1. บทที่ 4
Limits and continuity

2. อัตราการเปลี่ยนแปลง (Rates of Change)
มเร็วเฉลี่ย (Average Speed )
ความเร็วเฉลี่ยของวัตถุที่เคลื่อนที่ในช่วงเวลาใดๆ หา
ได้จากระยะทางที่วัตถุ
หาความเร็วเฉลี่ย วงเวลานันๆ ซึ่งมีหน่วยเป็นหน่วย
เคลื่อนที่หารด้วยช่ ้
ความยาวต่อหน่วยเวลา
จงหาความเร็วเฉลี่ยในช่วง 2 วินาทีแรกที่ก้อนหินตกลงม
วิธ ท ำา ก้อนหินที่หล่นลงมาอย่างอิสระจากหน้าผา
ี
สูงสู่พื้นผิวโลกจะมี y = 16t 2
นในช่วง 2 วินาทีแรกพันธ์ระหว่เฉลี่ยของก้อนหินหาได้จาก
ความสัม ความเร็ว างระยะทางการ
หินเคลื่อนที่กับช่วงเวลาเป็วงเวลา ที่เคลื่อนที่ ในช่วงเวลา 2
เคลื่อนที่ได้ หารด้วยช่ น
0 ถึง t = 2 เราจะได้ความเร็วเฉลี่ยของก้อนหินเป็น

3. ∆y 16( 2) 2 −16(0) 2
∆t
=
2 −0 = 32 ฟุตต่อวินาที
วขณะใดขณะหนึ่ง(Instantaneous Speed)
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุที่เคลื่อนที่
เวลาใดๆ หาได้จาก
ย่า งที่ ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ในในเวลาที่สนมากๆ
2 หาความเร็วขณะใดขณะหนึง ่ ั้
หารด้วยช่วงเวลานั้น
จงหาความเร็วของก้อนหินในตัวอย่างที่ 1 ที่เวลา t = 2
เร็วเฉลี่ยของก้อนหินในช่วงเวลาจาก t = 2ไปยัง t = 2 +
∆y 16(2 + h) 2 − 16(2) 2
=
∆t h
ความเร็วของก้อนหินที่เวลา t = 2 คือ≈
ราไม่สามารถแทนค่า เมื่อ hได้โดยตรงต้องใช้วิธการหาลิม
ความเร็วเฉลี่ย h=0 0 ี

4. าน้อยๆ จะได้ความเร็วของก้อนหินที่เวลา t=2 เป็นดังตารา
∆y 16(2 + h) 2 − 16(2) 2
=
∆t h
ารางที่ 1.1 ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาสันๆ ที่ t = 2
้
ความยาวของ
∆y / (ฟุต /วิน าที)
∆t
ช่ว งเวลา
(วิน าที)
1 80
0.1 65.6
0.01 64.16
0.001 64.016
0.0001 64.0016
0.00001 64.00016

5. ดังนั้นพบว่าเมื่อค่า h มีค่าเข้าใกล้ 0 ค่าความเร็วเฉลี่ย
รคำานวณทางพีชฟุตต่อวินาที
จะเข้าใกล้ 64 คณิต
∆y 16(2 + h) 2 − 16(2) 2 16(4 + 4h + h 2 ) − 64
= =
∆t h h
64h + 16h 2
= = 64 + 16h
h
เมื่อ h เข้าใกล้ 0 จะได้คาความเร็วเฉลี่ยจึงมีคาจำากัด
่ ่
เป็น 64 + 16(0) = 64 ฟุต/วินาที
าเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงและเส้นตัด
= f(x) มีอัตราเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงของ y ต่อ x 1 , ตลอ
[x x2 ]
เป็น ∆y f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 )
= =
∆x x2 − x1 h

6. งที่ลากเชือมจุด 2 จุดของเส้นโค้งคือเส้นตัด (secant) ส่วน
่
งสรุปได้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f จาก x1 ไปยัง x2
มชันของเส้นตัด PQ

7. 3 การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิของแผ่นกันความร้อน
ในการออกแบบแผ่นกันความร้อนที่มีความหนา 1 นิ้ว
สำาหรับยานยนต์อวกาศ แผ่นกันความร้อนได้ถูก
ตรวจสอบอุณหภูมิ  ที่แต่ละระดับ
ความลึกของแผ่นกันความร้อนดังแสดงในรูปที่ และ
อยากทราบการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอุณหภูมิต่อ
หนึงหน่วยความลึกของแผ่นกันความร้อนนี้
่

8. วิธีทำา
กราฟที่กำาหนดให้ จุด P จะมีความชันสูงสุด ดังนี้กำาหนดให
ที่เลื่อนได้จาก x=0 ไปสู่จุด P ความชันของเส้นตรง PQ จะ
าของการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอุณหภูมิต่อหนึ่งหน่วยควา
∆µ
≈ −2.60 เป็นลบแสดงว่า
∆x
อุณหภูมิลดลงเมื่อ x
มากขึ้น
หรือคำานวณโดยละเอียดได้จาก
∆µ (0 − 1)
≈ = −2.777
∆x (0.68 − 0.32)

9. Figure 1.4: The tangent line at point P has the same steepness
องฟังก์ชัน (Limits of Functions)
(slope) that the curve has at P.
งฟังก์ชนอาจจะหาค่าไม่ได้ที่จุดใดจุดหนึง แต่เราสามารถห
ั ่
นเมื่อเข้าใกล้จุดนั้นมากๆได้ ถ้าฟังก์ชันนันมีลิมิตที่จุดนัน
้ ้
ที่ 4 พฤติกรรมของฟังก์ชนเมื่อเข้าใกล้จุดใดจุดหนึ่ง
ั
x2 −1
ฟังก์ชน ( x) = x − 1
ัf
ฤติกรรมอย่างไรเมื่อ x เข้าใกล้ 1
า ฟังก์ชันที่กำาหนดให้
ามารถหาค่าได้เมื่อ x =1
ค่าประมาณ 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 1

