Basic m2-1-chapter5

บทที่ 5
ความเทากันทุกประการ (14 ชั่วโมง)
5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ชั่วโมง)
5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ชั่วโมง)
5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ชั่วโมง)
5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ชั่วโมง)
5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชั่วโมง)
5.6 การนําไปใช (3 ชั่วโมง)
เนื้อหาสาระที่นําเสนอในบทนี้ ตองการใหนักเรียนเขาใจและสามารถใชบทนิยามและสมบัติตาง ๆ
เกี่ยวกับความเทากันทุกประการในการใหเหตุผลเบื้องตนทางเรขาคณิต โดยเสนอในลักษณะเชื่อมโยงกับ
ความรูเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนไดเรียนแลว ในเรื่องความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถบอกไดวามีเงื่อนไขอยางไร รูปสามเหลี่ยมสองรูปจึงจะเทากันทุกประการ
ในขั้นแรกจะใชวิธีลอกรูปไปทับกัน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจวาการที่รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเทากัน
ทุกประการไดนั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะตองทับกันสนิท ในขั้นตอไปจึงจะกลาวถึงเงื่อนไขที่จะบอก
ใหทราบวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม โดยไมตองอาศัยการลอกรูปหรือนํารูปไปทับกัน
แตจะอาศัยความสัมพันธตามเงื่อนไขที่กําหนดของดานและมุมของรูปสามเหลี่ยมสองรูปในการพิจารณา
การใชสัญลักษณแสดงความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่จะนําไปสรุปเปนความเทากัน
ทุกประการ จะตองเปนไปตามเงื่อนไขของความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเขียนสลับตําแหนง
กันไมได เชน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เขียนแทนดวย ด.ม.ด. จะ
เขียนเปน ด.ด.ม. ไมได เพราะไมเปนไปตามขอตกลง
การนําเสนอเนื้อหาในบทนี้ยังมีตัวอยางใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของบทเรียนกับชีวิตจริง เพื่อ
นําสาระความรูไปอธิบายและแกปญหาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. ระบุดานและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ
2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ
3. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ
4. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ
5. ใชสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผลได

74
แนวทางในการจัดการเรียนรู
5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกเงื่อนไขที่ทําใหรูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการได
2. บอกสมบัติของความเทากันทุกประการได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูทบทวนเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตเกี่ยวกับการสะทอน การเลื่อนขนาน และการหมุน ซึ่ง
เปนตัวอยางของการเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยที่ระยะหางระหวางจุดสองจุดใด ๆ ของรูปนั้นไม
เปลี่ยนแปลง เพื่อนําเขาสูบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตบนระนาบ ซึ่งกลาววา
“รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งใหทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท” การนํา
บทนิยามนี้ไปใชตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต จึงอาจทําไดโดยใชกระดาษลอกลาย
ลอกรูปหนึ่งแลวนําไปทับอีกรูปหนึ่ง
2. เพื่อเสริมสรางความเขาใจเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต ครูอาจใชตัวอยางที่
มีอยูในชีวิตจริง เชน รูปที่ไดจากการถายเอกสาร รูปเรขาคณิตสองรูปในแตละขางของแกนสมมาตรของรูป
สมมาตรบนเสน ซึ่งสามารถตรวจสอบความเทากันทุกประการไดโดยการพับรูปตามแนวแกนสมมาตรได
ดังรูป
3. สมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรงและความเทากันทุกประการของมุม
เปนพื้นฐานที่สําคัญของการศึกษาเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
ในเรื่องสมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา
“ถาสวนของเสนตรงสองเสนเทากันทุกประการ แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นยาวเทากัน และ
ถาสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากัน แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นเทากันทุกประการ” ในการนํา
สมบัตินี้ไปใช จึงไดวา AB ≅ CD และ AB = CD สามารถใชแทนกันได สําหรับในเรื่องสมบัติของ

