1. หน่วยที่ 1
ฟังก์ชัน ลิมิต ความต่อเนื่อง
และจำานวนเชิงซ้อน
ผู้เขียน อ.ศิริลักษณ์
แก้วอุดม

2. ตอนที่ 1.1
ฟังก์ชัน

3. นิยาม
ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชัน
ก็ต่อเมื่อถ้า (x, y ) และ (x,z) เป็น
สมาชิกของ f แล้ว จะได้ว่า y
= z
y f (x)=
ให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ และ (x,y) เป็นสมา
เรียก y ว่าเป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x และเ
โดยที่ x คือ ตัวแปรอิสระ
(independent variable)
y คือ ตัวแปรตาม (dependent

4. การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใด
เป็นฟังก์ชันหรือไม่ สามารถ
พิจารณาได้โดย
วิธีที่ 1 การพิจารณาโดยอาศัยบท
นิยาม
วิธีที่ 2 การพิจารณาจากกราฟ

5. วิธีที่ 1 การพิจารณาโดยอาศัย
บทนิยาม
•ความสัมพันธ์ rจะเป็นฟังก์ชันก็ต่อ
เมื่อ
สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อันดับ
ใน rไม่ซำ้ากัน
หรือ
•ความสัมพันธ์ rจะไม่เป็นฟังก์ชันก็
ต่อเมื่อ
สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อันดับ

6. วิธีที่ 2 การพิจารณาจากกราฟ
•ถ้ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y (แนว
ตั้ง)
ตัดกราฟของความสัมพันธ์ มากกว่า 1
จุด แล้ว
ความสัมพันธ์นี้ ไม่เป็นฟังก์ชัน
หรือ
•ถ้าไม่มีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
ตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า
1 จุด แล้ว

7. ตัวอย่าง
กำาหนดให้ความสัมพันธ์ r1
= {(3,4),
(5,6),(7,8)} และ r2
= {(3,4),(3,5),
(7,8)}
จงพิจารณาว่า r1
, r2
เป็นฟังก์ชันหรือ
ไม่ โดย
1) พิจารณาโดยอาศัยบท
นิยาม
2) พิจารณาจากกราฟ

8. วิธีทำา1) พิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม
r1
= {(3,4),(5,6),(7,8)}
เป็นฟังก์ชันเพราะทุกๆ คู่อันดับไม่มี
สมาชิกตัวหน้าซำ้ากัน
r2
= {(3,4),(3,6),(7,8)}
ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะตัวหน้าของคู่
อันดับใน r2
ซำ้ากัน ขณะที่ตัวหลังต่าง

9. 2) พิจารณาจากกราฟ
r1
= {(3,4),(5,6),(7,8)}
เป็นฟังก์ชันเพราะทุกๆ คู่อันดับไม่มี
สมาชิกตัวหน้าซำ้ากัน

10. r2
= {(3,4),(3,6),(7,8)}
ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะตัวหน้าของคู่
อันดับใน r2
ซำ้ากัน ขณะที่ตัวหลังต่าง

11. มนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
{ }fD x (x,y) f= ∈
{ }fR y (x,y) f= ∈
ถ้า ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันแล้ว
เรนจ์ของ f
คือ
โดเมนของ f คือ
บทนิยาม f จะเป็นฟังก์ชันจากเซต X ไป
เซต Y ก็ต่อเมื่อโดเมนของ f เท่ากับ X และ
เรนจ์ของ f เป็นสับเซตของ Y
เราจะเขียน
f : X Y→
แทนฟังก์ชัน f จากเซต X ไปยังเซต Y

12. งก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one
to one function) ก็ต่อเมื่อ ถ้า x1, x2 ∈ X
และ f(x1)= f(x2) แล้วจะได้
x1 = x2
X Y
f
x1

x2

x3

f(x1
)
f(x2
)
f(x3
)

13. ังก์ชันผกผัน
เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้น
เราสามารถหาความสัมพันธ์ผกผันของ
ฟังก์ชันใดๆ ที่กำาหนดให้ได้เสมอ โดยที่
ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอาจมีคุณสมบัติ
เป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชันก็ได้
ข้อสังเกต เราพบว่าฟังก์ชัน f จะมี
ฟังก์ชันผกผัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชันแบบ
หนึ่งต่อหนึ่ง และจะได้ว่าฟังก์ชัน f-1
เป็น
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย

15. เป็นฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันเขียนในรูป
สัญลักษณ์ทางพีชคณิตที่ประกอบด้วยค่า
คงตัว ตัวแปร และเครื่องหมาย บวก ลบ
คูณ หาร กรณฑ์ หรือยกกำาลัง เช่น
ฟังก์ชัน
พีชคณิต
y 2x 1,= + f (x) 3,=
2
y 5x x ,= − y 3x x 1,= + +
3
2x 1
y
3x
+
=

16. ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำามาใช้ในวิชา
แคลคูลัสได้แก่
1.ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial
functions)2.ฟังก์ชันตรรกยะ (rational
functions)

17. ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำามาใช้ในวิชา
แคลคูลัสได้แก่
1.ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial
functions)n n 1 n 2 2
n n 1 n 2 2 1 0f(x) a x a x a x ... a x a x a− −
− −= + + + + + +
0 1 2 n 1 na ,a ,a ,...,a ,a− na 0≠โดยที่
ซึ่งเรียกว่า สัมประสิทธิ์ของพหุนาม
และ n เป็นจำานวนเต็มบวกหรือศูนย์
เราจะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี n
เป็นจำานวนจริง
และ
3
g(x) 3x 2x 2= + + f (x) 2x 1= +

18. 2.ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions)
คือ ฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปผลหารของฟัง
ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ จะได้ว่า
P(x)
f(x)
Q(x)
=
โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม
และ Q(x) ≠ 0
4
2x 2
f(x)
x 9
+
=
+
2
3
2x 3x 9
g(x)
x (x 3)
+ −
=
+

19. ฟังก์ชันอดิศัย (transcendental
functions)
คือฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต
เช่น
1. ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล
2. ฟังก์ชันลอการิทึม
3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
( ) y
f { x,y R R / x a ,a 0,a 1}= ∈ × = > ≠
( ) x
f { x,y R R / y a ,a 0,a 1}= ∈ × = > ≠
( ) xf { x,y R R / y log a ,a 0,a 1}= ∈ × = > ≠
ฟังก์ชัน sin, cos, tan, sec,

20. ตอนที่ 1.2
ตและความต่อเนื่องของฟังก

21. ทฤษฎีบท ฟังก์ชัน f(x)มีลิมิตที่ x=a เท่ากับ
L ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ a
หาค่าและมีค่าเท่ากับ L นั่นคือ
x a
limf (x) L
→
=
x a x a
lim f (x) lim f (x) L
− +→ →
= =
ก็ต่อเมื่อ

22. ตัวอย่าง จงพิจารณาลิมิตที่ x= 0, 1,
2, 3, 4
0x 0;= x 0
lim f(x) 2+
→
=
0x 1;= x 1
lim f(x) 0−
→
=
x 1
lim f(x) 2+
→
=
x 1 x 1
lim f(x) lim f(x)− +
→ →
≠
0x 2;= x 2
lim f(x) 2−
→
=
x 2
lim f (x) 2+
→
=
x 2
lim f(x) 2 f(2)
→
= ≠
0x 3;= x 3
limf(x) 4 f(3)
→
= = 0x 4;=
x 4
lim f(x) 2−
→
=

23. ามต่อเนื่องของฟังก์ชัน
x a
limf(x)
→
x a
limf(x) f(a)
→
=
บทนิยาม ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อ
เมื่อ
เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทุกข้อ
1. f(a) หาค่าได้เป็น
จำานวนจริง
2.
3.
หาค่าได้เป็น
จำานวนจริง

24. ตัวอย่าง จงทดสอบความต่อเนื่องที่ x=
1, 2, 3 f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 1
เพราะว่า f(1) = 1 หา
ค่าได้ แต่x 1
lim f(x) 0 f (1)−→
= ≠
f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 2 เพราะว่า f(2) = 2
หาค่าได้
แต่
x 2
limf (x) 1 f(2)
→
= ≠
f ต่อเนื่องที่ x = 3 เพราะว่า f(3) = 2
หาค่าได้ และx 3
limf(x) 2 f(3)
→
= =

