1. Fungsi Pembangkit digunakan untuk memecahkan masalah counting, relasi recurrence, dan identitas kombinatorik serta menentukan rumus suku ke-n pada barisan bilangan bertingkat 3 dan 4. 2. Deret Taylor merupakan deret pangkat dari suatu fungsi yang terdefinisikan tak terhingga dalam suatu perserikatan bilangan riil atau kompleks. 3. Fungsi Pembangkit Biasa dan Fungsi Pembangkit Exporter digunakan untuk merepresentasikan der

1. Fungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit digunakan untuk memecahkan berbagai masalah counting, memecahkan
relasi recurrence, dan membuktikan identitas kombinatorik, untuk menentukan rumus suku ke
n pada barisan bilangan bertingkat 3 dan 4.
Turunan Fungsi Aljabar
ƒ(x) = x2 + 5x → ƒ ’(x) = 2x1 + 5 = 2x + 5
ƒ(x) = 5x4 → ƒ ’(x) = 20x3
ƒ(x) = x3 + 6x2 + 8x + 6 → ƒ ’(x) = 3x2 + 12x + 8
ƒ(x) = 10x3 + 6x2 → ƒ ’(x) = 30x2 + 12x
Deret Taylor
Deret taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks yang terdefenisikan tak terhingga
dalam sebuh perserikatan sebuah bilangan riil atau kompleks adalah deret pangkat. Teorema
ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun
1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory
Ada 2 fungsi yaitu:
1) ƒ(x) = ex
2) ƒ(x) =
1
(1−𝑥)
Rumus Deret Taylor:
𝑓( 𝑥) = ∑
1
𝑛!
𝑓 𝑛(0) 𝑥 𝑛
~
𝑛=0
ƒ(x) = (3x + 5)5
ƒ’(x) = 5(3x +2)4 . 3 = 15(3x+2)4
ƒ(x) = 4 (x2 + 4x)4
ƒ’(x) = 16(x2 + 4x)3.(2X +4)
ƒ(x) = 3 (x2 + 5x)5 → ƒ’(x) = 15 (x2 + 5x)4. 2x + 5
𝑓( 𝑥) =
1
(5𝑥 + 2)10
= 1(5𝑥 + 2)−10
𝑓′( 𝑥) = −10(5𝑥 + 2)−11
.5
𝑓′
(𝑥) = −50(5𝑥 + 2)−11
=
−50
(5𝑥 + 2)11

2. 𝑓( 𝑥) =
2
(2𝑥 + 3)5
= 2(2𝑥 + 3)−5
𝑓′( 𝑥) = −10(2𝑥 + 3)−6
. 2 = −20(2𝑥 + 3)−6
=
−20
(2𝑥 + 3)6
𝑓( 𝑥) =
1
(𝑥2 + 4𝑥)6
= 1(𝑥2
+ 4𝑥)−6
𝑓′( 𝑥) = −6( 𝑥2
+ 4𝑥)−7
. 2𝑥 + 4
𝑓′( 𝑥) =
−6(2𝑥 + 4)
(𝑥2 + 4𝑥)7
=
−12𝑥 − 24
(𝑥2 + 4𝑥)7
Deret taylor
1) ƒ(x) = ex
2) ƒ(x) =
1
(1−𝑥)
Tentukan Deret Taylor dari ƒ (x) = ex gunakan:
𝑓( 𝑥) ≈ ∑
1
𝑛!
𝑓 𝑛(0) 𝑥 𝑛
~
𝑛=0
Contoh: 0! = 1 , 1!=1, 2! = 2x1=2, 3! = 3x2x1=6
ƒ n(0) = turunan ke n
ƒ (x) = ex → ƒ’(x) = 1ex = ex
ƒ (x) = e2x→ ƒ’(x) = 2e2x.
ƒ (x) = 10e-3x→ ƒ’(x) = -30 e-3x
𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥2
+4𝑥
→ 𝑓′( 𝑥) = (2𝑥 + 4) 𝑒 𝑥2
+4𝑥
ƒ (x) = e-5x + 1 → ƒ’(x) = -5 e-5x+1
Tentukan deret taylor dari ƒ (x) = ex gunakan:
𝑓( 𝑥) ≈ ∑
1
𝑛!
