สรุปเนื้อหาและแบบฝึกหัด เลข ม.3 เรื่องปริมาตรและพื้นที่ผิว

1. ปริมาตรและพื้นที่ผิว
ทรงสามมิติ ไดแก ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึม ทรงกระบอก ฯลฯ
ตัวอยางของทรงสามมิติ
ปริมาตรของรูปทรงตาง ๆ
1. รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปทรงที่มีดานกวาง ดานยาว และดานสูง และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก
สูตร ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยม = กวาง × ยาว × สูง
หรือ = พื้นที่ฐาน × สูง

2. 2. รูปทรงลูกบาศก คือ รูปทรงที่มีดานทุกดานเทากันเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก
สูตร ปริมาตรทรงลูกบาศก = ดาน × ดาน × ดาน
หรือ = ( ดาน )
3
3. รูปทรงกลม คือ รูปทรงกลมตันที่ลอมรอบดวยผิวโคงที่มีระยะหางจากจุดศูนยกลางเทากัน
สูตร ปริมาณทรงกลม = 3.
3
4
rπ
7
22
, r = รัศมีทรงกลม )

3. 4. รูปทรงกระบอก คือ รูปทรงที่มีพื้นที่หนาตัดเปนวงกลมทั้งดานบนและดานลาง ซึ่งมีขนาดเทากัน
พิ้นที่ผิวดานขางเปนร ูปสี่เหลี่ยมพื้นผา
สูตร ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง
หรือ = พื้นที่วงกลม × สูง
หรือ = hr .2.π
( h = สวนสูง )
5. รูปทรงกรวยกลม คือ รูปทรงที่มีฐานเปนวงกลมผิวดานขางโคง และสวนยอดแหลม
สูตร ปริมาตรทรงกรวยกลม = × พื้นที่ฐาน × สูงตรง ( h )
= hr .2.
3
1
π
3
1

4. 6. รูปพีระมิด คือ รูปทรงที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมตาง ๆ แลวมียอดแหลม
และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดรวมกัน การเรียกพีระมิดจะเรียกตามชื่อรูปเหลี่ยมที่ฐาน
สูตร ปริมาตรทรงพีระมิด = × พื้นที่ฐาน × สูงตรง ( h )3
1
7. รูปทรงปริซึม คือ
รูปทรงเหลี่ยมหนาตัดหัวทายเปนรูปเหลี่ยมเหมือนกันและเทากันพื้นที่ผิวดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา
การเรียกชื่อจะเรียกตามรูปหนาตัดปริซึม
สูตร ปริมาตรทรงปริซึม = พื้นที่หนาตัด ( ฐาน ) × ความยาว ( สูง )

5. 3
1. การหาพื้นที่ คิดเพียง 2 มิติ มีหนวยการวัดเปนตารางหนวย
2. การหาปริมาตร คิด 3 มิติ มีหนวยการวัดเปนลูกบาศกหนวย
3. สมบัติ เกี่ยวกับมุม ดาน และเสนทแยงมุม ของรูปสี่เหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยม
4. สูตรการหาพื้นที่รูปเหลี่ยมตาง ๆ
4.1 สามเหลี่ยมใด ๆ = ×
2
1
ฐาน×สูง
= ( )( ) )( csbsass −−− เมื่อ a,b,c เปนความยาวของดานทั้งสาม
และ S = 2
cba ++
4.2 สามเหลี่ยมมุมฉาก = ×
2
1
ผลคูณของดานประกอบมุมฉาก
4.3 สามเหลี่ยมดานเทา = 4
3
×(ดาน)2
4.4 สามเหลี่ยมฐานโคง = r
360
D
π×
2
(เมื่อ D คือมุมยอด)
4.5 สี่เหลี่ยมจัตุรัส = (ดาน)2
หรือ (เสนทแยงมุม)2
4.6 สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว
4.7 สี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง
4.8 สี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน = ×
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม หรือ ฐาน× สูง
4.9 สี่เหลี่ยมคางหมู = ×
2
1
สูง ×ผลบวกดานคูขนาน หรือ
4.10 สี่เหลี่ยมดานไมเทา = ×
2
1
เสนทแยงมุม ×ผลบวกของเสนกิ่ง
4.11 สี่เหลี่ยมรูปวาว = ×
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม
4.12 เสนรอบวงของวงกลม = 2 rπ หรือ Dπ (เมื่อ D คือเสนผานศูนยกลาง)
4.13 พื้นที่วงกลม = 2
rπ
4.14 พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 2
rπ
4.15 พื้นที่ผิวกรวยกลม = rlπ (l = สงเอียง)
2

