5. • Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.
Koefisien x2 koefisien x Konstanta (suku tetapan)
(jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0
(jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 +
bx = 0
6. Nyatakan dalam bentuk
baku, kemudian tentukan nilai a, b
dan c dari persamaan :
a. 2x2 = 3x - 8
b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
C. 2x - 3 =
x
5
Jawab:
a. 2x2 = 3x – 8
Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8
– 3x + 8
2x2 – 3x + 8 =
Jadi, a = , b = dan c =2 -3 8
2x2
= 3x – 8 – 3x + 8
Contoh :
0
7. b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
x2 = Kedua ruas dikurangi dengan x2
x2
x2 – 6x + 2
x2 – 6x + 2 = 0
Jadi a = , b = , dan c =1 -6 2
c. 2x - 3 =
x
5
Kedua ruas dikalikan dengan x
(2x – 3)x =
2x2 – 3x =
2x2 – 3x – 5 = 0
Jadi a = , b = , dan c =2 -3 -5
- x2= 2x2 – 6x + 2- x2
Jawab:
0 =
5
2x2 – 6x + 2
5
8. REMEMBER
.…
(a + b)(p + q) =
(a - b)2 =
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
ap + bp + aq + bq
(a + b)(a - b) = a2 - b2
9. Ada tiga cara yang dapat digunakan
untuk menentukan akar-akar atau
menyelesaiakan persamaan
kuadrat, yaitu :
1.Metode faktorisasi
2.Metode melengkapkan kuadrat
sempurna
3.Rumus kuadrat / rumus abc
10. 1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara
Memfaktorkan
Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut
02
cbxax
(ax……) (ax…..) = 0
+
a . c
b
P
QP Q
1. x2 ─ x ─ 6 = 0
(x ) (x ) = 0
x = 3 atau x = ─2
─ 3
+ 2
+
─ 6
─ 1
─ 3 + 2
(2x ) (2x ) = 0
2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0
2
(2x ─ 5) (x +1 ) = 0
X=
2
5
Atau x = ─ 1
+ 2─ 5 ─ 10
─3
+
─ 5
+ 2
a
12. Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0
dengan melengkapkan kuadrat sempurna
dirubah menjadi bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0.
Langkah-langkah :
1. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum
bernilai 1 bagilah dengan bilangan
sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.
2. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan
setengah koefisien dari x, kemudian
kuadratkan
3. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat
sempurna, sedangkan ruas kanan
disederhanakan.
2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan
Melengkapkan Kuadrat
13. Contoh
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat :
4x - x2 = 0.
Solusi
a=-1, b = 4, c = 0.
4x - x2 = 0 ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔(½.b)2 = (½.4)2 = 4
⇔ x2 - 4x + 4 = 0 + 4
⇔ (x – 2)2 = 4
⇔ (x – 2) = ±√ 4
⇔ x – 2 = 2 atau x – 2 = - 2
⇔ x = 2 + 2 atau x = -2 + 2
⇔ x = 4 atau x = 0
Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4
14. Contoh
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat :
x2 - x – 6 = 0.
Solusi
a = 1, b = -1, c = -6.
x2 - x – 6 = 0 ⇔ x2 - x = 6 ⇔(½.b)2 = (½.1)2 = ¼
⇔ x2 - x + ¼ = 6 + ¼
⇔ (x - ½)2 = 6¼
⇔ (x - ½) = ±√25/4
⇔ x - ½ = ±5/2
⇔ x - ½ = 5/2 atau x - ½ = - 5/2
⇔ x = 5/2 + ½ atau x = - 5/2 + ½
⇔ x = 6/2 atau x - ½) = - 4/2
Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2
15. Contoh:
x2 + px + q = 0
0q)())((x 2
2
p2
2
p
0822
xx
9)1( 2
x
3)1(x
31x 31x
13x 13x
4x 2x
1.
atau
atau
atau
081)1( 2
x
0)8()(
2
2
22
2
2
x
09)1( 2
x
dengan p = 2, q = -8
9)1(x
Jadi, akar-akarnya yaitu x = -4 atau x = 2
16. 2. 2x2 –6x –5 = 0
x2 + px + q = 0
0q)())((x 2
2
p2
2
p
Karena koefisien dari x2 belum = 1 maka kita bagi 2
(supaya menjadi satu)
x2 –3x – 5/2 = 0
0)()())(( 2
52
2
32
2
3
x
0)()( 2
5
4
92
2
3
x
0)()( 4
10
4
92
2
3
x
0)( 4
192
2
3
x
4
192
2
3
)(x
4
19
2
3
)(x
2
19
2
3
)(x
2
3
2
19
x
2
3
2
19
1x 2
319
2
3
2
19
2x 2
319
dengan p = -3, q = -5/2
17. Rumus kuadrat / abc
Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0
dengan rumus kuadrat/abc maka :
Atau dan
a
acbb
x
2
42
2,1
a
acbb
x
2
42
1
a
acbb
x
2
42
2
3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan
Rumus Kuadrat
19. Diskriminan (D) adalah: acbD 42
Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu:
1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua
akar real yang berlainan.
