Dokumen ini membahas konsep dan operasi bilangan kompleks, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan representasi grafiknya dalam diagram Argand. Selain itu, dijelaskan pula tentang bentuk kutub bilangan kompleks dan penerapan Teorema De Moivre untuk pangkat dan akar bilangan kompleks. Fungsi analitik juga disebutkan sebagai bagian penting dalam analisis bilangan kompleks.

1. Kelompok 3 :
Bilangan Kompleks
Ridha Munawar (1304105010005)
Furqan Baharsyah (1304105010068)
M. Reza Fahlevi Akbar (1304105010013)
Eo : Ahmad Zaman Huri

2. Materi
2
1. Complex Number, complex plane
2. Polar form of complex number, Powers and
Roots
3. Derivative, Analytic Function

3. 3
Bilangan Kompleks danOperasinya
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf
x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy
menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x
dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian
real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya
dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

4. Penjumlahan danPengurangan Bilangan Kompleks
4
• Contoh:
• Jadi, secara umum,
(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)
122
)57()24(
5274)52()74(
37
)25()34(
2354)23()54(
j
j
jjjj
j
j
jjjj







5. Perkalian Bilangan Kompleks
5
Contoh:
(3+j4)(2+j5)
Untuk menyelesaikan perkalian ini caranya sama dengan menghitung
perkalian (3x+4y)(2x+5y).
Caranya yaitu:
Kalikan kedua suku yang kiri
Kalikan kedua suku yang dalam
Kalikan kedua suku yang luar
Kalikan kedua suku yang kanan
Sehingga:
= (3+j4)(2+j5)=6+j8+j15+j220
= 6+j23-20 (karena j2=-1)
= -14+j23

6. Perkalian Bilangan Kompleks
6
• Jika Perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka
perkaliannya dilakukan secara bertahap.
• Contoh:
(3+j4)(2-j5)(1-j2)
= (6+j8-j15-j220)(1-j2)
= (6-j7+20)(1-j2)
= (26-j7)(1-j2)
= 26-j7-j52+j214
= 26-j59-14=12-j59

7. Perkalian Bilangan Kompleks
7
• Bilangan kompleks konjugat
– Yaitu pasangan bilangan kompleks yang sama namun
berbeda tanda hubungnya.
– Hasil kali dua bilangan kompleks konjugat selalu
menghasilkan bilangan ril.
• Contoh:
(5+j8)(5-j8)
= 25+j40-j40-j264
= 25+64 (j2 = -1)
= 89

8. Perkalian Bilangan Kompleks
8
• Perhatikan langkah berikut:
• Jadi, secara umum bisa dikatakan:
(a+jb)(a-jb)=a2+b2
896425
185
85
)8(5)85)(85(
))((
222
222
22
22





j
j
jjj
bababa

9. Pembagian Bilangan Kompleks
9
• Pembagian bilangan kompleks dengan bilangan ril.
• Contoh:
33,167,1
3
4
3
5
3
45
jj
j



10. Pembagian Bilangan Kompleks
10
• Pembagian Bilangan kompleks dengan bilangan kompleks
• Contoh:
• Untuk dapat melakukan hal ini, caranya yaitu dengan merubah
terlebih dahulu penyebutnya menjadi bilangan ril
• Untuk merubah penyebut menjadi bilangan ril, bisa dilakukan
dengan cara mengalikan penyebutnya dengan konjugatnya.
34
47
j
j



11. Pembagian Bilangan Kompleks
11
48,164,0
25
37
25
16
25
3716
916
123228
)34)(34(
)34)(47(
34
47
j
j
j
j
jj
jj
j
j












 Sehingga proses pembagiannya adalah sbb:

12. Kesamaan Bilangan Kompleks
12
• Misalkan dua buah bilangan kompleks
• a+jb dan c+jd
• Jika kedua bilangan tersebut dikatakan sama, maka
• a+jb=c+jd
• Apabila bilangan ril dan imajinernya kita dekatkan menjadi
• a-c=j(d-b)
• Persamaan diatas hanya benar jika kedua ruas bernilai 0
• a-c=0 sehingga a=c, dan d-b=0 sehingga d=b
• Berarti, dua buah bilangan kompleks dikatakan sama apabila,
• Kedua bagian ril nya sama
• Kedua bagaian imajiner nya juga sama

13. Kesamaan Bilangan Kompleks
13
• Contoh, jika x+jy=5+j4,
maka x=5 dan y =4
• Bagaimana dengan
persoalan berikut?
(a+b)+j(a-b)=7+j2,
tentukan nilai a dan b.
• Penyelesaian:
5,2
5,4
52
92
2
7









b
a
b
a
ba
ba

14. Complex Plane
14
• Setiap bilangan dapat ditulis dalam bentuk grafis, yaitu ditulis
dalam garis bilangan. Untuk bilangan komplek memiliki garis
bilangan ganda yaitu kawasan real dan kawasan imajiner.

15. Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis
15
• Pernyataan grafis ini dikenal sebagai diagram Argand.
• Perhatikan bilangan kompleks berikut ini,
• Apakah bisa dinyatakan dalam bentuk grafis?
• Tentu bisa, uraikan dulu
4 adalah bilangan real positif
j6 adalah bilangan imajiner positif

16. Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis
16
• Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut:

17. Polar Form of Complex Number
17
• Kadang-kadang akan lebih memudahkan jika bilangan
kompleks a+jb dinyatakan dalam bentuk lain.
• Dalam diagram argand, misalkan OP adalah vektor a+jb.
Dengan r adalah panjang vektor tersebut dan Ѳ adalah sudut
yang dibentuk oleh OP.

18. Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
18
• Maka,
r2=a2+b2  r = √(a2+b2)
tan Ѳ=b/a  Ѳ = tan-1 b/a.
a = r cos Ѳ dan b = r sin Ѳ.
• Karena z = a+jb, maka z dapat dituliskan sebagai:
z= r cos Ѳ + j r sin Ѳ atau
z= r (cos Ѳ + j sin Ѳ)
• Bentuk ini dikenal sebagai bentuk kutub (polar) bilangan
kompleks dengan,
r = √(a2+b2)
Ѳ = tan-1 b/a
• Contoh:
Nyatakanlah z = 4+j3 dalam bentuk kutub.

19. Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
19
• Penyelesaian
Gambarkan terlebih dahulu diagram sketsanya.
r = √(42+32) = √(16+9)
r = √25 = 5
Ѳ = tan-1 ¾ = 36052’
Sehingga didapat,
z= 5(cos 36052’ + j sin 36052’)

20. Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
20
• Dalam bentuk kutub bilangan kompleks, ada nama khusus
untuk r dan Ѳ.
– r disebut modulus dari bilangan kompleks z dan biasa
disingkat menjadi ‘mod z’
– Ѳ disebut argumen dari bilangan kompleks z dan disingkat
menjadi ‘arg z’
• Bentuk kutub bilangan kompleks selalu sama dan hanya
berbeda dalam harga r dan Ѳ saja. Sehingga seringkali
digunakan simbol untuk menyatakan bentuk kutub tsb.
• Sehingga z= 5(cos 36052’ + j sin 36052’), bisa ditulis sebagai
r
'52365 0


21. Perkalian danPembagian Bilangan Kompleks DalamBentuk
Kutub
21
• Misalkan z1=r1(cos Ѳ1 + j sin Ѳ1) dan z2=r2(cos Ѳ2 + j sin Ѳ2)
• Maka, z1.z2= r1(cos Ѳ1 + j sin Ѳ1).r2(cos Ѳ2 + j sin Ѳ2)
• = r1r2 (cos Ѳ1 cos Ѳ2 + j sin Ѳ1 cos Ѳ2 + j cos Ѳ1 sin Ѳ2 + j2 sin
Ѳ1 sin Ѳ2)
• Bila suku-sukunya kita susun kembali, dan dengan mengingat
bahwa j2 = -1, maka kita peroleh
• z1.z2= r1r2 [(cos Ѳ1 cos Ѳ2 - sin Ѳ1 sin Ѳ2) + j (sin Ѳ1 cos Ѳ2 +
cos Ѳ1 sin Ѳ2)]
– cos Ѳ1 cos Ѳ2 - sin Ѳ1 sin Ѳ2 = cos (Ѳ1+Ѳ2)
– sin Ѳ1 cos Ѳ2 + cos Ѳ1 sin Ѳ2 = sin (Ѳ1+Ѳ2)
• Sehingga, z1.z2 = r1.r2 [cos (Ѳ1+Ѳ2) + j sin (Ѳ1+Ѳ2)]

22. Perkalian danPembagian Bilangan Kompleks DalamBentuk
Kutub
22
• Untuk mengalikan dua buah bilangan kompleks dalam bentuk
kutub,
– Kalikan kedua r nya.
– Jumlahkan kedua sudutnya.
• Tapi dengan syarat tanda hubung bilangan kompleks tersebut
harus positif.
• Contoh

23. Perkalian danPembagian Bilangan Kompleks DalamBentuk
Kutub
23
• Jadi, aturan untuk bembagian adalah bagikan r nya, dan
kurangkan sudutnya.

24. Perkalian danPembagian Bilangan Kompleks DalamBentuk
Kutub
24

25. Pangkat dalamBilangan Kompleks
25

26. Powers and Roots
26

27. Pangkat dalamBilangan Kompleks
27
• Hasil yang kita peroleh tadi sangat penting, teorema ini
dikenal dengan Teorema DeMoivre. Teorema ini mengatakan
untuk mencari pangkat n dari suatu bilangan kompleks, kita
pangkatkan r nya dengan n dan kita kalikan sudutnya dengan
n.
• Contoh

28. Pangkat dalamBilangan Kompleks
28
– Teorema DeMoivre juga berlaku untuk pangkat yang
berupa pecahan, yaitu jika kita mencari akar-akar suatu
bilangan kompleks.
– Contoh

29. Derivative, Analytic Function
• Fungsi Analitik
Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila f `(z)
ada di semua titik pada suatu lingkungan z0. Untuk
menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y)
29

30. Turunan(Derivative)
30

31. 31

32. 32

33. TERIMA KASIH
33