𝑓 𝑛(0) 𝑥 𝑛
~
𝑛=0
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
→ 𝑓(0) = 𝑒0
= 1
𝑓’(𝑥) = 𝑒 𝑥
→ 𝑓’(0) = 𝑒0
= 1
𝑓’’(𝑥) = 𝑒 𝑥
→ 𝑓’’(0) = 𝑒0
= 1
𝑓’’’(𝑥) = 𝑒 𝑥
→ 𝑓’’’(0) = 𝑒0
= 1
𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
≈ ∑
1
𝑛!
. 1𝑥 𝑛
= ∑
1
𝑛!
𝑥 𝑛
~
𝑛=0
𝑛
𝑛=0
∶ 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
6
+ ⋯
ƒ (x) = e2x →f(0) =e0 =1 →20
ƒ’(x) = 2e2x → ƒ’(0) = 2e0 = 2 →21
ƒ’’(x) = 4e2x → ƒ’’(0) = 4e0 = 4 →22
ƒ’’’(x) = 8e2x → ƒ’’’(0) = 8e0 = 8 → 23

3. :
ƒ n(0) = 2n
ƒ (x) = e3x →f(0) =e0 =1 →30
ƒ’(x) = 3e3x → ƒ’(0) = 3e0 = 3 →31
ƒ’’(x) = 9e3x → ƒ’’(0) = 9e0 = 9 →32
ƒ’’’(x) = 27e3x → ƒ’’’(0) = 27e0 = 27 → 33
;
ƒ n(0) = 3n
𝑓( 𝑥) = 𝑒2𝑥
≈ ∑
1
𝑛!
. 2 𝑛
𝑥 𝑛
~
𝑛=0
= 1 + 2𝑥 +
4𝑥2
2
+
8𝑥3
6
+ ⋯
Deret taylor dari𝑓( 𝑥) =
1
(1−𝑥)
𝑓( 𝑥) =
1
(1 − 𝑥)
= (1 − 𝑥)−1
→ 𝑓′( 𝑥) = −1(1 − 𝑥)−2
. −1 = 1(1 − 𝑥)−2
=
1
(1 − 𝑥)2
𝑓′′( 𝑥) = −2(1 − 𝑥)−3
. −1 = 2(1 − 𝑥)−3
=
2
(1 − 𝑥)3
𝑓′′′( 𝑥) = −6(1 − 𝑥)−4
. −1 = 6(1 − 𝑥)−4
=
6
(1 − 𝑥)4
𝑓′′′′( 𝑥) = −24(1 − 𝑥)−5
. −1 = 24(1 − 𝑥)−5
=
24
(1 − 𝑥)5
Deret taylor untuk 𝑓( 𝑥) =
1
(1−𝑥)
= (1 − 𝑥)−1
gunakan:
𝑓( 𝑥) ≈ ∑
1
𝑛!
𝑓 𝑛(0). 𝑥 𝑛
~
𝑛=0
ƒ (x) = (1-x)-1 → ƒ (0) = (1-0)-1= 1 → 0!
ƒ’(x) = -1(1-x)-2. (-1) = 1(1-x)-2 → ƒ’(0) = 1(1-0)-2 = 1 → 1!
ƒ’’(x) = -2(1-x)-3.(-1) = 2(1-x)-3 → ƒ’’(0) = 2(1-0)-3 = 2 → 2!
ƒ’’’(x) = -6(1-x)-4.(-1) = 6(1-x)-4 → ƒ’’’(0) = 6(1-0)-4 = 6 → 3!
ƒ’’’’(x) = -24(1-x)-5. (-1) = 24(1-x)-5 → ƒ’’’’(0) =24(1-0)-5 = 24 → 4!
ƒ n(0) = n!
Deret taylor
(1 − 𝑥)−1
≈ ∑
1
𝑛!
