1. ความคล้าย
รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน (ง่าย ๆ)
คณิ ตศาสตร์พ้นฐาน ค33101
ื

2. นายวานิตย์ นุชดารา
ผูสร้าง
้
กลุ่มสาระการเรี ยนรู ้คณิ ตศาสตร์
โรงเรี ยนชุมแสงชนูทิศ ตาบลพิกุล อาเภอชุมแสง
จังหวัดนครสวรรค์ 60120
ขอให้แสดงข้อคิดเห็นมาบ้าง จะใช้ไปรษณี ยบัตรก็ได้
ขอบคุณที่สนใจในการเรี ยน

3. ให้ จับคู่ สิ่ งที่เหมือนกัน

4. ดูใหม่ อีกครั้ ง รูปคล้ ายกัน

5. 4.1) เราจะหา รู ปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ได้อย่างไร
A B C D
E F G H

6. เราอาจจะตอบรู ปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ได้
ถ้าเราย้ายรู ป ได้
A D B C
E G FH
แต่ถาเราย้ายรู ปไม่ได้ จะต้องมีนิยาม อะไร
้

7. เรามีนิยาม รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีมุมเท่ากันทั้ง 3 คู่
ก็จะได้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
C F
A B D E
รู ปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับ รู ปสามเหลี่ยม DEF ได้

8. เรามีนิยาม หามุมของรู ปสามเหลี่ยมให้เท่ากันทั้ง 3 คู่
ก็จะได้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
Y P
Q
Z X
R
รู ปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับ รู ปสามเหลี่ยม DEF ได้

9. ทบทวน อ่านด้าน จากรู ป
b
A
C
c
a
B
อ่าน “ด้าน AB” หรื ออ่าน“ด้าน c ”
อ่าน “ด้าน BC” หรื ออ่าน“ด้าน a ”
อ่าน “ด้าน AC” หรื ออ่าน“ด้าน b ”

10. ทบทวน อ่านมุม
A
C
B
อ่าน “มุม ABC” หรื ออ่าน“มุม B ”
อ่าน “มุม BCA” หรื ออ่าน“มุม C ”
อ่าน “มุม BAC” หรื ออ่าน“มุม A ”

11. ด้านที่ตรงข้ามมุม
b
A
C
c
a
B
“ด้าน AB” ตรงข้ามกับ“มุม C ”
“ด้าน BC” ตรงข้ามกับ“มุม A ”
“ด้าน AC” ตรงข้ามกับ“มุม B ”

12. รู้จก มุมที่เท่ากัน อะไรบ้าง
ั
1) มุมฉาก ในรู ปเรขาคณิ ต
สี่ เหลี่ยมผืนผ้า สี่ เหลี่ยมจัตุรัส
เส้นตั้งฉากกัน
รู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก

13. รู้จก มุมที่เท่ากัน อะไรบ้าง
ั
2) มุมตรงข้ามเส้นตรงตัดกัน
D
A E มุมAEC เท่ากับ มุมBED
C B
D
A E มุมAED เท่ากับ มุมBEC
C B

14. รู้จก มุมที่เท่ากัน อะไรบ้าง
ั
3) มุมแย้ง เส้นตรงขนานกัน
ถ้า AB // CD
คู่ที่ 1
E
X B มุมAXY เท่ากับ มุมXYD
A
C D
Y คู่ที่ 2
F
มุมAED เท่ากับ มุมBEC

15. รู้จก มุมที่เท่ากัน อะไรบ้าง
ั
4) มุมนอก เท่ากับมุมภายใน บนข้างเดียวกันของเส้นตัด
ของเส้นตรงขนานกัน
ถ้า AB // CD คู่ที่ 1
E
X B มุมAXY เท่ากับ มุมCYF
A
C D
Y คู่ที่ 2
F
มุมEXB เท่ากับ มุมXYD
ยังมีอีก 2 คู่