75
ความเทากันทุกประการของมุม ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา “ถามุมสองมุมเทากันทุกประการ แลวมุมทั้ง
สองมุมนั้นมีขนาดเทากัน และ ถามุมสองมุมมีขนาดเทากัน แลวมุมทั้งสองมุมนั้นเทากันทุกประการ”
และครูควรชี้แจงขอตกลงเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนความเทากันของขนาดของมุมวา ตอไปนี้จะใช
∧
A =
∧
B แทน )Am(
∧
= )Bm(
∧
4. กิจกรรม “สมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ” เปนการแสดงใหเห็นวาความเทากัน
ทุกประการเปนความสัมพันธสมมูล (eguivalence relation) กลาวคือมีสมบัติสะทอน สมบัติสมมาตร
และสมบัติถายทอด ซึ่งเปนพื้นฐานสําคัญที่นําไปใชในการพิสูจนทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความเทากันทุก
ประการ
5. หลังจากที่นักเรียนไดศึกษาตัวอยางหนา 205 – 206 และทําแบบฝกหัด 5.1 แลว นักเรียนจะได
แนวคิดวา “รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน
(same shape) และมีขนาดเทากัน (same size)” ความรูความเขาใจในเรื่องนี้ นักเรียนสามารถนําไปใช
ตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ โดยการพิจารณาจากรูปราง
และขนาดของรูป
6. ครูอาจจัดกิจกรรมเพิ่มเติมที่เปนการนําความรูเกี่ยวกับความเทากันทุกประการมาใช เชน
การสรางรูปใหเทากันทุกประการโดยเขียนรูปที่ตองการบนกระดาษแผนหนึ่งเพื่อเปนแบบ แลวนํากระดาษ
แผนนั้นไปวางซอนบนกระดาษอีกแผนหนึ่ง
เมื่อตัดกระดาษตามแบบที่เขียนไว จะไดรูปสองรูปที่เทากันทุกประการ

76
5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ชั่วโมง)
1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัย
กันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ
2. บอกดานคูที่ยาวเทากันและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ
ได
1. ครูอาจเริ่มตนบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต เพื่อ
นํามาใชสํารวจ คนหา สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม จากการลงมือปฏิบัติโดยใช
กระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งไปทับรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง
จากสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ครูควรเชื่อมโยงใหนักเรียนเห็นวา
การตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ในเบื้องตนนี้เราตองตรวจสอบ
ความเทากันถึง 6 คู ไดแก การตรวจสอบวาดานคูที่สมนัยกัน 3 คู แตละคูยาวเทากันหรือไม และมุมคูที่
สมนัยกัน 3 คู แตละคูมีขนาดเทากันหรือไม
ครูอาจหาตัวอยางเพิ่มเติม โดยกําหนดรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการใหสองรูป แลวให
นักเรียนคะเนดวยสายตาเพื่อหาดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกัน เพื่อนําเขาสูการทําแบบฝกหัด 5.2
ขอ 1 เชน
จากรูปมีดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันและมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน ดังนี้
AB = CD, BD = DB, DA = BC
DBA
∧
= BDC
∧
, ADB
∧
= CBD
∧
และ BAD
∧
= DCB
∧
2. ครูย้ําเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณแสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ซึ่งนิยมเขียน
ตัวอักษรเรียงตามลําดับของมุมคูที่สมนัยกันและดานคูที่สมนัยกัน เพื่อใหนักเรียนเกิดความเคยชินใน
การเขียนและการนําไปใช เชน
A B
CD

77
ในที่นี้ควรเขียน ∆ ABC ≅ ∆ DEF หรืออยางใดอยางหนึ่งคือ ∆ BCA ≅ ∆ EFD และ
∆ CAB ≅ ∆ FDE
3. ในการทําแบบฝกหัดขอ 2 หนา 210 อาจแนะใหนักเรียนเขียนดานคูที่สมนัยกันยาวเทากัน
และมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน โดยไมตองเขียนรูปกอน เพื่อเปนการฝกการนึกภาพในจินตนาการ ถา
ทําไมไดจึงใหเขียนรูป เชน เมื่อกําหนดให
∆ EAT ≅ ∆ FAT
จะได ∆ EAT ≅ ∆ FAT ดานคูที่สมนัยกัน คือ EA = FA, AT = AT และ TE = TF
และมุมคูที่สมนัยกันคือ TAE
∧
= TAF
∧
, ETA
∧
= FTA
∧
และ AET
∧
= AFT
∧
ซึ่งสามารถเขียน
แสดงตัวอยางของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการไดดังนี้
4. กิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม” เปนการขยายฐานความรูจาก
ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปสูรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ
5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ชั่วโมง)
1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ
2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ
ดาน – มุม – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน
1. ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวาการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป
ตองตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานที่สมนัยกัน 3 คู และการเทากันของขนาดของมุมคูที่สมนัย
A B
C
D E
F
E F
A
T

