Rizky Wulansari, profile picture
Uploaded byRizky Wulansari
13,510 views

Sistem Persamaan Linear

Dokumen ini membahas tentang sistem persamaan linier (SPL), termasuk pengertian, bentuk umumnya, dan klasifikasi sebagai homogen dan non-homogen. Selain itu, dokumen menjelaskan metode solusi, konsistensi, dan langkah-langkah untuk menentukan solusi SPL menggunakan matriks eselon. Berbagai metode solusi SPL juga diuraikan, serta contoh penerapannya.

Embed presentation

MODUL VI SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) PRAYUDI
PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3…., xn yang dinyatakan dalam bentuk : dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis. Contoh Persamaan linier : (1). 2x1 + 4x2 = 10 (2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 5 12211 ... bxaxaxa nn  Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk : dimana x1, x2, …, xn disebut variabel yang tidak diketahui, aij konstanta koefisien sistem persamaan linier dan bj konstanta yang diketahui mnmnmm nn nn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa      ... .................................................. ... ... ... ... 2211 44242141 33232131 22222121 11212111
Bentuk Matrik SPL Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi, AX=B atau, SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi : (a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0 (b). SPL non homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak nol                                                  n 3 2 1 n 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 b ... b b b x ... x x x ... ............... ... ... ... mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 633 532 2232 4432 421 431 432 321     xxx xxx xxx xxx CONTOH : SPL non homogen Bentuk matrik SPL                                        6 5 2 4 3013 3201 2320 0432 4 3 2 1 x x x x
KONSISTENSI SPL Perhatikanlah contoh berikut Kasus 1. SPL berbentuk x + 2y = 10 x – y = 4 Dalam bentuk grafik solusinya adalah x+2y = 10 x – y = 4 (6,2) SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2 Kausus 2. SPL berbentuk : x + 2y = 4 2x+ 4y = 8 x+2y = 4 ; x = 4 – 2y 2x + 4y = 8 SPL konsisten, solusi memuat parameter, yaitu y=t dan x=4 – 2t Kasus 3. SPL benbentuk : x + 2y = 4 x + 2y = 8 Dalam grafik adalah : x+2y = 8 x+2y = 4 SPL tidak konsisten, tidak ada solusi
BAGAN KONSISTENSI SPL SISTEM PERSAMAAN LINIER AX=B SPL HOMOGEN AX = 0 SPL NON HOMOGEN AX = B SPL HOMOGEN KONSISTEN SPL NH TIDAK KONSISTEN SPL NH KONSISTEN TRIVIAL r(A)=r(A,0)=n xi=0 NON TRIVIAL r(A)=r(A,B)=r<n xi0 SOLUSI TUNGGAL r(A)=r(A,B)=n SOLUSI ADA PARAMETER r(A)=r(A,B)=r<n
Metode Solusi SPL  Metode Eliminasi Gouss  Metode Eliminasi Gouss Jourdan  Metode Crammer  Metode Invers Matrik  Metode Dekomposisi Matrik  Metode Gouss Seidel  Metode Jacobi  Metode Numerik  Solusi dengan program komputer
METODE ELIMINASI GOUSS OPERASI ELEMENTER BARIS : (1). Hi  k Hi : Kalikan sembarang baris ke-I dengan konstanta tak nol k (2). Hi  Hj Tukarkanlah semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j (3). Hi  Hi + kHj Kalikanlah baris ke-j dengan konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I RANK MATRIK Rank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi. MATRIK ESELON BARIS Matrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : (1). Jika suatu baris yang elemenya tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot (2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik (3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi. (4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah
CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut ini Iterasi-1 1 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H1 0 -1 -2 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -1 -3 -5 -7 -14 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 1 3 4 7 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -1 0 4 5 7 H5=H5-(a51/a11)H1 Matrik Asal 1 2 3 4 5 8 2 3 4 6 7 9 3 5 6 7 8 10 1 2 4 7 9 15 2 3 6 12 15 23 Iterasi-2 1 2 3 4 5 8 0 1 2 2 3 7 H2=(1/a22)H2 0 0 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 1 3 4 7 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 2 6 8 14 H5=H5-(a52/a22)H2 Iterasi-3 1 2 3 4 5 8 0 1 2 2 3 7 0 0 1 3 4 7 H3=(1/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3 Dari matrik eselon diperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol matrik eselon = 3 (2). Rank matrik A, r(A)=3
METODE ELIMINASI GOUSS Andaikan diberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu : AX = B Langkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb : (1). Bentuk matrik lengkap [A,B] (2). Reduksilah matrik lengkap [AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris (3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya. (4). Konsistensi SPL (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL konsisten solusi tunggal (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPL konsisten solusi memuat parameter (c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi (5). Solusi SPL (a). Jika SPL konsisten, susunan SPL dari matrik eselon (b). Tentukan solusi SPL dengan cara eliminasi berulang dari xn ke x1
CONTOH : TIDAK KONSISTEN Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : Operasi elementer baris Reduksi x1 1053 832 522 221 321 321    xxx xxx xxx               10531 8132 5221 ],[ BA ` 5310 2310 5221              H2  H2 – 2H1 H3  H3 – 1 H1 Reduksi x2 Jadi, Analisis (1). Jumlah baris tak nol A = 2, sehingga r(A) = 2 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga, r(A,B)=3 (3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL tidak konsisten, atau SPL tidak ada solusi ` 3000 2310 5221             H3  H3+H2 ` 3000 2310 5221 ],[             BAE
CONTOH : SOLUSI PARAMETER Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : 142486 7243 24274 26242 4321 4321 4321 4321     xxxx xxxx xxxx xxxx                  142486 71243 24274 26242 ],[ BA Reduksi x1 1 2 -1 3 -1 H1=(1/a11)H1 0 -1 2 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H1 0 -4 10 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1 Reduksi x2 1 2 -1 3 -1 0 1 -2 8 -6 H2=(1/a22)H2 0 0 1 6 -2 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2 Reduksi x3 1 2 -1 3 -1 0 1 -2 8 -6 0 0 1 6 -2 H3=(1/a33)H3 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3