10. เราสามารถแตกออกเป็นตัวประกอบย่อยและจัดรูปฟังก
x ≠1
( x − 1)( x + 1)
f ( x) = = x + 1(เมื่อ x ≠ 1 )
( x − 1)
เมื่อ x เข้าใกล้ 1 จะทำาให้คาของฟังก์ชนมีค่าเป็น 2
่ ั
หรือกล่าวว่าลิมิตของ f เป
เมื่อ x เข้าใกล้ 1 หรือเขีย
เป็นสมการได้ว่า
x2 −1
lim f ( x) = 2 หรือ lim =2
x →1 x →1 x − 1

11. นิย ามโดยทั่ว ไปของลิม ต (Informal
ิ
Definition of Limit)
ให้ f(x) ถูกกำาหนดบนช่วงเปิด
ใกล้ x0 และ f(x) เข้าใกล้ L สำาหรับทุกค่าของ x
ที่เข้าใกล้ x0 เราเขียนเป็)น= L
lim f ( x สมการได้ว่า
x → x0
(นิยามนี้ไม่ชัดเจนเพราะไม่ทราบว่าใกล้เท่าไร)

12. งที่ 5 ค่าลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชันที่ x0
ที่ มีลิมิต 2 เมื่อ x → 1 งแม้ว่า หาค่าไม่ได้ที่ xg=1 ฟ
ถึ f
ถึงแม้ว่า
x →1 g (1) ≠ 2 ฟัh ก์ชน เป็นฟังก์ชันท
ง ั
ค่าเท่ากั1 ค่าของฟังก์ชนที่ x = 1 เราเขียนได้วx่า = h(1)
x→บ ั lim h( )
x →1
2
x −1  x2 −1

(a ) f ( x) =
x −1 (b) g ( x) =  x − 1 , x ≠ 1 (c ) h ( x ) = x + 1
1
 ,x =1
lim f ( x) = lim g ( x) = lim h( x) = 2
x →1 x →1 x →1

13. ย่า งที่ 6 ฟังก์ชนที่มีลิมิตทุกจุด
ั
ถ้า f เป็นฟังก์ชันเฉพาะ lim f ( x) = lim x = x0
(identity function) x → x0 x → x0
f(x)= x ดังนันสำาหรับค่า
้
ถ้า f เป็นฟังก์ชนคงที่
ั
x0ใดๆ lim f ( x) = lim k = k
(constant function) x → x0 x → x0
f(x)= k ดังนันสำาหรับค่า x0
้
ใดๆ
identity function constant function

14. ตัวอย่าง lim x = 3 Identity
x →3 function
เช่น lim (4) = lim(4) = 4
x → −7 x→2 Constant function
งฟังก์ชนอาจไม่มีลิมิตดังในรูป
ั

15. ย่า งที่ 7 การพิจารณาว่าไม่มีลิมิต
จงอธิบายพฤติกรรมของฟังก์ชันในรูปเมื่อ
1  0, x≤0
0, x < 0  , x≠0 
ก) U ( x) =  ข) g ( x) =  x ค) f ( x) =  1
sin , x>0
1, x ≥ 0 0,
 x=0  x


16. ยงตรงของลิมิต (Precise Definition of Limit)
ให้f ถูกกำาหนดให้อยู่บนช่วงเปิดรอบ x0 ยกเว้นที่
lim f ( x) = L
จุด x0 เราอาจกล่าวได้ว่า f(x) เข้าใกล้ลิมิต L เมื่อ
x→ x 0
δ บ
x เข้าใกล้ x0และเขียนเป็นสมการได้ว่าถ้าสำาหรั> 0
ทุกเลขจำานวนใดๆ0ที่
ε>
แล้วทำาให้เ0 ดค่า
δ > กิ
ที่เกี่ยวข้อง สำาหรับ
0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L < ε
ทุกค่า x ทำาให้

17. Figure 1.11: The relation of δ and ε in the definition of limit.
ย่า งที่ 8 การควบคุมฟังก์ชันเส้นตรง
มีคาอยู่ในช่วงใดที่ทำาให้เมื่อ x0 = 4
่ แล้วค่า y = 2x –
ะยะ 2 หน่วยของ y0 = 7
วิธทำา เราทราบว่0า= 4
ี x ε = 2, L = ให้หาช่วงของ่ทำาให้ − 7 < 2
7 x ที y
y − 7 = (2 x − 1) − 7 = 2 x − 8
2x − 8 < 2
− 2 < 2x − 8 < 2
6 < 2 x < 10
3< x <5
−1 < x − 4 < 1

18. วอย่างที่ 9 ทดสอบนิยาม
จงแสดงให้เห็นว่า→1 ( 5 x − 3) = 2
lim
x
าหนด x 0 = 1, f ( x) = 5 x − 3 และ L = 2 ตามนิยาม
ต้องมี 0
ε> δ > 0 ่ทำาให้ < x − 1 < δ
ที 0 f (x) −และε
2<
จากอสมการ f (x) − 2 < ε
( 5 x − 3) − 2 = 5 x − 5 < ε
5 x −1 < ε
x −1 < ε / 5
ดังนั้นเราจะได้วδ = ε / 5
่า
และ 0 < x −1 < δ = ε / 5 f (x) − 2 < ε เป็นจริง
หรือ lim( 5 x − 3) = 2
x →1