16. รู้จก มุมที่เท่ากัน อะไรบ้าง
ั
4) มุมนอก เท่ากับมุมภายใน บนข้างเดียวกันของเส้นตัด
ของเส้นตรงขนานกัน
คู่ที่ 3
E
X B มุมAXE เท่ากับ มุมCYX
A
C D
Y คู่ที่ 4
F
มุมYXB เท่ากับ มุมFYD

17. 4.2 พิจารณารู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
R
C
A P Q
B
ˆ
A = ˆ
P
ˆ
B = ˆ
Q
ˆ
C ˆ
=R
ได้ ABC คล้ายกับ PQR

18. ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน เป็ นด้านสมนัยกัน R
C
C
A B
B PP Q
ˆ
A = ˆ
P ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน BC กับ QR
ˆ
B = ˆ
Q ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน AC กับ PR
ˆ
C ˆ
=R ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน AB กับ PQ

19. รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
R
C
P Q
A B
ˆ
A = ˆ
P ด้าน BC กับ QR
ˆ
B = ˆ
Q คู่สมนัย AC กับ PR
ˆ
C ˆ
=R กัน AB กับ PQ

20. รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
R
C
P Q
A B
BC
ˆ ˆ
A= P ด้าน BC กับ QR อัตราส่ วน QR
ˆ ˆ AC
B = Q คู่สมนัย AC กับ PR
ของ PR
ˆ ˆ
C= R กัน AB กับ PQ AB
ด้านสมนัยกัน
PQ

21. รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกันอัตราส่ วนของความยาว
ของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน
R
C P
Q
A B
BC = AC AB
ABC  PQR ได้ =
QR PR PQ
BC AC AC AB BC AB
จัดแยกได้ = หรื อ = หรื อ
QR PR PR =
PQ QR PQ

22. รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกันอัตราส่ วนของความยาวของ
ด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน (เขียนอัตราส่ วนอีกแบบ)
R
C P
Q
A B
ABC  PQR ได้ QR = AC = PQ
BC
PR
AB
จัดแยกได้ QR = PR หรื อ PR = PQ หรื อ QR = PQ
AC AB BC AB
BC AC

23. บทนิยาม
รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นมี
ขนาดของมุมเท่ากันเป็ นคู่ ๆ สามคู่
สมบัติของรู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นมี
อัตราส่ วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็ น
อัตราส่ วนที่เท่ากัน

24. 1. พิจารณารู ปสามเหลี่ยม ABC กับ PQR สามเหลี่ยมคล้ายกันหรื อไม่
A P ต้องการหา
48๐
มุมเท่ากัน 3 คู่
B 48๐ C
Q R
B = Q = 90๐ (กาหนดให้)
<
<
C = P = 48๐ (กาหนดให้)
<
<
A = 180 – 90 – 45 = 42๐
<
R = 180 – 90 – 45 = 42๐
<
A = R ( ต่างเท่ากับ 42๐)
<
<
มีมุมเท่ากันสามคู่ ได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน

25. 2. พิจารณารู ปสามเหลี่ยม ABE กับ CDE สามเหลี่ยมคล้ายกันหรื อไม่
ให้ AB // CD
E
ต้องมองหารู ปสามเหลี่ยมที่ C
โจทย์ถามให้ได้ A
D ต้องการหา
ABE และ  CDE B มุมเท่ากัน 3 คู่
E = E (มุมร่ วม)
<
<
DCE = A (มุมภายนอกเท่ากับมุมภายในบนข้างเดียวของเส้นตัดคู่ขนาน)
<
<
CDE = B (มุมภายนอกเท่ากับมุมภายในบนข้างเดียวของเส้นตัดคู่ขนาน)
<
<
มีมุมเท่ากันสามคู่ ได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน

26. 3. พิจารณารู ปสามเหลี่ยม ABC กับ PQC สามเหลี่ยมคล้ายกันหรื อไม่
ให้ AB // PQ ต้องการหา
A มุมเท่ากัน 3 คู่ P
C
Q
B
ต้องมองหารู ปสามเหลี่ยมที่
ABC และ  PQC
โจทย์ถามให้ได้
A = Q (มุมแย้ง)
<
<
B = P (มุมแย้ง)
<
<
ACB = PCQ (มุมตรงข้ามเส้นตรงตัดกัน)
<
<
มีมุมเท่ากันสามคู่ ได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน

27. 4. พิจารณารู ปสามเหลี่ยม ABC กับ ACD สามเหลี่ยมคล้ายกันหรื อไม่
C
ต้องการหา
B มุมเท่ากัน 3 คู่
A
D
ต้องมองหารู ปสามเหลี่ยมที่
ABC และ ACD
โจทย์ถามให้ได้
CAB = CAD (มุมร่ วม)
<
<
ACB = ADC (มุมฉาก)
<
<
ABC = ACD (มุมภายในของรู ปสามเหลี่ยมรวมกันได้
<
<
180๐ ขนาดมุมที่เหลือย่อมเท่ากัน)
มีมุมเท่ากันสามคู่ ได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน

28. 5. พิจารณารู ปสามเหลี่ยม ABC กับ PQC สามเหลี่ยมคล้ายกันหรื อไม่
ให้ PQ ตั้งฉากกับ QC ที่ Q
ต้องการหา
และ AB ตั้งฉากกับ QC ที่ B P
มุมเท่ากัน 3 คู่
ต้องมองหารู ปสามเหลี่ยมที่ A
โจทย์ถามให้ได้
Q B C
ABC และ PQC
B = Q = 90๐ (กาหนดให้)
<
<
C = C (มุมร่ วม)
<
<
BAC = P (มุมภายในของรู ปสามเหลี่ยมรวมกันได้
<
<
180๐ ขนาดมุมที่เหลือย่อมเท่ากัน)
มีมุมเท่ากันสามคู่ ได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน

29. 6. ให้ ABC ~ PQR ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัยกัน
A P ยึดมุมเท่ากัน
48๐
ไปที่ละคู่
B 48๐ C
Q R
จะเริ่ มให้ดานของ
้
สามเหลี่ยม ABC
เป็ นเศษ
AC = AB = BC
PR QR PQ

30. 7. ให้ ABE ~ CDE ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัยกัน
ให้ AB // CD E
C ยึดมุมเท่ากัน
A ไปที่ละคู่
D
B
เริ่ มใช้ดานของCDE เป็ นเศษ
้
CD = DE = CE
AB BE AE

31. 8. ให้ ABC~  PQC ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัยกัน
ให้ AB // PQ ยึดมุมเท่ากันไปทีละคู่
A P
C
Q
B ให้เริ่ มใช้ดานของCPQ
้
เป็ นเศษ
PQ = CQ = CP
AB AC BC

32. 9. ให้ ABC  ACD ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัยกัน
C ยึดมุมเท่ากัน
ไปทีละคู่
A B
D
เริ่ มใช้ดานของ ABC
้
BC = AB = AC
CD AC AD

33. 10. ให้ ABC~ PQC ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัยกัน
ให้ PQ ตั้งฉากกับ QC ที่ Q ยึดมุมที่เท่ากัน
และ AB ตั้งฉากกับ QC ที่ B P ไปทีละคู่
A
Q B C
เริ่ มใช้ดานของ PQC
้
PC = PQ = QC
AC AB BC

34. สรุ ป การหารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปคล้ายกัน
ต้องพยายามหา
มุมเท่ากันให้ได้ 3 คู่ (หาได้เพียง 2 คู่กได้เหมือน 3 คู่)
็
่
ด้านที่อยูตรงข้ามมุมคู่ที่เท่ากัน
เพื่อเขียนอัตราส่ วนของความยาวของด้านที่สมนัยกัน
แล้วนามาเท่ากัน

35. สรุ ป การหารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปคล้ายกัน
เพื่อเขียนอัตราส่ วนของความยาวของด้านที่สมนัยกัน
แล้วนามาเท่ากัน
จะนาไปใช้หาความยาวด้านของรู ปสามเหลี่ยม

