55

1.  ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)
จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกาลัง ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวน
จริงบวก และเลขชี้กาลังเป็นจานวนจริงใด ๆ
แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า ถ้าเลขยกกาลังมีฐานเป็น 1 และเลขชี้กาลังเป็น
จานวนจริงใด ๆ ดังนี้
ถ้ากาหนดให้ a = 1 และ x เป็นจานวนจริงใดแล้วจะได้
ax
= 1x
= 1
ข้อสังเกต
1. ไม่ว่า x จะเป็นจานวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x
ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ
เนื่องจาก เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
2. เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กาลัง
เป็นจานวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกาลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ
ซึ่งจะกล่าวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้
ข้อกาหนด (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y)  R  R+
/ y = ax
, a > 0, a  1 }
ข้อตกลง ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกาหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็น
ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax
เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจานวน
จริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้ จะถือว่าฟังก์ชัน
เอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax
เมื่อ a เป็น จานวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1
เท่านั้น
ข้อสังเกต จากข้อกาหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
1. f(x) = 1x
เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x
= 1 ดังนั้นในข้อกาหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนน
เชียล จึงไม่สนใจ ฐาน (a) ที่เป็น 1
2. f(x) = 1x
ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก f(x) = 1x
เป็นฟังก์ชันคงตัว
3. จากเงื่อนไขที่ว่า y = ax
, a > 0, a  1 ทาให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ
คือ 0 < a < 1 กับ a > 1

2. 4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a) ดังนี้
ชนิดที่ 1 y = ax
, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2 y = ax
, a > 1
กราฟของฟังก์ชัน y = ax, 0 < a < 1
ลองศึกษารูปร่างกราฟของฟังก์ชัน y = ax, 0 < a < 1 จากตัวอย่างดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน y = (
2
1
)x
วิธีทา ฟังก์ชัน y = (
2
1
)x
เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนินเชียลที่มีฐาน (a) เป็นจานวนจริงบวก
ที่มีค่าน้อยกว่า 1 ( 0 < a < 1 นั่นเอง)
เขียนตารางแสดงจุดผ่านบางจุดของกราฟ y (
2
1
)x
ดังนี้
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 4 2 1
2
1
4
1
8
1
จากตัวอย่าง ที่แสดงให้เห็นรูปร่างกราฟของฟังก์ชัน y = (
2
1
)x
จะเห็นได้ว่า
1. ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ x มีค่าเป็นจานวนลยที่น้อยลงเรื่อย ๆ
2. ค่าของ y จะค่อย ๆ ลดลงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ x มีค่าเป็นจานวนบวกมากขึ้น
0 2 4 6
x
y
8
6
4
2
-2-4-6

3. อาจกล่าวได้ว่า เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นจะทาให้ y มีค่าลดลงตามไปด้วย แสดงว่าฟังก์ชันก์ y =
(
2
1
)x
จึงเป็นฟังก์ชันลดในโดเมนของฟังก์ชันซึ่งเป็นเซตของจานวนจริง ถูกเรียกสั้น ๆ ว่า y =
(
2
1
)x
เป็นฟังก์ชันลด (Decreasing Function)
 สมการเอกซ์โพเนนเชียล
การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล
หลักการ
กาหนดให้ a > 0 , a  1 และ b > 0 , b  1
1. a
= a
ก็ต่อเมื่อ  =  (พยายามทาฐานให้เหมือนกัน)
2. ถ้า a
= a
และ a  b แล้ว  =  = 0 เท่านั้น
3. บางครั้งอาจจะต้องสมมุติเพื่อเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูป Quadratic และอาจต้องใช้วิธี
แยกแฟกเตอร์โพเนนเชียลง่ายขึ้น
สิ่งที่ควรเน้น คาตอบที่ได้จากการแก้สมการ ไม่ต้องนามาตรวจสอบคาตอบ
ยกเว้นในกรณีมีการยกกาลังจานวนคู่ จะต้องตรวจสอบคาตอบด้วย
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x ที่ทาให้สมการ 3x+2
= 243 เป็นจริง
วิธีทา 3x+2
= 243
3x+2
= 35
x+2 = 5
ดังนั้น x = 3
ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 10x
– 5x-1  2x-2
= 950
วิธีทา 10x
– 5x-1
 2x-2
= 950
10x
- 2
xx
25
25


