eQuation

1. บทที่ 2 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว
นักเรียนเคยทราบมาแลววาพหุนาม เชน 4x2
, x2
, x2
– 5 , 3x2
+ x และ x2
- 4x + 1 เปนพหุนาม
ดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว คือ x พหุนามดังกลาวมีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c เมื่อ a, b และ c เปนคาคง
ตัว โดยที่ a ≠ 0 เราจะไดเห็นการนําพหุนามดังกลาวมาใชในสมการกําลังสองตัวแปรเดียว
ตัวอยางของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว
1. 2
4 0
x =
2. 2
3 0
x − =
3. 2
2 4 0
x x
+ =
4. 2
3 3 1 0
x x
− + =
5.
2
2 0
6
y
y − − = เปนตน
แนะนําสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

2. ในบางครั้ง เราอาจพบสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่ไมไดเขียนอยูในรูปทั่วไป แตเราสามารถ
เขียนสมการเหลานั้นในรูปทั่วไปได ดังตัวอยางตอไปนี้
1. 3
5 3
x x
− =
2. ( )
2 2 3 5
y y − =
−
3. 2 2
4 2 2 4 6
a a a a
− =
− + −
สมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เปนตัวแปร
a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0

3. ตัวอยาง จงเขียนสมการกําลังสองตอไปนี้ใหอยูในรูปทั่วไป 2
0
ax bx c
+ + = เมื่อ x เปนตัวแปร
a , b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ 0
a ≠ พรอมทั้งบอกคา a , b และ c ในแตละสมการ
1. 3
2 5 3
x x
+ =
− 2. 2
3
a a
= −

4. 3. ( )
2
1 2
x − =
4. 2
3 3 3 5
n n n
− − + =

5. 5. ( )
4 2 3 5 2
x x x
− + − =
6. 2 2
3 2 4 5 4 6
a a a a
− + =
− − +

6. สมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เปนตัวแปร
a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0
คําตอบของสมการ คือ จํานวนจริงที่แทนตัวแปรในสมการแลวทําใหไดสมการที่เปนจริง
ใหนักเรียนพิจารณาการหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว โดยวิธีลองแทนคาตัวแปรใน
สมการ ดังตัวอยางตอไปนี้
การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแทนคา

7. ตัวอยางที่ 1
2
4 0
x x
− =
วิธีทํา เมื่อแทน x ดวย 0 ในสมการ
2
4 0
x x
− =
จะได ( ) ( )
2
0 4 0 0
− =
0 0
= ซึ่งเปนสมการที่เปนจริง
ดังนั้น 0 เปนคําตอบของสมการ
2
4 0
x x
− =
และเมื่อแทน x ดวย 4 ในสมการ
2
4 0
x x
− =
จะได ( ) ( )
2
4 4 4 0
− =
0 0
= ซึ่งเปนสมการที่เปนจริง
ดังนั้น 4 เปนคําตอบของสมการ
2
4 0
x x
− = และเมื่อแทน x ดวย
จํานวนจริงอื่นๆที่ไมใช 0 และ 4 ในสมการ
2
4 0
x x
− =
แลวจะไดสมการที่ไมเปนจริง
ดังนั้น คําตอบของสมการ
2
4 0
x x
− =
มี 2 คําตอบ คือ 0 และ 4

8. ตัวอยางที่ 2
2
4 4 0
y y
− + =
วิธีทํา เมื่อแทน x ดวย 2 ในสมการ
2
4 4 0
y y
− + =
จะได ( )
2
2 4 2 4 0
− + =
0 0
= ซึ่งเปนสมการที่เปนจริง
ดังนั้น 2 เปนคําตอบของสมการ
2
4 4 0
y y
− + =
และเมื่อแทน y ดวยจํานวนจริงอื่นๆที่ไมใช 2 ในสมการ
2
4 4 0
y y
− + =แลวจะได
สมการที่ไมเปนจริง
ดังนั้น คําตอบของสมการ
2
4 4 0
y y
− + = มี 1 คําตอบ คือ 2

9. ตัวอยางที่ 3
2
7 0
x + =
วิธีทํา จากสมการ
2
7 0
x + =
จะได
2
7
x = −
เนื่องจาก จํานวนจริงใดๆ ยกกําลังสองแลว จะตองเปนจํานวนจริงบวก หรือศูนย
ดังนั้น ไมมีจํานวนจริงใดยกกําลังสองแลว ไดผลลัพธเปน -7
นั่นคือ ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ
2
7 0
x + =

