1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
กาหนดการเชิงเส้น
(เนื้อหาตอนที่ 2)
การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
โดย
อ.ดร.ณหทัย ฤกษ์ฤทัยรัตน์ และ อ.ดร.ดาวุด ทองทา
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
สื่อการสอน เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 6 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
- การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
- ทบทวนการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การหาค่าสุดขีด
- การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
4. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
5. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
6. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง กาหนดการเชิง
เส้น นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไป
แล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ย
ของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น (การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/2)
หัวข้อย่อย การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจวิธีหาจุดสุดขีดและค่าสุดขีดของปัญหากาหนดการเชิงเส้นโดยใช้กราฟของ
ฟังก์ชันจุดประสงค์
2. มีความเข้าใจวิธีหาจุดสุดขีดและค่าสุดขีดของปัญหากาหนดการเชิงเส้นโดยการแทนค่าจุดใน
อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ลงในฟังก์ชันจุดประสงค์
3. มีความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างกราฟและคาตอบของปัญหากาหนดการเชิงเส้น
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. หาจุดสุดขีดและค่าสุดขีดของฟังก์ชันจุดประสงค์ได้
2. อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างกราฟและคาตอบของปัญหากาหนดการเชิงเส้นได้
3. หาคาตอบของปัญหากาหนดการเชิงเส้นได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
สื่อการสอนเรื่องกาหนดการเชิงเส้น ตอนที่ 2 เริ่มต้นด้วยการนาปัญหาจากตอนที่ 1 มาหาคาตอบด้วยวิธี
ของกาหนดการเชิงเส้น
การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้นคือ การพิจารณาฟังก์ชันจุดประสงค์ P โดยการแทนค่า P
ด้วยค่าคงตัวที่แตกต่างกัน ซึ่งทาให้ได้กราฟเส้นตรงที่มีความชันเท่ากันขึ้นชุดหนึ่ง หรือกล่าวได้ว่าการแทนค่า P
ด้วยค่าคงตัวที่แตกต่างกัน ทาให้ได้กราฟที่ขนานกันขึ้นชุดหนึ่ง จากนั้นเขียนกราฟเส้นตรงเหล่านี้ให้ตัดกับอาณา
บริเวณที่หาคาตอบได้ (ถ้าทาได้) แล้วสังเกตลักษณะกราฟเส้นตรงกับค่า P ที่เปลี่ยนไป (สาหรับตัวอย่างนี้จะ
เห็นว่าเมื่อค่า P เพิ่มขึ้น กราฟเส้นตรงจะเลื่อนขึ้น) และหาจุดในอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ที่ให้ค่า P สูงสุด
(หรือต่าสุด) ตามต้องการ
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนี้ ผู้ส อนควรเน้นย้ าถึง ความแตกต่างของคาว่า “จุดที่ใ ห้ค่าสูงสุด (ต่าสุด )” กั บ “ค่าสูงสุ ด
(ต่าสุด)” ของ ด้วย นั่นคือ “จุดที่ให้ค่าสูงสุด (ต่าสุด)” หมายถึงคู่อันดับ ที่อยู่ในอาณา
บริเวณที่หาคาตอบได้ ซึ่งเมื่อแทนค่า และ ในสมการ แล้วทาให้ P มีค่าสูงสุด
(ต่าสุด) และเรียกค่าสูงสุด (ต่าสุด) นั้นว่า “ค่าสูงสุด (ต่าสุด)” ของ P
หลังจากที่ผู้เรียนได้ศึกษาปัญหาชวนคิดแล้ว ผู้ สอนอาจเน้นย้ากับผู้เรียนอีกครั้งว่า อาณาบริเวณที่หา
คาตอบได้เดียวกัน แต่ฟังก์ชันจุดประสงค์ต่างกันอาจทาให้ได้จุดสุดขีด (จุดสูงสุดหรือจุดต่าสุด) ต่างกัน และถ้ามี
ฟังก์ชันจุดประสงค์เป็นฟังก์ชันเดียวกันแต่อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ต่างกัน ก็อาจทาให้ได้จุดสุดขีด ต่างกัน
นั้นคื อ การพิ จารณาจุดที่ใ ห้ค่ าสุดขี ด (ค่ าสูงสุดหรือค่าต่าสุด ) จะขึ้นอยู่ กับอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้และ
ฟังก์ชันจุดประสงค์ อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้อาจเป็นอาณาบริเวณปิด (อาณาบริเวณที่มีขอบเขต) ดังสอง
ตัวอย่างข้างต้น หรืออาณาบริเวณเปิด (อาณาบริเวณที่ไม่มีขอบเขต) ดังตัวอย่างต่อไปนี้
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในทานองเดียวกันกับตัวอย่างข้างต้น อาจไม่มีจุดในอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ ที่ทาให้ P มีค่าต่าสุด
คาถามหนึ่งที่น่าสนใจและผู้สอนควรถามผู้เรียนคือ เป็นไปได้หรือไม่ที่ฟังก์ชันจุดประสงค์ P ไม่มีทั้งค่าสูงสุด
และค่าต่าสุดบนอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้บริเวณหนึ่ง จากนั้นผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง พิจารณาแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้
ฟังก์ชันจุดประสงค์
อสมการข้อจากัด
วิธีทา
จากรูปจะเห็นได้ว่า เส้นตรง มีส่วนที่ทับกับอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้เสมอ ไม่ว่า P
จะถูก แทนด้วยจานวนจริง ใด ดัง นั้ น ส าหรั บอาณาบริเวณที่ห าคาตอบได้นี้ ฟั ง ก์ ชั นจุดประสงค์ P ไม่มี ทั้ ง
ค่าสูงสุดและค่าต่าสุด #
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อีกประเด็นหนึ่งที่ผู้เรียนมักสับสนคือ จุดที่ให้ค่าสุดขีดอาจมีหลายจุดก็ได้
สิ่งที่ผู้สอนควรเน้นย้าคือ จุดทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรง เมื่อ ต่างก็เป็นจุดที่ทา
ให้ P มีค่าต่าสุด และค่าต่าสุดนั้นคือ 20
เช่น จุด เป็นจุดที่ให้ค่าต่าสุดและค่าต่าสุดของ P คือ 20
จุด เป็นจุดที่ให้ค่าต่าสุดและค่าต่าสุดของ P คือ 20
จุด เป็นจุดที่ให้ค่าต่าสุดและค่าต่าสุดของ P คือ 20
จุด เป็นจุดที่ให้ค่าต่าสุดและค่าต่าสุดของ P คือ 20
ในทานองเดียวกัน จุดทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรง เมื่อ ต่างก็เป็นจุดที่ทาให้
P มีค่าสูงสุด และค่าสูงสุดนั้นคือ 60
เช่น จุด เป็นจุดที่ให้ค่าสูงสุดและค่าสูงสุดของ P คือ 60
จุด เป็นจุดที่ให้ค่าสูงสุดและค่าสูงสุดของ P คือ 60
จุด เป็นจุดที่ให้ค่าสูงสุดและค่าสูงสุดของ P คือ 60
จุด เป็นจุดที่ให้ค่าสูงสุดและค่าสูงสุดของ P คือ 60
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อผู้เรียนได้เห็นตัวอย่างการประยุกต์ของการหาค่าสุดขีด โดยใช้จุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคาตอบ
ได้ดังข้างต้นจบแล้ว ผู้สอนควรตั้งคาถามว่า ในกรณีที่ และ แทนจานวนรถยนต์ และอาณาบริเวณที่หา
คาตอบได้ เป็นอาณาบริเวณปิดที่มีจุดมุม อย่างน้อยหนึ่งจุด ซึ่ง หรือ ไม่เป็นจานวนเต็ม ผู้เรียนจะมี
วิธีหาค่าสุดขีดด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้นได้อย่างไร ผู้สอนอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนแสดงความ
คิดเห็น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง โรงงานแห่งหนึ่งผลิตรถยนต์ 2 รุ่นคือ รุ่น A และรุ่น B
รถยนต์รุ่น A ขายได้กาไรคันละ 12,000 บาท
รถยนต์รุ่น B ขายได้กาไรคันละ 15,000 บาท
ในการประกอบรถยนต์ โรงงานใช้เครื่องจักร 2 ชนิด แต่ละชนิดใช้เวลาดังตาราง
เครื่องจักร เครื่องจักรชนิดที่ 1 เครื่องจักรชนิดที่ 2
รถยนต์ (ชั่วโมงต่อคัน) (ชั่วโมงต่อคัน)
รุ่น A 2 3
รุ่น B 3 1
ถ้าเครื่องจักรเครื่องที่ 1 สามารถทางานได้ไม่เกินวันละ 21.5 ชั่วโมงและเครื่องจักรเครื่องที่ 2 สามารถ
ทางานได้ไม่เกินวันละ 20 ชั่ วโมง แล้วโรงงานแห่งนี้ควรจะผลิตรถยนต์แต่ละรุ่นจานวนเท่าใดในแต่ละวัน
เพื่อให้ขายได้กาไรมากที่สุด
วิธีทา ให้ และ แทนจานวนรถยนต์รุ่น A และรุ่น B ที่โรงงานประกอบได้ในแต่ละวันตามลาดับ
และให้ P แทนกาไรที่ได้จากการขายรถยนต์ 2 รุ่นนี้ในแต่ละวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์คือ
อสมการข้อจากัดคือ
เมื่อนาอสมการข้อจากัด มาเขียนกราฟ ในกรณี และ เป็นจานวนจริง จะได้อาณาบริเวณที่หาคาตอบ
ได้ดังรูป
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากกราฟจะเห็นว่า เมื่อเส้นตรงของฟังก์ชันจุดประสงค์เลื่อนขึ้น ค่าของ P จะเพิ่มขึ้น และจะให้ค่ามาก
ที่สุด เมื่อเส้นตรงผ่านจุด
ดังนั้น โรงงานแห่งนี้ควรผลิตรถยนต์รุ่น A จานวน 3 คัน และรถยนต์รุ่น B จานวน 5 คัน เพื่อให้ขายได้
กาไรมากที่สุดในแต่ละวัน #
หมายเหตุ ในกรณีที่อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ เป็นอาณาบริเวณปิด และตัวแปร และ เป็นจานวน
เต็ม เราอาจจะหาค่าสุดขีดได้โดยนาคู่อันดับ ซึ่ง และ เป็นจานวนเต็ม ในอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้
มาแทนค่าในฟังก์ชันจุดประสงค์ เพื่อหาค่า P ที่สูงที่สุด หรือต่าที่สุด
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากตัวอย่างข้างต้น เราอาจจะพิจารณาจุดต่างๆ ในอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ดังนี้
จะเห็นว่าจุด เป็นจุดที่ให้ค่า P สูงสุด
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง ร้านขายน้าผลไม้แห่งหนึ่งผลิตน้าส้มและน้ามะนาวทุกวัน สมมติว่าในแต่ละวันร้านค้าแห่งนี้ผลิตน้าส้ม
ลิตร และผลิตน้ามะนาว ลิตร โดยมีเงื่อนไขดังนี้
ถ้าน้าส้มขายได้กาไรลิตรละ 5 บาท และน้ามะนาวขายได้กาไรลิตรละ 2 บาท ร้านค้าแห่งนี้ควรจะผลิต
น้าส้มและน้ามะนาวอย่างละเท่าใด จึงจะขายได้กาไรมากที่สุดต่อวัน
วิธีทา ให้ P แทนกาไรที่ได้จากการขายน้าส้มและน้ามะนาวทั้งหมด
จากโจทย์จะได้ฟังก์ชันจุดประสงค์
อสมการข้อจากัด
และได้อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ดังรูป
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิจารณาหาค่า P ที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ดังนี้
จากการพิ จ ารณาข้ า งต้ น ผู้ เ รี ย นส่ ว นใหญ่ จ ะตอบว่ า จุ ด และจุ ด คื อ จุ ด ที่ ท าให้
ซึ่งเป็นค่าสูงสุด นันคือ ร้านค้าแห่งนี้ควรผลิต น้าส้ม ลิตร และน้ามะนาว ลิตร หรือน้าส้ม 6 ลิตร
่
และน้ามะนาว 15 ลิตร จึงจะทาให้ขายได้กาไรมากที่สุด คือได้กาไร 60 บาท
ถึงแม้ว่าทั้งสองคาตอบจะเป็นคาตอบที่ถูกต้อง แต่ก็ยังมีปริมาณการผลิตแบบอื่นอีกที่ทาให้ขายได้กาไร
60 บาท
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากรูปจะได้ว่า จุดทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรง เมื่อ เช่นจุด
ต่างก็เป็นจุดที่ทาให้ ซึ่งเป็นค่าสูงสุด ดังนั้น ร้านค้าแห่งนี้สามารถผลิตน้าส้มและน้ามะนาวได้อีกหลาย
แบบ เช่น น้าส้ม 8 ลิตร และน้ามะนาว 10 ลิตร หรือน้าส้ม 10 ลิตร และน้ามะนาว 5 ลิตร ซึ่งต่างก็ทาให้ขายได้
กาไรสูงสุด คือ 60 บาท #
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
1-4 จงหาจุดสุดขีด และค่าสุดขีดของ P ตามอสมการข้อจากัดที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1.
2.
3.
4.
5. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตอาหารสัตว์ 2 ชนิดคือ ชนิด A และ ชนิด B และมีเครื่องจักรในการผลิต 2 เครื่อง โดย
มีข้อจากัดเรื่องเวลาที่เครื่องจักรสามารถทางานได้และเวลาที่ใช้ในการผลิตอาหารสัตว์แต่ละชนิดดังนี้
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เวลาที่เครื่องจักร เวลาที่ใช้ผลิต เวลาที่ใช้ผลิต
สามารถทางานได้ อาหารสัตว์ชนิด A อาหารสัตว์ชนิด B
(ชั่วโมง/วัน) (ชั่วโมง/ตัน) (ชั่วโมง/ตัน)
เครื่องจักรที่ 1 18 2 3
เครื่องจักรที่ 2 11 1 2
ถ้าบริษัทได้กาไรจากการขายอาหารสัตว์ ชนิด A และ ชนิด B ตันละ 3,000 และ 4,000 บาทตามลาดับ
โรงงานแห่งนี้ต้องผลิตอาหารสัตว์แต่ละชนิดวันละเท่าไรเพื่อขายให้ได้กาไรสูงสุด
6. บริษัทผลิตโทรศัพท์แห่งหนึ่งได้ผลิตโทรศัพท์รุ่นใหม่ออกมา 2 รุ่น คือ รุ่น A และ รุ่น B โดยที่รุ่น A ขาย
เครื่องละ 12,000 บาท และ รุ่น B ขายเครื่องละ 15,000 บาท ในแต่ละวันบริษัทตั้งใจจะผลิตโทรศัพท์รุ่น A
ไม่น้อยกว่า 60 เครื่อง และผลิตรุ่น B ตั้งแต่ 50 ถึง 100 เครื่อง ถ้าบริษัทมีความสามารถในการผลิตโทรศัพท์
ทั้งสองรุ่นรวมกันในแต่ละวันไม่เกิน 150 เครื่อง แล้วในแต่ละวันบริษัทควรจะผลิตโทรศัพท์รุ่นละกี่เครื่อง
เพื่อให้ขายได้ รายได้สูงสุด
7. ชายคนหนึ่งต้องการทาแปลงดอกไม้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแปลงหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขคือ สองเท่าของความยาว
ของด้า นกว้า งน้อยกว่า หรือเท่ า กั บความยาวของด้านยาว และความยาวรอบรูปของแปลงดอกไม้นี้อยู่
ระหว่าง 550 ถึง 700 เมตร ถ้าค่าวัสดุในการล้อมรั้วด้านกว้างราคาเมตรละ 20 บาท และค่าวัสดุในการล้อม
รั้วด้านยาวราคาเมตรละ 35 บาท เขาจะต้องกั้นรั้วแบบใดจึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด
8. เกษตรกรคนหนึ่งบรรจุส้มในกล่องขนาดเท่ากันทุกกล่องและจ้างบริษัทรับส่งของให้นาส้มไปส่งให้ลูกค้า
โดยต้องการใช้เวลาในการขนกล่องส้มทั้งหมดขึ้นรถไม่เกิน 1 ชั่วโมงครึ่ง บริษัทรับส่งของมีรถบรรทุก
ขนาดเล็กและขนาดใหญ่ให้เลือก รถบรรทุกขนาดเล็กสามารถบรรทุกส้มได้ 40 กล่อง รถบรรทุกขนาด
ใหญ่สามารถบรรทุกส้มได้ 60 กล่อง และขณะนั้นมีคนขับรถที่ว่างอยู่ 10 คน ถ้าเกษตรกรต้องการให้ขน
กล่องส้มขึ้นรถทีละคันเพื่อตรวจสอบคุณภาพด้วยตนเอง เขาจะต้องใช้เวลาในการขนกล่องขึ้นรถบรรทุก
ขนาดเล็ก 5 นาที ต่อคั นและใช้ เวลาในการขนกล่องขึ้นรถบรรทุก ขนาดใหญ่ 15 นาทีต่อคัน เกษตรกร
จะต้องจ้างบรรทุกขนาดละกี่คัน เพื่อจะส่งส้มไปให้ลูกค้าได้มากที่สุด
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. ในการผลิตขนมขบเคี้ยวชนิดหนึ่ง ในแต่ละวันโรงงานต้องใช้มันฝรั่งเป็นวัตถุดิบไม่ต่ากว่า 500 กิโลกรัม
โดยนามาจากแหล่งปลูกที่จังหวัดเชียงรายและจังหวัดชลบุรี มันฝรั่งจากเชียงรายให้ปริมาณแป้ง 4 หน่วยต่อ