78
กันอีก 3 คู และแนะนําวาในบทเรียนตอไปนี้เราสามารถตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานหรือ
ขนาดของมุมเพียง 3 คู ตามเงื่อนไขที่กําหนด ก็เปนการเพียงพอที่จะสรุปวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทา
กันทุกประการ
ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน โดยใชกิจกรรม “สํารวจ
ดาน – มุม – ดาน” ใหนักเรียนสํารวจวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม จากการลงมือ
ปฏิบัติโดยใชวิธีลอกรูปไปทับกันเพื่อเชื่อมโยงสูกรณีทั่วไปที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ
ดาน – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” ครูควรย้ําวา “รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปดังกลาวนี้ มีดานยาว
เทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันนั้นตองเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูที่ยาวเทากัน จึงจะเปนเงื่อนไขที่
เพียงพอที่จะสรุปวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ” ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางรูป
สามเหลี่ยมสองรูปที่มีดานยาวเทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันไมเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูที่ยาว
เทากัน เชน
จากรูป เห็นไดชัดวา ∆ ABC และ ∆ DEF ไมเทากันทุกประการ
2. ในหัวขอนี้นักเรียนจะฝกการใหเหตุผลแบบนิรนัยดวยการพิสูจนอยางเปนแบบแผน โดยไม
เนนการใชตาราง
จากโจทยปญหาการพิสูจนครูอาจแนะนําใหดําเนินการดังนี้
1) นักเรียนอานและทําความเขาใจโจทยปญหา ดวยการพิจารณาวาโจทยกําหนดอะไรให
บางและโจทยตองการใหพิสูจนอะไรโดยนํามาเขียนแสดงใน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา” ตาม
ลําดับ
2) ในการพิสูจน ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะหยอนกลับจาก “ตองการพิสูจนวา”
ผนวกกับ “บทนิยาม/สมบัติ” เพื่อหาเหตุผลเชื่อมโยงยอนกลับสู “กําหนดให” การตอบคําถามของนักเรียน
จะทําใหไดแนวทางในการเขียนแสดงการพิสูจน ซึ่งนักเรียนจะตองพิจารณาวา มีขอมูลใดบางจากที่ระบุใน
“กําหนดให” ที่นํามาใชไดผนวกกับ “บทนิยาม/สมบัติ” ที่นักเรียนเคยศึกษามาแลว นํามาเขียนอธิบาย
เชื่อมโยงสูขอสรุปตามที่ระบุไวใน “ตองการพิสูจนวา”
ขอแนะนําดังกลาวขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้
F
D EA B
C

79
การวิเคราะหยอนกลับ การเขียนแสดงการพิสูจน
ตัวอยาง จากแบบฝกหัด 5.3 ขอ 6 ขอมูลจากโจทยนํามาเขียน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา”
ไดดังนี้
กําหนดให BC = AD และ CBA
∧
= DAB
∧
ตองการพิสูจนวา AC = BD และ CAB
∧
= DBA
∧
ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจาก “ตองการพิสูจนวา” ไปสู “กําหนดให” และสมบัติของ
รูป ไดดังแผนภาพตอไปนี้
A B
DC
กําหนดให
วิเคราะห “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล”
บทนิยาม/สมบัติขอสรุปตามที่ระบุใน
ตองการพิสูจนวา
กําหนดให
อธิบาย ใหเหตุผล
บทนิยาม/สมบัติ
ขอสรุปตามที่ระบุใน
ตองการพิสูจนวา
BC = AD
CBA
∧
= DAB
∧
และ AB เปนดานรวม
กําหนดให กําหนดให
∆ ABC ≅ ∆ BAD
AC = BD
CAB
∧
= DBA
∧ ตองการพิสูจนวา

80
จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจาก “กําหนดให” ไปสู “ตองการพิสูจนวา” ไดดังนี้
พิสูจน พิจารณา ∆ ABC และ ∆ BAD
BC = AD (กําหนดให)
CBA
∧
= DAB
∧
(กําหนดให)
AB = BA (AB เปนดานรวม)
ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ม.ด.)
จะได AC = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
และ CAB
∧
= DBA
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะมีขนาดเทากัน)
3. ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซึ่งสวนใหญจะทํา
ใหนักเรียนสามารถพิสูจนไดดวยตนเอง การฝกดังกลาวในระยะแรก ครูควรใชการถามตอบเพื่อเปนแนว
ทางกอน หลังจากนั้นจึงใหนักเรียนวิเคราะหดวยตนเอง
5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ชั่วโมง)
1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ
มุม – ดาน – มุม ไปใชอางอิงในการพิสูจน
ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม และใหนักเรียนสํารวจวา รูป
สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจมุม – ดาน – มุม” กิจกรรมนี้จะ
ทําใหนักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากันทุก
ประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม จะเทากัน
ทุกประการ” ซึ่งเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ที่พิจารณา
จากความเทากันของขนาดของมุมสองคู และความยาวของดานซึ่งเปนแขนรวมของมุมทั้งสองเทานั้น