DISKRIMINAN
2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua
akar yang sama ( akar kembar )
3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).
20. a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
Contoh:
0322
xx
acbD 42
)3)(1(4)2( 2
D
124
16
Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua
akarnya berlainan dan rasional
1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar
real yang berlainan.
23. 2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang
sama ( akar kembar )
Contoh: 042
4
1 2
xx
acbD 42
.
)4)(
4
1
(422
44 0
Karena D=0, maka kedua akarnya kembar
042
4
1 2
xx
4
01682
xx
0)4)(4( xx
4x atau
Jadi akar akarnya adalah:
4x
24. 3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).
Contoh:
0342 2
xx
acbD 42
)3)(2(442
2416 8
2.2
)3(2.444 2
2.1x
4
24164
2.1x
4
84
2.1x
4
84
2.1x0342 2
xx
atau
Jadi akar akarnya adalah:
4
84
x
4
84
x
Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai
akar-akar real (akar-akarnya imaginer).
25. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-
akarnya Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat 0)32(22
ppxx
a. Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut!
b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
• Mempunyai dua akar yang berbeda
• Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
•Tidak mempunyai akar-akar real
Jawab
a. acbD 42
)32)(1(4)2( 2
pp 1284 2
pp
26. b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
0D
01284 2
pp
0322
pp
0)3)(1( pp
1p 3patau
•Mempunyai dua akar yang berbeda Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
0D
01284 2
pp
0322
pp
0)3)(1( pp
1p 3patau
Tidak mempunyai akar-akar real
01284 2
pp
0322
pp
0)3)(1( pp
0D
31 p
27. HUBUNGAN ANTARA KOEFISIEN PK.
DENGAN SIFAT AKAR
acanberkebalikakarnya-Akar3.
0bberlawananakarnya-Akar2.
a4bkembarakarnya-Akar1. 2
31. Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat
Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut
simetri atau setangkup, jika letak variabel tersebut
ditukar, maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.
Contoh:
Bentuk-bentuk simetri
ba abba
22
ba 2222
abba
ba
11
abba
1111
, karena
, karena
, karena
ba abba
22
ba 2222
abba
ba
11
abba
1111
Bentuk-bentuk tidak simetri
, karena
, karena
, karena
Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.
32. Contoh:
0822
xxAkar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2.
Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:
21 xx
21.xx
2
2
2
1 xx
21
11
xx
a.
b.
c.
d.
Jawab:
a
b
xx 21 2
1
2
a
c
xx 21. 8
1
8
a.
b.
34. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya
Memiliki Cri-ciri Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat 0)3(102
kxx
Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k
Jawab:
Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.
Jadi 21 4xx
Rumus jumlah akar-akar:
10
1
10
21
a
b
xx
104 22 xx
105 2x
22x
21 4xx
82.41x
Dari , maka
35. Rumus hasil kali akar-akar:
a
c
xx 21. 3
1
3
k
k
38.2 k
316 k
k316
13k
36. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 02
cbxax
Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan
Kuadrat
0)( 21 bxx
ca
x
x )
1
(
2
1
0)0( 1 cx
a
b
x2
0
a
c
0
a
c
1.Akar-akarnya berlawanan
2. Akar-akarnya berkebalikan
3. Sebuah akarnya sama dengan 0 dan
4. Kedua akarnya bertanda sama
5. Kedua akarnya berlainan tanda
37. Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat
Contoh:
0)43()12( 22
ppxpx
agar salah satu akarnya sama dengan nol.
Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah 0c
0432
pp
0)4)(1( pp
1p 4p
Jadi:
atau
39. a. Menggunakan Perkalian Faktor
jika akar-akar persamaan kuadrat adalah
dan , maka ax2 + bx + c =0 ekuivalen dengan
a(x - ) (x - )=0. jadi, jika akar-akar persamaan kuadrat
itu dan , maka persamaan kuadrat itu adalah (x - )
(x - ).
• Contoh : tent. persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2
dan 5???
jawab : x1 = 2 dan x2 = 5
Maka ( x-x1) (x-x2) = 0
<=>(x-2) (x-5) = 0
<=>x2 – 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
40. x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0
Contoh :
x1 = 2 dan x2 = 5
Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0
Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7
x1. x2 = 2.5 = 10
Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-
akarnya