กิโลกรัม ในขณะที่มันฝรั่งจากชลบุรีให้ปริมาณแป้ง 3 หน่วยต่อกิโลกรัม ทั้งนี้ปริมาณแป้งที่ต้องการจากมัน
ฝรั่งทั้งหมดไม่น้อยกว่า 1,600 หน่วย หากราคาของมันฝรั่งจากเชียงรายและชลบุรีเท่ากั บกิโลกรัมละ 10
บาทและ 8 บาทตามลาดับ ในแต่ละวันโรงงานต้องจ่ายค่ามันฝรั่งต่าสุดเท่าใด (PAT ตุลา 51)
10. ฉัตรลดาและวรรณพรช่วยกันทาสมุดบันทึกและกรอบรูป เพื่อนาไปขายในงานวันลอยกระทง ทั้งสองคน
ใช้เวลาในการทา สมุดและกรอบรูป ดังนี้
ฉัตรลดาใช้เวลาทาสมุดบันทึกเล่มละ 1 ชั่วโมงและทากรอบรูปชิ้นละ 2 ชั่วโมง
วรรณพรใช้เวลาทาสมุดบันทึกเล่มละ 1 ชั่วโมงและทากรอบรูปชิ้นละ 1 ชั่วโมง
ในหนึ่งวัน ฉัตรลดาและวรรณพรมีเวลาทางานประดิษฐ์ ไม่เกิน 6 ชั่วโมง และไม่เกิน 4 ชั่วโมง ตามลาดับ
และตกลงกันไว้ว่าจะผลิตสมุดบันทึกและกรอบรูปให้ได้อย่างน้อยชนิดละ 1 ชิ้นต่อวัน ถ้าสมุดบันทึกขาย
ได้กาไรเล่มละ 10 บาทและกรอบรูปขายได้กาไรชิ้นละ 20 บาท จากเงื่อนไขนี้ฉัตรลดาและวรรณพรจะได้
กาไรสูงสุด วันละเท่าไร
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
1. เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น จุดที่ให้ค่าสูงสุดของ P คือ และค่าสูงสุดของ P คือ 40
จุดที่ให้ค่าต่าสุดของ P คือ และค่าต่าสุดของ P คือ -125 #
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น จุดที่ให้ค่าสูงสุดของ P คือ และค่าสูงสุดของ P คือ 16
จุดที่ให้ค่าต่าสุดของ P คือ และค่าต่าสุดของ P คือ -2 #
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น จุดที่ให้ค่าสูงสุดของ P คือ และค่าสูงสุดของ P คือ 3
จุดที่ให้ค่าต่าสุดของ P คือ และค่าต่าสุดของ P คือ -4 #
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อกาหนดให้ P เป็นค่าคงตัวใดๆ ค่า P ที่แตกต่างกันทาให้ได้กราฟเส้นตรงที่ขนานกัน เช่น
เมื่อ จะได้
จะได้
จะได้
2 จะได้
สังเกตว่า ถ้าเลื่อนกราฟเส้นตรงของฟังก์ชันจุดประสงค์ขึ้น ค่าของ P จะเพิ่มขึ้น และเส้นตรงนี้ยังคงมี
ส่วนที่ทับกับกราฟของอสมการข้อจากัดเสมอ ดังนั้น ไม่มีจุดใดที่สอดคล้องกับอสมการข้อจากัดที่ให้ค่าสูงสุด
ของ P
ในทานองเดียวกัน ถ้าเลื่อนกราฟเส้นตรงของฟังก์ชันจุดประสงค์ลง ค่าของ P จะลดลง และเส้นตรงนี้
ยังคงทับกับกราฟของอสมการข้อจากัดเสมอ ดังนั้นไม่มีจุดใดที่สอดคล้องกับอสมการข้อจากัดที่ให้ค่าต่าสุดของ
P #
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. สมมติให้โรงงานผลิตอาหารสัตว์ชนิด และชนิด จานวน ตัน และ ตันตามลาดับ และให้ แทน
กาไรที่ได้จากการขายอาหารสัตว์ทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น โรงงานแห่งนี้ต้องผลิตอาหารสัตว์ชนิด A เพียงชนิดเดียว และผลิตวันละ 9 ตัน จึงจะได้กาไร
สูงสุด #
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6. ให้ และ แทนจานวนโทรศัพท์รุ่น และ ที่บริษัทผลิตในหนึ่งวันตามลาดับ และให้ แทนรายได้