= 950

4. 10x
-
20
)10( x
= 950
10x
(1-
20
1
) = 950
10x
(
20
19
) = 950
10x
= 1000
10x
= 103
x = 3
ดังนั้น เซตคาตอบของสมการคือ { 3 }
 อสมการเอกซ์โพเนนเชียล
เทคนิคชุดที่ 1
การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ทาฐานให้เหมือนกันได้
หลักการ
1. ถ้า 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) แล้ว
1. ax1
> ax2
ก็ต่อเมื่อ x1 < x2
2. ax1
< ax2
ก็ต่อเมื่อ x1 > x2
ข้อสังเกต
2. ถ้า a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว
1. 1x
a > 2x
a ก็ต่อเมื่อ x1 > x2
เปลี่ยน
เปลี่ยน
ไม่เปลี่ยน

5. 2. 1x
a < 2x
a ก็ต่อเมื่อ x1 < x2
ข้อสังเกต ปลดฐาน หรือเติมฐาน คงเดิมเครื่องหมายอสมการ
สิ่งที่ควรเน้น คาตอบที่ได้จากการแก้อสมการ ไม่ต้องนามาตรวจสอบคาตอบ
ยกเว้น ในกรณีที่มีการยกกาลังจานวนคู่ จะต้องตรวจสอบคาตอบด้วย
ตัวอย่าง 1 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 12x8x2x
)
4
1
()
2
1
(
2


วิธีทา จาก 12x8x2x
)
4
1
()
2
1
(
2


24x28x2x
)
2
1
()
2
1
(
2


ปลดฐาน กลับข้างเครื่องหมายของอสมการเนื่องจากฐาน (
2
1
) มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1
จะได้ x2
+ 2x + 8 > 2x + 24
x2
– 16 > 0
(x + 4) (x – 4) > 0
ดังนั้น เซตคาตอบอสมการคือ (-, -4)  (4, )
 ฟังก์ชันลอการิทึม
เกริ่นนา
เนื่องจาก ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล { (x, y)  R x R+
/ y = ax
, a > 0, a  1 } เป็น
ฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไปทั่วถึง R+
ทาให้เราทราบได้เลยว่า อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะเป็นฟังก์ชันแน่ ๆ และ
ยังเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R+
ไปทั่วถึง R
ไม่เปลี่ยน
0
-4
+ 0
4
+-

6. ถ้าเราเปลี่ยน x เป็น Y และเปลี่ยน y เป็น x ที่เงื่อนไขของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะได้
ฟังก์ชันอินเวอร์สจของฟังก์ชันเอกซ์โพเนเนเชียลคือ
{ (x, y)  R+
x R / x = ay
, a > 0, a  1 }
 จุดกาเนิดของฟังก์ชันลอการิทึม
เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ทั่วไปไม่นิยมให้เงื่อนไขของฟังก์ชันใด ๆ อยู่ในรูป
ตัวแปรต้น (x) = กลุ่มของตัวแปรตาม (y)
แต่นิยมให้เงื่อนไขอยู่ในรูป
ตัวแปรตาม (y) = กลุ่มตัวแปรต้น (x)
พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล { (x, y)  R x R / y = ax
, a > 0, a  1} มีเงื่อนไข
ตัวแปรตาม (y) = aตัวแปรต้น (x)
ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่นิยมอยู่แล้ว
แต่ ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล { (x, y)  R x R / x = ay
, a > 0,
a  1 } มีเงื่อนไข
ตัวแปรต้น (x) = aตัวแปรตาม (y)
เห็นไหมไม่อยู่ในรูปแบบที่นิยม
ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงอยากจะเปลี่ยนเงื่อนไข ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์
โพเนนเชียล ใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่นิยมโดยกาหนดให้เขียน x = ay
ใหม่เป็น y = logax แบบ
ดื้อ ๆ เลย
ข้อตกลง
1. logax ถูกอ่านออกเสียงว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”
2. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น { (x, y) 
R+
x R / y = logax, a > 0, a  1 }
3. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อกาหนด
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ { (x, y)  R+
x R / y = logax , a > 0, a  1 }
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล { (x, y)  R x R+
/ y = ax
,a > 0, a  1 }