SOLUSI : SPL Parameter              00000 2-6100 6-82-10 1-31-21 ),( BAE Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=3, sehingga r(A)=3 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga r(A,B)=3 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4 = 4 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka SPL konsisten dan solusi memuat (n- r=1) parameter 26 682 132 43 432 4321    xx xxx xxxx Solusi : x4 = t, t parameter x3 = –2 – 6x4 = –2 – 6t x2 = –6 + 2x3 – 8x4 = –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t = – 10 – 20t x1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4 =1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t = 19 + 31t SPL dari matrik eselon
CONTOH : SOLUSI PARAMETER Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : 1 2 3 4 2 x1 0 2 5 4 6 5 x2 0 3 5 6 7 6 x3 0 1 2 4 7 9 x4 0 2 3 8 10 3 x5 0                  0310832 017421 087673 056452 024321 ],[ BA Reduksi x1 1 2 3 4 2 0 H1=(1/a11)H1 0 1 -2 -2 1 0 H2=H2-(a21/a11)H1 0 1 -3 -5 2 0 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -1 2 2 -1 0 H5=H5-(a51/a11)H1 Reduksi x2 1 2 3 4 2 0 0 1 -2 -2 1 0 H2=(1/a22)H2 0 0 -1 -3 1 0 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 0 0 0 0 H5=H5-(a52/a22)H2 Reduksi x3 1 2 3 4 2 0 0 1 -2 -2 1 0 0 0 1 3 -1 0 H3=(1/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3
Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=3, sehingga r(A)=3 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga r(A,B)=3 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka SPL konsisten dan solusi memuat (n- r=2) parameter                  000000 000000 01-3100 012-2-10 024321 ),( BAE SOLUSI : SPL Parameter Solusi : x5 = s, s parameter x4 = t, t parameter x3 = –3x4 + x5 = –3t + s x2 = 2x3 + 2x4 – x5 = 2(–3t + s) + 2t – s = – 4t + s x1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5 = –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s = 13t – 7s 03 022 02432 543 5432 54321    xxx xxxx xxxxx SPL dari matrik eselon
CONTOH : SOLUSI TUNGGAL Carilah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL adalah : 1342 72243 28274 46242 4321 4321 4321 4321     xxxx xxxx xxxx xxxx                134211 72243 24274 46242 ],[ BA Reduksi x1 1 2 -1 4 2 H1=(1/a11)H1 0 -1 2 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -2 5 -10 1 H3=H3-(a31/a11)H1 0 -1 3 0 11 H4=H4-(a41/a11)H1 Reduksi x2 1 2 -1 4 2 0 1 -2 8 6 H2=(1/a22)H2 0 0 1 6 13 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 1 8 17 H4=H4-(a42/a22)H2 Reduksi x3 1 2 -1 4 2 0 1 -2 8 6 0 0 1 6 13 H3=(1/a33)H3 0 0 0 2 4 H4=H4-(a43/a33)H3
Reduksi x4 1 2 -1 4 2 0 1 -2 8 6 0 0 1 6 13 0 0 0 1 2 H4=(1/a44)H4 Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=4, sehingga r(A)=4 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=4, sehingga r(A,B)=4 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4 = 4 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka SPL konsisten dan solusi tunggal SPL dari matrik eselon 2 136 682 242 4 43 432 4321     x xx xxx xxxx Solusi : x4 = 2 x3 = 13 – 6(2) = 1 x2 = 6 + 2x3 – 8x4 = 6 + 2(1) – 8(2) = – 8 x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4 = 2 – 2(–8) + 1 – 4(2) = 11
TUGAS : SPL Tentukan solusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:                                                           a ba ba ba ba x x x x x baabb abbaa abbaa baabb baabb 2 2 2 32223 2311 112 211 1112 5 4 3 2 1                                                           10 )(5 105 510 )(10 33121 311 121 111 121 5 4 3 2 1 ba ba ba ba x x x x x bbbab bbbaa bbbaa aaabb aaabb
METODE CRAMMER Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,                                                  nnnnnnn n n n b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa ...... ... ............... ... ... ... 3 2 1 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 n...,3,2,1,i; ;;; 3 3 2 2 1 1   D D x D D x D D x D D x i i dimana Di = det(Ai) determinan matrik berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B nnnnn i n n n i abaa b abaa abaa abaa A ...... ............... ...... ...... ...... )det( 21 333231 222221 111211  Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu
CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer : Jawab : Bentuk matrik SPL, AX=B adalah : Karena, 12364 12253 16342 321 321 321    xxx xxx xxx                                12 12 16 x x x 364 253 342 3 2 1 4 364 253 342 )det(  AD 2 4 8 x 7 4 28 x 9 4 36 x Jadi, 8 1264 1253 1642 )det( 28 3124 2123 3162 )det( 36 3612 2512 3416 )det( 3 3 2 2 1 1 33 22 11               D D D D D D AD AD AD
CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer : Jawab : Mengingat,                                      20 16 10 12 x x x x 2664 5653 3442 4532 4 3 2 1 5.8-x68- 26624 56512 34410 45316 8 2664 5653 3442 4532 11   D D -7x56- 24664 12654 10442 16532 5.12x100 22464 51254 31042 41632 -0.5x4- 26244 56123 34102 45162 44 33 22    D D D
METODE INVERS Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,                                      n 2 1 n 2 1 nnn2n1 ij 2n2221 1n1211 b ... b b x ... x x a...aa ...a...... a...aa a...aa Andaikan, A–1 maka SPL, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu : X = A–1B CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode inveres : Jawab : Karena, Maka solusi SPL adalah :                                12 12 16 x x x 364 253 342 3 2 1            0.51.0-0.50 1.25-1.50.25 1.751.5-0.75- A 1-                                            2 7 9- 12 12 16 0.51.0-0.50 1.25-1.50.25 1.751.5-0.75- x x x BAX 3 2 1 1-
CONTOH : Carilah solusi SPL berikut : CONTOH : Carilah solusi SPL berikut :                                      24 12 10 16 x x x x 2664 5653 3442 4532 4 3 2 1                                                    7- 12.5 0.5 8.5- 24 12 10 16 0.251.00.5-0.5- 0.125-1.5-0.751.25 0.125-0.5-1.250.25- 0.3752.52.75-1.25- x x x x BAX 4 3 2 1 1-                                                  5 7 9 6 4 x x x x x 78333 89875 56764 54543 32432 5 4 3 2 1                                                                   7- 3 12 25- 23 5 7 9 6 4 12-21-1- 1-11-22- 3-43-57- 58-65-8 2-65-3-2 x x x x x 5 4 3 2 1