25. ตอนที่ 1.3
จำานวนเชิงซ้อนเบื้องต้น

26. ในระบบจำานวนจริง ถ้า แล้ว
เสมอ
ดังนั้นสมการ เช่น หรือ
จึงไม่สามารถหาคำาตอบได้ในระบบ
จำานวนจริงจึงต้องสร้างจำานวนที่ไม่ใช่
จำานวนจริงขึ้นมา ซึ่งเราเรียกว่า
จำานวนจินตภาพ (imaginary number)
โดยกำาหนดให้ และ
และเรียกจำานวนที่อยู่ในรูป a+bi เมื่อ
ว่า จำานวนเชิงซ้อน
x R∈
2
x 0≥
2
x 1 0+ = 2
x 1= −
i 1= − 2
i 1= −
a,b R∈

27. นวนเชิงซ้อน (complex number) เขียนแทนด้ว
นบางครั้งสามารถเขียนแทนด้วยคู่ลำาดับ (a,b)
ะได้ว่า z = a + bi
a ว่า เป็นส่วนจริงของจำานวนเชิงซ้อน z
ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำานวนเชิงซ้อน z

28. ดำาเนินการของจำานวนเชิงซ้อน
การเท่ากันของจำานวนเชิงซ้อน
ให้ z1
= a + bi และ z2
= c + di
z1
= z2
ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
การบวกจำานวนเชิงซ้อน
ให้ z1
= a + bi และ z2
= c + di
z1
+ z2
= (a+c) + (b+d)i
การคูณจำานวนเชิงซ้อนด้วยจำานวนจริง
ให้ z = a + bi และ k เป็นจำานวนจริงใดๆ
kz = ka + kbi

29. 1
2
z a bi c di
z c di c di
+ −
=
+ −
g
2 2
(ac bd) (bc ad)i
c d
+ + −
=
+
การคูณจำานวนเชิงซ้อนด้วยจำานวนเชิงซ้อ
ให้ z1
= a + bi และ z2
= c + di
z1
z2
= (a + bi)( c + di) = (ac-bd)+(ad+bc
การหารจำานวนเชิงซ้อนด้วยจำานวนเชิงซ้อน
ให้ z1
= a + bi และ z2
= c + di และ2z 0≠
( ) ( )
2 2
a bi c di
c d
+ −
=
+

30. 2 2
z a b= +
z
z a bi= + z a bi= −
สัมบูรณ์ของจำานวนเชิงซ้อน a + bi
z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจำานวนเชิงซ้อนของ
7. คอนจูเกต (conjugate) ของ
จำานวนเชิงซ้อน z คือ
ถ้า จะได้

31. ตัวอย่าง
จงหา
กำาหนดให้ 1z 3 2i= + 2z 2 i= −
(3 2i) (2 i)
(3 2) (2i ( i))
(2 3) (2 1)i
5 i
= + + −
= + + + −
= + + −
= +
1 2z z+
2 1z z− (2 i) (3 2i)
(2 3) ( i 2i)
(2 3) ( 1 2)i
1 3i
= − − +
= − + − −
= − + − −
= − −

32. 23z 3(2 i)
3(2) 3(1)i
6 3i
= −
= −
= −
1 2z zg (3 2i) (2 i)
[(3)(2) (2)( 1)] [(2)(2) (3)( 1)]i
[6 ( 2)] [4 ( 3)]i
[6 2] [4 3]i
8 i
= + −
= − − + + −
= − − + + −
= + + −
= +
g

33. 2z 2 2
2 ( 1)
4 1 5
= + −
= + =
2z 2 i
2 i
= −
= +
2
1
z
z
2 1
2 2
1 1
Z Z [(2)(3) ( 1)(2)] [( 1)(3) (2)(2)]i
Z Z 3 2
[(6) ( 2)] [( 3) (4)]i
9 4
4 7i 4 7
i
13 13 13
+ − + − −
= =
+
+ − + − −
=
+
−
= = −
g