10. จากตัวอยางทั้งสามขางตน แสดงใหเห็นวา สมการกําลังสองตัวแปร
เดียวอาจมี 2 คําตอบ หรือ 1 คําตอบ หรืออาจไมมีจํานวนจริงใดเปน
คําตอบก็ได ในทางคณิตศาสตร สมการกําลังสองตัวแปรเดียวมีคําตอบได
ไมเกิน 2 คําตอบ

11. การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เปนตัวแปร
a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 ดวยวิธีลองแทนคานั้น ในทางปฏิบัติ อาจทําไมได หรืออาจไมสะดวก
และตองใชเวลามาก
ในกรณีที่เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax2
+ bx + c ใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามดีกรีหนึ่ง
2 พหุนาม และเนื่องจากในที่นี้พหุนามแทนจํานวน เราจึงใชสมบัติของจํานวนจริงที่วา ถา m และ n เปน
จํานวนจริง และ mn=0 แลว m=0 หรือ n=0 มาใชในการแกสมการดวย ก็จะทําใหแกสมการกําลังสองตัว
แปรเดียวไดสะดวกขึ้น
การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแยกตัวประกอบ

12. การแกสมการกําลังสอง โดยการดึงตัวรวม
ตัวอยางที่ 1 จงแกสมการ
2
5
x x
=
วิธีทํา
2
5
x x
=

13. ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ ( )
2
2 5
x x x
− =
วิธีทํา ( )
2
2 5
x x x
− =

14. การแกสมการกําลังสอง โดยใชสูตรผลตางกําลังสอง
ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ
2
4 9 0
x − =
วิธีทํา
2
4 9 0
x − =

15. ตัวอยางที่ 4 จงแกสมการ ( ) ( )
2 2
3 2 1
x x
+ = −
วิธีทํา ( ) ( )
2 2
3 2 1
x x
+ = −

16. ตัวอยางที่ 5 จงแกสมการ ( )
2
2 60
x − =
วิธีทํา ( )
2
2 60
x − =

17. การแกสมการกําลังสอง โดยใชสูตรกําลังสองสมบูรณ
ตัวอยางที่ 6 จงแกสมการ
2
4 4 0
x x
− + =
วิธีทํา
2
4 4 0
x x
− + =

18. ตัวอยางที่ 7 จงแกสมการ
2
4 8 4 0
x x
− + =
วิธีทํา
2
4 8 4 0
x x
− + =

19. การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เปนตัวแปร a,
b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 โดยการแยกตัวประกอบพหุนามใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามดีกรี
หนึ่งสองพหุนาม
ตัวอยางที่ 8 จงแกสมการ
2
5 6 0
x x
+ + =
วิธีทํา
2
5 6 0
x x
+ + =

20. ตัวอยางที่ 9 จงแกสมการ
2
2 5 3 0
x x
− − =
วิธีทํา
2
2 5 3 0
x x
− − =

21. ตัวอยางที่ 10 จงแกสมการ
2
4 25 15
x x
+ =
วิธีทํา
2
4 25 15
x x
+ =

22. ตัวอยางที่ 11 จงแกสมการ
2
0.25 0.5 0
x x
− =
วิธีทํา
2
0.25 0.5 0
x x
− =

23. ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ
2
0.5 0.5 0
z z
− + − =
วิธีทํา
2
0.5 0.5 0
z z
− + − =

24. ตัวอยางที่ 13 จงแกสมการ
2 7 3
2 0
2 2
x x
− + − =
วิธีทํา
2 7 3
2 0
2 2
x x
− + − =

25. การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เปนตัว
แปร a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 มีการหาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ดังนี้
การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชสูตร
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝟒𝟒
𝟐𝟐
ซึ่ง 1. ถา 𝑏2
− 4𝑎𝑎 > 0 สมการจะมี 2 คําตอบ
2. ถา 𝑏2
− 4𝑎𝑎 = 0 สมการจะมี 1 คําตอบ
3. ถา 𝑏2
− 4𝑎𝑎 < 0 สมการจะไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ

26. ตัวอยางที่1 จงพิจารณาสมการกําลังสองตอไปนี้วามีคําตอบหรือไม ถามี มีกี่คําตอบ
1.
2
2 8 3 0
− + =
x x
2.
2
5 2 1
= −
x x

27. 3.
2
1
5
2
+ =
x x
4.
2
4 68 289 0
+ + =
x x

28. 5.
2
16 8 1 0
− + =
x x
6. ( )
2
5 1 25
+ =
x

29. ตัวอยางที่ 2 จงหาคา k ที่ทําใหสมการ
2
9 4 0
+ + =
x kx นี้มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว
วิธีทํา
2
9 4 0
+ + =
x kx