SPL : METODE DEKOMPOSISI Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,                                      n 2 1 n 2 1 nnn2n1 ij 2n2221 1n1211 b ... b b x ... x x a...aa ...a...... a...aa a...aa Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi : LUX = B atau, L Y= B UX = Y Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah : (1). Tentukan dekomposisi matrik A, menjadi A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky). (2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan : LY=B, dengan eliminasi maju (y1, y2, y3, …,yn) (3). Tentukanlah nilai X yang merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan UX=Y dengan eliminasi mundur (xn, xn-1, …,x2,x1).
CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi : Jawab : Mengingat, dekomposisi A dengan metode Crout adalah :                                12 12 16 x x x 364 253 342 3 2 1                       100 5.210 5.121 22-4 01-3 002 LUA Menghitung Y dari LY = B Dari SPL diperoleh : 2y1 = 16  y1=8 3y1 – y2 = 12  y2=12 4y1 – 2y2 + 2y2 = 12  y3 = 2                                12 12 16 y y y 22-4 01-3 002 3 2 1 Menghitung X dari UX = Y Dari SPL diperoleh : x3 = 2  x3=2 x2 + 2.5x3 = 12 x2=7 x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–9                                2 12 8 x x x 100 5.210 5.121 3 2 1
CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi : Menghitung Y, LY=B Dari SPL diperoleh 2y1 = 16 y1=8 2y1 + y2=10  y2=–6 3y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=9 4y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24  y4= –7                                      24 12 10 16 x x x x 2664 5653 3442 4532 4 3 2 1                          1000 0.5100 1-1-10 22.51.51 4-4-04 01-0.53 0012 0002 A Jawab : Mengingat, dekomposisi A Menghitung X, dari UX=Y Dari SPL diperoleh : x4 = –7 x3 + 0.5 x4 =9  x3=12.5 x2 – x3 – x4 = –6  x2 = –0.5 x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8  x1= –8.5                                      24 12 10 16 y y y y 4-4-04 01-5.03 0012 0002 4 3 2 1                                      7- 9 6- 8 x x x x 1000 5.0100 1-1-10 25.25.11 4 3 2 1
SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMA THOMAS SPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk,                                                         n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 nn 1n1n 33 222 11 c c ... c c c x x ... x x x fe...000 gf...000 .................. 00...fe0 00...gfe 00...0gf SPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,                                                                           n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 n 1n1n 3 22 11 n 3 2 c c ... c c c x x ... x x x f0...000 gf...000 .................. 00...f00 00...gf0 00...0gf 1e...000 01...000 .................. 00...1e0 00...01e 00...001
                                                        n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 n 1n1n 3 22 11 y y ... y y y x x ... x x x f0...000 gf...000 .................. 00...f00 00...gf0 00...0gf LANGKAH-LANGKAH SOLUSI (1). Hitung Y dari LY=C, yaitu : (2). Hitung X dari UX=Y, dari :                                                         n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 n 3 2 c c ... c c c y y ... y y y 1e...000 01...000 .................. 00...1e0 00...01e 00...001 ALGORITMA THOMAS : (1). Dekompoisisi DO k=2, n ek=ek/fk–1 fk= fk – ek.gk–1 END DO (2). Forward Substitusi DO k=2,n ck=ck – ek.ck–1 END DO (3). Back Substitusi xn=cn/fn DO k=n–1,1, –1 xk=(ck– uk,xk+1)/fk END DO
CONTOH : Perhatikanlah rangkaian listrik seperti gambar Pada kondisi, R1=10, R2=25, R3=50, R4=40, R5=25, E1=12 V, E2=24V dan, E3=60V, hitunglah arus listrik dalam tahanan.                                                    5 2 1 5 4 3 2 1 54 432 21 E 0 E 0 E i i i i i RR000 11100 0RRR0 00111 000RR                                                    60 0 24 0 12 i i i i i 2540000 11100 04050250 00111 0002510 5 4 3 2 1 Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut : R1 R2 R3 V1 V3V2 R5 R4 R2 R3 E1 E2 E3 – +
Forwart Subsitusi                                                     60 0 24 0 12 y y y y y 1529.23000 01018.000 001143.70 00011.0 00001 CLY 5 4 3 2 1                                    647.53 270.0 429.15 2.1 12 y y y y y 5 4 3 2 1 Back Subsitusi                                                      647.53 270.0 429.15 2.1 12 i i i i i 529.480000 17.1000 040143.5700 0015.30 0002510 5 4 3 2 1                                  106.1 809.0 297.0 258.0 555.0 i i i i i 5 4 3 2 1
                                                          10 )(5 105 510 )(10 13112 31123 11234 4321 32112 5 4 3 2 1 ba ba ba ba x x x x x aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa SOAL-SOAL LATIHAN Carilah solusi SPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dan dekompoisisi Soal 1 Soal 2 24)5()1()2( )1(16)2()1(2)(a)4( 32)2()1()2( )2(8)1()1()2( 4321 4321 4321 4321     xbxbaxxa bxbxbxxa xbxbxaax axbxbaxxa
SOAL-SOAL LATIHAN 1.Perhatikan statika struktur berikut Diketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N, a). Susunlah sistem persamaan linier dengan variabel yang tidak diketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2 b).Selesaikanlah SPL pada (a) dengan metode eliminasi Gouss Joudan dan dekomposisi 3aO 6bO 45O 45O 45O P P1 P2F1 F2 F3 R1 R2 R6 R5R2 R4 R3R1 2. Perhatikan rangkaian berikut ini : V5 V6 a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5 dan i6. b). Pada kondisi R1=1a, R2=10 ,R3=2b , R4=20 , R5=3a  R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.
R1 R2 R3 R3 R6 R4 R5 3. Perhatikan rangkaian berikut ini R5 R6 R7 V6 V7 a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6 dan i7. b). Pada kondisi R1=4a, R2=10 ,R3=2b , R4=30, R5=3a  R6=40, R6=20, V6=10 volt, dan V6=2b0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan. 4. Untuk membuat satu bangunan, seorang tukang batu membutuhkan bahan pasir, kerikil halus, dan kerikil kasar masing-masing sebanyak 4800, 5810, dan 5690 meter kubik. Terdapat empat sumber yang dapat digunakan, dan komposisinya sebagai berikut Pasir Kerikil hls Kerikil ksr % % % ------------------------------------------- Sb1 52 30 18 Sb2 20 50 30 Sb3 25 20 55 ------------------------------------------ Berapa meter kubik harus diangkut dari tiap sumber agar kebutuhan terpenuhi.