81
5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชั่วโมง)
1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ
ดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน
ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน และใหนักเรียนสํารวจวา
รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจดาน – ดาน – ดาน” เพื่อให
นักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ด.ด.ด. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากัน
ทุกประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน จะ
เทากันทุกประการ” ซึ่งเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
โดยพิจารณาจากความยาวที่เทากันของดานสามคูเทานั้น โดยไมตองพิจารณาจากขนาดของมุม
5.6 การนําไปใช (3 ชั่วโมง)
1. บอกสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วได
2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบใดแบบ
หนึ่งคือ ดาน – มุม – ดาน มุม – ดาน – มุม และดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการ
พิสูจนและแกปญหาได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 5.6
1. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ครูควรยกตัวอยางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่อยู
ในสิ่งแวดลอมรอบตัว เพื่อนําเขาสูบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วบนระนาบ ที่กลาววา
“รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานสองดานยาวเทากัน”
2. สําหรับกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจและคนหาสมบัติ
ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวยตนเอง โดยใชคําถามเปนกรอบในการกระตุนใหนักเรียนคนหาคําตอบ และ
นําสมบัติของความเทากันทุกประการมาใชในการอธิบายใหเหตุผล นอกจากนี้ครูควรแนะนําใหนักเรียน
แยกแยะระหวางบทนิยามกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เชน “มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมี

82
ขนาดเทากัน” เปนสมบัติไมใชบทนิยาม แตอยางไรก็ตามนักเรียนสามารถนําทั้งบทนิยามและสมบัติของ
รูปสามเหลี่ยมหนาจั่วไปใชอางอิงในการพิสูจนได
3. ในตัวอยางที่ 2 ของหัวขอนี้ไดแสดงการนําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูป
สามเหลี่ยมไปใชในการพิสูจนการสรางพื้นฐานบางขอทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว เพื่อเปนการ
ยืนยันวาผลจากการสรางนั้นเปนจริง รูปแบบการเขียนแสดงคําตอบของโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางใน
ชั้นนี้จะประกอบดวย รูปที่สราง กําหนดให ตองการสราง วิธีสราง ตองการพิสูจนวา และ พิสูจน
สําหรับการพิสูจน ขอมูลที่นํามาใชอางเหตุผลในโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางมีความแตกตาง
จากโจทยปญหาการพิสูจนทั่วไป กลาวคือ สามารถนํากําหนดให บทนิยาม/สมบัติ และ ขั้นตอนในวิธี
สรางมาเชื่อมโยงเปนเหตุผล เพื่อนําไปสูขอสรุปตามที่ตองการ
4. เพื่อใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของเนื้อหาสาระเรื่องความเทากันทุกประการกับชีวิตจริง ครู
อาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 5.6 เพิ่มเติม
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “สมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ”
1. เทากันทุกประการ
คําตอบกิจกรรม “ทําอยางไร”

83
80o
30o
A
70o
B C
D
80o
30o
70o
E F
คําตอบแบบฝกหัด 5.1
1. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติถายทอด
2. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติสมมาตร
3. เปนจริง เพราะ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันได
สนิท จึงเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เทากันทุกประการ
4. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหลี่ยมผืนผาสองรูปที่มีพื้นที่เทากันอาจมีความกวางและความยาวไมเทากัน
จึงไมจําเปนตองเปนรูปที่เทากันทุกประการดังตัวอยาง ABCD และ PQRS
5. ไมเปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากันสามคู ไมจําเปนตองมีความยาว
ของดานเทากัน ดังตัวอยาง ∆ ABC และ ∆ DEF
6. เปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมดานเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน
วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
7. เปนจริง เพราะ รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากันกับ
รัศมีของวงกลมเดียวกัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปหกเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ
8. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีดานยาวเทากันทั้งสี่ดานอาจเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปน
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ซึ่งมีขนาดของมุมไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปน
รูปสี่เหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
20 ตารางหนวย 4
5P Q
RS
20 ตารางหนวย 2
10A B
CD

84
คําตอบแบบฝกหัด 5.2
1.
1) AB กับ XY
∧
A กับ
∧
X
BC กับ YZ และ
∧
B กับ
∧
Y
AC กับ XZ
∧
C กับ
∧
Z
2) PQ กับ PS RQP
∧
กับ RSP
∧
PR กับ PR และ RPQ
∧
กับ RPS
∧
QR กับ SR QRP
∧
กับ SRP
∧
3) MP กับ NP OMP
∧
กับ ONP
∧
PO กับ PO และ MOP
∧
กับ NOP
∧
MO กับ NO OPM
∧
กับ OPN
∧
4) XO กับ YO OXA
∧
กับ OYB
∧
AO กับ BO และ AOX
∧
กับ BOY
∧
AX กับ BY OAX
∧
กับ OBY
∧
2.
1) AB = ED CAB
∧
= FED
∧
BC = DF และ CBA
∧
= FDE
∧
AC = EF BCA
∧
= DFE
∧
2) TO = GU PTO
∧
= NGU
∧
OP = UN และ POT
∧
= NUG
∧
TP = GN OPT
∧
= UNG
∧
3) BI = BO GBI
∧
= YBO
∧
IG = OY และ GIB
∧
= YOB
∧
BG = BY IGB
∧
= OYB
∧

85
4) CA = RA TCA
∧
= TRA
∧
AT = AT และ TAC
∧
= TAR
∧
TC = TR ATC
∧
= ATR
∧
คําตอบกิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม”
AC กับ RS
∧
A กับ
∧
R
CK กับ SE
∧
C กับ
∧
S
KB กับ EH และ
∧
K กับ
∧
E
BL กับ HO
∧
B กับ
∧
H
LA กับ OR
∧
L กับ
∧
O
คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – มุม – ดาน”
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอเทากันทุกประการ
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.3
1.
เทากันทุกประการ เพราะ ∆ WSN และ ∆ ENS
มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด.
2.
เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให)
QPS
∧
= QRS
∧
PQ = RQ (กําหนดให)
ดังนั้น ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.)
N E
SW
S Q
P
R

86
3.
เนื่องจาก AC = DO (กําหนดให)
BCA
∧
= EOD
∧
BC = EO (กําหนดให)
ดังนั้น ∆ ACB ≅ ∆ DOE (ด.ม.ด.)
4.
เนื่องจาก NK = LM (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน)
LKN
∧
= NML
∧
(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
มีขนาด 90o
)
KL = MN (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน)
ดังนั้น ∆ NKL ≅ ∆ LMN (ด.ม.ด.)
5.
เนื่องจาก AD = BC (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน)
DAM
∧
= CBM
∧
)
AM = BM (กําหนดใหจุด M เปนจุดกึ่งกลางของ AB)
จะได ∆ ADM ≅ ∆ BCM (ด.ม.ด.)
A
D
E
O
C
B
K L
MN
A M B
CD

87
ดังนั้น DM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
และ MDA
∧
= MCB
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
6. ดูรายละเอียดหนา 80 – 81
7.
เนื่องจาก AP = CP (กําหนดให BD แบงครึ่ง AC ที่จุด P)
BPA
∧
= DPC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
BP = DP (กําหนดให AC แบงครึ่ง BD ที่จุด P)
จะได ∆ ABP ≅ ∆ CDP (ด.ม.ด.)
ดังนั้น AB = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
และ PBA
∧
= PDC
∧
ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา AD = CB และ PAD
∧
= PCB
∧
8. 12 เซนติเมตร
จากกําหนดใหจะพิสูจนไดวา
∆ AIP ≅ ∆ ARL (ด.ม.ด.)
จะได AP = AL
เนื่องจาก AP = 12 เซนติเมตร
ดังนั้น AL = 12 เซนติเมตร
A B
CD
P
A
P R I L

88
คําตอบกิจกรรม “สํารวจ มุม – ดาน – มุม”
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอ เทากันทุกประการ
1.
เทากันทุกประการ เพราะ ∆ ABC และ
∆ DEF มีความสัมพันธแบบ ม.ด.ม.
2.
เนื่องจาก TRA
∧
= CIP
∧
RT = IC (กําหนดให)
RTA
∧
= ICP
∧
ดังนั้น ∆ ART ≅ ∆ PIC (ม.ด.ม.)
3.
เนื่องจาก OAB
∧
= OCD
∧
AO = CO (กําหนดให)
BOA
∧
= DOC
∧
จะได ∆ AOB ≅ ∆ COD (ม.ด.ม.)
ดังนั้น BO = DO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
A
C
B
E
F
D
IAPR
T C
O
A
B D
C

89
4.
เนื่องจาก EDA
∧
= SKA
∧
AD = AK (กําหนดให)
EAD
∧
= SAK
∧
จะได ∆ ADE ≅ ∆ AKS (ม.ด.ม.)
ดังนั้น AE = AS (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
5.
เนื่องจาก TQP
∧
= SRP
∧
PQ = PR (กําหนดให)
TPQ
∧
= SPR
∧
( TPQ
∧
เปนมุมรวม)
ดังนั้น ∆ PQT ≅ ∆ PRS (ม.ด.ม.)
6.
เนื่องจาก BDA
∧
= ACB
∧
DB = CA (กําหนดให)
DBA
∧
= CAB
∧
D E S K
A
P
S T
RQ
D C
BA

