1. 82
เรื่องที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต
1. รูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยม คือ รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน
ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด
มาตั้งฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนตั้งฉากวาสวนสูง
จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกําหนด BC เปนฐาน
เรียก A วา มุมยอด
เรียก AD วา สวนสูง
จากรูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ABCD แตละรูปเทากับ 12 ตารางหนวย
และพื้นที่สามเหลี่ยมแตละรูปเทากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา
จากสูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = ฐาน x สูง
ดังนั้น พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = ×
2
1
ฐาน × สูง

2. 83
ตัวอยาง รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งพื้นที่ 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง
กี่เซนติเมตร
วิธีทํา
ดังนั้น ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10 เซนติเมตร
แบบฝกหัดที่ 3
1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปนี้ ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี
หนวยเปนหนวยความยาว
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนติเมตร
สูตร พื้นที่  = ×
2
1
ฐาน × สูง
40 = h×× 8
2
1
h=
×
8
240
10 = h

3. 84
2. รูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง
กี่เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ
ยาวของดาน A
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

4. 85
4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี
หนวยเปนเซนติเมตร)
30
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. รูปสี่เหลี่ยม
2.1 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแตละมุมเปนมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมี 2 ชนิด คือ
ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานทุกดานยาวเทากัน
ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผา
เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานตรงขามยาวเทากัน

5. 86
ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ
เทาๆ กัน แลวลากเสนเชื่อมจุดแบงดังรูป
จากรูปตารางเล็กๆ ที่เกิดจากแบงแตละรูป จะมีความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คิด
เปน พื้นที่ 1 ตารางหนวย
การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง
9 ตาราง หรือมีพื้นที่ 9 ตารางหนวย
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง
12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนวย
การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว
นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว
ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีดานกวางเทากับดานยาว
นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดาน x ดาน
หรือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = (ดาน)2
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมตอไปนี้

6. 87
วิธีทํา
(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง x ยาว
= 5 x 8
= 40 ตารางหนวย
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 40 ตารางหนวย ตอบ
(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = ดาน x ดาน
= 4 x 4
= 16 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนติเมตร ตอบ
(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = (2x3) + (4x7)
= 6 + 28
= 34 ตารางนิ้ว
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางนิ้ว ตอบ
2.2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู

7. 88
การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
ถารูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD กําหนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ
สูง DE
จากรูปที่ 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหตั้งฉากกับ AB ดังรูปที่ 2 เราสามารถ
ใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ไดดังนี้
พื้นที่ของ ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่  ABD และพื้นที่  CDB
เนื่องจาก พื้นที่  ABD เทากับ พื้นที่  CDB
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 2 เทาของพื้นที่  ABD
= 





××× ba
2
1
2
สูตรพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง
รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานทุกดานยาวเทากันและมุมไมเปนมุมฉาก เรียกวา รูปสี่เหลี่ยม
ขนมเปยกปูน
ในกรณีเปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมุม แบงรูปสี่เหลี่ยมออกเปนรูป
สามเหลี่ยมสองรูป และไดสูตรดังนี้
สูตรพื้นที่ ขนมเปยกปูน = ×
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD
วิธีทํา

8. 89
รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง
= AB × AB
= 10 × 7 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร ตอบ
2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานขนานกันหนึ่งคูเทานั้น
รูปสี่เหลี่ยมทั้งสามรูป แตละรูปมีดานขนานกันเพียง 1 คูเทานั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปจึง
เปนสี่เหลี่ยมคางหมู
รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 มีดานที่ไมขนานกัน 1 ดาน ตั้งฉากกับดานคูขนาน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคาง
หมูนี้วา สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 3 มีดานที่ไมขนานกันยาวเทากัน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้วา สี่เหลี่ยม
คางหมูหนาจั่ว
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีดาน AB ขนานกับดาน CD ลาก CE ใหตั้งฉากกับ AB
และลากเสนทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2
กําหนด a แทนความยาวของดาน AB
b แทนความยาวของดาน CD
c แทนความสูง
เราสามารถใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ไดดังนี้