More Related Content

PPS
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
PDF
Modul persamaan diferensial 1
byMaya Umami
 
PPT
03 limit dan kekontinuan
byRudi Wicaksana
 
PPT
Metode numerik persamaan non linier
byIzhan Nassuha
 
PPS
Barisan dan Deret ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
PPS
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
PPS
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
DOCX
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
byAna Sugiyarti
 
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
Modul persamaan diferensial 1
byMaya Umami
 
03 limit dan kekontinuan
byRudi Wicaksana
 
Metode numerik persamaan non linier
byIzhan Nassuha
 
Barisan dan Deret ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
byAna Sugiyarti
 

What's hot

PPT
Bilangan kompleks
byPT.surga firdaus
 
PPTX
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
bySenat Mahasiswa STIS
 
PPTX
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
PDF
deret kuasa
byRuth Dian
 
PPTX
Penerapan Integral Tentu
byRizky Wulansari
 
DOCX
Metode simpleks dua fase
byspecy1234
 
PDF
Geometri analitik ruang
byEdhy Suadnyanayasa
 
DOCX
Persamaan differensial part 1
byJamil Sirman
 
DOCX
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
byDyas Arientiyya
 
PDF
Aplikasi integral
byDw Alonlyman
 
DOCX
Metode interpolasi linier
byokti agung
 
PPS
Persamaan Diferensial Biasa ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
DOCX
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
byArvina Frida Karela
 
PPTX
Materi Turunan
bySridayani
 
PDF
Relasi rekursi (2) : Menentukan solusi relasi Rekursi Linier Homogen Berkoefi...
byOnggo Wiryawan
 
PPTX
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear Elementer
byKelinci Coklat
 
PPTX
Sistem Homogen dan Invers-Matrik - Pertemuan 5.
byahmad haidaroh
 
PPS
Bab 1. Sistem Bilangan Real
byKelinci Coklat
 
PPTX
Metode numerik pada persamaan diferensial (new)
byKhubab Basari
 
PPT
Bilangan kompleks lengkap
byagus_budiarto
 
Bilangan kompleks
byPT.surga firdaus
 
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
bySenat Mahasiswa STIS
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
deret kuasa
byRuth Dian
 
Penerapan Integral Tentu
byRizky Wulansari
 
Metode simpleks dua fase
byspecy1234
 
Geometri analitik ruang
byEdhy Suadnyanayasa
 
Persamaan differensial part 1
byJamil Sirman
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
byDyas Arientiyya
 
Aplikasi integral
byDw Alonlyman
 
Metode interpolasi linier
byokti agung
 
Persamaan Diferensial Biasa ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
byArvina Frida Karela
 