90
A B
E
CFD
50o
50o
30 ซม.
30 ซม.
จะได ∆ ADB ≅ ∆ BCA (ม.ด.ม.)
ดังนั้น BAD
∧
= ABC
∧
7.
เนื่องจาก FAD
∧
= EAB
∧
AD = AB (ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเทากัน)
FDA
∧
= EBA
∧
มีขนาด 90 องศา)
จะได ∆ ADF ≅ ∆ ABE (ม.ด.ม.)
ดังนั้น AF = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
8. ความคิดของรานคาถูกตอง
เมื่อให ∆ ABO และ ∆ DCO แทนรูปใบพัด
แตละขางและจุด O เปนจุดหมุนของใบพัด
OBA
∧
= OCD
∧
= 50o
BO = CO = 30 ซม. (กําหนดให)
BOA
∧
= COD
∧
ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ DCO (ม.ด.ม.)
นั่นคือ แบบใบพัดสองขางมีขนาดเทากัน
B
O
A
C
D

91
คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – ดาน – ดาน”
รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแตละขอเทากันทุกประการ
แนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.5
1.
เนื่องจาก AB = CD (กําหนดให)
DA = BC (กําหนดให)
BD = DB (BD เปนดานรวม)
จะได ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ด.ด.ด)
ดังนั้น BD แบงรูปสี่เหลี่ยม ABCD ออกเปนรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากัน
ทุกประการ
2.
เนื่องจาก AC = BD (กําหนดให)
BC = AD (กําหนดให)
AB = BA (AB เปนดานรวม)
จะได ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ด.ด)
ดังนั้น BCA
∧
= ADB
∧
D
CB
A
C
A B
D

92
3.
เนื่องจาก AB = AC (กําหนดให)
BD = CD (กําหนดให)
AD = AD (AD เปนดานรวม)
จะได ∆ ABD = ∆ ACD (ด.ด.ด)
ดังนั้น DAB
∧
= DAC
∧
นั่นคือ AD แบงครึ่ง CAB
∧
4.
เนื่องจาก CT = MN (กําหนดให)
AT = AN (กําหนดให)
AC = AM (กําหนดให)
จะได ∆ ACT ≅ ∆ AMN (ด.ด.ด)
ดังนั้น TAC
∧
= NAM
∧
A
D
B C
C
T
A
N
M

93
5.
เนื่องจาก PS = QR (กําหนดให)
PR = QS (กําหนดให)
SR = RS (SR เปนดานรวม)
จะได ∆ PSR ≅ ∆ QRS (ด.ด.ด)
ดังนั้น RSP
∧
= SRQ
∧
เนื่องจาก RSP
∧
= 100o
ดังนั้น SRQ
∧
= 100o
(สมบัติถายทอด)
คําตอบกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว”
กิจกรรมที่ 1
1. เทากันทุกประการ เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด.
2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน
3. เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน
5. เทากัน
6. 180o
เพราะ BDA
∧
+ CDA
∧
= CDB
∧
ที่เปนมุมตรงมีขนาด 180o
7. BDA
∧
= 90o
เพราะ
เนื่องจาก BDA
∧
= CDA
∧
จะได B)D2(A
∧
= BDA
∧
+ CDA
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น BDA
∧
=
2
180 = 90o
8. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ BDA
∧
Q
S R
P

94
กิจกรรมที่ 2
1. ∆ ABD ≅ ∆ ACD เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ด.ด.
3. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ
∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ
AD แบงครึ่ง CAB
∧
ที่เปนมุมยอด จึงมีผลเปนไปตามขอ 8 ของกิจกรรมที่ 1
1. 13, 13 เซนติเมตร หรือ 10, 16 เซนติเมตร
แนวคิด
กรณีที่ 1 ถาใหฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาว 10 เซนติเมตร
จะไดความยาวของดานประกอบมุมยอดแตละดานเปน
13 เซนติเมตร
กรณีที่ 2 ถาใหดานประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาวดานละ
10 เซนติเมตร จะไดความยาวของฐานเปน 16 เซนติเมตร
2. 64, 64 องศา หรือ 52, 76 องศา
แนวคิด
กรณีที่ 1 ถาใหมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด 52 องศา
จะไดมุมที่ฐานมีขนาดมุมละ
2
52180−
= 64oA
52o
B C
A
B C10 ซม.
B C
10 ซม.
A