36. ตัวอย่างที่ 1 กรณี กาหนดมาให้ ABC  PQR
ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัย
C R
A B
P Q
รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกันอัตราส่ วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน
ได้ QR = PR = PQ
BC AC AB

37. ตัวอย่างที่ 2 กรณี ที่กาหนดให้ AB // PQ ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัย
1.มุม CPQ = มุม CAB (มุมภายในเท่ากับมุมภายนอกบน
C ข้างเดียวของเส้นตัดคู่ขนาน)
2.มุม PCQ = มุม AC (มุม ร่ วม)
B
A 3.มุม PQC = มุม ABC (ทานองเดียวกับข้อ 1)
P Q 4.ได้ ABC  PQC
รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกันอัตราส่ วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน
ได้ QC = PC = PQ
BC AC AB

38. ตัวอย่างที่ 3 ให้ AB ตั้งฉากกับ AC และ PC ตั้งฉากกับ PQ
ให้เขียนอัตราส่ วนด้านสมนัย
B 1.มุมBAC = มุมQPC (มุมฉาก)
2.มุมACB = มุมPCQ (มุมร่ วม)
Q 3.มุมABC = มุมPQC (มุมภายในรู ป
สามเหลี่ยม =180๐)
A 4.ได้ ABC  PQC
P C
รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกันอัตราส่ วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน
ได้ QC = PQ = PC
BC AB AC

39. แบบฝึ กทบทวน 1) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมแต่ละคู่คล้ายกันหรื อไม่
A กาหนด AE
// BD มฉาก
และมุ
E
B D
C
ให้ บอกมุมคู่ที่เท่ากัน
และบอกรู ปสามเหลี่ยมคู่น้ ีคล้ายกันหรื อไม่

40. เฉลยข้อ 1 จากรู ปกาหนด AE BD มฉาก
// และมุ
A
E
B D
มุม E = มุม D
C
มุม ABE = มุม C
มุมภายในเท่ากับมุมภายนอกคู่ขนาน
มุม A = มุมDBC
รู ปสามเหลี่ยมคู่น้ ีคล้ายกัน ได้

41. แบบฝึ กทบทวน 2) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
A
E
B D
ให้ บอกอัตราส่ วนเท่ากัน เติมช่องว่าง C
AB = BE = AE

42. เฉลยข้อ 2 รู ปสามเหลี่ยมคู่น้ ีคล้ายกัน ได้
A
E
B D
C
AB = BE = AE
BC CD BD

43. แบบฝึ กทบทวน 3) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมแต่ละคู่คล้ายกันหรื อไม่
กาหนดให้ AB DE
//
A B
C
D E
ให้ บอกมุมคู่ที่เท่ากัน

44. เฉลยข้อ 3 กาหนดให้ AB DE
//
A B
C
D E
ˆ ˆ
BAC  DEC (มุมแย้ง)
ˆ ˆ
ABC  EDC (มุมแย้ง)
ˆ ˆ
ACB  DCE (มุมตรงข้ามของเส้นตรงตัดกัน)
รู ปสามเหลี่ยมคู่น้ ีคล้ายกัน ได้

45. แบบฝึ กทบทวน 4) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
กาหนดให้ AB DE
//
A B
C
D E
ให้ บอกอัตราส่ วนเท่ากัน เติมช่องว่าง
_ = _ _
=
CD CE DE

46. เฉลยข้อ 4) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
กาหนดให้ AB DE
//
A B
C
D E
BC = AC = AB
CD CE DE

47. แบบฝึ กทบทวน 5) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมแต่ละคู่คล้ายกันหรื อไม่
ˆC
กาหนดให้ ABและ ˆ
เป็ นมุมฉาก
E
D
A
C E
B
ให้ บอกมุมคู่ที่เท่ากัน