Materi Turunan
bySridayani
 
Relasi rekursi (2) : Menentukan solusi relasi Rekursi Linier Homogen Berkoefi...
byOnggo Wiryawan
 
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear Elementer
byKelinci Coklat
 
Sistem Homogen dan Invers-Matrik - Pertemuan 5.
byahmad haidaroh
 
Bab 1. Sistem Bilangan Real
byKelinci Coklat
 
Metode numerik pada persamaan diferensial (new)
byKhubab Basari
 
Bilangan kompleks lengkap
byagus_budiarto
 

More from Rizky Wulansari

PDF
20122 31-icl240-b-k-3
byRizky Wulansari
 
PDF
Basis dan Dimensi
byRizky Wulansari
 
PDF
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
byRizky Wulansari
 
PDF
Transformasi Laplace
byRizky Wulansari
 
PDF
MATRIK DAN DETERMINAN
byRizky Wulansari
 
PPT
Tahap pemrograman
byRizky Wulansari
 
PPT
Bilangan Positif & Negatif
byRizky Wulansari
 
PPT
Floating Point
byRizky Wulansari
 
PPTX
matrik dan determinan
byRizky Wulansari
 
20122 31-icl240-b-k-3
byRizky Wulansari
 
Basis dan Dimensi
byRizky Wulansari
 
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
byRizky Wulansari
 
Transformasi Laplace
byRizky Wulansari
 
MATRIK DAN DETERMINAN
byRizky Wulansari
 
Tahap pemrograman
byRizky Wulansari
 
Bilangan Positif & Negatif
byRizky Wulansari
 
Floating Point
byRizky Wulansari
 
matrik dan determinan
byRizky Wulansari
 

Sistem Persamaan Linear

  • 1.
    MODUL VI SISTEM PERSAMAANLINIER (SPL) PRAYUDI
  • 2.
    PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaanlinier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3…., xn yang dinyatakan dalam bentuk : dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis. Contoh Persamaan linier : (1). 2x1 + 4x2 = 10 (2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 5 12211 ... bxaxaxa nn  Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk : dimana x1, x2, …, xn disebut variabel yang tidak diketahui, aij konstanta koefisien sistem persamaan linier dan bj konstanta yang diketahui mnmnmm nn nn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa      ... .................................................. ... ... ... ... 2211 44242141 33232131 22222121 11212111
  • 3.
    Bentuk Matrik SPL Dalambentuk matrik SPL dituliskan menjadi, AX=B atau, SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi : (a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0 (b). SPL non homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak nol                                                  n 3 2 1 n 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 b ... b b b x ... x x x ... ............... ... ... ... mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 633 532 2232 4432 421 431 432 321     xxx xxx xxx xxx CONTOH : SPL non homogen Bentuk matrik SPL                                        6 5 2 4 3013 3201 2320 0432 4 3 2 1 x x x x
  • 4.
    KONSISTENSI SPL Perhatikanlah contohberikut Kasus 1. SPL berbentuk x + 2y = 10 x – y = 4 Dalam bentuk grafik solusinya adalah x+2y = 10 x – y = 4 (6,2) SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2 Kausus 2. SPL berbentuk : x + 2y = 4 2x+ 4y = 8 x+2y = 4 ; x = 4 – 2y 2x + 4y = 8 SPL konsisten, solusi memuat parameter, yaitu y=t dan x=4 – 2t Kasus 3. SPL benbentuk : x + 2y = 4 x + 2y = 8 Dalam grafik adalah : x+2y = 8 x+2y = 4 SPL tidak konsisten, tidak ada solusi
  • 5.
    BAGAN KONSISTENSI SPL SISTEMPERSAMAAN LINIER AX=B SPL HOMOGEN AX = 0 SPL NON HOMOGEN AX = B SPL HOMOGEN KONSISTEN SPL NH TIDAK KONSISTEN SPL NH KONSISTEN TRIVIAL r(A)=r(A,0)=n xi=0 NON TRIVIAL r(A)=r(A,B)=r<n xi0 SOLUSI TUNGGAL r(A)=r(A,B)=n SOLUSI ADA PARAMETER r(A)=r(A,B)=r<n
  • 6.
    Metode Solusi SPL Metode Eliminasi Gouss  Metode Eliminasi Gouss Jourdan  Metode Crammer  Metode Invers Matrik  Metode Dekomposisi Matrik  Metode Gouss Seidel  Metode Jacobi  Metode Numerik  Solusi dengan program komputer
  • 7.
    METODE ELIMINASI GOUSS OPERASIELEMENTER BARIS : (1). Hi  k Hi : Kalikan sembarang baris ke-I dengan konstanta tak nol k (2). Hi  Hj Tukarkanlah semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j (3). Hi  Hi + kHj Kalikanlah baris ke-j dengan konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I RANK MATRIK Rank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi. MATRIK ESELON BARIS Matrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : (1). Jika suatu baris yang elemenya tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot (2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik (3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi. (4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah
  • 8.
    CONTOH : Tentukaanmatrik eselon matrik berikut ini Iterasi-1 1 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H1 0 -1 -2 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -1 -3 -5 -7 -14 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 1 3 4 7 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -1 0 4 5 7 H5=H5-(a51/a11)H1 Matrik Asal 1 2 3 4 5 8 2 3 4 6 7 9 3 5 6 7 8 10 1 2 4 7 9 15 2 3 6 12 15 23 Iterasi-2 1 2 3 4 5 8 0 1 2 2 3 7 H2=(1/a22)H2 0 0 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 1 3 4 7 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 2 6 8 14 H5=H5-(a52/a22)H2 Iterasi-3 1 2 3 4 5 8 0 1 2 2 3 7 0 0 1 3 4 7 H3=(1/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3 Dari matrik eselon diperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol matrik eselon = 3 (2). Rank matrik A, r(A)=3