~
𝑛=0
𝑛1
. 𝑥 𝑛
∑ 𝑥 𝑛
~
𝑛=0
= 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯
𝑓( 𝑥) =
1
(1 + 𝑥)
= (1 + 𝑥)−1
→ 𝑓(0) = (1 + 0)−1
= 1
ƒ’(x) = -1 (1+x)-2 . 1 = -1(1+x)-2 → ƒ’(0) = -1(1+0)-2 = -1
ƒ’’(x) = 2 (1+x)-3 . 1 = 2 (1+x)-3 → ƒ’’(0) = 2(1+0)-3 = 2
ƒ’’’(x) = -6 (1+x)-4 . 1 = -6(1+x)-4 → ƒ’’’(0) = -6(1+0)-4 = 6
ƒ’’’’(x) = 24 (1+x)-5 . 1 = 24(1+x)-5 → ƒ’’’’(0) = 24(1+0)-5 = 24
:

4. ƒ n(-1)n. n
Fungsi Pembangkit
1) Kombinasi 𝑐 𝑟𝑛 = 𝑘 𝑟 = ( 𝑛
𝑟
) =
𝑛 !
( 𝑛−𝑟)!𝑟!𝑛
2) Permutasi 𝑝𝑟𝑛 =
𝑛!
( 𝑛−𝑟)!
Contoh:
𝐾25 = (
5
2
) =
5!
(5 − 2)!2!
=
5.4.3.2.1
3.2.1.2.1
=
20
2
= 10
Deret
1
(1−𝑥) 𝑛 ≅ ∑ ( 𝑛+𝑘−1
𝑘
)𝑛
𝑘=0 𝑥 𝑘
1
(1 − 𝑥)3
≈ ∑ (
3 + 𝑘 − 1
𝑘
)
3
𝑘=0
𝑥 𝑘
= ∑ (
𝑘 + 2
𝑘
)
3
𝑘=0
𝑥0
𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 (
2
0
) 𝑥0
+ (
3
1
) 𝑥1
+ (
4
2
) 𝑥2
+ (
5
3
) 𝑥3
= 1 + 3𝑥 + 6𝑥2
+ 10𝑥3
Fungsi Pembangkit
1) Fungsi Pembangkit Biasa (FPB)
2) Fungsi Pembangkit Exporter (FPE)
𝐹𝑃𝐵 → 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑎 𝑛
~
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝐹𝑃𝐸 → 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑎 𝑛
~
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝑛!
An barisan bilangan dari suatu deret an = a0,a1, a2, a3, ...
Contoh tentukan fungsi pembangkit (FPB) dari FPE jika an diketahui
𝑎 𝑛 {
0, 𝑛 ≤ 3
1, 𝑛 > 3
→ 𝑎 𝑛 = 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5,…
= 0,0, 0, 0, 1, 1,…
Catatan
𝑒 𝑥
:1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
+ ⋯
1
1 − 𝑥
∶ 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ ⋯
𝐹𝑃𝐵 → 𝑝( 𝑥)∑ 𝑎 𝑛
~
𝑛=0
𝑥 𝑛
: 𝑎4 𝑥4
+ 𝑎5 𝑥5
+ 𝑎6 𝑥6
+ ⋯
P(x) = 1x4 + 1x5 + 1x6 + ...
P(x) = X4 + X5 + X6 + ....
= x4 (1 + x + x2 + x3 + ....)
= 𝑥4
.
1
1 − 𝑥
=
𝑥4
1 − 𝑥
→∴ 𝑝( 𝑥) =
𝑥4
1 − 𝑥
𝐹𝑃𝐸 → 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑎 𝑛
~
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝑛!
= 𝑎4
𝑥4
4!
+ 𝑎5
𝑥5
5!
+ 𝑎6
𝑥6
6!
+ ⋯
𝑝( 𝑥) = 1
𝑥4
4!
+ 1
𝑥5
5!
+ 1
𝑥6
6!
+ ⋯

5. 𝑝( 𝑥) =
𝑥4
4!
+
𝑥5
5!
+
𝑥6
6!
+ ⋯
𝑝( 𝑥) = 𝑒 𝑥
− 1 − 𝑥 −
𝑥2
2!
−
𝑥3
3!