จากการขายโทรศัพท์รุ่น และ ในหนึ่งวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
เขียนกราฟของอสมการข้อจากัด ในกรณี และ เป็นจานวนจริงได้ ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น บริษัทแห่งนี้ควรผลิตโทรศัพท์รุ่น A วันละ 60 เครื่อง และผลิตโทรศัพท์รุ่น B วันละ 90 เครื่อง
เพื่อให้ขายได้ รายได้สูงสุด #
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. สมมติให้แปลงปลูกดอกไม้กว้าง เมตร ยาว เมตร และให้ แทนค่าใช้จ่ายในการล้อมรั้วทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น ชายคนนี้ต้องกั้นรั้วด้านกว้าง เมตร และด้านยาว เมตร จึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด #
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. ให้ และ แทนจานวนรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญ่ที่เกษตรกรจ้างตามลาดับ และให้ แทน
จานวนส้มที่เกษตรกรส่งไปให้ลูกค้า
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
เขียนกราฟของอสมการข้อจากัด ในกรณี และ เป็นจานวนจริงได้ ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า P ดังนี้
ดังนั้น เกษตรกรต้องจ้างรถบรรทุก ขนาดเล็ก 6 คัน และขนาดใหญ่ 4 คัน เพื่อจะส่งส้มไปให้ลูกค้า
ได้มากที่สุด #
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. ให้ และ แทนปริมาณมันฝรั่งที่นามาจากจังหวัดเชียงรายและชลบุรีตามลาดับ และให้ แทนราคามัน
ฝรั่งทั้งหมดในแต่ละวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดได้บริเวณที่แรเงา ดังรูป
เมื่อกาหนดให้ P เป็นค่าคงตัวใดๆ ค่า P ที่แตกต่างกันทาให้ได้กราฟเส้นตรงที่ขนานกัน สังเกตว่า ถ้า
เลื่อนกราฟเส้นตรงของฟังก์ชันจุดประสงค์ขึ้น ค่าของ P จะเพิ่มขึ้น และจะเลื่อนไปตัดจุดในอาณาบริเวณที่หา
คาตอบได้ที่จุด เป็นจุดแรก ดังนั้น จุด เป็นจุดที่ให้ค่าต่าสุดของ P และค่าต่าสุดของ P
คือ เพราะฉะนั้น ในแต่ละวัน โรงงานต้องจ่ายค่ามันฝรั่งต่าสุด 4,200 บาท #
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10. ให้ และ แทนจานวนสมุดบันทึกและกรอบรูปที่ทั้งสองคนผลิตได้ในแต่ละวันตามลาดับ และให้
แทนกาไรที่ได้จากการขายสินค้าทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
เขียนกราฟของอสมการข้อจากัด ในกรณี และ เป็นจานวนจริงได้ ดังรูป
เนื่องจาก และ ต้องเป็นจานวนเต็ม เราจึงพิจารณาจุด ซึ่ง และ เป็นจานวนเต็ม และ
อยู่ในอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้เท่านั้น
ดังนั้น ฉัตรลดาและวรรณพรจะได้กาไรสูงสุดวันละ 60 บาท #
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขชีกาลัง
้
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกของย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงลาดับ
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
36