123435

1. การวิเคราะห์อัลกอริทึม (Algorithm Analysis)

2. การวิเคราะห์อัลกอริทึม มีเป้าหมายเพื่อหาประสิทธิภาพของอัลกอริทึม นั่นคือการประมาณค่าทรัพยากรที่จำเป็นต้องใช้ในการทำงาน เช่น เวลา หรือ หน่วยความจำ อัลกอริทึมส่วนใหญ่ถูกออกแบบมาเพื่อให้สามารถรองรับจำนวนอินพุทได้ไม่จำกัด ปกติแล้วประสิทธิภาพ หรือความซับซ้อนของอัลกอริทึมจะวัดจากความสัมพันธ์ของจำนวนอินพุทกับเวลาที่ใช้ในการทำงาน หรือพื้นที่หน่วยความจำที่ใช้ (ในระยะหลังเรื่องของพื้นที่ไม่ถูกพิจารณามากนักเนื่องจากความก้าวหน้าในการพัฒนาหน่วยความจำ)

3. การออกแบบอัลกอริทึมเพื่อแก้ปัญหาใด ๆ เช่น การเรียงลำดับ สามารถทำได้หลายวิธี การประเมินประสิทธิภาพของอัลกอริทึม จะช่วยให้เราสามารถเลือกใช้อัลกอริทึมที่เหมาะสม

4. Asymptotic notation เครื่องหมายที่ใช้อธิบายการเติบโตของฟังก์ชั่น โดยในการวิเคราะห์อัลกอริทึมจะนำเครื่องหมายนี้มาใช้ในการระบุประสิทธิภาพของอัลกอริทึม มีหลายสัญลักษณ์ ดังนี้

5. Big-O Notation เครื่องหมาย บิ๊ก - โอ ใช้ในการระบุทรัพยากรที่ใช้ในการทำงานของอัลกอริทึมเมื่อขนาดของอินพุทเปลี่ยนไป ปกติแล้วทรัพยากรดังกล่าวจะหมายถึงเวลา นั่นคือ ความสัมพันธ์ระหว่าง เวลา กับ ขนาดของอินพุท อาจกล่าวง่าย ๆ ว่า หากอินพุทมีขนาดใดขนาดหนึ่ง เวลาที่ใช้ในการทำงานมากที่สุด ( upper bound) จะเป็นเท่าใด บิ๊ก - โอ เป็นฟังก์ชั่นที่นิยมใช้มากที่สุดในการระบุประสิทธิภาพของอัลกอริทึม

6. ตัวอย่าง ความหมายของ O(n) คือ ฟังก์ชั่นนั้น ๆ ใช้เวลาทำงานช้าที่สุด ≤ n เช่น อัลกอริทึม a1 มีประสิทธิภาพเป็น O(n 2 ) ถ้า n = 10 แล้ว a1 จะใช้ เวลาทำงานช้าที่สุด 100 หน่วยเวลา ( รับประกันว่าไม่ช้าไปกว่านี้ - แต่อาจจะเร็วกว่านี้ได้ ) Big-O Notation

7. เขียนได้ว่า f(n) є O(g(n)) เพื่อบอกว่า f(n) เป็น ฟังก์ชันที่ไม่โตเร็วกว่า g(n) เราสามารถหาค่าคงตัวบวก C ที่ f(n) ≤ Cg(n)

8. Big-O Notation f(n) є O(g(n)) f(n) ≤(g(n))

9. Big-O Notation

10. โอเมก้าใหญ่ (Big-Omega notation : Ω ) โอเมก้าใหญ่ จะใช้สำหรับบอกถึง เวลาที่ใช้น้อยที่สุด (lower bound) เมื่ออัลกอริทึมนั้น ๆ ทำงานกับอินพุทขนาดใดขนาดหนึ่ง ตัวอย่าง ความหมายของ Ω (n) คือ ฟังก์ชั่นนั้น ๆ ใช้เวลาทำงานเร็วที่สุด ≥ n เช่น อัลกอริทึม a1 มีประสิทธิภาพเป็น Ω (n) ถ้า n = 10 แล้ว a1 จะใช้เวลา ทำงานเร็วที่สุด 10 หน่วยเวลา ( รับประกันว่า ไม่เร็วไปกว่านี้ - แต่อาจจะช้ากว่านี้ได้ )