Menentukan An dari fungsi Pembangkit
Contoh: Tentukan An jika p(x) = x2ex
Catatan:
𝑒 𝑥
= 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ ∑
𝑥 𝑛
𝑛!
~
𝑛=0
1
1 − 𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ ∑ 𝑥 𝑛
~
𝑛=0
1) 𝑝( 𝑥) = 𝑥2
𝑒 𝑥
= 𝑥2 ∑
𝑥 𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0 = ∑
𝑥 𝑘+2
𝑘!
𝑛
𝑘=0 = ∑
𝑥 𝑛
( 𝑛−2)!
𝑛
𝑛−2
𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑘 + 2 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 2
𝑎5
. 𝑎2
= 𝑎7
𝑎 𝑛 {
0, 𝑛 < 2
1
( 𝑛 − 2)!
, 𝑛 ≥ 2
, 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐵
𝑎 𝑛 {
0, 𝑛 < 2
𝑛!
( 𝑛 − 2)!
, 𝑛 ≥ 2
, 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐸
2) 𝑝( 𝑥) =
𝑥
(1−𝑥)
= 𝑥1 ∑ 𝑥 𝑘𝑛
𝑘=0 = ∑ 𝑥 𝑘+1𝑛
𝑘=0 = ∑ 1𝑥 𝑛𝑛
𝑛−1
𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑘 + 1 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 1
𝑎 𝑛 {
0, 𝑛 < 1
1, 𝑛 ≥ 1
, 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐵
𝑎 𝑛 {
0, 𝑛 < 1
𝑛!, 𝑛 ≥ 1
, 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐸
Fungsi Pembangkit pada kombinasi
Dari 3 huruf a, b, c ada berapa cara disusun suatu kata sandi dengan syarat:
a) Dipilih paling banyak 2 kali (2x, 1x, 0x)
b) B dan c dipilih paling banyak satu kali (1x, 0x)
P(x) = (1 + x + x2)(1 + x2)
P(x) = (1 + x + x2)(1 + 2x + x2)
= 1 + 2x + x2. ..... (I)
x + 2x2 + x3..........(II)
x2 + 2x3 + x4..........(III)
dari Persamaan (I), (II) dan (III) jika keseluruhan dijumlahkan(ditambah) menjadi:
1 + 3x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4
Variabel 1, 3, 4, 3, 1 merupakan banyaknya cara, dan perpangkatan0, 1, 2, 3, 4
merupakan kata sandi
2 huruf aa, ab, ac, bc

6. 3 huruf abc, aab, aac
4 huruf aabc
Ada berapa cara dapat dipilih sebagai kata sandi dari kata “mati” dengan syarat:
Setiap konsonan dipilih paling sedikit satu kali dan vokal dipilih paling sedikit 0 kali
Kosonan : M, T = 2
Vokal: A, I = 2
P(x) = (x + x2 + x3 +...)2(1 + x + x2 + x3 +....)2
P(x) =x2(1+ x + x2 + x3 + ....)2( 1+x + x2 + x3 +....)2
P(x) = x2(1 + x + x2 + x3 + ...)4
𝑝( 𝑥) =
𝑥2
(1 − 𝑥)4
𝑝( 𝑥) =
𝑥2
(1 − 𝑥)4
= 𝑥2
∑ (
4 + 𝑘 − 1
𝑘
)
~
𝑘=0
𝑥 𝑘
= ∑ (
𝑘 + 3
𝑘
)
~
𝑘=0
𝑥 𝑘+2
, 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎: 𝑘 + 2 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 2
= ∑ (
𝑛 + 1
𝑛 − 2
)
~
𝑛=2
𝑥 𝑛
(
𝑛 + 1
𝑛 − 2
) → 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑛 ≥ 2
3 huruf (3+1
3−2
) = (4
1
) = 4 𝑐𝑎𝑟𝑎
MAT, MIT, MMT, MTT
4 huruf =(5
2
) = 10 𝑐𝑎𝑟𝑎
MATI, MATT, MMAT, MITT, MMIT, MAAT, MIIT, MMTT, MMMT, MTTT
Setiap konsonan dan vokal dipilih paling sedikit 0 kali