19. างที่ 10 หาค่า  เมื่อกำาหนดค่า  ให้
lim x − 1 = 2  ที่มี  =1 ที่ทำาให้
จงหา
x →5
0 < x−5 <δ ⇒ x −1 − 2 < 1
อสมการ x −1 − 2 < 1 เพื่อหาช่วง (a,=b) รอบ
x0 5
x −1 − 2 < 1
−1 < x −1 − 2 < 1
1 < x −1 < 3
1 < x −1 < 9
2 < x < 10
−3 < x−5 < 5
นั้นค่าของ คือที่ทำาให้ − 5 < δ ⇒
0< x x −1 − 2 < 1

20. Figure 1.13: An open interval of radius 3 about x0 = 5 will lie
รูปตัวอย่างที่10interval (2, 10).
inside the open

21. ตและลิมิตด้านเดียว (Finding Limits and One-Sided
ามารถหาค่าลิมิตโดยใช้คณิตศาสตร์และกฎพื้นฐานได้
กฎของลิมิต
M, c และ k เป็นเลขจำานวนจริง มี c f ( x) = L
lim
x→ x →c
และ
lim g ( x) = M
กฎผลรวม lim ( f ( x) ± g ( x)) = L ± M
x →c
กฎผลคูณ lim( f ( x) ⋅ g ( x)) = L ⋅ M
x →c
กฎผลคูณด้วยค่าคงทีc่ (k ⋅ f ( x)) = k ⋅ L
lim
x→
f ( x) L
กฎผลหาร lim
x →c g ( x )
=
M
, M≠0
กฎยกกำาลัง lim( f ( x)) r / s = Lr / s
x→c

22. อย่า งที่ 1 การใช้กฎของลิมิต
จากคุณสมบัติ= k lim x = c และ
lim k
x →c x →c และ
คุณสมบัต+ 4 x 2 − ม)ิต(ข) lim x มตต่− 1ไปนี้ xlim2 4 x 2 − 3
ิของลิ 3 จงหาลิ +ิ x อ (ค) →−
4 2
3
(ก) lim( x
x →c x →c x2 + 5
วิธีทำา
(ก) lim( x 3 + 4 x 2 − 3) = lim x 3 + lim 4 x 2 − lim 3
x →c x →c x →c x →c
= c + 4c 2 − 3
3
4
x + x −1
2 lim( x 4 + x 2 − 1)
(ข) lim
x →c x +5
2
= x →c
lim( x 2 + 5)
x →c
lim x + lim x 2 − lim1
4
= x →c x →c x →c
lim x + lim 5
2
x →c x →c
c4 + c2 −1
=
c2 + 5

23. (ค) lim 4 x 2 − 3 =
x → −2
lim (4 x 2 − 3)
x → −2
= lim 4 x 2 − lim 3
x →-2 x → −2
= 4(-2) 2 − 3
= 13
ลิมิตของพหุนาม
ถ้าP ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a0
lim P( x) = P(c) = an c n + an −1c n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a0
x→c
องฟังก์ชันตรรกยะสามารถหาได้โดยการแทนที่
ถ้า P(x) และ Q(x) เป็น Q(c) ≠ 0
พหุนาม และ
P ( x ) P (c )
lim =
x →c Q ( x ) Q (c )

24. ย่า งที่ 2 ลิมิตของฟังก์ชนตรรกยะ
ั
x 3 + 4 x 2 − 3 (−1) 3 + 4(−1) 2 − 3 0
lim = = =0
x → −1 x +5
2
(−1) + 5
2
6
รกำาจัดตัวหารที่เท่ากับศูนย์
หารเป็นศูนย์จะต้องพยายามกำาจัดตัวประกอบร่วม
mmon factors) ออกไปเพื่อให้ตัวหารไม่เป็นศูนย์
ย่า งที่ 3 การกำาจัดตัวประกอบร่วม
x2 + x − 2
จงหา lim x 2 − x
x →1
าไม่สามารถแทน x = 1 ลงไปได้เพราะตัวหารจะมีคาเป็นศ
วิธีทำา ่
 x 2 + x − 2   ( x − 1)( x + 2)   x + 2 
 =
 x 2 − x   x( x − 1)   x 
= ถ้า x ≠ 1
     

25. x2 + x − 2 x + 2 1+ 2
ดังนั้น lim = lim = =3
x →1 x −x
2 x →1 x 1
2
x + x−2 x+2
f ( x) = 2 g ( x) =
x −x x

26. 2+h − 2
จงหา
ย่า งที่ 4 สร้างและกำาจัดตัวประกอบร่วม lim
h →0 h
ม่สธีทำา
วิ ามารถแทน h = 0 ได้ และ ทั้งเศษและส่วนไม่มีตัวประ
น เจึงต้องสร้างตัวประกอบร่วมขึ้นโดยคูณทั้งเศษและส่วน
เทอมคอนจูเกท 2+h + 2
2+h − 2 2+h − 2 2+h + 2
= ⋅
h h 2+h + 2
2+h−2
=
h( 2 + h + 2 )
h
=
h( 2 + h + 2 )
1
=
2+h + 2
2+h − 2 1
ดังนัน
้ lim
h →0 h
= lim
h →0 2+h + 2
1
=
2 2

27. ( )
คือความชันของเส้นตรงที่ลากผ่2านจุด
2+h − 2 /h P( , 2 )
Q ( 2 + บนเส้h ) โค้ง
h, 2 + น y = x ในรูปที่ จากการคำานวณแสด
ลิ1 / (ิตของความชันของเส้นตรงนี้ เมื่อ → P
ม 2 2) Q