  • 9.
    METODE ELIMINASI GOUSS Andaikandiberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu : AX = B Langkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb : (1). Bentuk matrik lengkap [A,B] (2). Reduksilah matrik lengkap [AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris (3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya. (4). Konsistensi SPL (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL konsisten solusi tunggal (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPL konsisten solusi memuat parameter (c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi (5). Solusi SPL (a). Jika SPL konsisten, susunan SPL dari matrik eselon (b). Tentukan solusi SPL dengan cara eliminasi berulang dari xn ke x1
  • 10.
    CONTOH : TIDAKKONSISTEN Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : Operasi elementer baris Reduksi x1 1053 832 522 221 321 321    xxx xxx xxx               10531 8132 5221 ],[ BA ` 5310 2310 5221              H2  H2 – 2H1 H3  H3 – 1 H1 Reduksi x2 Jadi, Analisis (1). Jumlah baris tak nol A = 2, sehingga r(A) = 2 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga, r(A,B)=3 (3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL tidak konsisten, atau SPL tidak ada solusi ` 3000 2310 5221             H3  H3+H2 ` 3000 2310 5221 ],[             BAE
  • 11.
    CONTOH : SOLUSIPARAMETER Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : 142486 7243 24274 26242 4321 4321 4321 4321     xxxx xxxx xxxx xxxx                  142486 71243 24274 26242 ],[ BA Reduksi x1 1 2 -1 3 -1 H1=(1/a11)H1 0 -1 2 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H1 0 -4 10 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1 Reduksi x2 1 2 -1 3 -1 0 1 -2 8 -6 H2=(1/a22)H2 0 0 1 6 -2 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2 Reduksi x3 1 2 -1 3 -1 0 1 -2 8 -6 0 0 1 6 -2 H3=(1/a33)H3 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3
  • 12.
    SOLUSI : SPLParameter              00000 2-6100 6-82-10 1-31-21 ),( BAE Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=3, sehingga r(A)=3 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga r(A,B)=3 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4 = 4 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka SPL konsisten dan solusi memuat (n- r=1) parameter 26 682 132 43 432 4321    xx xxx xxxx Solusi : x4 = t, t parameter x3 = –2 – 6x4 = –2 – 6t x2 = –6 + 2x3 – 8x4 = –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t = – 10 – 20t x1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4 =1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t = 19 + 31t SPL dari matrik eselon
  • 13.
    CONTOH : SOLUSIPARAMETER Tentukanlah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL : 1 2 3 4 2 x1 0 2 5 4 6 5 x2 0 3 5 6 7 6 x3 0 1 2 4 7 9 x4 0 2 3 8 10 3 x5 0                  0310832 017421 087673 056452 024321 ],[ BA Reduksi x1 1 2 3 4 2 0 H1=(1/a11)H1 0 1 -2 -2 1 0 H2=H2-(a21/a11)H1 0 1 -3 -5 2 0 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -1 2 2 -1 0 H5=H5-(a51/a11)H1 Reduksi x2 1 2 3 4 2 0 0 1 -2 -2 1 0 H2=(1/a22)H2 0 0 -1 -3 1 0 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 0 0 0 0 H5=H5-(a52/a22)H2 Reduksi x3 1 2 3 4 2 0 0 1 -2 -2 1 0 0 0 1 3 -1 0 H3=(1/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3
  • 14.
    Dari matrik eselondperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=3, sehingga r(A)=3 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga r(A,B)=3 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka SPL konsisten dan solusi memuat (n- r=2) parameter                  000000 000000 01-3100 012-2-10 024321 ),( BAE SOLUSI : SPL Parameter Solusi : x5 = s, s parameter x4 = t, t parameter x3 = –3x4 + x5 = –3t + s x2 = 2x3 + 2x4 – x5 = 2(–3t + s) + 2t – s = – 4t + s x1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5 = –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s = 13t – 7s 03 022 02432 543 5432 54321    xxx xxxx xxxxx SPL dari matrik eselon
  • 15.
    CONTOH : SOLUSITUNGGAL Carilah solusi SPL jika ada Jawab Matrik lengkap SPL adalah : 1342 72243 28274 46242 4321 4321 4321 4321     xxxx xxxx xxxx xxxx                134211 72243 24274 46242 ],[ BA Reduksi x1 1 2 -1 4 2 H1=(1/a11)H1 0 -1 2 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -2 5 -10 1 H3=H3-(a31/a11)H1 0 -1 3 0 11 H4=H4-(a41/a11)H1 Reduksi x2 1 2 -1 4 2 0 1 -2 8 6 H2=(1/a22)H2 0 0 1 6 13 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 1 8 17 H4=H4-(a42/a22)H2 Reduksi x3 1 2 -1 4 2 0 1 -2 8 6 0 0 1 6 13 H3=(1/a33)H3 0 0 0 2 4 H4=H4-(a43/a33)H3
  • 16.
