1. อัตราสวนตรีโกณมิติ ม.5
รายวิชา คณิตศาสตร รหัสชา ค 32101
โดย...
นางจันทรเพ็ญ เมืองสง
ครู โรงเรยนราชดาริ
ี ํ

2. อัตราสวนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio)
จากการทีนักเรียนเคยศึกษาเรื่องสามเหลียมที่คลายกันมาแลว จะพบวา
่ ่
1. สามเหลียมสองรูป ถามีมมทีเ่ ทากัน 3 มุมแลว
่ ุ
สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคลายกัน
2. ถาสามเหลี่ยมสองรูปคลายกันแลว อัตราสวนของดาน
ทีอยูตรงขามมุมเทาจะเทากัน
่ 

3. Y
B
a z x
c
A C X
b Z
y
จากรูป ถา BAC = YXZ , ABC = XYZ
ˆ ˆ ˆ ˆ และ ACB = XZY
ˆ ˆ
แลว สามเหลี่ยม ABC คลายกับ สามเหลี่ยม XYZ
BC AC AB a b c
= = = =
ดังนั้นจะได YZ XZ XY หรือ x y z

4. a x
และจาก a = b จะได =
x y b y
a c a x
หรือจาก = จะได =
c z
x z
b y
หรือจาก b = c จะได =
y z c z
และจากสมบัติดงกลาวเราสามารถนําไปหาความยาวของดานของสามเหลียมได
ั ่

5. ในทํานองเดียวกันถาสามเหลียม 2 รูปทีคลายกันเปนสามเหลียมมุมฉากดังรูป
่ ่ ่
Y
B
a c x z
C A Z X
b y
ก็จะได a x
= , a x
= , b y
= เชนเดียวกัน
b y c y c z
อัตราสวนของความยาวของดานคูใดคูหนึงของรูปสามเหลียมมุมฉากนี้
  ่ ่
เรียกวา อัตราสวนตรีโกณมิติ

6. ดังนั้น จากรูป เมือสามเหลียม ABC เปนสามเหลียมมุมฉาก มี ABC
่ ่ ่ ˆ = 90 °
และยึดมุม A เปนหลัก
B
เรียก AB วา ดานตรงขามมุมฉาก ใหยาว c หนวย
a c เรียก BC วา ดานตรงขามมุม A ใหยาว a หนวย
เรียก AC วา ดานประชิดมุม A ใหยาว b หนวย
C A
b
หรือในทํานองเดียวกันจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เมื่อ ยึดมุม B เปนหลัก
เรียก AB วา ดานตรงขามมุมฉาก ใหยาว c หนวย
เรียก AC วา ดานตรงขามมุม B ใหยาว b หนวย
เรียก BC วา ดานประชิดมุม B ใหยาว a หนวย

7. และจากรูป สามเหลี่ยม ABC , ABC = 90 ° เมื่อยึด มุม A เปนหลัก
ˆ
จะไดอตราสวนตรีโกณมิติ ของมุม A ดังนี้
ั
B
a c
C A
b
1. ความยาวของดานตรงขามมุม A = a เรียกวา ไซนของมุม A เขียนแทนดวย sinA
c
ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
เรียกวา โคไซนของมุม A เขียนแทนดวย cosA
b
2. ความยาวของดานประชิดมุม A =
c
ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
3. ความยาวของดานตรงขามมุม A = a เรียกวา แทนเจนตของ A เขียนแทนดวย tanA
ความยาวของดานประชิดมุม A b
หมายเหตุ อัตราสวนขางตนใชไดเฉพาะ กรณีมุม A เปนมุมแหลมเทานั้น

8. จากอัตราสวนไซน โคไซน และแทนเจนต ยังมีอัตราสวนตรีโกณมิติอีก 3 อัตราสวน
ซึ่งกําหนดดวยบทนิยามดังนี้
4. โคเซแคนทของมุม A หรอ cosecant A ซึ่งเขียนแทนดวย cosecA (อานวา โคเซค เอ)
ื
หมายถึง สวนกลับของ sinA ; sinA ≠ 0 นั่นคือ cos ecA =
1
; sin A ≠ 0
sin A
a c
นั่นแสดงวา sin A = ดังนั้น cos ecA =
c a
5. เซแคนทของมุม A หรอ secant A ซึ่งเขียนแทนดวย secA (อานวา เซค เอ)
ื
หมายถึง สวนกลับของ cosA ; cosA ≠ 0 นั่นคือ
1
sec A = ; cos A ≠ 0
cos A
นั่นแสดงวา cos A = b ดังนั้น sec A = c
c b
6. โคแทนเจนตของมุม A หรือ cotangent A ซึ่งเขียนแทนดวย cotA (อานวา คอตทเอ)
หมายถึง สวนกลับของ tanA ; tanA ≠ 0
1
นั่นคือ cot A =
tan A
; tan A ≠ 0
นั่นแสดงวา tan A =
a
ดังนั้น cot A =
b
b a

9. ตัวอยาง จากรูปจงหาคาของ sinA, cosA, tanA, sinC, cosC, tanC,
B cosecA, cotA, cosecC, secC,
4 5 วิธีทํา จากทฤษฎีบทพิธาโกรัส จะได
AB 2 = AC 2 − BC 2
C A = 52 − 42
AB = 25 − 16 = 9 = 3
4 3 4
ดังนัน
้ sin A = ; cos A = ; tan A =
5 5 3
3 4 3
sin C = ; cos C = ; tan C =
5 5 4
5 3 5 5
cos ecA = ; cot A = ; cos ecC = ; sec C =
4 4 3 4

10. สรุป จากรายละเอียดขางตน
อัตราสวนตรีโกณมิติ หมายถึง อัตราสวนของความยาวของดานคูใดคูหนึ่ง
 
ของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อยึดมุมใดมุมหนึ่งเปนหลัก(มีขนาดมุมระหวาง 0 – 90 องศา)
โดยที่ sinA = ขาม ดังนัน cosecA = ฉาก
้
ฉาก ขาม
cosA = ชิด ดังนัน secA = ฉาก
้
ฉาก ชิด
tanA = ขาม ดังนัน cot A = ชิด
้
ชิด ขาม
ขอตกลง ขาม ในที่นี้หมายถึง ดานตรงขามมุม A
ฉาก ในที่นหมายถึง ดานตรงขามมุมฉาก
้ี
ชิด ในที่นี้หมายถึง ดานประชิดมุม A