28. ฎีแ ซนวิช (Sandwich Theorem)
าได้ด้วยทฤษฎีแซนวิช ทฤษฎีนี้อ้างถึงฟังก์ชน f ซึ่งมีค่าอ
ั
ก์ชน g และ h ถ้า g และ h มีคาลิมิตเดียวกันเมื่อ
ั ่ x→c
จะมีค่าลิมิตเช่นเดียวกันกับฟังก์ชนทั้ง 2 ด้วย
ั
g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x), ∀x
lim g ( x) = lim h( x) = L
x →c x →c
lim f ( x) = L
x →c

29. ย่า งที่ 5 การใช้ทฤษฎีแซนวิช
x2 x2
กำาหนดให้− 4 ≤ u ( x) ≤ 1 + สำาหรับทุกค่า
1
2 xxที่ 0 จงหาlim u ( x)
≠
x→0
 x  2  x 2
ก lim 1 −
x →0
 = lim 1 +
4  x →0
 =1
4 
จากทฤษฎ
   
จะได้ว่า x→0 u ( x) = 1
lim
x2
h( x ) = 1 +
4
u(x)
x2
g ( x) = 1 −
4

30. ่า งที่ 6 ที่ใช้ทฤษฎีแซนวิชเพิ่มเติม
ากรูป ก) เนื่องจาก ≤ sin θ ≤ θทุกค่าของ และ lim( − θ ) = lim θ = 0
−θ θ θ →0 θ →0
จะได้ว่าlim sin θ = 0
θ →0
ากรูปที่ ข) เนื่องจาก− cosθ ≤ ทุกค่าของ และ lim(1 − cos θ ) = 0
0 ≤1 θ θ θ →0
จะได้ว่า→0 cos θ = 1
lim
θ

31. ด้า นเดีย ว (One-Sided Limit)
นิย าม ลิมิตซ้าย
และลิ)มิตขวา
เป็นฟั(xก์ชันที่อยู่บนช่วง (a, b) โดยที่ a f<ใกล้ า เมื่อ x
fง เข้า b ถ้ L
ให้
ข้าใกล้ a จากด้าาวว่า
เรากล่นขวา มีลิมิตด้านขวามือเท่ากับ L ที่ a
f (x)
เขียนเป็น
สมการได้ว่า lim f ( x) = L
เข้าใกล้ M
+
x →a
เป็ให้ ง
นฟั
f (x)ก์ชันที่อยู่บนช่วง (c, a) โดยที่ c<a ถ้า
f
เมื่อ x
ข้าใกล้ a เรากล่าวว่า ย fมี)ลิมิตด้านซ้ายมือเท่ากับ M ที่ a
จากด้านซ้ (x
เขียนเป็น
สมการได้ว่า lim f ( x) = M
−
x →a

32. สำาหรับฟังก์ชัน f ( x) = x / x
ในรูปที่ เราจะได้
lim f ( x) = −1
แล
−
x →0
ะ lim+ f ( x) = 1
x →0
างที่ 7 ลิมิตด้านเดียวสำาหรับครึ่งวงกลม
โดเมนของ( xอ=[-4 − x 2] ซึ่งมีกราฟเป็นรูปครึ่งวงกลมดังแสด
fคื )
2,
2
เราจะได้ว่า
lim+ 4 − x 2 = 0
x → −2
และ lim− 4 − x 2 = 0
x→2
ม่มีลิมิตที่ -2- และ 2+

33. ที่ 5 ความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตด้านเดียวและสองด้าน
ฟังก์ชมีล(xิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ก็ตมีลิมอ ทั้งซ้ายมือและขวาม
ันf ิม ) ่อเมื่ ิต
f (x)
ละมีคาลิมิตเท่ากัน นั่นคือ
่
lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = L และ lim f ( x) = L
− +
x →c x →c x →c
อย่า งที่ 8 ลิมิตของฟังก์ชน
ั
ที่ x = 0lim f ( x) = 1
x →0 +
lim f ( x) และ lim f ( x) ไม่มี
x →0− x→ 0
ที่ x = 1lim f ( x) = 0 f (1) = 1
x →1−
lim f ( x) = 1
x →1+
ที่ x = 2lim f ( x) = 1
x→2−
lim f ( x) = 1
x→2+
lim f ( x) = 1 f (2) = 2
x→2

34. ที่ x = 3 lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = f (3) = 2
x → 3− x → 3+ x →3
ที่ x = 4 lim f ( x) = 1 งแม้ว่า f (4) ≠ 1
ถึ
x→ 4−
lim f ( x) และ lim f ( x)
x→4+ x→ 4 ไม่มี(ไม่นิยาม)
ย่า งที่ 9 ฟังก์ชันที่แกว่งมาก
จงแสดงว่า = sin(1/ ม)ีลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์
y ไม่x
า เมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์ 1/x
ค่ามาก sin(1/x) จะกลับไปมา
–1 ไปยัง 1 ค่า L หลายค่า
เข้าใกล้ศูนย์ ฟังก์ชนจะไม่มี
ั
ตด้านซ้ายหรือด้านขวาที่ x = 0

35. ลิมิต ( sin θ ) /θ
ของ
ั ( sin ) θ
ฟังก์ชนมีลθิม/ิตที่ θ →0 เป็น 1 แต่ไม่นยามที่
θิ = 1
พิสูจน์
พท OAP < พท
∆ ∆
OAP < พท OAT
1 1 2 θ
sin θ < (1) θ = 1 1
< (1)(tan θ ) = tan θ
2 2 2 2 2
1 θ 1 sin θ
sin θ < < tan θ 1> > cos θ
2 2 2 θ
sin θ
แต่ xlim cos θ = 1 ดังนั้น xlim+ θ = 1
→0+
→0
ด้วย