95
กรณีที่ 2 ถาใหมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดมุมละ 52 องศา
จะไดขนาดของมุมยอดเปน 180 – 2(52)
= 180 – 104 = 76o
3. มี 3 รูป
แนวคิด
เนื่องจาก มีสมบัติประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมกลาววา “ผลบวกของความยาวของดานสองดาน
ของรูปสามเหลี่ยมยาวกวาดานที่สาม”
ดังนั้น ความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีความยาวรอบรูป 16 หนวย จึงมีได
ดังนี้
ความยาวของดานประกอบมุมยอด
(หนวย)
ความยาวของฐาน
(หนวย)
7
6
5
7
6
5
2
4
6
4.
1) เทากัน เนื่องจาก AC = AD (กําหนดให)
จะได ∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน)
ดังนั้น DCA
∧
= CDA
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน)
DCA
∧
= BCF
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกันแลว มุมตรงขามมี
และ CDA
∧
= EDG
∧
ขนาดเทากัน)
นั่นคือ BCF
∧
= EDG
∧
(สมบัติถายทอด)
B E
A
C D
F G
A
52o
52o
B C

96
2) เทากัน เนื่องจาก ACB
∧
+ DCA
∧
= ADE
∧
+ CDA
∧
= 180o
(แตละคูเปนมุมตรง
มีขนาด 180 องศา)
และ DCA
∧
= CDA
∧
ดังนั้น ACB
∧
= ADE
∧
5.
เนื่องจาก AB = AC (ดานของรูปสามเหลี่ยมดานเทายาวเทากัน)
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
ดังนั้น CBA
∧
= BCA
∧
ในทํานองเดียวกันจะได CAB
∧
= BCA
∧
ดังนั้น CBA
∧
= CAB
∧
= BCA
∧
นั่นคือ มุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทามีขนาดเทากัน
6.
เนื่องจาก DBA
∧
= DBC
∧
BD = BD (BD เปนดานรวม)
BDA
∧
= BDC
∧
= 90o
จะได ∆ ABD ≅ ∆ CBD (ม.ด.ม.)
ดังนั้น AB = CB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว)
A
B C
C
D
A
B

97
7.
1) เนื่องจาก AB = AC (กําหนดให)
DBA
∧
= ECA
∧
DB = EC (กําหนดให)
จะได ∆ ABD ≅ ∆ ACE (ด.ม.ด.)
ดังนั้น AD = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)
2) เนื่องจาก DB = EC (กําหนดให)
จะได DB+BC = EC + CB (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น DC = EB
เนื่องจาก AC = AB (กําหนดให)
AD = AE (ผลที่ไดจากขอ 1))
จะได ∆ ACD ≅ ∆ ABE (ด.ด.ด.)
8.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
และ CE เปนเสนแบงครึ่ง BCA
∧
ที่เปนมุมยอด (กําหนดให)
ดังนั้น CE แบงครึ่งและตั้งฉากกับฐาน AB (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว)
จะได AE = BE และ CEA
∧
= CEB
∧
= 90o
เนื่องจาก DE = DE (DE เปนดานรวม)
จะได ∆ ADE ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.)
D
A
CB E
A BE
C
D

98
A
CB D
E
P
RQ M
N
ดังนั้น EDA
∧
= EDB
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
และ AD = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)
นั่นคือ ∆ ADB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน)
9. กําหนดให CBA
∧
มีขนาดพอสมควร ดังรูป
แนวการสราง RQP
∧
ใหมีขนาดเทากับขนาดของ CBA
∧
1. ลาก QR
2. ใชจุดB เปนจุดศูนยกลาง รัศมีพอสมควร เขียนสวนโคงตัด BC และ BA ที่จุดD และ
จุดE ตามลําดับ
3. ใชจุดQ เปนจุดศูนยกลาง รัศมี BD เขียนสวนโคงตัด QR ที่จุด M
4. ใชจุดM เปนจุดศูนยกลาง รัศมี DE เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ3 ที่จุด N
5. ลาก QP ผานจุดN จะได RQP
∧
มีขนาดเทากับขนาดของ CBA
∧

99
แนวการพิสูจนวา RQP
∧
= CBA
∧
ลาก MN และ DE
QM = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
QN = BE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
MN = DE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
จะได ∆ MQN ≅ ∆ DBE (ด.ด.ด.)
ดังนั้น NQM
∧
= EBD
∧
หรือ
RQP
∧
= CBA
∧
10. กําหนดให AB ยาวพอสมควร ดังรูป
แนวการสราง CD ใหแบงครึ่ง AB ที่จุด O
1. ใชจุด A และจุด B เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัดกันที่จุด C
และจุด D
2. ลาก CD ตัด AB ที่จุด O จะได CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O
แนวการพิสูจนวา CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O
A B
D
C
A BO

