Sistem persamaan linear dengan n bilangan yang tidak diketahui dengan permasalahan tupel

1. Sistem Persamaan Linear dengan N Bilangan yang Tidak Diketahui
A. Sistem persamaan Linear
Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui
1. Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui.
a) ................. a1 x + b1 y = k1 ...........(I)
b) ................. a2 x + b2 y = k2 ...........(II)
a1 dan b1 masing – masing adalah koefisien dari x dan y, k1 = konstanta
(I) × 𝑎2 ≫ 𝑎1 𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑏2 𝑦 = 𝑎2 𝑘1
(II)
×𝑎1≫𝑎1 𝑎2 𝑥+ 𝑎1 𝑏2 𝑦= 𝑎1 𝑘2
𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 𝑦 = 𝑎1 𝑘2−𝑎2 𝑘1
−
Atau
Asalkan a1 b2 – a2 b1 ≠ 0
Bila
𝐼 𝑥 𝑏
𝐼𝐼 𝑥 𝑏
} maka juga diperoleh
Asalkan a1 b2 – a2 b1 ≠ 0
Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:
Asalkan
2. Tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui:
a) a1 x + b1y + c1z= k1 ...........(I)
b) a2 x + b2 y + c2z= k2 ...........(II)
c) a3 x + b3 y + c3 z = k3 ...........(III)

2. a1, b1, dan c1 masing masing adalah koefisien dari x, y,dan z, dan k1 = konstanta
(I) 𝑥 𝑐2 ≫ 𝑎1 𝑐2 𝑥 + 𝑏1 𝑐2 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = 𝑘1 𝑐22
(II)
𝑥 𝑐1 ≫ 𝑎2 𝑐1 𝑥 + 𝑏2 𝑐11 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = 𝑘2 𝑐1
𝑎1 𝑐2 – 𝑎2 𝑐1 𝑥 + 𝑏1 𝑐2 – 𝑏2 𝑐1 𝑦 = 𝑘1 𝑐2 – 𝑘2 𝑐1
−
(a1c2 – a2c1)x + (b1c2 – b2c1)y = k1c2 – k2c1 .........(IV)
(III) 𝑥 𝑐3 ≫ 𝑎2 𝑐3 𝑥 + 𝑏2 𝑐3 𝑦 + 𝑐2 𝑐3 𝑧 = 𝑘2 𝑐3
(IV)
𝑥 𝑐2 ≫ 𝑎3 𝑐2 𝑥 + 𝑏3 𝑐2 𝑦 + 𝑐3 𝑐2 𝑧 = 𝑘3 𝑐2
𝑎2 𝑐3 – 𝑎3 𝑐2 𝑥 + (𝑏2 𝑐3 – 𝑏3 𝑐2)𝑦 = 𝑘2 𝑐3 – 𝑘3 𝑐2
−
(a2c3 – a3c2)x + (b2c3 – b3c2)y = k2c3 – k3c2 .........(V)
Dari [(IV) x (b2c3 – b3c2) – (V) x (b1c2 – b2c1)] diperoleh suatu kesamaan dengan ruas kiri
[(a1c2 – a2c1)(b2c3 – b3c2) – (a2c3 – a3c2)(b1c2 – b2c1)] x dan ruas kanan yaitu:
(k1c2 – k2c1)(b2c3 – b3c2) – (k2c3 – k3c2)(b1c2 – b2c1)
Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah
(a1b2c2c3 – a2b2c1c3 – a1b3c2 + a2b3c1c2) – (a2b1c2c3 + a3b1c2 – a2b2c1c3 + a3b2c1c2)
= a1b2c2c3 - a1b3c2 + a2b3c1c2 – a2b1c2c3 + a3b1c2 – a3b2c1c2
=c2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 – a2b1c3 – a1b3c2)
Sedang ruas kanan menjadi:
(k1b2c2c3 – k2b2c1c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2) – (k1b1c2c3 – k3b1c2 – k2b2c1c3 + k3b2c1c2)
= k1b2c2c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2 – k2b1c2c3 + k3b1c2 – k3b2c1c2
= c2(k1b2c3 + k2b3c1 + k3b1c2 – k3b2c1 – k2b1c3 – k1b3c2)
Jadi harga x adalah
Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol

3. Dengan cara perhitungan yang sama, juga diperoleh:
Asalkan penyebut tidak sama dengan nol.
Dengan demikian maka harga x, y, z yang ditulis dalam bentuk (IV), (VII) dan (VIII) dapat
disajikan dalam bentuk determinan.
D disebut determinan pokok yaitu determinan yang elemen elemennya terdiri dari koefisien
koefisien parameter yang akan ditentukan besarannya
Dx adalah determinan yang diperoleh dari determinan D dimana kolom pertama (yaitu elemen
elemen yang diambil dari koefisien kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari
koefisien koefisien x atau ai) diganti dengan suku suku yang diketahui
Dy diperoleh dari determinan D dimana kolom kedua (koefisien koefisien dari y atau bi)
diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki)
Dz diperoleh dari determinan D dimana kolom ketiga (koefisien koefisien dari z atau ci)
diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki). Jadi x, y dan z dapat disajikan sebagai
berikut:
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
𝑑𝑎𝑛 𝑍 =
𝐷𝑧
𝐷
𝑎𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝐷 ≠ 0
3. Empat persamaan linier dengan empat bilangan-bilangan yang tidak diketahui
A1x + b1y + c1z + d1w = k1
A2x + b2y + c2z + d2w = k2
A3x + b3y + c3z + d3w = k3
A4x + b4y + c4z + d4w = k4
Dengan cara yang sama maka diperoleh
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
𝑑𝑎𝑛 𝑤 =
𝐷 𝑤
𝐷
Asalkan D ≠ 0
𝐷 =
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3
𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4
; 𝐷𝑥 =
𝑘1 𝑏1 𝑐1 𝑑1
𝑘2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑘3 𝑏3 𝑐3 𝑑3
𝑘4 𝑏4 𝑐4 𝑑4

4. 𝐷𝑦 =
𝑎1 𝑘1 𝑐1 𝑑1
𝑎2 𝑘2 𝑐2 𝑑2
𝑎3 𝑘3 𝑐3 𝑑3
𝑎4 𝑘4 𝑐4 𝑑4
; 𝐷𝑧 =
𝑎1 𝑏1 𝑘1 𝑑1
𝑎2 𝑏2 𝑘2 𝑑2
𝑎3 𝑏3 𝑘3 𝑑3
𝑎4 𝑏4 𝑘4 𝑑4
; 𝐷 𝑤 =
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑘1
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑘2
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑘3
𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑘4
Metode diatas dikenal dengan nama aturan cramer, metode tersebut juga berlaku untuk n
persamaan linier atau linear dengan n bilangan yang tidak diketahui
Penjelasannya sebagai berikut:
Bila determinan pokok D ≠ 0 maka bilangan yang tidak diketahui (parameter dari n
persamaan linier tersebut, dapat ditentukan dengan cara mengganti element-elemen suatu
kolom dari D yang merupakan koefisien-koefisien parameter (yang akan ditentukan
besarannya) dengan suku-suku yang diketahui sehingga diperoleh harga parameter tersebut
sama dengan harga determinan setelah suatu kolom dari D yang merupakan koefisien-
koefisien parameter tersebut diganti dengan suku-suku yang diketahui dibagi dengan harga
determinan pokok D.