36. Figure 1.24: The graph θ f (θ) = (sin θ)/θ.
sin of
อย่า งที่ 10 การใช้ θ
lim
θ →0
=1
cosh − 1 sin 2 x 2
งแสดงให้เห็นว่า (ก)
lim = 0 (ข) lim
x →0 5x
=
5
h →0 h
วิธ ท ำา
ี
ก) โดยใช้สูตรครึ่งมุม
cosh = 1 − 2 sin 2 (h / 2)
cosh − 1 2 sin 2 (h / 2)
lim = lim−
h →0 h h→0 h
sin θ
= − lim sin θ
θ →0 θ
= -(1)(0) = 0
sin 2 x ( 2 5 ) ⋅ sin 2 x
ข) จัดรูปฟังก์ชัน0 5 x = x→0 ( 2 ) ⋅ 5 x
lim
x→
lim
5
2 sin 2 x
= lim
5 x →0 2 x
2 2
= (1) =
5 5

37. ลิมิตอนันต์
การวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชxโดยดูจากเส้นกำากับในแนวน
ันเมื่อ
→ ±∞
และแนวตัน ฟังก์ชfันx) = 1 / x สำาหรับx ≠ 0 นดังรูป
เช่ ้ง ( เป็
เมื่อ ดังนัน ้
lim f ( x) = lim (1 / x ) = 0
x →±∞ x → ±∞
เส้นกำากับในแนวนอน y = 0
และเมื่อx → ±0 1/ x → ∞
lim f ( x) = lim (1 / x ) = ±∞
x →±0 x →±
นเส้นกำากับในแนวตั้ง x = 0

38. ยาม ลิมิตเมื→ ±∞ x ่อ
มีลิมิตเป็น L เมื่อ x เข้าสู่อนันlim f ( x) = L ถ้า
f (x) ต์
x →∞
lim f ( x) = L และ lim f ( x) = L
x →−∞ x → +∞
ย่า งที่ 1 ลิมิตของ 1/x และ k เมื่อ
x → ±∞
1 1
จงแสดงว่า ก)∞ x = xlim x = 0 (จากรูปเป็นจริง)
lim
x→ → −∞
ข)xlim k = xlim k(ตามกฎลิมิตของฟังก์ชันคงที่)
→∞ → −∞
=k
กฎสำาหรับลิมิตเมืx → ±∞
อ
่
มิตของการรวม การคูณ การหาร การคูณด้วยค่าคงที่ และ
น จะเหมือนกับกฎของลิมิตที่ค่าใดๆตามที่กล่าวมาแล้ว

39. ย่า งที่ 2 การใช้ทฤษฎีลิมิตอนันต์
1 1
(ก) x→∞ x x→∞ x→∞ x = 5 + 0 = 5 (กฎการรวม)
lim (5 + ) = lim 5 + lim
π 3 1 1
(ข) lim
x →- ∞ x 2
= lim π 3 ⋅ ⋅ (กฎการคูณ)
x → −∞ x x
1 1
= lim π 3 ⋅ lim ⋅ lim
x →- ∞ x → −∞ x x → −∞ x
= π 3 ⋅0⋅0 = 0
มิตของฟังก์ชนตรรกยะเมื่อ±∞
ั ควรหารตลอดด้วยตัวแปรที่มีกำาลัง
x→
งที่ 3 ตัวเศษและส่วนมีอันดับของเลขยกกำาลังเท่ากัน
5x 2 + 8x − 3 5 + (8 / x) − (3 / x 2 )
lim
x →∞ 3x + 2
2
= lim
x →∞ 3 + (2 / x 2 ) (หารเศษและส่วน
5+0-0 5 ด้วย x2 )
= =
3+ 0 3

40. Figure 1.27: The function in Example 3.
รูปตัวอย่างที่ 3

41. งที่ 4 เมื่อเลขยกกำาลังของเศษน้อยกว่าส่วน
11x + 2 (11 / x 2 ) + (2 / x 3 )
lim 3 = lim
x → −∞ 2 x − 1 x → −∞ 2 − (1 / x 3 )
0+0
= =0
2-0
ที่ 5 เมื่อเลขยกกำาลังของเศษมากกว่าส่วน
2x2 − 3 2 x − (3 / x)
ก) lim
x → −∞ 7 x + 4
= lim
x → −∞ 7 + ( 4 / x )
= −∞
− 4x3 + 7 x − 4 x + (7 / x )
ข) lim
x → −∞ 2 x 2 − 3 x − 10
= lim
x → −∞ 2 − (3 / x ) − (10 / x 2 )
=∞

42. Figure 1.29: The function in Example 5(a).
รูปตัวอย่างที่ 5 ก) รูปตัวอย่าง
ที่ 5 ข) − 4x3 + 7 x
y=
2 x 2 − 3 x − 10

43. กำากับแนวนอนและแนวตั้ง: ลิมิตอนันต์เส้นกำากับแนวตั้ง
ฟังก์ชน ( x) = 1 / x
ั f
เมื่อ x → ∞, (1 / x ) → 0
lim(1 / x ) = 0 เส้นกำากับแนวนอน
x →∞
เมื่อ x → −∞, (1 / x ) → 0
lim (1 / x ) = 0
x → −∞
y = 0 คือเส้นกำากับแนวนอนของกราฟของ f
1
เมื่อ x → 0 , (1 / x ) → ∞ xlim f ( x) = xlim x = ∞
+
+ +
→0 →0
1
เมื่อ x → 0 , (1 / x ) → −∞ lim f ( x) = lim = −∞
−
x →0 − x →0 − x
เส้น งนั= 0 คือเส้นกำากับแนวตั้งของกราฟของ
ดั x ้น f

