επίσης την συνάρτηση ρ : C
∼ × C
∼ −→ [0, +∞) ως εξής:
ρ([x], [y]) = |fu(x) − fu(y)|
Παρατηρούμε ότι η ρ είναι καλά ορισμένη, αφού η fu είναι σταθερή στις κλάσεις
και ότι η ρ είναι μετρική στον C
∼. Πράγματι:
1. ρ([x], [y]) ≥ 0 και ρ([x], [y]) = 0 ⇔ |fu(x) − fu(y)| = 0 ⇔ fu(x) =
fu(y) ⇔ [x] = [y]
2. ρ([x], [y]) = ρ([y], [x]) (σαφές).
3. ρ([x], [y]) = |fu(x) − fu(y)| ≤ |fu(x) − fu(z)| + |fu(z) − fu(y)| =
ρ([x], [z]) + ρ([z], [y]), για κάθε [x], [y], [z] ∈ C
∼.
Τώρα, αν Tρ η παραγόμενη τοπολογία από τη μετρική ρ, παρατηρούμε το εξής:
Ισχυρισμός 4
Η π : (C, T ) −→ C
∼, Tρ είναι συνεχής.
Απόδειξη
Πράγματι, έστω (xn)n∈N ⊆ C ακολουθία στον C με xn → x, x ∈ C και έστω
ε > 0. Τότε, θεωρούμε το σημείο y = x + ε
3)u (μπορούμε να υποθέσουμε ότι
το ε > 0 είναι αρκετά μικρό έτσι ώστε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, x+ ε
3u ∈
C1). Τότε fu(y) = fu(x + ε
3u) = fu(x) − ε
3. ΄Εστω δ = dist(x, π−1({[y]})).
Τότε υπάρχει n0 ∈ N τέτοιο ώστε ∀n ≥ n0 να ισχύει xn − x < δ =
dist(x, π−1({[y]})) = inf{ x − y : y ∼ y} ≤ y − x = ε
3u = ε
3 u = ε
3.
Θεωρούμε τώρα το σημείο yn = x + xn − x u το οποίο ανήκει στο C
λόγω κυρτότητας (yn ∈ [x, y])2. Επίσης yn − x = x + (xn − x)u − x =
xn − x · u = xn − x < ε
3.
Διαδοχικά έχουμε:
ρ(π(xn), π(x)) = ρ([xn], [x]) = |fu(xn) − fu(x)| ≤
|fu(xn) − fu(yn)| + |fu(yn) − fu(x)| = xn − yn + yn − x <
2ε
3
+
ε
3
= ε
διότι xn, yn ∈ ˆB(x, ε
3) ⇒ xn − yn ≤ 2ε
3 . ΄Αρα, η π είναι συνεχής ως προς την
Tρ.
1
Πράγματι, αν για το x ισχύει ότι x ± tu ∈ C για κάθε t = 0, τότε fu(x) = 0. Επίσης,
αφού το C είναι κυρτό σώμα, έπεται ότι έχει μη κενό εσωτερικό, άρα υπάρχουν x0 ∈ C, r > 0
τέτοια ώστε B(x0, r) ⊆ C, άρα ο κώνος K = conv (x, B(x0, r)) περιέχεται στο C. ΄Εστω
ένα y0 ∈ K. Τότε το x = y0 + fu(y0)u ανήκει στο C, λόγω συμπάγειας και fu(x ) =
fu(y0 + fu(y0)u) = fu(y0) − fu(y0) = 0 = fu(x), άρα x ∼ x, και από την κυρτότητα του
C, το ευθύγραμμο τμήμα [y0, x ] ∈ C, άρα μπορούμε να δουλέψουμε με το x στη θέση του
x (Μπορούμε δηλαδή να κινηθούμε παράλληλα στο u συγκλίνοντας προς την κλάση του x).
2
Αφού xn − x < ε
3
3

4. Αφού η π είναι συνεχής ως προς την Tρ, έπεται ότι Tρ ⊆ Tπ, αφού η Tπ
είναι η μεγαλύτερη τοπολογία που καθιστά την π συνεχή.
Ισχυρισμός 5
Ο C
∼, Tπ είναι συμπαγής.
Απόδειξη
Πράγματι, έστω Ui, i ∈ I ένα ανοικτό κάλυμμα του C
∼, Tπ . Τότε τα σύνολα
Vi = π−1(Ui), i ∈ I είναι ένα ανοικτό κάλυμμα του (C, T ). Πράγματι, αν x ∈ C
τότε π(x) ∈ C
∼ = ∪i∈IUi, άρα υπάρχει i0 ∈ I τέτοιο ώστε π(x) ∈ Ui0 , άρα
x ∈ π−1(Ui0 ) = Vi0 . Επομένως C = Ui∈IVi και τα Vi είναι ανοικτά, αφού η π
είναι συνεχής.
Εφόσον το C είναι συμπαγές, έπεται ότι υπάρχουν i1, i2, . . . , in ∈ I τέτοια
ώστε C = ∪n
k=1Vik
. Επομένως: C
∼ = π(C) = π (∪n
k=1Vik
) = ∪n
k=1π(Vik
) =
∪n
k=1Uik
, δηλαδή βρήκαμε ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα του C
∼, επομένως ο
C
∼ είναι συμπαγής.
Παρατηρούμε ότι, εφόσον η Tρ είναι μετρικοποιήσιμη τοπολογία στον C
∼,
έπεται ότι ο χώρος C
∼, Tρ είναι Hausdorff, άρα και η Tπ θα είναι μία Haus-
dorff τοπολογία στον C
∼, αφού περιέχει την Tρ. Επιπρόσθετα, η Tπ είναι
συμπαγής και Tρ ⊆ Tπ επομένως, από γνωστή πρόταση, ισχύει ότι Tρ = Tπ,
δηλαδή η τοπολογία πηλίκο είναι μία μετρική τοπολογία με μία μετρική που την
παράγει να είναι η ρ. Είμαστε έτοιμοι να δείξουμε ότι η f είναι (ομοιόμορφα)
συνεχής.
΄Εστω ε > 0. Τότε για δ = ε > 0, για [x], [y] ∈ C
∼ έχουμε:
ρ([x], [y]) < δ ⇒ |fu(x) − fu(y)| < δ = ε ⇒ |f(x) − f(y)| < ε
΄Αρα η f είναι συνεχής.
Συνεπώς η fu είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών f και π.
4