Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada matematika SMA dan strata satu, meliputi definisi limit, sifat-sifat limit, contoh soal limit, dan penjelasan lebih lanjut mengenai definisi limit.
Dokumen tersebut membahas tentang aplikasi integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Terdapat tiga metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metoda cakram, metoda cincin, dan metoda kulit tabung.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada matematika SMA dan strata satu, meliputi definisi limit, sifat-sifat limit, contoh soal limit, dan penjelasan lebih lanjut mengenai definisi limit.
Dokumen tersebut membahas tentang aplikasi integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Terdapat tiga metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metoda cakram, metoda cincin, dan metoda kulit tabung.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Interpolasi polinomial Newton menggunakan persamaan rekursif untuk menghitung koefisien polinomial berdasarkan beda terbagi hingga dari data titik. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai fungsi di luar data titik yang diketahui dengan menggunakan polinomial hasil interpolasi.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Contoh soal penyelsaian metode biseksi menggunakan excel ernaernajuliawati
Dokumen tersebut memberikan contoh penyelesaian 6 soal pencarian akar persamaan non-linier menggunakan metode biseksi di Microsoft Excel dengan memberikan penjelasan langkah-langkah algoritmanya dan kesimpulannya.
Macam Macam Metode menghitung determinanradar radius
Tugas akhir ini membahas dua metode baru untuk menghitung determinan matriks berukuran n x n. Metode pertama menghitung determinan matriks n x n (n ≥ 5) dengan mereduksi ordo menjadi (n - 4) x (n - 4). Metode kedua menghitung determinan matriks n x n (n ≥ 3) dengan mereduksi determinan menjadi ordo 2.
Ringkasan dokumen tersebut adalah sebagai berikut:
1. Dokumen tersebut membahas konsep penyelidikan dalam pendidikan dan penelitian tindakan kelas.
2. Beberapa definisi penyelidikan diberikan dan langkah-langkah penyelidikan dijelaskan.
3. Penelitian tindakan kelas didefinisikan sebagai penyelidikan yang dilakukan oleh guru untuk meningkatkan pembelajaran murid.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Interpolasi polinomial Newton menggunakan persamaan rekursif untuk menghitung koefisien polinomial berdasarkan beda terbagi hingga dari data titik. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai fungsi di luar data titik yang diketahui dengan menggunakan polinomial hasil interpolasi.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Contoh soal penyelsaian metode biseksi menggunakan excel ernaernajuliawati
Dokumen tersebut memberikan contoh penyelesaian 6 soal pencarian akar persamaan non-linier menggunakan metode biseksi di Microsoft Excel dengan memberikan penjelasan langkah-langkah algoritmanya dan kesimpulannya.
Macam Macam Metode menghitung determinanradar radius
Tugas akhir ini membahas dua metode baru untuk menghitung determinan matriks berukuran n x n. Metode pertama menghitung determinan matriks n x n (n ≥ 5) dengan mereduksi ordo menjadi (n - 4) x (n - 4). Metode kedua menghitung determinan matriks n x n (n ≥ 3) dengan mereduksi determinan menjadi ordo 2.
Ringkasan dokumen tersebut adalah sebagai berikut:
1. Dokumen tersebut membahas konsep penyelidikan dalam pendidikan dan penelitian tindakan kelas.
2. Beberapa definisi penyelidikan diberikan dan langkah-langkah penyelidikan dijelaskan.
3. Penelitian tindakan kelas didefinisikan sebagai penyelidikan yang dilakukan oleh guru untuk meningkatkan pembelajaran murid.
Está enfocada hacia el sufrimiento Psicológico., es una disciplina para encontrar el sentido al proceso de la muerte, susritos e integra a una persona a su vida normal. Analiza diversos aspectos de fallecimientos., la tanatología trata a las personas que enfrentan un duro trance de haber perdido a sus seres queridos no específicamente por muerte sino también en pérdidas ya sea por separación de algún bien, por divorcio, etc.