6. 4.16 ปริมาตรของทรงกลม = 3
r
3
4
π
4.17 ปริมาตรทรง มุมฉาก = พื้นที่ฐาน × สูง หรือ กวาง × ยาว × สูง
4.18 ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูงตรง
4.19 พื้นที่ผิวขางทรงกระบอก = 2 rhπ หรือ เสนรอบวงที่ฐาน × สูง
4.20 ปริมาตรของพีระมิด = ×
3
1
พื้นที่ฐาน × สูงตรง
4.21 ปริมาตรของกรวยกลม = ×
3
1
พื้นที่ฐาน × สูง
5. ความรูเกี่ยวกับทฤษฎีทั่ว ๆ ไป ∆
5.1 การเทากันทุกประการของ
1.1 ด.ด.ด.
1.2 ด.ม.ด.
1.3 ด.ฉ.ด.
1.4 ม.ด.ม.
5.2 ทฤษฎีปทาโกรัส
a และ b เปนดานประกอบมุมฉาก และ c เปนดานตรงขามมุมฉาก จะได c2
= a2
+ b2
5.3 การเทากันของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท : สามเหลี่ยมสองรูปถามีฐานยาวเทากันหรือยูบนฐานเดียวกันและมีสวนสูง
เทากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะมีพื้นที่เทากัน
D
C
A
B
จากรูป
พื้นที่รูป ∆ ABD เทากับ
พื้นที่รูป ∆ADC

7. การหาปริมาตรของทรงสามมิติใด ๆ
จะตองตรวจสอบดูวา ความกวาง ความยาว และความสูง ของทรงสามมิตินั้น วัดโดยใชหนวยวัดเดียวกันหรือไมถาหนวยวัด
ไมเหมือนกันจะตองเปลี่ยนใหเปนหนวยวัดเดียวกันกอน
ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง
พื้นที่ฐานของรูปทรงที่เรียนกันจะมี 7 ชนิด คือ
- พื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉาก =
2
1
× สูง × ฐาน
- พื้นที่สามเหลี่ยมใด ๆ = ))()(( csbsass −−− โดย s =
2
cba ++
- พื้นที่สามเหลี่ยมดานเทา = ×
4
3
ดาน2
- พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ดาน × ดาน
- พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว
- พื้นที่หกเหลี่ยมดานเทา = 6 × พื้นที่สามเหลี่ยมดานเทา
= 6 × ×
4
3
ดาน2
- พื้นที่วงกลม = 2
.rπ

8. นิยามของลูกบาศก และ ปริซึม
ลูกบาศก (Cube)
- ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวยเทากัน
- กําหนดใหมีปริมาตร 1 ลูกบาศกหนวย
ปริซึม (Prism)
- ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเปนรูปเหลี่ยมที่เทากันทุกประการฐานทั้งคูอยูในระนาบที่ขนานกัน
- ดานขางแตละดานเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
พื้นที่ผิวของทรงสามมิติ (Surface area of solid)
พื้นที่ผิวของทรงสามมิติ เทากับ ผลรวมของพื้นที่ผิวทุกดานของทรงสามมิติ
หรือ เทากับ หัวทาย + ขาง
หรือ เทากับ 2 เทาของพื้นที่ฐาน + (เสนรอบรูปฐาน × ความสูง)

9. ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึมหนาตัดสามเหลี่ยม ปริซึมหนาตัดหาเหลี่ยม
ปริซึม (Prism) คือทรงสามมิติที่มีหนาตัดหัวทายเปนรูปเหลี่ยมตาง ๆ เหมือนกันทั้งหัวและทาย
โดยมีพื้นที่เทากัน รูปแบบเดียวกันและขนานกัน ดานขางของปริซึมขนานกันและเปนความยาวของปริซึม
โดยพื้นที่ดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทุกรูป
ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยูกับหนาตัดของรูปนั้น ๆ เชน หนาตัดเปนรูปสามเหลี่ยม เรียกปริซึม
สามเหลี่ยม หนาตัดเปนรูปหาเหลี่ยม เรียกปริซึมหาเหลี่ยม เปนตน
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัดหัวทาย
พื้นที่ผิวขางของปริซึม = ความยาวเสนรอบฐาน × ความสูง
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

10. (3)
20
60
1. จงหาปริมาตรของทรงสามมิติตอไปนี้
(1)
(2)
ตัวอยาง

11. (6)
(5)
(4)

12. (8)
(7)

15. กลองกระดาษทรงสี่เหลี่ยม มีพื้นที่กนกลอง 300 ตารางเซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร กลองใบนี้มีความจุเทาใด
วิธีทํา ปริมาตรของกลองกระดาษ = พื้นที่ฐาน × สูง
พื้นที่กนกลอง = 300 ตารางเซนติเมตร
ความสูงของกลอง = 20 เซนติเมตร
∴ กลองมีความจุ = 300 × 20 ลูกบาศกเซนติเมตร
∴กลองใบนี้จุ 6,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ
ตัวอยาง ถังน้ําสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 3 เมตร ยาว 7 เมตร มีน้ําบรรจุอยู 105 ลูกบาศกเมตร
ระดับน้ําจะสูงกี่เมตร
ปริมาตร = กวาง × ยาว × สูง
สูง =
ยาวกวาง
ปริมาตร
×
ระดับน้ําสูง = 73
105
×
= 5
เมตร
ตอบ 5 เมตร
ตัวอยาง
วิธีทํา

16. 16.5 พีระมิด (Pyramid)
คือ รูปทรงสามมิติที่มีพื้นฐานเปนรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอด
แหลมนั้นนิยมเรียกชื่อของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เชน พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา พีระมิดฐานหกเหลี่ยม
ดานเทา เปนตน พีระมิดแบงออกเปน 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง ในระดับ ม.3 จะกลาวถึงเฉพาะพีระมิดฐานตรง
ก. ลักษณะของพีระมิด
พีระมิดตรง
หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเปนเหลี่ยมดานเทามุมเทา มีสันยาวเทากันทุกเสน จะมีสูงเอียงทุกเสนยาวเทากัน และสูงจะตั้งฉาก
กับฐานที่จุดซึ่งอยูหางจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เปนฐานเปนระยะเทากันมีหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
พีระมิดตามลักษณะของฐาน
พีระมิดสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา พีระมิดฐานหาเหลี่ยมดานเทา

17. สูตรการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด
พื้นที่ผิวขาง 1 ดาน = 2
1
× ฐาน × สูงเอียง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวขางทุกดาน
ในกรณีที่เปนพีระมิดตรงและมีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทาทุกเทา
พื้นที่ผิวขางทุกดาน = 2
1
× ความยาวเสนรอบฐาน × สูงเอียง
ปริมาตรของพีระมิด = 3
1
× พื้นที่ฐาน × สูง
พื้นที่ผิวของพีระมิด (Surface area of pyramid)
พื้นที่ของหนาทุกหนาของพีระมิดรวมกันเรียกวา พื้นที่ผิวขางของพีระมิด และพื้นที่ผิวขาง
ของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกวา พื้นที่ผิวของพีระมิด
Ò§µÑÇÍ‹ ¾ÕÃÐÁÔ´µÃ§°Ò¹ËŒÒàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹à·‹ÒÁØÁà·‹ÒÂÒÇ´ŒÒ¹ÅÐ20ૹµÔàÁµÃÁÕÊÙ§àÍÕ§
15 ૹµÔàÁµÃ ¨§ËÒ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´
ÇÔ¸Õ·íÒ
ÇÔ¸Õ·Õè1
¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´ = ¾×é¹·Õè ABC + ¾×é¹·Õè ACD + ¾×é¹·Õè ADE + ¾×é¹·Õè AEF
+ ¾×é¹·Õè AFB
ᵋ¾×é¹·Õè ABC = ¾×é¹·Õè ACD = ¾×é¹·Õè ADE = ¾×é¹·Õè AEF= ¾×é¹·Õè AFB
´Ñ§¹Ñé¹¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´=5×(
×20×15)µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
= 750 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
µÍº ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁԴ෋ҡѺ750µÒÃҧૹµÔàÁµÃ

18. ÇÔ¸Õ·Õè 2 à¾ÃÒÐ໚¹¾ÕÃÐÁÔ´µÃ§°Ò¹ËŒÒàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹à·‹ÒÁØÁà·‹Ò
¨Ò¡Êٵà ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´
¾ÕÃÐÁÔ´µÃ§°Ò¹ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊÁÕ´ŒÒ¹ÂÒÇ´ŒÒ¹ÅÐ40ૹµÔàÁµÃáÅÐÊÙ§15ૹµÔàÁµÃ
¨§ËÒ¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ¾ÕÃÐÁÔ´
ÇÔ¸Õ·íÒ
¨Ò¡ÃÙ»AB = BC = CD = DA = 40 ૹµÔàÁµÃ
áÅÐ PE = 15ૹµÔàÁµÃ
ÃÙ» PEF ໚¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÁØÁ©Ò¡ÁÕ PEF ໚¹ÁØÁ©Ò¡
¨Ðä´Œ PF2
= PE2
+ EF2
= 152
+ 202
= 225+400
PF2
= 625
PF = 25ૹµÔàÁµÃ
à¹×èͧ¨Ò¡à»š¹¾ÕÃÐÁÔ´°Ò¹ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊ
´Ñ§¹Ñé¹¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´ =
פÇÒÁÂÒÇÃͺ°Ò¹×ÊÙ§àÍÕ§
=
×(4×40)×25µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´ = 2,000 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè°Ò¹¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´ = 40×40=1,600µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ¾ÕÃÐÁÔ´ = ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§ + ¾×é¹·Õè°Ò¹
= 2,000 + 1,600 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
= 3,600µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
µÍº ¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ¾ÕÃÐÁԴ෋ҡѺ 3,600µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
8
= × ¤ÇÒÁÂÒÇÃͺ°Ò¹ × ÊÙ§àÍÕ§1
2
µÍº ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¾ÕÃÐÁԴ෋ҡѺ 750 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
= × (5× 20) × 15 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ1
2
= 750 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
Ò§µÑÇÍ‹

19. Ò§µÑÇÍ‹ ¾ÕÃÐÁÔ´°Ò¹ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊÂÒÇ´ŒÒ¹ÅÐ16ૹµÔàÁµÃáÅÐÁÕÊÙ§àÍÕ§17ૹµÔàÁµÃ
¨§ËÒ»ÃÔÁҵâͧ¾ÕÃÐÁÔ´
ÇÔ¸Õ·íÒ
¨Ò¡ÃÙ» ¾ÕÃÐÁÔ´°Ò¹ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊBCDEÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇ´ŒÒ¹ÅÐ16ૹµÔàÁµÃÊÙ§àÍÕ§AG=17ૹµÔàÁµÃ
AF ໚¹¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´
¨Ò¡ÃÙ» ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÁØÁ©Ò¡ AFG ÁÕÁØÁ AFG ໚¹ÁØÁ©Ò¡ ¨Ðä´Œ
AF2
= AG2
– FG2
AF2
= 172
– 82
= 289 – 64
AF2
= 225
AF = 15ૹµÔàÁµÃ
¹Ñ蹤×;ÕÃÐÁÔ´ÊÙ§15ૹµÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè°Ò¹¢Í§¾ÕÃÐÁÔ´¹Õé=16×16=256µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¨Ò¡Êٵà »ÃÔÁҵâͧ¾ÕÃÐÁÔ´ = !
× ¾×é¹·Õè°Ò¹×ÊÙ§
= !
×256×15ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
= 1,280 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
µÍº »ÃÔÁҵâͧ¾ÕÃÐÁԴ෋ҡѺ 1,280 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ

20. พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก
ทรงกระบอก คือ รูปทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ประกอบดวยพื้นที่ผิวขางของทรงกระบอกและพื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก
ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = ขาง + หัวทาย
= π2 + 2
2 rπ
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง
= hr 2
π
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก
rh

21. µÑÇÍ‹ҧ¨§ËÒ¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ·Ã§¡Ãк͡¨Ò¡ÃÙ»
20«Á.
40«Á.
ÇÔ¸Õ·íÒ
¨Ò¡Êٵþ×é¹·Õè¼ÔǢͧ·Ã§¡Ãк͡ = 2πr(h+r) µÒÃҧ˹‹ÇÂ
= 2× π× 20× (40+20) µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
= 40π× 60 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ·Ã§¡Ãк͡ = 2400π µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
π ≈ 3.14
¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ·Ã§¡Ãк͡ ≈ 2400×3.14 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
≈ 7,536.00 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
µÍº ¾×é¹·Õè¼ÔǷç¡Ãк͡»ÃÐÁÒ³ 7,536 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
1.3.2 »ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡
ÊíÒËÃѺÃÙ»·Ã§µÑ¹ã´ æ ·ÕèÁÕá¹Ç¢ŒÒ§â´ÂÃͺµÑ駩ҡ¡ÑºË¹ŒÒµÑ´ËÃ×Í°Ò¹·Ñé§ÊͧáÅÐ˹ŒÒµÑ´ËÃ×Í
°Ò¹·Ñé§Êͧ¢¹Ò¹¡Ñ¹àª‹¹»ÃÔ«ÖÁáÅзç¡Ãк͡ÁդسÊÁºÑµÔ´Ñ§¡Å‹ÒǹÕé
»ÃÔÁҵâͧÃÙ»·Ã§¹Ñé¹æ = ¾×é¹·Õè°Ò¹× ÊÙ§ àÊÁÍä»
´Ñ§¹Ñé¹ »ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡ = ¾×é¹·Õè°Ò¹× ÊÙ§ ÅÙ¡ºÒÈ¡Ë¹‹ÇÂ
= πr2
h ÅÙ¡ºÒÈ¡Ë¹‹ÇÂ
àÁ×èÍ r á·¹ÃÑÈÁբͧ°Ò¹¢Í§·Ã§¡Ãк͡
há·¹¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§·Ã§¡Ãк͡
»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡= πr2
h
àÁ×èÍ r á·¹ÃÑÈÁբͧ°Ò¹¢Í§·Ã§¡Ãк͡
há·¹¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§·Ã§¡Ãк͡
ËÁÒÂà˵Ø
ÊٵáÒÃËÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡¹Õé㪌䴌·Ñ駻ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡µÃ§áÅлÃÔÁҵâͧ
·Ã§¡Ãк͡àÍÕ§

22. Ò§µÑÇÍ‹ ¨§ËÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡µÃ§¨Ò¡ÃÙ»
2«Á.
4«Á.
ÇÔ¸Õ·íÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡ = πr2
h
= π ×22
×4 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
= 16π ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
π ≈ 3.14
»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡≈ 16×3.14≈ 50.24 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
µÍº ·Ã§¡Ãк͡ÁÕ»ÃÔÁҵûÃÐÁÒ³ 50.24 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
¨§ËÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡àÍÕ§¨Ò¡ÃÙ»
ÇÔ¸Õ·íÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡ = πr2
h
= π× × 4 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
= 49π ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
π ≈
»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡≈49× ≈154ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
µÍº·Ã§¡Ãк͡ÁÕ»ÃÔÁҵûÃÐÁÒ³154ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
7 «Á.
4 «Á.
22
7
22
7
7
2( )2
Ò§µÑÇÍ‹

23. Ò§µÑÇÍ‹ ¨§ËÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡µÃ§¨Ò¡ÃÙ»
2«Á.
4«Á.
ÇÔ¸Õ·íÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡ = πr2
h
= π ×22
×4 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
= 16π ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
π ≈ 3.14
»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡≈ 16×3.14≈ 50.24 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
µÍº ·Ã§¡Ãк͡ÁÕ»ÃÔÁҵûÃÐÁÒ³ 50.24 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
¨§ËÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡àÍÕ§¨Ò¡ÃÙ»
ÇÔ¸Õ·íÒ»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡ = πr2
h
= π× × 4 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
= 49π ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
π ≈
»ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡≈49× ≈154ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
µÍº·Ã§¡Ãк͡ÁÕ»ÃÔÁҵûÃÐÁÒ³154ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
7 «Á.
4 «Á.
22
7
22
7
7
2( )2
Ò§µÑÇÍ‹

24. Ò§µÑÇÍ‹ º‹Í¹éíҷç¡Ãк͡ÁÕàÊŒ¹¼‹Ò¹Èٹ¡ÅÒ§¢Í§°Ò¹4.2àÁµÃÅÖ¡6àÁµÃº‹Í¹éíÒÁÕ¤ÇÒÁ¨Ø
¡ÕèÅÙ¡ºÒÈ¡àÁµÃ
¡íÒ˹´ãËŒπÁÕ¤‹Ò»ÃÐÁÒ³
ÇÔ¸Õ·íÒ »ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡Ãк͡ = πr2
h
»ÃÔÁҵâͧº‹Í¹éíҷç¡Ãк͡ = π× × 6ÅÙ¡ºÒÈ¡àÁµÃ
= 26.46π ÅÙ¡ºÒÈ¡àÁµÃ
π ≈
22
7
22
7
( )4.2 2
2
º‹Í¹éíҷç¡Ãк͡ÁÕ»ÃÔÁҵà ≈ 26.46 × ÅÙ¡ºÒÈ¡àÁµÃ
≈ 83.16 ÅÙ¡ºÒÈ¡àÁµÃ
µÍº º‹Í¹éíҷç¡Ãк͡ÁÕ»ÃÔÁҵûÃÐÁÒ³ 83.16 ÅÙ¡ºÒÈ¡àÁµÃ
22
7

25. พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย
กรวย
คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมมียอดแหลม เสนที่ตอระหวางจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง
ที่ยาวเทากัน เรียกวา สูงเอียงของกรวยตรงยาวเทากัน
พื้นที่ผิวของกรวย
พื้นที่ผิวของกรวย เปนพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง ประกอบดวยพื้นที่ผิวขาง กับพื้นที่ฐานของกรวย
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = กน + ขาง
= 2
rrπ + rrlπ
ถากรวยมีสวนเอียงยาว l หนวย และ รัศมีที่ฐานยาว r หนวย
ปริมาตรของกรวย =
3
1
× พื้นที่ฐาน × ความสูง
= hr2
.
3
1
π
เมื่อ r แทนรัศมีฐานกรวย และ h แทนความสูงของกรวย

26. างตัวอย กระทงกรวยใบหนึ่ง มีเสนผานศูนยกลางปากกรวย 3 เซนติเมตร สูง 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของกรวยนี้
วิธีทํา ปริมาตรของกรวยกลม = hr .2.
3
1
π
= 7
2
2
3
7
22
3
1
×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
××
= 7.
2
3
.
2
3
7
22
3
1
×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
××
=
2
33
= 16.5
∴ ปริมาตรของกระทงกรวย 16.5 ลูกบาศกเซนติเมตร
µÑÇÍ‹ҧ¨§ËÒ¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ¡ÃÇ«Öè§ÁÕÃÑÈÁբͧ°Ò¹35ૹµÔàÁµÃáÅÐÊÙ§12ૹµÔàÁµÃ
ÇÔ¸Õ·íÒ ÃÑÈÁբͧ°Ò¹¡ÃÇÂÂÒÇ 35ૹµÔàÁµÃ
¡ÃǹÕéÊÙ§ 12ૹµÔàÁµÃ
áÅÐAC¤×ÍÊÙ§àÍÕ§
´Ñ§¹Ñé¹AC2
=BC2
+AB2
=352
+122
AC = 1369
AC =37ૹµÔàÁµÃ
¨Ò¡Êٵþ×é¹·Õè¼ÔǢͧ¡ÃÇ = πrs+πr2
= (π× 35×37)+(π × 352
) µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
= 1295π + 1225π µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè¢Í§¡ÃÇ = 2520π µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
π ≈
¾×é¹·Õè¼ÔǢͧ¡ÃÇ ≈ 2520 × ≈ 7920 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
µÍº¾×é¹·Õè¼ÔÇ¡ÃÇÂÁÕ¤‹Ò»ÃÐÁÒ³7920µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
12«Á.
35«Á.
A
C DB
22
7
22
7

27. µÑÇÍ‹ҧ ¡ÃÇÂÁÕàÊŒ¹¼‹Ò¹Èٹ¡ÅÒ§¢Í§°Ò¹ÂÒÇ10ૹµÔàÁµÃáÅÐÁÕ¤ÇÒÁÊÙ§12ૹµÔàÁµÃ
¨§ËÒ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¡ÃÇÂáÅлÃÔÁҵâͧ¡ÃÇÂ
ÇÔ¸Õ·íÒ ¨Ò¡ÃÙ» s = 22
rh +
s = ૹµÔàÁµÃ13512 22
=+
§¡ÃÇÂÊÙ§àÍÕ§¢Í∴ = 13 ૹµÔàÁµÃ
¨Ò¡Êٵà ¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¡ÃÇ = πrs
= π×5×13 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
= 65π µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
π ≈ 3.14
∴¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¡ÃÇÂ≈65×3.14≈204.10µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
¨Ò¡Êٵà V = πr2
h
∴»ÃÔÁҵâͧ¡ÃÇ = × π×52
×12 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
= 100π ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
»ÃÔÁҵâͧ¡ÃÇ ≈ 100 ×3.14 ≈314 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
¾×é¹·Õè¼ÔÇ¢ŒÒ§¢Í§¡ÃÇ»ÃÐÁÒ³204.10 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ
»ÃÔÁҵâͧ¡ÃÇ»ÃÐÁÒ³ 314 ÅÙ¡ºÒÈ¡à«¹µÔàÁµÃ
12
«Á.
10 «Á.
1
3
1
3
...
{µÍº

28. าง
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลมเปนสี่เทาของพื้นที่ของรูปวงกลมซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลมนั้น
นั่นคือ พื้นที่ผิวของทรงกลม = 2
.4 rπ
ปริมาตรของทรงกลม = 3
.
3
4
rπ
เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
ตัวอย ลูกเหล็กลูกหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 3.5 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของลูกเหล็กนี้
วิธีทํา ปริมาตรของทรงกลม = 3.
3
4
rπ
=
3
2
5.3
.
7
22
3
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
5.3
.
2
5.3
.
2
5.3
.
7
22
3
4
= 22.46 ลูกบาศกเซนติเมตร
∴ ลูกเหล็กนี้มีปริมาตร 22.46 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ
รัศมี
ทรงกลม (Sphere) คือทรงสามมิติที่มีผิวเรียบโคงและจุดทุกจุดบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงที่จุดหนึ่ง
เปนระยะเทากัน จุดคงที่นั้นเรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม และระยะที่เทากันนั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม
วงกลมใหญ
เสนผานศูนยกลางวงกลมใหญ
จุดศูนยกลาง
ผิวโคงเรียบ

29. 4.
3.
1. ทรงขอใดตอไปนี้เปนปริซึม
2. ทรงขอใดตอไปนี้ไมเปนปริซึม
ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานประกอบมุมฉากยาว 16 และ 12 เซนติเมตร ถาปริซึมนี้สูง 10 เซนติเมตร
ปริซึมนี้มีพื้นที่ผิวทุกดาน กี่ตารางเซนติเมตร
ก. 492 ตารางเซนติเมตร ข. 592 ตารางเซนติเมตร
ค. 672 ตารางเซนติเมตร ง. 762 ตารางเซนติเมตร
กําหนดปริซึมสามเหลี่ยมดานเทา มีความยาวของดานของฐานเทากับ a หนวย ถาปริซึมยาว 80 เซนติเมตร และปริมาตร
1280 3 ลูกบาศกเมตร แลว a มีคาเทากับขอใด
ก. 8 เซนติเมตร ข. 9 เซนติเมตร ค. 10 เซนติเมตร ง. 11 เซนติเมตร

30. 7.
6.
5.
8.
9.
10. ถังทรงกระบอก สูง 2 เมตร พื้นที่หนาตัด 4 ตารางเมตร ถาเปดใหน้ําออก 2 ลูกบาศกเมตร น้ําจะลดลงมากี่เมตร
ก. 0.5 เมตร ข. 1 เมตร ค.1.5 เมตร ง. 1.25 เมตร
11. ทรงสามมิติที่กําหนดใหมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร
ก. 180 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 182 ลูกบาศกเซนติเมตร
ค. 195 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 200 ลูกบาศกเซนติเมตร
แทงแกวทรงปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานตรงขามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งยาว 12 เซนติเมตร
ถาพื้นที่ผิวของแทงแกวนี้เทากับ 810 ตารางเซนติเมตร แลว ปริมาตรของแทงแกวนี้เทากับเทาใด
ก. 750 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 760 ลูกบาศกเซนติเมตร
ค. 770 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 780 ลูกบาศกเซนติเมตร
ถาน้ํามัน 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 0.85 กรัม ถังน้ํามันใบหนึ่งทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 25 เซนติเมตร ยาว 40 เซนติเมตรในถัง
บรรจุน้ําหนัก 17 กิโลกรัม น้ํามันในถังมีระดับน้ํามันสูงกี่เซนติเมตร
ก. 16 เซนติเมตร ข. 18 เซนติเมตร ค. 20 เซนติเมตร ง. 22 เซนติเมตร
ปริซึมสามเหลี่ยมสูง 12 เซนติเมตร ดานฐานเปนรูปสามเหลี่ยม มีความยาวดาน 5, 12 และ 13 เซนติเมตร
ปริมาตรของปริซึมแทงนี้ เทากับกี่ลูกบาศกเซนติเมตร
ก. 720 ข. 640 ค. 450 ง. 360
บอเลี้ยงปลากวาง 12 เมตร ยาว 21 เมตร ลึก 1.2 เมตร ถาคาแรงขุดบอ 100 ลูกบาศกเมตรแรก ลูกบาศกเมตรละ 20 บาท
ตอไปลูกบาศกเมตร ละ 22 บาท ขุดหนึ่งบอจะสิ้นเงินเทาไร
ก. 6,452.8 บาท ข. 6,300 บาท ค. 6,228.4 บาท ง. 6,200.5 บาท
กรวยกลมมีเสนรอบปากยาว 52.8 เซนติเมตร มีความสูง 3.5 เซนติเมตร แลวกรวยมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร (π =
7
22
)
ก. 258.72 ข. 250.72 ค. 28.872 ง. 25.872