44. าม เส้นกำากับแนวนอนและแนวตั้ง
= b เป็นเส้นกำากับแนวนอนของกราฟของฟัy ก์ช(x)
ง= f น
ั
ถ้า lim f ( x) = b หรือ xlim f ( x) = b
x →∞ → −∞
= a เป็นเส้นกำากับแนวตั้งของกราฟของฟังf (x)ัน y = ก์ช
ถ้า xlim f ( x) = ±∞ หรือ xlim f ( x) = ±∞
−
→a +
→a
อย่า งที่ 6 หาเส้นกำากับ
x+3
จงหาเส้นกำากับของโค้= x + 2
yง
า หาพฤติกรรมของฟังก์ชxันเมื่อและ x → −2
→ ±∞
x+3 1 1 1
y= = 1+ lim (1 + ) =1 lim ± (1 + )=∞
x+2 x+2 x → ±∞ x+2 x → −2 x+2
นกำากับในแนวนอนคือ y =1 และเส้นกำากับในแนวตั้งคือ

45. รูปตัวอย่างที่ 6
x =-2
y =1

46. ย่า งที่ 7 โค้งที่มีเส้นกำากับหลายเส้น
1 sin x
โค้ง y = sec x = cos x และ y = tan x = cos x
มีเส้นกำากับแนวดิ่งมากมายที่คาของ 0 ดังรูป
่cos x =
y = sec x y = tan x

47. ย่า งที่ 8 เส้นกำากับแนวนอนของ
y=e x
โค้งyจะมีเส้น y = 0 เป็นเส้นกำากับ
= ex
แนวนอน ดังแสดงในรูป
lim e x = 0
x→ −∞
lim e x
( x→ ∞ ไม่มี)
สามารถที่จะหาพฤติกรรมของ(x) เมื่อ x → ±∞
y= f
ดยการหาลิมิตของ f (1 / x)เมื่อ x → 0
y=

48. t → −∞
อย่า งที่ 9 การใช้การแทนที่
จงหา lim sin(1 / x)
x →∞
าให้ t = 1/x เราทราบว่า t → 0 x→∞ เมื่อ ดังนั้น
1
lim sin( ) = lim sin(t ) = 0
x →∞ x t →0
อย่า งที่ 10 การใช้การแทนที่
จงหา x→0
lim e1/ x −
เราให้ t = 1/x เราทราบว่า
t → −∞
เมื่อ x → 0 − ดังนั้น
lim− e1/ x = lim et = 0
x→0 t → −∞

49. มิตอนันต์ด้วย ทฤษฎีแซนวิช
งที่ 11 หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 หรือ 
sin x
งหาเส้นกำากับของโค้y =ง + โดยใช้ทฤษฎีแซนวิช
2
x
า หาพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ และเมื่อ →(0 วหารเป็น 0)
x → ±∞ x ตั
sin x
เมื่อx→0 lim ดังนัน1 งไม่มีเส้นกำากับในแนวตั้งที่จุดก
้= จึ
x →0 x
sin x 1 1
เมื่อx → ±∞ เนื่องจาก 0≤ ≤ และ lim
x → ±∞ x
=0
x x
sin x
ดังนั้นจะได้ว่าxlim x = 0ตามทฤษฎีแซนวิช
→ ±∞
 sin x 
ดังนัน
้ lim  2 +
x → ±∞
 x 
 = 2+0 = 2

50. รูปตัวอย่างที่ 11
y =2

51. ยามที่แม่นยำาของลิมิตอนันต์
เข้าสู่คาอนันต์บวกเมื่อ x เข้า0 หรือ xlim f ( x) = ∞
f (x) ่ x ใกล้ → x 0
ทุกเลขจำานวนจริงบวก B ที่ท> 0 และ 0 < x − x < δ ⇒ f ( x) > B
δ ำาให้ 0
เข้าสูค่าอนันต์ลบเมื่อ x เข้าใกล้ อ xlim f ( x) = −∞
f (x) ่ x0 หรื → x
0
าทุกเลขจำานวนจริง- B ที่ทำาให้0 และ 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) < − B
δ>
ลองพฤติกรรมปลาย (End behavior model)
x ใหญ่มาก เราสามารถจำาลองพฤติกรรมของฟังก์ชนที่ซับ ั
4 3 2
y = 3x − 2 x + 3x − 5 x + 6 y = 3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5 x + 6
y = 3x 4
y = 3x 4

52. การวิเคราะห์
ให้ f ( x) = 3 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 5 x + 6 และ g ( x) = 3 x 4
f ( x) 3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5 x + 6
lim = lim
x → ±∞ g ( x ) x → ±∞ 3x 4
 2 1 5 2 
= lim 1 − + 2− 3+ 4
x → ±∞ 3x x 3x x 
=1
ดงว่า g(x) สามารถแทน f(x) ได้เมื่อ |x|มีคามาก
่
แบบจำาลองพฤติกรรมปลาย (End behavior model)
ฟังก์ชัน าลองพฤติกรรมปลายขวาของ f ถ้า
เป็นแบบจำ
g
f ( x)
lim =1
x →∞ g ( x )
ฟังก์ชัน าลองพฤติกรรมปลายซ้ายของ f ถ้า
เป็นแบบจำ
g
f ( x)
lim =1
x → −∞ g ( x )

53. 3 การหาแบบจำาลองพฤติกรรมปลาย (End behavior m
ให้
−x
f ( x) = x + e จงแสดงว่า คือแบบจำาลองพฤติกรรมปลายขว
g ( x) = x
f และ h( x) = e f
−x
คือแบบจำาลองพฤติกรรมปลายซ้ายของ
ิธ ท ำา
ี ด้านขวา f ( x) x + e− x  e− x 
lim = lim = lim1 +
  =1
x →∞ g ( x) x →∞ x x →∞
 x 
 −x
e
เพราะว่า lim
x →∞ x
=0
ด้านซ้ายlim f ( x)
= lim
x + e− x  x 
= lim 1 + − x  = 1
−x
x → −∞ h ( x ) x → −∞ e x → −∞
 e 
x
lim =0
เพราะว่า x → −∞ e −x