48. ˆC
เฉลยข้อ 5) กาหนดให้ ABและ ˆ
เป็ นมุมฉาก
E
D
A
C E
B
ˆ ˆ
ABC  DEC (กาหนดให้เป็ นมุมฉาก)
ˆ ˆ
ACB  DCE (มุมร่ วม)
ˆ ˆ
BAC  EDC (มุมภายในรู ปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา)
รู ปสามเหลี่ยมคู่น้ ีคล้ายกัน ได้

49. แบบฝึ กทบทวน 6) จากรู ป รู ปสามเหลี่ยมคล้ายกัน
ˆC
กาหนดให้ ABและ ˆ
เป็ นมุมฉาก
E
D
A
C E
B
ให้ บอกอัตราส่ วนเท่ากัน เติมช่องว่าง
_ = _ _
=
AC AB BC

50. ˆC
เฉลยข้อ 6) กาหนดให้ ABและ ˆ
เป็ นมุมฉาก
E
D
A
C E
B
DC DE CE
AC = AB = BC

51. ตัวอย่าง 1) กาหนดให้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน และความยาวด้านตามรู ป
จงหาความยาวด้าน AB
C R
6 15
A B
P Q
วิธีทา จะหาความยาวด้าน AB 25
เริ่ มเขียนอัตราส่ วน มีABที่จะหาค่า AB
PQ
AC
เขียนอัตราส่ วน ด้านคู่ที่โจทย์บอกหาค่ามาให้ PR
นาไปเท่ากัน AB = AC
PQ PR

52. จะหาความยาวด้าน AB
C R
6 15
A B
P Q
AB = AC 25
PQ PR
แทนค่า AB = 6
25 15 ใช้ 5 ทอน
2 5
AB = 6×25 แล้วใช้ 3 ทอน
15
3
1
AB = 2 ×5
ได้ AB = 10 หน่วย

53. ตัวอย่าง 2) จากรู ป มี AB = 6, AC = 15, AE = 9 หาความยาวด้าน CD
วิธีทา จะหาความยาวด้าน CD D
B
ได้ CE ยาวเท่ากับ AC + AE
6 E
เท่ากับ 15 + 9 = 24 หน่วย C
15 A 9
เริ่ มเขียนอัตราส่ วน มี CD ที่จะหาค่า CD
AB
CE
เขียนอัตราส่ วน ด้านคู่ที่โจทย์บอกค่าให้มา AE
นาไปเท่ากัน CD = CE
AB AE

54. หาความยาวด้าน CD
D
CD = CE ถาม B
AB AE
8 หา
แทนค่า CD = 24 6 E
6 9 C
3 15 9
2 A
CD = 8× 6
3 ใช้ 33ทอน
ใช้ ทอน
1
CD = 8 × 2
CD = 16
CD ยาว 16 หน่วย

55. ตัวอย่าง 3) จากรู ป มี AC = 10, PQ = 12, AB = 8 หาความยาวด้าน AP
Q
วิธีทา จะหาความยาวด้าน AP B
สมมติให้ AP ยาว x หน่วย 12 8
C
P
ได้ PC ยาว x + 10 หน่วย x A 10
เริ่ มเขียนอัตราส่ วน มี PC ที่มีส่วนจะหา AP อยูดวย
่ ้ PC
AC
PQ
เขียนอัตราส่ วน ด้านคู่ที่โจทย์บอกค่ามาให้ AB
นาไปเท่ากัน PC = PQ
AC AB

56. วิธีทา จะหาความยาวด้าน AB Q
PC = PQ B
AC AB
12 8
แทนค่า
x+10 = 12 P
C
10 8 x A 10
3 5
x +10 = 12 ×10 คคานวณ
านวณ
8
2 ใช้ 24ทอน
ใช้ ทอน
1
3 คูณกับ 5ได้15
x +10 = 15
x = 15 – 10
x = 5
AP ยาว 5 หน่วย

57. เราทาได้ และต้องนาไปใช้
• 1. หาความสูง
• 2. หาระยะทาง