    Reduksi x4 1 2-1 4 2 0 1 -2 8 6 0 0 1 6 13 0 0 0 1 2 H4=(1/a44)H4 Dari matrik eselon dperoleh hasil : (1). Jumlah baris tak nol A=4, sehingga r(A)=4 (2). Jumlah baris tak nol [A,B]=4, sehingga r(A,B)=4 (3). Jumlah variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3,x4 = 4 (4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka SPL konsisten dan solusi tunggal SPL dari matrik eselon 2 136 682 242 4 43 432 4321     x xx xxx xxxx Solusi : x4 = 2 x3 = 13 – 6(2) = 1 x2 = 6 + 2x3 – 8x4 = 6 + 2(1) – 8(2) = – 8 x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4 = 2 – 2(–8) + 1 – 4(2) = 11
  • 17.
    TUGAS : SPL Tentukansolusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:                                                           a ba ba ba ba x x x x x baabb abbaa abbaa baabb baabb 2 2 2 32223 2311 112 211 1112 5 4 3 2 1                                                           10 )(5 105 510 )(10 33121 311 121 111 121 5 4 3 2 1 ba ba ba ba x x x x x bbbab bbbaa bbbaa aaabb aaabb
  • 18.
    METODE CRAMMER Andaikan, AX=Badalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,                                                  nnnnnnn n n n b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa ...... ... ............... ... ... ... 3 2 1 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 n...,3,2,1,i; ;;; 3 3 2 2 1 1   D D x D D x D D x D D x i i dimana Di = det(Ai) determinan matrik berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B nnnnn i n n n i abaa b abaa abaa abaa A ...... ............... ...... ...... ...... )det( 21 333231 222221 111211  Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu
  • 19.
    CONTOH : Carilah solusiSPL berikut dengan metode Crammer : Jawab : Bentuk matrik SPL, AX=B adalah : Karena, 12364 12253 16342 321 321 321    xxx xxx xxx                                12 12 16 x x x 364 253 342 3 2 1 4 364 253 342 )det(  AD 2 4 8 x 7 4 28 x 9 4 36 x Jadi, 8 1264 1253 1642 )det( 28 3124 2123 3162 )det( 36 3612 2512 3416 )det( 3 3 2 2 1 1 33 22 11               D D D D D D AD AD AD
  • 20.
    CONTOH : Carilah solusiSPL berikut dengan metode Crammer : Jawab : Mengingat,                                      20 16 10 12 x x x x 2664 5653 3442 4532 4 3 2 1 5.8-x68- 26624 56512 34410 45316 8 2664 5653 3442 4532 11   D D -7x56- 24664 12654 10442 16532 5.12x100 22464 51254 31042 41632 -0.5x4- 26244 56123 34102 45162 44 33 22    D D D
  • 21.
    METODE INVERS Andaikan, AX=Badalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,                                      n 2 1 n 2 1 nnn2n1 ij 2n2221 1n1211 b ... b b x ... x x a...aa ...a...... a...aa a...aa Andaikan, A–1 maka SPL, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu : X = A–1B CONTOH : Carilah solusi SPL berikut dengan metode inveres : Jawab : Karena, Maka solusi SPL adalah :                                12 12 16 x x x 364 253 342 3 2 1            0.51.0-0.50 1.25-1.50.25 1.751.5-0.75- A 1-                                            2 7 9- 12 12 16 0.51.0-0.50 1.25-1.50.25 1.751.5-0.75- x x x BAX 3 2 1 1-
  • 22.
    CONTOH : Carilah solusiSPL berikut : CONTOH : Carilah solusi SPL berikut :                                      24 12 10 16 x x x x 2664 5653 3442 4532 4 3 2 1                                                    7- 12.5 0.5 8.5- 24 12 10 16 0.251.00.5-0.5- 0.125-1.5-0.751.25 0.125-0.5-1.250.25- 0.3752.52.75-1.25- x x x x BAX 4 3 2 1 1-                                                  5 7 9 6 4 x x x x x 78333 89875 56764 54543 32432 5 4 3 2 1                                                                   7- 3 12 25- 23 5 7 9 6 4 12-21-1- 1-11-22- 3-43-57- 58-65-8 2-65-3-2 x x x x x 5 4 3 2 1
  • 23.
    SPL : METODEDEKOMPOSISI Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,                                      n 2 1 n 2 1 nnn2n1 ij 2n2221 1n1211 b ... b b x ... x x a...aa ...a...... a...aa a...aa Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi : LUX = B atau, L Y= B UX = Y Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah : (1). Tentukan dekomposisi matrik A, menjadi A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky). (2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan : LY=B, dengan eliminasi maju (y1, y2, y3, …,yn) (3). Tentukanlah nilai X yang merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan UX=Y dengan eliminasi mundur (xn, xn-1, …,x2,x1).
  • 24.
    CONTOH : Carilah solusiSPL berikut dengan metode Dekomposisi : Jawab : Mengingat, dekomposisi A dengan metode Crout adalah :                                12 12 16 x x x 364 253 342 3 2 1                       100 5.210 5.121 22-4 01-3 002 LUA Menghitung Y dari LY = B Dari SPL diperoleh : 2y1 = 16  y1=8 3y1 – y2 = 12  y2=12 4y1 – 2y2 + 2y2 = 12  y3 = 2                                12 12 16 y y y 22-4 01-3 002 3 2 1 Menghitung X dari UX = Y Dari SPL diperoleh : x3 = 2  x3=2 x2 + 2.5x3 = 12 x2=7 x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–9                                2 12 8 x x x 100 5.210 5.121 3 2 1
  • 25.