11. เขียนได้ว่า f(n) є Ω (g(n)) เพื่อบอกว่า f(n) เป็น ฟังก์ชันที่ไม่โตไม่ช้ากว่า g(n) เราสามารถหาค่าคงตัวบวก C ที่ Cg(n) ≤ f(n) โอเมก้าใหญ่ (Big-Omega notation : Ω )

12. โอเมก้าใหญ่ (Big-Omega notation : Ω ) f(n) є Ω (g(n)) Cg(n) ≤ f(n)

13. เตต้าใหญ่ (Big-Teta notation : Ө ) f(n) = Ө (g(n)) ก็ต่อเมื่อ f(n) = O(g(n)) และ f(n) = Ω (g(n)) นั่นคือ ขอบบนและขอบล่างเป็นฟังก์ชั่นเดียวกัน

14. เตต้าใหญ่ (Big-Teta notation : Ө ) f(n) є Ө (g(n)) C1g(n) ≤ f(n) ≤ C2g(n)

15. เตต้าใหญ่ (Big-Teta notation : Ө ) รูป 2.1 ความสัมพันธ์ระหว่างเวลาที่ใช้ กับจำนวนอินพุท ของฟังก์ชั่น 10n ฟังก์ชั่น 5n+4 และ 3n สังเกตว่า ขอบบน กับ ขอบล่าง เป็นฟังก์ชั่นเดียวกัน สัมประสิทธิ์ต่างกัน ความหมายของเตต้าคือ ใช้เวลาทำงาน = n

16. โอเล็ก (Little-o : o) Little-o คือฟังก์ชั่นที่ไม่แตะขอบบน นั่นคือ ฟังก์ชั่นนี้ ทำงานช้าที่สุด < n คือ o(g(n)) คือเซตของฟังก์ชันที่โตช้ากว่า g(n) เช่น หากเรามี t(n) = n0.98 + 0.05√n เราสามารถเขียนได้เป็น O(n) หรือ o(n) แต่หากระบุเป็น Little-o จะเน้นให้เห็นชัดว่าไม่ถึง n ( เพราะค่ากำลังของ n คือ 1 แต่ในฟังก์ชั่น t(n) ค่ากำลังของ n คือ 0.98)

17. โอเมก้าเล็ก (Little-omega : ω ) Little-omega คือฟังก์ชั่นที่ ไม่แตะขอบล่าง นั่นคือ ฟังก์ชั่นนี้ ทำงานเร็วที่สุด > n คือ ω (g(n)) คือเซตของฟังก์ชันที่ โตเร็วกว่า g(n)

18. เปรียบเทียบ ลักษณะของฟังก์ชั่นของแต่ละสัญลักษณ์ รูป 2.2 สรุปเชิงเปรียบเทียบ ลักษณะของฟังก์ชั่นของแต่ละสัญลักษณ์ ≤ n <n ≥ n >n

19. การหาเทอมที่โตเร็วที่สุดในฟังก์ชั่น คือ อัตราการเจริญเติบโตของฟังก์ชัน ที่แทนประสิทธิภาพของอัลกอริทึม รูปแบบของฟังก์ชั่นที่มักพบบ่อยได้แก่ exponential อยู่ในรูป a n polynomial อยู่ในรูป n a (n ยกกำลังค่าคงที่ ) เช่น n 3 Linear อยู่ในรูป n logarithmic อยู่ในรูป log a n ทั้ง 4 รูปแบบ จะมีอัตราการเติบโตเรียงจากมากไปหาน้อย a n > n a > n > log a n

20. อัตราการเจริญเติบโตของฟังก์ชัน 2 n n 2 n log2n รูป 2.3 กราฟแสดงการเติบโตของฟังก์ชั่น

21. อัตราการเจริญเติบโตของฟังก์ชัน

22. อัตราการเติบโตของฟังก์ชัน

23. อัตราการเติบโตของฟังก์ชัน ตามประสิทธิภาพของอัลกอริธึมจากมากสุด ( คือใช้เวลาน้อยที่สุด ) ไปหาน้อยสุด C > logN > Log 2 N > √N > N > N log N > N 2 > N 3 … N k > 2 n , c n > N!

