Downloaded 26 times
![Original sv [compatibility mode]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/originalsv-compatibilitymode-111120222104-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Chap5 3
- 1. 82 เรื่องที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 1.รูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม คือ รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด มาตั้งฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนตั้งฉากวาสวนสูง จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกําหนด BC เปนฐาน เรียก A วา มุมยอด เรียก AD วา สวนสูง จากรูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ABCD แตละรูปเทากับ 12 ตารางหนวย และพื้นที่สามเหลี่ยมแตละรูปเทากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา จากสูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = ฐาน x สูง ดังนั้น พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = × 2 1 ฐาน × สูง
- 2. 83 ตัวอยาง รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งพื้นที่ 40ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง กี่เซนติเมตร วิธีทํา ดังนั้น ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10 เซนติเมตร แบบฝกหัดที่ 3 1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปนี้ ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี หนวยเปนหนวยความยาว ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนติเมตร สูตร พื้นที่ = × 2 1 ฐาน × สูง 40 = h×× 8 2 1 h= × 8 240 10 = h
- 3. 84 2. รูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปมีพื้นที่ 90ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง กี่เซนติเมตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ ยาวของดาน A ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
- 4. 85 4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป(ความยาวที่กําหนดมี หนวยเปนเซนติเมตร) 30 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. รูปสี่เหลี่ยม 2.1 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแตละมุมเปนมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมี 2 ชนิด คือ ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานทุกดานยาวเทากัน ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผา เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานตรงขามยาวเทากัน
- 5. 86 ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ เทาๆกัน แลวลากเสนเชื่อมจุดแบงดังรูป จากรูปตารางเล็กๆ ที่เกิดจากแบงแตละรูป จะมีความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คิด เปน พื้นที่ 1 ตารางหนวย การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง 9 ตาราง หรือมีพื้นที่ 9 ตารางหนวย สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง 12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนวย การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีดานกวางเทากับดานยาว นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดาน x ดาน หรือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = (ดาน)2 ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมตอไปนี้
- 6. 87 วิธีทํา (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา= กวาง x ยาว = 5 x 8 = 40 ตารางหนวย ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 40 ตารางหนวย ตอบ (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = ดาน x ดาน = 4 x 4 = 16 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนติเมตร ตอบ (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = (2x3) + (4x7) = 6 + 28 = 34 ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางนิ้ว ตอบ 2.2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู
- 7. 88 การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ถารูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD กําหนดa แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ สูง DE จากรูปที่ 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหตั้งฉากกับ AB ดังรูปที่ 2 เราสามารถ ใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ไดดังนี้ พื้นที่ของ ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่ ABD และพื้นที่ CDB เนื่องจาก พื้นที่ ABD เทากับ พื้นที่ CDB ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 2 เทาของพื้นที่ ABD = ××× ba 2 1 2 สูตรพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานทุกดานยาวเทากันและมุมไมเปนมุมฉาก เรียกวา รูปสี่เหลี่ยม ขนมเปยกปูน ในกรณีเปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมุม แบงรูปสี่เหลี่ยมออกเปนรูป สามเหลี่ยมสองรูป และไดสูตรดังนี้ สูตรพื้นที่ ขนมเปยกปูน = × 2 1 ผลคูณของเสนทแยงมุม ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD วิธีทํา
- 8. 89 รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน× สูง = AB × AB = 10 × 7 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร ตอบ 2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานขนานกันหนึ่งคูเทานั้น รูปสี่เหลี่ยมทั้งสามรูป แตละรูปมีดานขนานกันเพียง 1 คูเทานั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปจึง เปนสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 มีดานที่ไมขนานกัน 1 ดาน ตั้งฉากกับดานคูขนาน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคาง หมูนี้วา สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 3 มีดานที่ไมขนานกันยาวเทากัน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้วา สี่เหลี่ยม คางหมูหนาจั่ว รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีดาน AB ขนานกับดาน CD ลาก CE ใหตั้งฉากกับ AB และลากเสนทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2 กําหนด a แทนความยาวของดาน AB b แทนความยาวของดาน CD c แทนความสูง เราสามารถใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ไดดังนี้
- 9. 90 พื้นที่ ABCD เทากับผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ACD จากพื้นที่ ABC = ca ×× 2 1 พื้นที่ ACD = cb ×× 2 1 ดังนั้น พื้นที่ ABCE = ××+ ×× ebea 2 1 2 1 = )( 2 1 bac +×× สูตร พื้นที่ คางหมู = × 2 1 สูง × ผลบวกดานคูขนาน ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = × 2 1 สูง × ผลบวกดานคูขนาน = ( )DCABDE +×× 2 1 = ( )8126 2 1 +×× = 3 × 20 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปวาว บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานประชิดกันยาวเทากันสองคู เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ แบงครึ่งซึ่งกันและกัน
- 10. 91 การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว เราสามารถใชพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ไดดังนี้ พื้นที่ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ACD และพื้นที่ ABC จาก ABC = ××× ba 2 1 2 1 ADC = ××× ba 2 1 2 1 ดังนั้น พื้นที่ ABCD = ×××+ ××× baba 2 1 2 1 2 1 2 1 พื้นที่ ABCD = ×+ ××× bba 2 1 2 1 2 1 = +×× 222 1 bb a = ba ×× 2 1 สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว = × 2 1 ผลคูณของเสนทแยงมุม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD มี ADAB = และ CDBC = กําหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E ทําให DE ตั้งฉากกับ AC BE ตั้งฉากกับ AC
- 11. 92 ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCDที่มี 10=BD เซนติเมตร และ 12=AC เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่รูปวาว = × 2 1 ผลคูณของเสนทแยงมุม = BDAC ×× 2 1 = 1012 2 1 ×× ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมเขาลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขางตน การหาพื้นที่อาจทํา ไดโดยลากเสนทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ADC จากพื้นที่ ABC = BEAC ×× 2 1 พื้นที่ ABD = DFAC ×× 2 1 ดังนั้น พื้นที่ ABCE = ××+ ×× DFACBEAC 2 1 2 1 = ( )DFBEAC +×× 2 1 จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จากเสนทแยงมุม AC จากจุด B ลากเสน BE ใหตั้งฉากกับ AC D ลากเสน DF ใหตั้งฉากกับ AC ซึ่งเสน BE และ DF เรียกวา เสนกิ่ง
- 12. 93 สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ = 2 1 ×ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ EB = 5 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่ ABCD = × 2 1 เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง = ( )DFBEAC +×× 2 1 = ( )5710 2 1 +×× ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร แบบฝกหัดที่ 4
- 13.
- 14.
- 15. 96 2.6 พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่ ของรูปแตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางครั้งอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลว นํามาหักลบกัน ดังตัวอยาง ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือ DEJC, FGKJ, ABKH พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH = ( 2×6) + (1×4) + (3×10) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร 2.7 พื้นที่รูปวงกลม การหาพื้นที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบงออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดัง รูป จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนติเมตร
- 16. 97 จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขึ้น รูปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคียงกับรูป สี่เหลี่ยมผืนผาโดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ ( ) rr ππ =2 2 1 จากสูตร พื้นที่ ผืนผา = ฐาน × สูง = ( ) rr ×π = 2 rπ สูตร พื้นที่วงกลม = 2 rπ เมื่อ 7 22 =π หรือ 3.14 โดยประมาณ r แทนความยาวรัศมี ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 2 rπ = 77 7 22 ×× ตารางเซนติเมตร พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร
- 17. 98 แบบฝกหัดที่ 5 1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทน จุดศูนยกลางของวงกลม 1
- 18.
- 19.