Guatemala tiene una rica historia cultural que se expresa a través del arte, la música, el teatro y la danza. El patrimonio cultural guatemalteco incluye ferias patronales y celebraciones locales. Existen cuatro grupos étnicos principales - ladinos, mayas, garífunas y xinkas - que representan 24 grupos étnicos distintos definidos por sus diferentes idiomas.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Taller en materia de prevención integral comando de la Aviación del Ejército.fradia perez
El resumen del documento en 3 oraciones es:
Se llevó a cabo un taller de prevención del consumo de drogas en el Comando de la Aviación del Ejército Bolivariano, impartido por el 1TTE. Fraida Virginia Pérez Colmenarez a 12 miembros del personal. El taller cubrió diversos temas relacionados a la prevención del consumo de drogas y sus efectos en el organismo durante 40 minutos. Los resultados mostraron que se proporcionó conocimiento sobre el tema y se alentó la participación de los presentes.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor desempenho. O dispositivo também possui recursos adicionais de inteligência artificial e segurança de dados aprimorados. O lançamento do novo smartphone está programado para o final deste ano.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida y los métodos de integración. Explica que la integral definida se usa para calcular el área delimitada por curvas y líneas, y proporciona propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que cambiar los límites cambia el signo. También introduce la función integral, cuyo teorema fundamental establece que su derivada es la función original, lo que permite calcular integrales mediante antiderivadas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones como calcular áreas
La Segunda Guerra Mundial se desarrolló entre 1939 y 1945, con Alemania e Italia enfrentadas a los Aliados como Francia, Reino Unido y más tarde Estados Unidos y la Unión Soviética. La guerra comenzó con la invasión alemana a Polonia y terminó con los bombardeos atómicos sobre Hiroshima y Nagasaki que forzaron la rendición de Japón. El conflicto dejó aproximadamente 50 millones de muertos y enormes destrucciones en Europa y Asia.
El documento describe los diferentes tipos de vesículas y su función en el transporte de material dentro de la célula, incluyendo vesículas que transportan material desde el retículo endoplasmático al aparato de Golgi, vesículas que transportan material desde el aparato de Golgi a la membrana plasmática a través de la exocitosis, y vesículas que transportan material desde la membrana plasmática al interior de la célula a través de la endocitosis. También describe los diferentes orgánulos como el retículo endoplasmá
El documento describe los principios del diseño y construcción sostenible de edificios. Explica que el diseño sostenible puede proporcionar beneficios económicos, ambientales y sociales mediante el uso responsable de recursos. Detalla varias estrategias para lograr la sostenibilidad como el control solar, la orientación, el aislamiento térmico y la reducción del impacto ambiental.
1. Dokumen tersebut membahas tentang determinan matriks dan eigenvektor, termasuk definisi, rumus, dan contoh perhitungan determinan matriks berukuran 1x1, 2x2, dan 3x3 serta sifat-sifatnya.
2. Dibahas pula definisi minor, kofaktor, ekspansi Laplace, teorema-teorema yang berkaitan dengan operasi baris elementer terhadap determinan matriks.
3. Contoh perhitungan determinan matriks disertai pen
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, relasi, dan fungsi. Secara singkat, dibahas definisi matriks dan jenis-jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Kemudian dibahas operasi-operasi pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan matriks, serta determinan matriks.
1. Dokumen tersebut membahas tentang matriks dan determinan.
2. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom.
3. Determinan merupakan nilai karakteristik untuk setiap matriks bujur sangkar.
Dokumen ini membahas operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, perkalian matriks, determinan, minor, kofaktor, adjoint, dan invers matriks. Juga dibahas penyelesaian persamaan linier menggunakan matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks dan determinan. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom, sedangkan determinan adalah nilai karakteristik untuk setiap matriks bujur sangkar. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa operasi pada matriks seperti penjumlahan, perkalian, dan transposisi serta beberapa jenis matriks khusus seperti matriks diagonal dan matriks satuan.
Perkuliahan membahas tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, determinan, dan matriks invers. Materi penting lainnya adalah persamaan linier simultan.
Materi Matematika Determinan - Bagaimana Menghitung Determinan Matriks ?
Sebuah matriks agar dapat dihitung determinannya memiliki syarat yaitu harus merupakan matriks persegi.