24. อัตราการเจริญเติบโตของฟังก์ชัน ตย 1 จงเรียงลำดับฟังก์ชันต่อไปนี้ตามอัตราการเจริญเติบโต 0.5 n , 1 , log n , n , 10 n จะได้ว่า 0.5 n < 1 < log n < n < 10 n

25. ตย 2 จงเปรียบเทียบอัตราการเจริญเติบโตของ n 10 , 2 n จะได้ว่า n 10 < 2 n อัตราการเจริญเติบโตของฟังก์ชัน

26. ตาราง 2.1 เปรียบเทียบเวลาการทำงานกับจำนวนอินพุท พิจารณาตารางจะพบว่า O(1) เป็นฟังก์ชั่นที่ให้ประสิทธิภาพดีที่สุด นั่นคือ เวลาที่ใช้ในการทำงานไม่ขึ้นกับจำนวนอินพุท ในขณะที่ O(n) จะให้ประสิทธิภาพในระดับกลาง นั่นคือ อัตราการเติบโตของเวลาจะเป็นเส้นตรง เมื่ออินพุทมากขึ้น ก็จะใช้เวลามากขึ้น ในสัดส่วนที่เท่ากัน แต่ O(n 2 ) จะมีอัตราการเติบโตของเวลาสูงมากเมื่ออินพุทมีขนาดใหญ่ขึ้น จากตาราง ประสิทธิภาพจะเรียงลำดับจากสูงไปหาต่ำ ประสิทธิภาพ สูง ต่ำ

27. การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม เราสามารถวิเคราะห์ประสิทธิภาพได้จากปริมาณคำสั่งที่ถูกใช้งานในโปรแกรม อาศัยเครื่องหมายที่กล่าวมาข้างต้นเป็นตัวกำกับ โดยการนับคำสั่งทั้งที่เป็นคำสั่งมูลฐาน และคำสั่งมาตรเวลา ซึ่งจะทำให้ได้ฟังก์ชั่นที่มีความละเอียดสูง จากนั้นจะค่อย ๆ ลดความซับซ้อนลง โดยดูจากเทอมที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ในกรณีที่ต้องการกำกับด้วย บิ๊ก - โอ

28. การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม

29. การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม ตย อัลกอริทึม 1 Sum := 0; for I:=1 to n do Sum := Sum+I; f(n) = O(n)

30. ตย . อัลกอริทึม 3 Sum := (1+n)*n/2; การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม f(n) = O(1)

32. การหาค่า Big-Oh หาได้โดยนำ f(n) มากระทำดังนี้ 1. ตัดสัมประสิทธิ์ของแต่ละเทอมทิ้ง 2. เลือกเทอมที่ใหญ่สุดเก็บไว้เป็นคำตอบ ตัวอย่างเช่น f(n) = 3n 4 + 2n 2 + n n 4 + n 2 + n n 4 O(f(n)) =

33. เมื่อพิจารณาจาก f(n) จะพบว่า อัลกอริทึม 1 f(n) = n อัลกอริทึม 2 f(n) = n-1 อัลกอริทึม 3 f(n) = 1 ประสิทธิภาพ ต่ำสุด ประสิทธิภาพ ดีสุด

34. การหาค่า Big-Oh ตย จงหาค่า Big-o ของ n 3 +2n 3 +10 1. ตัดสัมประสิทธิ์ของแต่ละเทอมทิ้ง จะได้ n 3 +n 3 2. เลือกเทอมที่ใหญ่สุดเก็บไว้เป็นคำตอบ O(f(n)) = O ( n 3 )

35. การหาค่า Big-Oh ตย จงหาค่า Big-o ของ 100 F(n) = 100 O(f(n)) = O( 1 ) ตย จงหาค่า Big-o ของ 100N+1 F(n) = 100N+1 O(f(n)) = O( N )

36. การหาค่า Big-Oh ตย จงหาค่า Big-o ของ 20nlogn+5n = O(nlogn) F(n) = 20nlogn+5n F(n) = nlogn+n O(f(n)) = = O(nlogn)

37. สมมติให้แต่ละโปรแกรมใช้เวลาในการทำงานเป็นดังนี้ prg1 = 3n 2 +2n prg2 = 2log 2 n+6n+n prg3 = n+nlog 2 n+4n+9 จงแสดง Big-O ของแต่ละโปรแกรมพร้อมทั้งเรียงลำดับประสิทธิภาพของโปรแกรมจากดีสุดไปหาช้าสุด 2Log 2 n < nlog 2 n < 3n 2 จะได้ 1. prg2 2. prg3 3.prg1 การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม