TT
Uploaded byTaufiq Topik
PPTX, PDF361 views

Sistem persamaan-linier

Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks dan diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss untuk memperoleh solusi."

Embed presentation

Downloaded 57 times
Sistem Persamaan Linier Penulisan Dalam Bentuk Matriks Eliminasi Gauss
Sistem Persamaan Linier Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum: mnmnm nn nn bxaxa bxaxa bxaxa       11 22121 11111 ........... Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
Sistem Persamaan Linier Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah: a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
Sistem Persamaan Linier Operasi Baris mnmnm nn nn bxaxa bxaxa bxaxa       11 22121 11111 ........... Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut: a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan. b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
Penulisan Dalam Bentuk Matriks
Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah                                      mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa      2 1 2 1 21 22221 11211 Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks atau secara singkat bAx                                         mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa      2 1 2 1 21 22221 11211 ;; bxA dengan
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi              mmnmm n n baaa baaa baaa | | | | ~ 21 222221 111211     A Sistem Persamaan Linier Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama. b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Sistem Persamaan Linier Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Eliminasi Gauss
Sistem Persamaan Linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Suatu sistem persamaan linier: Contoh: 0234 8253 024 8     DCBA DCBA CBA BA xxxx xxxx xxx xx Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:                                          0 8 0 8 2341 2531 0241 0011 D C B A x x x x
Sistem Persamaan Linier Matriks gandengnya adalah:                 0|2341 8|2531 0|0241 8|0011 Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol. 1)baris( 1)baris( baris1)( pivot 8|2330 0|2520 8|0230 8|0011                    Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah                                          0 8 0 8 2341 2531 0241 0011 D C B A x x x x
Sistem Persamaan Linier Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah 8|2330 0|2520 8|0230 8|0011                 2)(-baris 2)baris2/3( (pivot) 0|2100 3/16|23/4500 8|0230 8|0011                  1)baris( 1)baris( baris1)( pivot 8|2330 0|2520 8|0230 8|0011                   
Sistem Persamaan Linier 2)(-baris 2)baris2/3( (pivot) 0|2100 3/16|23/4500 8|0230 8|0011                  Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat 0|2100 3/16|23/4500 8|0230 8|0011                 0|2100 16|61100 8|0230 8|0011                
Sistem Persamaan Linier 0|2100 16|61100 8|0230 8|0011                 Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah: 3baris11 pivot 16|16000 16|61100 8|0230 8|0011                
Sistem Persamaan Linier Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks: 1616 16611 823 8     D DC CB BA x xx xx xx yang dengan substitusi mundur akan memberikan: 12;4;2;1  ABCD xxxx Hasil terakhir langkah ketiga adalah: 16|16000 16|61100 8|0230 8|0011                Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:                                         16 16 8 8 16000 61100 0230 0011 D C B A x x x x
Sistem Tertentu dan Tidak Tertentu
Sistem Persamaan Linier Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
Sistem Persamaan Linier Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi 823 024 8    CB CBA BA xx xxx xx Matriks gandeng:              8|230 0|241 8|011 Eliminasi Gauss:              8|230 8|230 8|011             0|000 8|230 8|011 Contoh:
Sistem Persamaan Linier Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan : 00 823 8    CB BA xx xx 3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan 3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi Sistem Persamaan Linier 1023 024 8    CB CBA BA xx xxx xx Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan              10|230 0|241 8|011              10|230 8|230 8|011              2|000 8|230 8|011 Contoh:
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah Sistem Persamaan Linier 20 823 8    CB BA xx xx Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk Eselon Sistem Persamaan Linier Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.             000 230 011              2|000 8|230 8|011 dan Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah                           m r rrnrr n n b b bkk bcc baaa |0 | |0 | | |0 | 1 2222 111211      Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk m r rnrnrrr nn nn b b bxkxk bxaxc bxaxaxa       0 0 1 22222 11212111      dengan 0,0,0 2211  rrkaa , dan r  n Sistem Persamaan Linier a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi. b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi. c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi. nr  mr bb  ,,1  nr  mr bb  ,,1  nr  nr  mr bb  ,,1  Perhatikan bentuk ini:
Sistem Persamaan Linier Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada. mr bb  ,,1  Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika .nr  Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini. nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-Vektor
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor Sistem Persamaan Linier Misalkan maaa ,, 21  adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita tinjau suatu persamaan vektor 02211  mmccc aaa  Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1  cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi. Sistem Persamaan Linier Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai 0 1 2 1 2 1  m m c c c c aaa  karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.
Sistem Persamaan Linier Contoh: Dua vektor baris  21321 a  26242 adan Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena     026242132 212211  cccc aa hanya akan terjadi jika 021  cc Ambil vektor ketiga  42643 a Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai    4264213222 13  aa Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai      4264262402132202 213  aaa Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
Rank Matriks
Sistem Persamaan Linier Rank Matriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol. Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi. Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
Sistem Persamaan Linier Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah                16000 61100 0230 0011                16|16000 16|61100 8|0230 8|0011 dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4 Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah Sistem Persamaan Linier Contoh:             000 230 011             0|000 8|230 8|011 dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
Sistem Persamaan Linier Contoh: Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah             000 230 011              2|000 8|230 8|011 dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Sistem Persamaan Linier c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi. a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya; b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
Course Ware Sistem Persamaan Linier Sudaryatno Sudirham

More Related Content

PPT
Slide 1-aljabar-linear
byTaufiq Topik
 
PPTX
3. sistem persamaan linier
byAfista Galih Pradana
 
PDF
Sistem persamaan linier_a
byTriana Yusman
 
DOCX
Eliminasi gauss
byM Randi Rj VoreCastle
 
PPTX
Sistem persamaan-linier
byMubarak Muhammad
 
PDF
Linear Algebra - System of Linear Equation
byDiponegoro University
 
DOCX
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
byKannal Bakti Pakinde
 
PDF
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
byMella Imelda
 
Slide 1-aljabar-linear
byTaufiq Topik
 
3. sistem persamaan linier
byAfista Galih Pradana
 
Sistem persamaan linier_a
byTriana Yusman
 
Eliminasi gauss
byM Randi Rj VoreCastle
 
Sistem persamaan-linier
byMubarak Muhammad
 
Linear Algebra - System of Linear Equation
byDiponegoro University
 
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
byKannal Bakti Pakinde
 
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
byMella Imelda
 

What's hot

PPTX
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
byFela Aziiza
 
PDF
Materi Aljabar linear
bySriwijaya University
 
PPTX
Sistem persamaan-linear
bySafran Nasoha
 
PPT
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
byAururia Begi Wiwiet Rambang
 
PPTX
Sistem Homogen dan Invers-Matrik - Pertemuan 5.
byahmad haidaroh
 
DOCX
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
byBAIDILAH Baidilah
 
PPTX
Bab 3(3) spl
byCliquerz Javaneze
 
PPT
Sistem persamaan linier
byBisma Kemal
 
PDF
Eliminasi gauss-jordan
byRenol Doang
 
DOCX
Kelompok 8 analisis struktur (metode gauss jordan)
byDebora Elluisa Manurung
 
PPTX
Sistem persamaan linear
byKi Rizki
 
PPTX
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
PPT
SISTEM PERSAMAAN LINIER
byOng Lukman
 
PPTX
Sistem persamaan linear homogen
byIpit Sabrina
 
PPTX
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear Elementer
byKelinci Coklat
 
DOCX
Eliminasi gauss
byagung8463
 
DOCX
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
byahmad puji ardi
 
PPT
Pertemuan3&4
byAmri Sandy
 
PDF
Modul aljabar matriks
bySafran Nasoha
 
PDF
Sistem persamaan linear
byKhotibul Umam
 
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
byFela Aziiza
 
Materi Aljabar linear
bySriwijaya University
 
Sistem persamaan-linear
bySafran Nasoha
 
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
byAururia Begi Wiwiet Rambang
 
Sistem Homogen dan Invers-Matrik - Pertemuan 5.
byahmad haidaroh
 
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
byBAIDILAH Baidilah
 
Bab 3(3) spl
byCliquerz Javaneze
 
Sistem persamaan linier
byBisma Kemal
 
Eliminasi gauss-jordan
byRenol Doang
 
Kelompok 8 analisis struktur (metode gauss jordan)
byDebora Elluisa Manurung
 
Sistem persamaan linear
byKi Rizki
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
SISTEM PERSAMAAN LINIER
byOng Lukman
 
Sistem persamaan linear homogen
byIpit Sabrina
 
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear Elementer
byKelinci Coklat
 
Eliminasi gauss
byagung8463
 
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
byahmad puji ardi
 
Pertemuan3&4
byAmri Sandy
 
Modul aljabar matriks
bySafran Nasoha
 
Sistem persamaan linear
byKhotibul Umam
 

Similar to Sistem persamaan-linier

PDF
2_Sistem Persamaan Linier matematic and matriks diperbanyak.pdf
byBarokHilmiMubarok
 
PPT
Matrix (Alin 1.1 1.2)
bysatriahelmy
 
PPTX
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
byIanVemasSilalahi
 
DOC
Draft 2
byAfandy Amir
 
PDF
Gaussjordan
byRenol Doang
 
PDF
Gaussjordan
byRenol Doang
 
PPT
Ppt aljabar matriks
bymalida hola
 
PPTX
03 - Metode Numerik yah.pptx
byRT011Kedungkampil
 
PPTX
Power Point Presentasi mata kuliah KOLOKIUM
bylatipahjauhar41
 
PDF
aljabar linier materi 1 teknik mesin.pdf aljabar linier materi 1 teknik mesin...
byAgungNugroho461589
 
PDF
Gayus
byputusumaye
 
PPTX
359645229123456-Matriks-Eselon-pptx.pptx
byCahyaniWindarto2
 
PPT
MetNum4-Penyelesaian_Persamaan_Linier_Simultan_baru.ppt
byRiskiAuliyahAkib
 
PPT
MetNum4-Penyelesaian_Persamaan_Linier_Simultan_baru.ppt
byssuserb7d229
 
PPTX
Pertemuan 1 pembelajaran matrix dan alajabar
byFerryTigerHeart
 
PPTX
Penyelesaian persamaan linear dengan cara menggunakan matriks
bywelly1980ok
 
PPT
Aturan Cramer, Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan.ppt
bynovajuniati1
 
PPTX
SS ALJABAR MATRIKS CAHYA KAMILA 185050043 REVISI.pptx
byJusepSaputra1
 
PPTX
aljabar LINEAR FUNDAMENTAL DALAM KEHIDUPAN .pptx
bydamaschussaragih
 
PPTX
materi slide persamaan linier simultannn
byfonda6
 
2_Sistem Persamaan Linier matematic and matriks diperbanyak.pdf
byBarokHilmiMubarok
 
Matrix (Alin 1.1 1.2)
bysatriahelmy
 
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
byIanVemasSilalahi
 
Draft 2
byAfandy Amir
 
Gaussjordan
byRenol Doang
 
Gaussjordan
byRenol Doang
 
Ppt aljabar matriks
bymalida hola
 
03 - Metode Numerik yah.pptx
byRT011Kedungkampil
 
Power Point Presentasi mata kuliah KOLOKIUM
bylatipahjauhar41
 
aljabar linier materi 1 teknik mesin.pdf aljabar linier materi 1 teknik mesin...
byAgungNugroho461589
 
Gayus
byputusumaye
 
359645229123456-Matriks-Eselon-pptx.pptx
byCahyaniWindarto2
 
MetNum4-Penyelesaian_Persamaan_Linier_Simultan_baru.ppt
byRiskiAuliyahAkib
 
MetNum4-Penyelesaian_Persamaan_Linier_Simultan_baru.ppt
byssuserb7d229
 
Pertemuan 1 pembelajaran matrix dan alajabar
byFerryTigerHeart
 
Penyelesaian persamaan linear dengan cara menggunakan matriks
bywelly1980ok
 
Aturan Cramer, Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan.ppt
bynovajuniati1
 
SS ALJABAR MATRIKS CAHYA KAMILA 185050043 REVISI.pptx
byJusepSaputra1
 
aljabar LINEAR FUNDAMENTAL DALAM KEHIDUPAN .pptx
bydamaschussaragih
 
materi slide persamaan linier simultannn
byfonda6
 

Recently uploaded

PDF
Etika Penelitian dan Etika Penulisan Karya Ilmiah
byNur Baharia Marasabessy
 
PDF
Ppt ppkn bertemakan Revitalisasi Kesejahteraan Rakyat
bywidyaningrumdhea
 
PPTX
Teknik Pengambilan Ujian Saringan HPV pada wanita
byDrSitiNorasikinMinha
 
PDF
Modul Ajar KBC SKI Kelas 6 MI [MODULKELAS.COM]
byModul Kelas
 
PDF
Modul Ajar Matematika Kelas 7 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PDF
(Deep Learning) Modul Ajar Prakarya Pengolahan Kelas 10 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Al-Qur’an Hadis Kelas 11
byModul Guruku
 
PPT
-PPT-Materi-Olimpiade-IPS.ppt smp n osn 2026
bykatekichi
 
PDF
Modul Ajar PJOK Kelas 1 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PDF
Modul Ajar KBC Fikih Kelas 6 Madrasah Ibtidaiyah
byModul Kelas
 
PPT
Tarhib Ramadhan: Materi Menggapai Berkah Ramadhan
byasophia211292
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning SBK Seni Teater Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PPTX
Model Ekonomi Sederhana dan Pelaku Ekonomi di Pasar
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
PDF
Modul Ajar Matematika Kelas 5 - Kurikulum Berbaasis Cinta
byvisipintarClass
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Fikih Kelas 11
byModul Guruku
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Rekayasa Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PPTX
Memahami Masalah Ekonomi dan Konsep Kelangkaan di Dunia Bisnis
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
PDF
(Deep Learning) Modul Ajar Prakarya Pengolahan Kelas 11 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
PDF
Implementasi KBC pada Ekstrakurikuler.pdf
byBukhoriMuslim29
 
PDF
PPT Materi Evaluasi Kelas Bedah Kitab Matius (Khotbah di Bukit)
bySABDA
 
Etika Penelitian dan Etika Penulisan Karya Ilmiah
byNur Baharia Marasabessy
 
Ppt ppkn bertemakan Revitalisasi Kesejahteraan Rakyat
bywidyaningrumdhea
 
Teknik Pengambilan Ujian Saringan HPV pada wanita
byDrSitiNorasikinMinha
 
Modul Ajar KBC SKI Kelas 6 MI [MODULKELAS.COM]
byModul Kelas
 
Modul Ajar Matematika Kelas 7 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
(Deep Learning) Modul Ajar Prakarya Pengolahan Kelas 10 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Al-Qur’an Hadis Kelas 11
byModul Guruku
 
-PPT-Materi-Olimpiade-IPS.ppt smp n osn 2026
bykatekichi
 
Modul Ajar PJOK Kelas 1 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
Modul Ajar KBC Fikih Kelas 6 Madrasah Ibtidaiyah
byModul Kelas
 
Tarhib Ramadhan: Materi Menggapai Berkah Ramadhan
byasophia211292
 
Modul Ajar Deep Learning SBK Seni Teater Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Model Ekonomi Sederhana dan Pelaku Ekonomi di Pasar
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
Modul Ajar Matematika Kelas 5 - Kurikulum Berbaasis Cinta
byvisipintarClass
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Fikih Kelas 11
byModul Guruku
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Rekayasa Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Memahami Masalah Ekonomi dan Konsep Kelangkaan di Dunia Bisnis
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
(Deep Learning) Modul Ajar Prakarya Pengolahan Kelas 11 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
Implementasi KBC pada Ekstrakurikuler.pdf
byBukhoriMuslim29
 
PPT Materi Evaluasi Kelas Bedah Kitab Matius (Khotbah di Bukit)
bySABDA
 

Sistem persamaan-linier

  • 1.
    Sistem Persamaan Linier PenulisanDalam Bentuk Matriks Eliminasi Gauss
  • 2.
    Sistem Persamaan Linier Suatusistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum: mnmnm nn nn bxaxa bxaxa bxaxa       11 22121 11111 ........... Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
  • 3.
    Sistem Persamaan Linier Darisistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah: a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
  • 4.
    Sistem Persamaan Linier OperasiBaris mnmnm nn nn bxaxa bxaxa bxaxa       11 22121 11111 ........... Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut: a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan. b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
  • 5.
  • 6.
    Sistem Persamaan Linier Sistempersamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah                                      mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa      2 1 2 1 21 22221 11211 Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks atau secara singkat bAx                                         mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa      2 1 2 1 21 22221 11211 ;; bxA dengan
  • 7.
    Dari cara penulisantersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi              mmnmm n n baaa baaa baaa | | | | ~ 21 222221 111211     A Sistem Persamaan Linier Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama. b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
  • 8.
    Sistem Persamaan Linier Setiapoperasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
  • 9.
  • 10.
    Sistem Persamaan Linier EliminasiGauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Suatu sistem persamaan linier: Contoh: 0234 8253 024 8     DCBA DCBA CBA BA xxxx xxxx xxx xx Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:                                          0 8 0 8 2341 2531 0241 0011 D C B A x x x x
  • 11.
    Sistem Persamaan Linier Matriksgandengnya adalah:                 0|2341 8|2531 0|0241 8|0011 Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol. 1)baris( 1)baris( baris1)( pivot 8|2330 0|2520 8|0230 8|0011                    Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah                                          0 8 0 8 2341 2531 0241 0011 D C B A x x x x
  • 12.
    Sistem Persamaan Linier Langkah-2:Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah 8|2330 0|2520 8|0230 8|0011                 2)(-baris 2)baris2/3( (pivot) 0|2100 3/16|23/4500 8|0230 8|0011                  1)baris( 1)baris( baris1)( pivot 8|2330 0|2520 8|0230 8|0011                   
  • 13.
    Sistem Persamaan Linier 2)(-baris 2)baris2/3( (pivot) 0|2100 3/16|23/4500 8|0230 8|0011                  Kalikanbaris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat 0|2100 3/16|23/4500 8|0230 8|0011                 0|2100 16|61100 8|0230 8|0011                
  • 14.
    Sistem Persamaan Linier 0|2100 16|61100 8|0230 8|0011                 Langkah-3:Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah: 3baris11 pivot 16|16000 16|61100 8|0230 8|0011                
  • 15.
    Sistem Persamaan Linier Matriksgandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks: 1616 16611 823 8     D DC CB BA x xx xx xx yang dengan substitusi mundur akan memberikan: 12;4;2;1  ABCD xxxx Hasil terakhir langkah ketiga adalah: 16|16000 16|61100 8|0230 8|0011                Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:                                         16 16 8 8 16000 61100 0230 0011 D C B A x x x x
  • 16.
    Sistem Tertentu danTidak Tertentu
  • 17.
    Sistem Persamaan Linier Sistem-sistemTertentu Dan Tidak Tertentu Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
  • 18.
    Sistem Persamaan Linier ContohSistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi 823 024 8    CB CBA BA xx xxx xx Matriks gandeng:              8|230 0|241 8|011 Eliminasi Gauss:              8|230 8|230 8|011             0|000 8|230 8|011 Contoh:
  • 19.
    Sistem Persamaan Linier Matriksgandengan ini menyatakan sistem persamaan : 00 823 8    CB BA xx xx 3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan 3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu
  • 20.
    Contoh Sistem YangTidak Memberikan Solusi Sistem Persamaan Linier 1023 024 8    CB CBA BA xx xxx xx Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan              10|230 0|241 8|011              10|230 8|230 8|011              2|000 8|230 8|011 Contoh:
  • 21.
    Sistem persamaan darimatriks gandeng terakhir ini adalah Sistem Persamaan Linier 20 823 8    CB BA xx xx Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
  • 22.
    Bentuk Eselon Sistem PersamaanLinier Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.             000 230 011              2|000 8|230 8|011 dan Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah                           m r rrnrr n n b b bkk bcc baaa |0 | |0 | | |0 | 1 2222 111211      Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
  • 23.
    dan sistem yang telahtereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk m r rnrnrrr nn nn b b bxkxk bxaxc bxaxaxa       0 0 1 22222 11212111      dengan 0,0,0 2211  rrkaa , dan r  n Sistem Persamaan Linier a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi. b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi. c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi. nr  mr bb  ,,1  nr  mr bb  ,,1  nr  nr  mr bb  ,,1  Perhatikan bentuk ini:
  • 24.
    Sistem Persamaan Linier Jadisuatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada. mr bb  ,,1  Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika .nr  Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini. nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
  • 25.
    Bebas Linier DanTak-bebas Linier Vektor-Vektor
  • 26.
    Bebas Linier DanTak-bebas Linier Vektor-vektor Sistem Persamaan Linier Misalkan maaa ,, 21  adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita tinjau suatu persamaan vektor 02211  mmccc aaa  Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1  cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
  • 27.
    Jika satu himpunanvektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi. Sistem Persamaan Linier Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai 0 1 2 1 2 1  m m c c c c aaa  karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.
  • 28.
    Sistem Persamaan Linier Contoh:Dua vektor baris  21321 a  26242 adan Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena     026242132 212211  cccc aa hanya akan terjadi jika 021  cc Ambil vektor ketiga  42643 a Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai    4264213222 13  aa Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai      4264262402132202 213  aaa Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
  • 29.
  • 30.
    Sistem Persamaan Linier RankMatriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol. Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi. Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
  • 31.
    Sistem Persamaan Linier Bentukeselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah                16000 61100 0230 0011                16|16000 16|61100 8|0230 8|0011 dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4 Contoh:
  • 32.
    Bentuk eselon matrikskoefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah Sistem Persamaan Linier Contoh:             000 230 011             0|000 8|230 8|011 dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
  • 33.
    Sistem Persamaan Linier Contoh: Bentukeselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah             000 230 011              2|000 8|230 8|011 dan Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
  • 34.
    Apa yang kitaamati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Sistem Persamaan Linier c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi. a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya; b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
  • 35.
    Course Ware Sistem PersamaanLinier Sudaryatno Sudirham