100
ลาก AC, BC, AD และ BD
เนื่องจาก AC = BC (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
AD = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
CD = CD (CD เปนดานรวม)
จะได ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ด.ด.)
ดังนั้น OCA
∧
= OCB
∧
CO = CO (CO เปนดานรวม)
และมีอยูแลววา AC = BC
จะได ∆ AOC ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.)
ดังนั้น AO = BO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ดังนั้น CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O
11. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ตามแนวการพิสูจน
ดังนี้
เนื่องจาก AO = AO (AO เปนดานรวม)
DOA
∧
= BOA
∧
= 90o
DO = BO (กําหนดให)
จะได ∆ ADO ≅ ∆ ABO (ด.ม.ด.)
ดังนั้น AD = AB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา CD = CB
ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว
A
BD
C
O

101
11. สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวด
ทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาดเทากัน ตามแนว
การพิสูจนจากแบบจําลองดังนี้
สราง ∆ QPR โดยมี QS แทนเสาไฟฟาซึ่งตั้งฉาก
กับ PR
เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให)
QSP
∧
= QSR
∧
= 90o
QS = QS (QS เปนดานรวม)
จะได ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.)
ดังนั้น PQ = RQ (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
และ SPQ
∧
= SRQ
∧
นั่นคือ สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวดทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาด
เทากัน
คําตอบกิจกรรม “ทราบหรือไม”
ชางสํารวจใชความสัมพันธแบบ ม.ด.ม.
P R
Q
S
P R
Q
S

102
คําตอบกิจกรรม “โครงสรางของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม”
ตัวอยางคําตอบ
ปฏิทินตั้งโตะ โครงสรางเสาไฟฟาแรงสูง โครงสรางสะพานขามแมน้ํา โตะรองรีดผา ฯลฯ

103
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

104
กิจกรรมเสนอแนะ 5.6
กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของความเทากันทุกประการของ
รูปสามเหลี่ยมไปใชแกปญหาและอธิบายเหตุการณในชีวิตประจําวัน
ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง
ริมผนังหองแหงหนึ่งเวาแหวงหลุดหายไปเปน
รูปสามเหลี่ยม ดังรูป
ถาวัดความยาวของดานสองดานของชองรูปสามเหลี่ยม
และมุมในระหวางดานสองดานนี้ จะไดขอมูลที่เพียงพอสําหรับ
นําไปใชเพื่อตัดแผนไมรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับชอง
รูปสามเหลี่ยมไดหรือไม
ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา
ชางกอสรางสรางแบบของโครงหลังคาชุดหนึ่งไว
แลวสรางโครงหลังคาชุดอื่น ๆ ดวยการวัดความยาวของทอเหล็ก
สามชิ้นและตําแหนงบนทอที่จะนําทอเหล็กมาประกอบกันเปน
โครงรูปสามเหลี่ยมเทานั้น โดยไมวัดขนาดของมุมเลย โครงหลัง
คาที่สรางไดแตละชุดเทากันทุกประการกับแบบของโครงหลังคา
หรือไม เพราะเหตุใด
ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา
มีสระน้ําอยูกลางทุงนา ใหนักเรียนนําเสนอแนวคิด
ในการหาความกวางของสระน้ํา (ตามแนวเสนประ) โดยใช
สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

105
คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 5.6
ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง
แผนไมรูปสามเหลี่ยมที่ตัดไดกับรูปสามเหลี่ยมบนผนังหองที่เวาแหวง เทากันทุกประการ
ดวยสมบัติ ด.ม.ด.
ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา
โครงหลังคารูปสามเหลี่ยมเทากันทุกประการดวยสมบัติ ด.ด.ด.
ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา (ขนาดของ AB)
ตัวอยางคําตอบ
1. ลาก AC ยาวพอสมควร ให O เปนจุดกึ่งกลางของ AC
2. ลาก BO ตอ BO ถึง D ให BO = OD
3. ลาก CD
จะได AB = CD ซึ่งสามารถหาความยาว CD ไดจากการวัดโดยตรง
การแสดงวา AB = CD ทําไดโดยพิจารณา ∆ ABO และ ∆ CDO ซึ่งมี AO = CO,
BOA
∧
= DOC
∧
และ BO = DO จากการสราง ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ CDO (ด.ม.ด.) ผลที่ตามมาคือ
AB = CD เพราะเปนดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
ตัวอยางคําตอบที่นําเสนอนี้ใชเพียงเครื่องมือวัดระยะทางโดยไมตองใชเครื่องมือวัดขนาดของมุม
นักเรียนอาจนําเสนอคําตอบอยางอื่น เชน ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. โดย
กําหนดให OBA
∧
= ODC
∧
และ BO = OD ก็เพียงพอตอการพิสูจนวา ∆ ABO ≅ ∆ CDO
A
B
O
D
C

Basic m2-1-chapter5

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (19)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Basic m2-1-chapter5