7.  กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
จากที่เราทราบอยู่แล้วว่าฟังก์ชันลอการิทึม กับ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นอินเวอร์สซึ่ง
กันและกัน แสดงว่า กราฟของฟัง์ชันทั้งสองจะสมมาตรซึ่งกันและกัน เมื่อเทียบกับเส้นตรง y = x
ดังนั้น จึงได้กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมทั้ง 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a) ดัง
ตารางต่อไปนี้
y = ax
กับ y = logax, 0 < a < 1 y = ax
กับ y = logax, a > 1
กาหนดให้จานวนทุกจานวนต่อไปนี้มีความหมายและสามารถหาค่าได้
ความจริงที่ 1 y = logax ก็ต่อเมื่อ x = ay
ความจริงที่ 2 loga1 = 0
ความจริงที่ 3 logaa = 1
ความจริงที่ 4 logaMN = logaM + logaN
ความจริงที่ 5 loga
N
M
= logaM - logaN
ความจริงที่ 6 logaMP
= logpaM
ความจริงที่ 7 logaM =
alog
Mlog
b
b
ความจริงที่ 8 Mlog P
a
= Mlog
p
1
a
ความจริงที่ 9 xlogaa = x
ความจริงที่ 10 logab =
alog
1
b
y = loga
x, 0 < a <1
y
0 1
x
1
y = ax
, 0 < a <1
y
0 1
x
1
y = ax
, a > 1
y = loga
x, a > 1

8.  เทคนิคการทาโจทย์เกี่ยวกับความจริงของลาการิทึม
ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของ lob1015 + kig1012 + log105 – log109
วิธีทา lob1015 + kig1012 + log105 – log109=
9
5x12x15
log10
=
9
900
log10
= log10100
= log10102
= 2 log1010
= 2(1)
ดังนั้น lob1015 + kig1012 + log105 – log109 = 2
 สมการลอการิทึม
การแก้สมการลอการิทึม
หลักการ
กาหนดให้ a > 0, a  1 และ b > 0, b  1
1. loga = loga ก็ต่อเมื่อ  =  (พยายามทาฐานให้เหมือนกัน)
2. loga =  ก็ต่อเมื่อ  = a
3. ถ้า loga = logb และ a  b แล้ว  =  = 1
บางครั้งอาจจะต้องสมมุติเพื่อเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูป Quadratic และอาจต้องใช้วิธีแยก
แฟกเตอร์เข้าช่วยเพื่อทาให้การแก้สมการลอการิทึมง่ายขึ้น
สิ่งที่ควรเน้น คาตอบที่ได้จากการแก้สมการ จะต้องนามาตรวจสอบคาตอบว่า
1. ตัวเลขหลัง log ห้ามเป็นจานวนลยและศูนย์โดยเด็ดขาด
2. ตัวเลขหลัง log ต้องเป็นจานวนบวกเท่านั้น (R+
)
ตัวอย่าง 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ xlogx
= 100x
วิธีทา จาก xlogx
= 100x
Take log ทั้งสองข้าง logxlogx
= log100x
(logx) (logx) = log100 + logx
(logx)2
= log102
+ logx

9. (logx)2
– logx – 2 = 0
(logx + 1) (logx – 2) = 0
logx = -1, 2
จะได้ x = 10-1
, 102
ดังนั้น เซตคาตอบของสมการคือ { 10-1
, 102
}
 อสมการลอการิทึม
การแก้อสมการลอการิทึม
หลักการ
1. ถ้า 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) แล้ว
1. logax1 > logax2 ก็ต่อเมื่อ x1 < x2
2. logax1 < logax2 ก็ต่อเมื่อ x1 > x2
ข้อสังเกต ปลด loga หรือเติม loga กลับข้างเครื่องหมายของอสมการ
2. ถ้า a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว
1. logax1 > logax2 ก็ต่อเมื่อ x1 > x2
2. logax1 < logax2 ก็ต่อเมื่อ x1 < x2
ข้อสังเกต ปลด loga หรือ เติม loga คงเดิมเครื่องหมายของอสมการ
3. ตัวเลขหลัง log ต้องเป็นจานวนบวกเท่านั้น (X1  R+ และ X2  R+
)
เปลี่ยน
เปลี่ยน
ไม่เปลี่ยน
ไม่เปลี่ยน