9. 90
พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่  ABC และพื้นที่  ACD
จากพื้นที่  ABC = ca ××
2
1
พื้นที่  ACD = cb ××
2
1
ดังนั้น พื้นที่ ABCE = 





××+





×× ebea
2
1
2
1
= )(
2
1
bac +××
สูตร พื้นที่ คางหมู = ×
2
1
สูง × ผลบวกดานคูขนาน
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD
วิธีทํา
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = ×
2
1
สูง × ผลบวกดานคูขนาน
= ( )DCABDE +××
2
1
= ( )8126
2
1
+××
= 3 × 20 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร
2.4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปวาว
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานประชิดกันยาวเทากันสองคู
เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ
แบงครึ่งซึ่งกันและกัน

10. 91
การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว
เราสามารถใชพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ไดดังนี้
พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่  ACD และพื้นที่  ABC
จาก  ABC = 





××× ba
2
1
2
1
 ADC = 





××× ba
2
1
2
1
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 











×××+











××× baba
2
1
2
1
2
1
2
1
พื้นที่ ABCD = 











×+





××× bba
2
1
2
1
2
1
= 





+××
222
1 bb
a
= ba ××
2
1
สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว = ×
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม
รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD มี ADAB = และ CDBC =
กําหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC
b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD
เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E
ทําให DE ตั้งฉากกับ AC
BE ตั้งฉากกับ AC

11. 92
ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ที่มี 10=BD เซนติเมตร และ 12=AC เซนติเมตร
วิธีทํา
พื้นที่รูปวาว = ×
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม
= BDAC ××
2
1
= 1012
2
1
×× ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร
2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ
รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมเขาลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขางตน การหาพื้นที่อาจทํา
ไดโดยลากเสนทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น
พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่  ABC และพื้นที่  ADC
จากพื้นที่  ABC = BEAC ××
2
1
พื้นที่  ABD = DFAC ××
2
1
ดังนั้น พื้นที่ ABCE = 





××+





×× DFACBEAC
2
1
2
1
= ( )DFBEAC +××
2
1
จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จากเสนทแยงมุม AC
จากจุด B ลากเสน BE ใหตั้งฉากกับ AC
D ลากเสน DF ใหตั้งฉากกับ AC
ซึ่งเสน BE และ DF เรียกวา เสนกิ่ง

12. 93
สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ =
2
1
× ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ
EB = 5 เซนติเมตร
วิธีทํา
พื้นที่ ABCD = ×
2
1
เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง
= ( )DFBEAC +××
2
1
= ( )5710
2
1
+×× ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร
แบบฝกหัดที่ 4

13. 94

14. 95
2. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว
เปนเมตร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

15. 96
2.6 พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม
การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยม เปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่
ของรูปแตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางครั้งอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลว
นํามาหักลบกัน ดังตัวอยาง
ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา
วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือ DEJC,
FGKJ, ABKH
พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH
= ( 2×6) + (1×4) + (3×10)
= 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร
2.7 พื้นที่รูปวงกลม
การหาพื้นที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบงออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดัง
รูป
จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร
FJ = 4 เซนติเมตร

16. 97
จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขึ้น รูปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคียงกับรูป
สี่เหลี่ยมผืนผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม
ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ ( ) rr ππ =2
2
1
จากสูตร พื้นที่ ผืนผา = ฐาน × สูง
= ( ) rr ×π
= 2
rπ
สูตร พื้นที่วงกลม = 2
rπ
เมื่อ
7
22
=π หรือ 3.14 โดยประมาณ
r แทนความยาวรัศมี
ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร
วิธีทํา
พื้นที่วงกลม = 2
rπ
= 77
7
22
×× ตารางเซนติเมตร
พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร

17. 98
แบบฝกหัดที่ 5
1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทน
จุดศูนยกลางของวงกลม
1

18. 99
สรุปสูตรการหาพื้นที่

19. 100