54. รูปตัวอย่างที่ 13

55. างที่ 14 การหาเส้นกำากับแนวลาดเอียง
2x2 − 3
เส้นกำากับแนวลาดเอียงของกราฟของx + 4
f ( x) =
7
จากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เราจะได้
2 x 2 − 3 หายไปเมื่อ|x| มีค่ามาก
f ( x) =
7x + 4
2 8  − 115
= x− +
7 49  49(7 x + 4)
ฟังก์ชันเชิงเส้น g(x)
นันเส้นกำากับแนวลาดเอียงของ
้
2 8 2 8
าฟของ f คือ g ( x) = 7 x − 49 g ( x) = x −
7 49

56. นต่อเนือความต่อเนื่อง ของฟังก์ชัน จะแปรผันอย่างต่อเน
่ งเป็นฟังก์ชันที่คา (Continuity)
่
อิสระ จะไม่มีการกระโดดจากค่าหนึงไปอีกค่าหนึง
่ ่
วอย่า งที่ 1 การหาความต่อเนื่อง
จงหาจุดที่ฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง และจุดที่ไม่ต่อเนื่อง
ในรูปมี
f
วิธ ท ำา ฟังก์ชัน จะต่อเนื่องทุกจ
ี
ในโดเมน [0, 4]
ยกเว้นที่ x = 1, x = 2 และ x =

57. เหตุผล
จุดทีf่ ต่อเนื่อง
ที่ x lim f ( x) = f (0)
=0 =
ที่ x
+
x →0
lim f ( x) = f (3)
3 x →3
ที่ 0 < c < 4, c ≠ 1,2 lim f ( x) = f (c)
x →c
จุดทีf่ ต่อเนื่อง
ไม่
ที่ x lim f ( x)
=1 = x→1 ไม่มี
ที่ x lim f ( x) = 1 แต่ 1 ≠ f ( 2)
2่ x =
ที
x →2
lim f ( x) = 1 แต่ 1 ≠ f (4)
4 x →4
ที่
c<0, c>4 อยู่ในโดเมนของ
ไม่ f

58. ยาม ความต่อเนื่องที่จุดใดๆ
ต่อเนื่องจากขวา ต่อเนื่องจากซ้ายและจากขวา ่องจากซ้าย
ต่อเนื
ที่จุดภายในฟังก์ชมีความต่อเนื่องที่จุดภายใน c ถ้า
y น f (x)
ั=
lim f ( x) = f (c)
x →c
ที่จุดปลายฟังก์ชัน fวามต่อเนื่องที่จุดปลายด้านซ้ายมือ
มีค
y = (x)
มีความต่อเนืองที่จุดปลายด้านขวามือ a ของโดเมนของฟังก
่
lim f ( x) = f (a ) หรือ lim f ( x ) = f (b)
−
x →a+
x →b

59. ่า งที่ 2 ฟังก์ชันต่อเนื่องตลอดโดเมน
น มีความต่อเนื่อง
f ( x) = 4 − x 2
ในโดเมน [-2, 2] ที่ x = -2
มต่อเนื่องขวา และที่ x = 2
มต่อเนื่องซ้าย
างที่ 3 ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด
ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วย U(x) ดังแสดง
ปมีความต่อเนืองขวาที่ x = 0 แต่ไม่มี
่
มต่อเนื่องซ้ายหรือต่อเนื่องที่จุดนี้
จากฟังก์ชันมีการกระโดดที่ x = 0

60. สอบความต่อ เนือ ง (Continuity test)
่
ฟังก์ชน (x) อเนื่องที่ x = c ถ้ามีคณสมบัติ3 ข้อดังต่อไปน
จะมีคั วามต่
f ุ
1.หาค่าได้ ( c อยู่ในโดเมนของ
f(c) f )
หาค่าได้( มีลิมิตเมื่อ
x→c
2. x→c
lim f ( x) f
)
3. lim f ( x) =(ค่า)ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชน)
x →c
f (c ั
ณารูปกราฟของฟังกันต่อไปนี้ แล้วระบุจุดที่มีความต่อเนื่อ
ไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชน
ั

61. Figure 1.50: The function in (a) is continuous at x = 0; the
functions in (b) through ( f ) are not.
ต่อเนือง ไม่ต่อเนืองที่ x=0ไม่ต่อเนืองที่ x=0 ไม่ต่อเนืองที่ x=0
ไม่ต่อเนืองที่ x=0 ไม่ต่อเนืองที่ x=0

62. ก์ชน
ั ที่ต่อเนื่องทุกจุดในโดเมน
นพหุนาม (polynomials)
นตรรกยะ (rational functions)
นราก (root functions) ( = x , n เป็นเต็มบวก> 1)
n
y
นตรีโกณมิติ (trigonometric functions)
นตรีโกณมิติผกผัน (inverse trigonometric function
นเลขชีกำาลัง (exponential functions)
้
นลอการิทึม (logarithmic functions)

63. ณสมบัติของฟังก์ชนต่อเนือง
ั ่
ต่อfและ g
ถ้าฟังก์ชน ่องที่ x = c ดังนั้นการรวมกันต่อไปนีของฟังก
ั เนื ้
มีความต่อเนืองที่ x = c เช่นกัน
่
1. ผลรวม (Sums) f + g
f −g
2. ผลต่าง (Differences)
3. ผลคูณ (Products) ⋅ g
f
4. ผลคูณค่าคงที่ (Constant multiples)นตัวเลขใดๆ
k ⋅ k, เป็
f
5. ผลหาร (Quotients)g , g (c) ≠ 0
f/