31. 12.
13.
14.
15.
16.
17. ปริซึมสามเหลี่ยม มีดานทั้งสามยาว 8, 15, 17 เซนติเมตร ถาปริซึมสูง 8
2
1
เซนติเมตร พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมนี้เทากับกี่
ตารางเซนติเมตร
ก. 360 ตารางเซนติเมตร ข. 400 ตารางเซนติเมตร
ค. 460 ตารางเซนติเมตร ง. 500 ตารางเซนติเมตร
ไมทอนหนึ่งมีลักษณะ ดังรูป ตัวเลขที่กํากับแทนความยาวของดานที่มีหนวยเปนเซนติเมตร ปริมาตรของไมทอนนี้เทากับ
กี่ลูกบาศกเซนติเมตร
ก. 12,500 ข. 15,000 ค. 16,800 ง. 17,200
แปลงปลูกตนไมกวาง 2 เมตร ยาว 4.50 เมตร ตองการรถเดินรอบแปลงใหเปนทางเดินกวาง 2 เมตร และดินสูงจากพื้นดิน 12
เซนติเมตร จะใชดินมาถมกี่ลูกบาศกเมตร
ก. 3.84 ข. 4.64 ค. 5.04 ง. 6.14
สระน้ํารูปทรมสี่เหลี่ยมผืนผา ลึก 3 เมตร เทากันโดยตลอด สระกวาง 15 เมตร ยาว 30 เมตร ตองการปูกระเบื้องขนาด
สี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 15 เซนติเมตร จะตองใชกระเบื้องกี่แผน เมื่อปูภายในของสระทุก ๆ ดาน
ก. 32,000 ข. 34,800 ค. 35,200 ง. 53,200
ถังน้ําฝน มีน้ําฝนอยู 16.2 ลูกบาศกเมตร ซึ่งคิดเปน
4
3
ของความจุของถัง ถากนถังเปนรูปสี่เหลี่ยมกวาง 2 เมตร ยาว 5.4 เมตร
แลวถังนี้สูงกี่เมตร
ก. 1 ข. 1.5 ค. 2 ง. 2.5
แทงโลหะทรงสี่เหลี่ยมผืนผามีดานยาวกวาง และสูง เปน 5 ฟุต 4 ฟุต และ 12 นิ้ว ตามลําดับ มีปริมาตรเทาไร
ก. 20 ลูกบาศกนิ้ว ข. 20 ลูกบาศกฟุต ค. 240 ลูกบาศกนิ้ว ง. 240 ลูกบาศกฟุต

32. 18. ขุดสระเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กวาง 8 เมตร สูง 8 เมตร จุน้ําได 560 ลูกบาศกเมตร
ตองการปูพลาสติกปองกันน้ําซึมออกทางกน สระและดานขางจะตองใชพลาสติกทั้งหมดอยางนอยกี่ตารางเมตร
ก. 233 ตารางเมตร ข. 323 ตารางเมตร
ค. 332 ตารางเมตร ง. 338 ตารางเมตร
19. พื้นที่ผิวทั้งหมดของลูกบาศกลูกหนึ่งเทากับ 486 ตารางเซนติเมตร ลูกบาศกนี้มีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร
ก. 324 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 729 ลูกบาศกเซนติเมตร
ค. 937 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 1,331 ลูกบาศกเซนติเมตร
20. แทงโลหะรูปสี่เหลี่ยมฐานยาว 10 เซนติเมตร กวาง 6 เซนติเมตร แทงโลหะนี้สูง 18 เซนติเมตร เจาะรูตรงกลางเปนรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากที่มีดานประกอบมุมฉากยาว 1.5 และ 2 เซนติเมตร ตลอดความสูงของแทงโลหะนี้ จงหาน้ําหนัก ของโลหะกลวงแทงนี้
เมื่อโลหะนี้ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กิโลกรัม
ก. 1.023 กิโลกรัม ข. 1.033 กิโลกรัม ค. 1.043 กิโลกรัม ง. 1.053 กิโลกรัม