30. ตัวอยางที่ 3 จงหาคา k ที่ทําใหสมการ ( )
2
6 8 0
+ + + =
x k x k นี้มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว
วิธีทํา ( )
2
6 8 0
+ + + =
x k x k

31. ตัวอยางที่ 4 จงแกสมการ
2
4 1 0
+ − =
x x โดยใชสูตร
วิธีทํา
2
4 1 0
+ − =
x x

32. ตัวอยางที่ 5 จงแกสมการ
2
3 7 1 0
+ − =
x x โดยใชสูตร
วิธีทํา
2
3 7 1 0
+ − =
x x

33. ตัวอยางที่ 1 จงแกสมการ
2
4 13 0
x x
+ + =
วิธีทํา
2
4 13 0
x x
+ + =

34. ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ
2
16 24 9 0
+ + =
x x
วิธีทํา
2
16 24 9 0
+ + =
x x

35. ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ
2
2 3 14
x x
= +
วิธีทํา
2
2 3 14
x x
= +

36. ตัวอยางที่ 4 จงแกสมการ
2
4 3 8 9
− = +
x x
วิธีทํา
2
4 3 8 9
− = +
x x

37. ตัวอยางที่ 5 จงแกสมการ ( ) ( )
2 3 4 10
− = −
x x x
วิธีทํา ( ) ( )
2 3 4 10
− = −
x x x

38. ตัวอยางที่ 6 จงแกสมการ ( )
2
1 116
2 5
5 5
x x
− = −
วิธีทํา ( )
2
1 116
2 5
5 5
x x
− = −

39. ตัวอยางที่ 7 จากสมการ
2
2 7 4 0
x x
− + =จงหาผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการ
วิธีทํา
2
2 7 4 0
x x
− + =

40. การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ x เปนตัว
แปร a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 มีการหาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ดังนี้
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝟒𝟒
𝟐𝟐
ซึ่ง 1. ถา 𝑏2
− 4𝑎𝑎 > 0 สมการจะมี 2 คําตอบ
2. ถา 𝑏2
− 4𝑎𝑎 = 0 สมการจะมี 1 คําตอบ
3. ถา 𝑏2
− 4𝑎𝑎 < 0 สมการจะไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ
สรุป การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชสูตร

41. การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เริ่มจาก
1. อานและวิเคราะหโจทย
2. กําหนดตัวแปร
3. วิเคราะหเงื่อนไขในโจทยและเขียนสมการ
4. แกสมการ
5. ตรวจสอบคําตอบของสมการตามเงื่อนไขในโจทย
6. แสดงคําตอบ
การแกโจทยฺปญหาสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

42. ตัวอยางที่ 1 ใหผลคูณของจํานวนคูจํานวนหนึ่งกับจํานวนคูอีกจํานวนหนึ่งที่อยูถัดไปเปน 168 จงหาจํานวน
คูทั้งสองจํานวนนั้น
วิธีทํา

43. ตัวอยางที่ 2 ถาผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 20 และผลบวกของกําลังสองของแตละจํานวนเปน
272 จงหาจํานวนทั้งสอง
วิธีทํา

44. ตัวอยางที่ 3 ถาผลคูณของจํานวนคูสองจํานวนที่เรียงติดกันเทากับ 440 จงหาจํานวนคูทั้งสองนั้น
วิธีทํา

45. ตัวอยางที่ 4 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเมื่อเพิ่มความยาวของดาน ดานละ 4 ซม. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหมและ
รูปเดิมจะมีพื้นที่รวมกันเทากับ 346 ตร.ซม. จงหาความยาวดานของรูปเดิม
วิธีทํา

46. ตัวอยางที่ 5 สี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่ง ดานยาวยาวกวาดานกวาง 3 เซนติเมตร สี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้มีพื้นที่ 40
ตารางเซนติเมตร จงหาวา ดานยาวของสี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้ยาวกี่เซนติเมตร
วิธีทํา

47. ตัวอยางที่ 6 กําหนดสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีดานตรงขามมุมฉากยาว 2 3
x − หนวย ดานประกอบมุม
ฉากยาว x และ 3
x + จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้
วิธีทํา

48. การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เริ่มจาก
1. อานและวิเคราะหโจทย
2. กําหนดตัวแปร
3. วิเคราะหเงื่อนไขในโจทยและเขียนสมการ
4. แกสมการ
5. ตรวจสอบคําตอบของสมการตามเงื่อนไขในโจทย
6. แสดงคําตอบ
สรุป การแกโจทยฺปญหาสมการกําลังสองตัวแปรเดียว