    CONTOH : Carilah solusiSPL berikut dengan metode Dekomposisi : Menghitung Y, LY=B Dari SPL diperoleh 2y1 = 16 y1=8 2y1 + y2=10  y2=–6 3y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=9 4y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24  y4= –7                                      24 12 10 16 x x x x 2664 5653 3442 4532 4 3 2 1                          1000 0.5100 1-1-10 22.51.51 4-4-04 01-0.53 0012 0002 A Jawab : Mengingat, dekomposisi A Menghitung X, dari UX=Y Dari SPL diperoleh : x4 = –7 x3 + 0.5 x4 =9  x3=12.5 x2 – x3 – x4 = –6  x2 = –0.5 x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8  x1= –8.5                                      24 12 10 16 y y y y 4-4-04 01-5.03 0012 0002 4 3 2 1                                      7- 9 6- 8 x x x x 1000 5.0100 1-1-10 25.25.11 4 3 2 1
  • 26.
    SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMATHOMAS SPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk,                                                         n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 nn 1n1n 33 222 11 c c ... c c c x x ... x x x fe...000 gf...000 .................. 00...fe0 00...gfe 00...0gf SPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,                                                                           n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 n 1n1n 3 22 11 n 3 2 c c ... c c c x x ... x x x f0...000 gf...000 .................. 00...f00 00...gf0 00...0gf 1e...000 01...000 .................. 00...1e0 00...01e 00...001
  • 27.
                                                            n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 n 1n1n 3 22 11 y y ... y y y x x ... x x x f0...000 gf...000 .................. 00...f00 00...gf0 00...0gf LANGKAH-LANGKAH SOLUSI (1). HitungY dari LY=C, yaitu : (2). Hitung X dari UX=Y, dari :                                                         n 1n 3 2 1 n 1n 3 2 1 n 3 2 c c ... c c c y y ... y y y 1e...000 01...000 .................. 00...1e0 00...01e 00...001 ALGORITMA THOMAS : (1). Dekompoisisi DO k=2, n ek=ek/fk–1 fk= fk – ek.gk–1 END DO (2). Forward Substitusi DO k=2,n ck=ck – ek.ck–1 END DO (3). Back Substitusi xn=cn/fn DO k=n–1,1, –1 xk=(ck– uk,xk+1)/fk END DO
  • 28.
    CONTOH : Perhatikanlahrangkaian listrik seperti gambar Pada kondisi, R1=10, R2=25, R3=50, R4=40, R5=25, E1=12 V, E2=24V dan, E3=60V, hitunglah arus listrik dalam tahanan.                                                    5 2 1 5 4 3 2 1 54 432 21 E 0 E 0 E i i i i i RR000 11100 0RRR0 00111 000RR                                                    60 0 24 0 12 i i i i i 2540000 11100 04050250 00111 0002510 5 4 3 2 1 Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut : R1 R2 R3 V1 V3V2 R5 R4 R2 R3 E1 E2 E3 – +
  • 29.
    Forwart Subsitusi                                                     60 0 24 0 12 y y y y y 1529.23000 01018.000 001143.70 00011.0 00001 CLY 5 4 3 2 1                                    647.53 270.0 429.15 2.1 12 y y y y y 5 4 3 2 1 Back Subsitusi                                                      647.53 270.0 429.15 2.1 12 i i i i i 529.480000 17.1000 040143.5700 0015.30 0002510 5 4 3 2 1                                  106.1 809.0 297.0 258.0 555.0 i i i i i 5 4 3 2 1
  • 30.
                                                              10 )(5 105 510 )(10 13112 31123 11234 4321 32112 5 4 3 2 1 ba ba ba ba x x x x x aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa SOAL-SOAL LATIHAN Carilah solusiSPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dan dekompoisisi Soal 1 Soal 2 24)5()1()2( )1(16)2()1(2)(a)4( 32)2()1()2( )2(8)1()1()2( 4321 4321 4321 4321     xbxbaxxa bxbxbxxa xbxbxaax axbxbaxxa
  • 31.
    SOAL-SOAL LATIHAN 1.Perhatikan statikastruktur berikut Diketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N, a). Susunlah sistem persamaan linier dengan variabel yang tidak diketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2 b).Selesaikanlah SPL pada (a) dengan metode eliminasi Gouss Joudan dan dekomposisi 3aO 6bO 45O 45O 45O P P1 P2F1 F2 F3 R1 R2 R6 R5R2 R4 R3R1 2. Perhatikan rangkaian berikut ini : V5 V6 a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5 dan i6. b). Pada kondisi R1=1a, R2=10 ,R3=2b , R4=20 , R5=3a  R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.
  • 32.
    R1 R2 R3 R3 R6 R4 R5 3. Perhatikanrangkaian berikut ini R5 R6 R7 V6 V7 a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6 dan i7. b). Pada kondisi R1=4a, R2=10 ,R3=2b , R4=30, R5=3a  R6=40, R6=20, V6=10 volt, dan V6=2b0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan. 4. Untuk membuat satu bangunan, seorang tukang batu membutuhkan bahan pasir, kerikil halus, dan kerikil kasar masing-masing sebanyak 4800, 5810, dan 5690 meter kubik. Terdapat empat sumber yang dapat digunakan, dan komposisinya sebagai berikut Pasir Kerikil hls Kerikil ksr % % % ------------------------------------------- Sb1 52 30 18 Sb2 20 50 30 Sb3 25 20 55 ------------------------------------------ Berapa meter kubik harus diangkut dari tiap sumber agar kebutuhan terpenuhi.