10. สิ่งที่ควรเน้น คาตอบที่ได้จากการแก้อสมการ จะต้องนามาตรวจสอบคาตอบดังนี้
คาตอบที่ถูกต้อง ต้องได้จาก 1. คาตอบที่ได้จากการแก้อสมการ และ 2. x1  R+
และ 3.
x2  R+
หมายเหตุ ตัวเลขหลัง log จะต้องเป็นจานวนบวก (R+
) เท่านั้น
ตัวอย่าง 1 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 2)x2x(log 2
24 
วิธีทา จาก 2)x2x(log 2
24 
เติม 24log 24 หลัง 2 ดังนี้
24log2)x2x(log 24
2
24 
2
24
2
24 )24(log)x2x(log 
24log)x2x(log 24
2
24 
เนื่องจาก ฐานมากว่า 1 ดังนั้น เมื่อปลด log แล้วเครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยน ดังนี้
x2
– 2x < 24
x2
– 2x – 24 < 0
 แอนติลอการิทึม (antilogarithm)
ข้อกาหนด
1. ถ้า log N = K แล้ว
N จะถูกเรียกว่า แอนติลอการิทึม (antilogarithm) ของ log N
2. ถ้า log N = K แล้ว
N จะถูกเขียนสั้น ๆ ได้เป็น antilog (K)
แสดงว่า N = antilog (K) = 10k
จากข้อกาหนดทาให้เราทราบได้ว่า
1. antilog (K) = 10k
2. ต้องระลึกอยู่เสมอว่า สามารถย้ายข้าง antilog ไปเป็น log ได้
และ สามารถย้ายข้าง log ไปเป็น antilog ได้
แสดงว่าถ้าเราเจอ N = antilog (K)

11. N = antilog (K)
ย้ายข้าง
* จะได้ log N = K
หรือถ้าเราเจอ log N = K
สามารถย้ายข้าง log N = K
ย้ายข้าง
* จะได้ N = antilog (K)
 ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm)
ข้อกาหนด
1. ลอการิทึมธรรมชาติ หมายถึง ลอการิทึมที่มีฐานเป็น e โดยที่ e เป็นสัญลักษณ์แทน
จานวนอตรรกยะจานวนหนึ่งซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818
แสดงว่า logex คือ ลอการิทึมธรรมชาติ นั่นเอง
2. การเขียนลอการิทึมของ x ฐาน e นิยมเขียน ln x แทน logex
3. ”ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms)” อาจถูกเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า
“ลอการิทึมแบบเนเปียร์ (Napierian logarithms)
ข้อควรเน้น ถ้าเราเจอ ln x อยากเปลี่ยนไปเป็น logex แล้วคิดทาทุกอย่างเหมือนที่เคยคิดทา
log ทั่ว ๆ ไป
สิ่งที่ควรทราบ
1. เราอาจหาค่าลอการิทึมฐาน e โดยอาศัยลอการิทึมฐานสิบได้ดังนี้
จาก ln x = logex
ln x =
elog
xlog
เราพบว่า loge = log 2.718 (e  2.718)
= 0.4343

12. ดังนั้น ln x =
4343.0
xlog
หรือ ln x = (2.3026) logx
 การคานวณค่าโดยประมาณโดยใช้ลอการิทึม
สาหรับการคานวณที่เกี่ยวกับ การคูณ การหาร และยกกาลัง อาจอาศัยลอการิทึมช่วยใน
การคานวณได้ โดยค่าที่คานวณได้จะมีค่าโดยประมาณแต่ก็ใกล้เคียงกับค่าที่แท้จริง
ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของ
912.0
2.43x0413.0
วิธีทา สมมุติให้ x =
912.0
2.43x0413.0
log x = log
912.0
)2.43x0413.0(
= log 0.0413 + log 43.2 – log 0.912
= log 4.13 x 10-2
+ log 4.32 x 101
– log 9.12 x 10-1
= (0.6160 – 2) + (0.6355 + 1) – (0.9600 – 1)
= 0.2915
= log 1.96
แสดงว่า x = 1.96
ดังนั้น
912.0
2.43x013.0
= 1.96