64. ะกอบกัน (Composites)
นประกอบของฟังก์ชนต่อเนื่องจะมีความต่อเนื= sin(เช่)น
ั y อง x 2 และ
่
y = cos อเนื่องทุกจุดในช่วงที่กำาหนด
จะต่ x
ถ้า fต่อเนืองที่ x = c และอเนื่องที่ x = )
(x) ่ ต่
g (x) f (c
ดังนัน จะต่
้ g O f อเนื่องที่ x = c ลิมิตเมื่อ คือ
x→c g ( f (c))

65. Figure 1.53: Composites of continuous functions are
ย่continuous.
า งที่ 3 การใช้ทฤษฎีการประกอบ
x sin x
จงแสดงว่า =
y
x 2 + 2 มีความต่อเนื่อง
x sin x
จาก เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (กฎการคูณ การยกกำาล
x2 + 2
x sin x
เป็นฟั|งxก์ชนต่อเนื่อง
y= | ั ดังนั้น y = x2 + 2 เป็นฟังก์ชน
ั
x sin x
y = −x y=x
y=
x2 + 2

66. ฎีบทค่าระหว่างกลางของฟังก์ชนต่อเนื่อง ั
ฟังก์ชน =ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b]
ั y f (x)
ะให้ค่าได้ทุกๆ ค่าระหว่(a)และ f (b)
f าง
ถ้า นค่าใดๆค่าหนึ่งระหว่างและ
เป็y 0 f (a)
f (b) ดังนัน y 0 = f (สำาหรับ c ที่อยู่
้ c)
ในช่วง [a, b]
2 x − 2, 1 ≤ x < 2
รูปของ ฟังก์ชfนx) =  3, 2 ≤ x ≤ 4
ั(

ะไม่ให้ทุกค่าระหว่าง= 0
f (1)
และ f (4) = 3
ะไม่มีคาระหว่าง 2 และ 3
่
พราะไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

67. เส้นสัมผัส (Tangent Lines)
วงกลมคือเส้น L ที่สัมผัสวงกลมและตั้งฉากกับรัศมีของวงก
อย่างไรถ้าเส้น L สัมผัสกับเส้นโค้งอื่น C ที่จุด P โดยทั่วไ
ห้ความหมายของเส้นสัมผัสอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้
1. L ผ่าน P ตั้งฉากกับเส้นจาก P ไปยัง
จุดศูนย์กลาง C
2. L ผ่านเพียงจุดเดียวของ C นั่นคือ P
3. L ผ่านจุด P และอยู่เพียงด้านเดียวของ
C
กรณีไม่ใช่เส้นสัมผัส

68. นิยามของเส้นสัมผัสสามารถกับเส้นโค้งทั่วไป ต้อง
ใช้การเคลื่อนเข้าใกล้ โดยการพิจารณาพฤติกรรม
ของเส้นตัดเมื่อจุด Q เคลื่อนเข้าหาจุด P ตามเส้น
โค้ง ดังรูปและคำานวณหาลิมิตของความชันของเส้น
ตัดเมื่อ Q เคลื่อนตามเส้นโค้งเข้าหาจุด P ถ้ามีลิมิต
ค่าความชันของเส้นสัมผัสที่จุด P จะเท่ากับค่าสัมผัส
เส้น ลิมิต
เส้นสัมผัส
เส้นตัด

69. ย่า งที่ 1 เส้นสัมผัสโค้งพาราโบลา
มชันของพาราโบลา y = x2 ที่จุด P(2, 4) แล้วเขียน
กับพาราโบลาที่จุดนี้
กเส้นตัดผ่านจุด P(2, 4) และจุด Q(2+h, (2+h)2) แล้วหา
จากนันหาความชันของเส้นตัดเมื่อ 2Q เคลื่อนตามเส้นโค้งเข
้
∆y (2 + h) 2 − 2 2 h + 4h + 4 − 4
ความชันของเส้นตั∆x =
ด h
=
h
h 2 + 4h
=
h
= h+4
lim(h + 4) = 4
h →0
คือเส้นตรงที่ผ่านจุด P ที่มีความชันเท่ากับ
มีสมการเป็น
y = 4 + 4( x − 2)
y = 4x − 4

70. ความชันและเส้นสัf (x0ส (Slope0)and Tangent Line)
lim มผั + h) – f (x
ความชันของเส้นโค้ง yh f (xที่จุดP( x0 , f ( x0 )) คือ
h→0
= )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
m = lim
h →0 h
เส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่ P
คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุด
ด้วยความชัน m

71. างที่ 2 ความชันและเส้นสัมผัสของ y = 1/x
ความชันของโค้ง y = 1/x ที่ x = a
ดมีความชันเท่ากับ -1/4
ดอะไรขึ้นกับเส้นสัมผัสของโค้งที่จุด (a, 1/a) เมื่อ a เปลี่ย
วิธ ท ำา
ี
ความชันที่ (a, 1/a) คือ
(ก) f ( x) = 1 / x
1 1
−
f ( a + h) − f ( a )
lim = lim a + h a
h →0 h h→0 h
1 a − ( a + h)
= lim
h →0 h a ( a + h)
−1 1
= lim =− 2
h →0 a ( a + h) a
1 1
(ข)
a จุดที่มีความชัน= -1/4 คือ
− 2 = − , a = ±2
4 (-2,-1/2),(2,1/

72. มชันจะเป็นลบเสมอและมีคามากขึ้นเมื่อ a มีค่ามากขึ้น
่