Teks tersebut membahas tentang matriks dan determinan. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom, sedangkan determinan adalah nilai karakteristik suatu matriks bujur sangkar. Determinan diperlukan untuk menentukan apakah suatu matriks singular atau tidak.
Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.
Dokumen tersebut membahas penggunaan matriks untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel, termasuk definisi determinan, perkalian matriks, dan metode penyelesaian seperti invers matriks dan determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan dua matriks, serta beberapa konsep terkait matriks seperti transpose, kesamaan, dan lawan suatu matriks.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep dasar vektor, termasuk definisi vektor skalar dan vektor, notasi vektor, vektor yang sama dan berlawanan, operasi vektor seperti penjumlahan dan pengurangan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Modul ini membahas berbagai teori belajar yang relevan dengan pembelajaran IPA di SMP serta implementasinya dalam pembelajaran, termasuk teori Piaget, Bruner, dan Ausubel.
Teks tersebut merangkum urutan peristiwa mulai dari tanda-tanda kecil kiamat hingga kiamat besar berdasarkan pendapat beberapa ulama, dibagi menjadi 3 fase yaitu:
1) Fase 1 mulai dari perang dunia ke-3 hingga munculnya Imam Mahdi
2) Fase 2 masa keemasan Islam di bawah pimpinan Imam Mahdi dan Nabi Isa hingga wafatnya keduanya
3) Fase 3 tanda-tanda
Dokumen tersebut berisi dua hadis tentang toleransi dan kerukunan antar umat manusia. Hadis pertama menekankan pentingnya bersikap baik kepada sesama, sedangkan hadis kedua mengajarkan untuk mencintai tetangga seperti mencintai diri sendiri. Kedua hadis tersebut mendorong umat manusia untuk hidup rukun dan toleran satu sama lain.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum bacaan mad dalam Al-Quran. Terdapat empat jenis hukum bacaan mad yaitu mad lazim mukhoffaf kilmi, mutsaqqal kilmi, mukhoffaf harfi, dan mutsaqqal harfi. Dokumen menjelaskan pengertian, contoh, dan perbedaan keempat jenis hukum bacaan mad tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian Al-Quran dan Hadis. Al-Quran didefinisikan sebagai kalam Allah yang diturunkan kepada Nabi Muhammad saw dan tertulis dalam mushaf. Fungsinya antara lain sebagai petunjuk, penjelas, dan pembeda antara yang benar dan salah. Hadis diartikan sebagai perkataan, perbuatan, dan ketetapan Nabi Muhammad saw yang diriwayatkan oleh sahabatnya.
Dokumen ini membahas pengertian dan syarat-syarat qurban. Qurban berarti mendekatkan diri kepada Allah dengan menyembelih hewan tertentu seperti unta, sapi, atau kambing yang sudah cukup umur dan bebas cacat. Tata cara penyembelihannya adalah menghadap kiblat, memotong urat leher hingga putus, lalu menguliti setelah binatang mati.
1. Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dakwah, metode dakwah, dan macam-macam dakwah menurut Al-Quran.
2. Dakwah didefinisikan sebagai seruan, ajakan, dan panggilan untuk berbuat baik dan beriman kepada Allah sesuai syariat Islam.
3. Metode dakwah menurut Al-Quran adalah dengan hikmah, nasehat yang menyentuh, dan debat yang baik.
Hadis-hadis di atas memberikan informasi tentang konservasi lingkungan dan kelestarian alam menurut ajaran Islam. Hadis pertama mendorong umat Islam untuk menghidupkan kembali lahan yang mati dan akan menjadi milik mereka. Hadis kedua memberikan hak penggunaan air kepada mereka yang menggali sumur. Hadis ketiga dan keempat melarang tindakan-tindakan yang merusak lingkungan seperti mengebiri dan mengurung binatang secara tidak
1. Gerak endonom dan esionom merupakan dua jenis gerak tumbuhan. Gerak endonom adalah gerak spontan tanpa rangsangan luar, seperti pertumbuhan daun. Gerak esionom disebabkan rangsangan lingkungan seperti tropisme (fototropisme, geotropisme, hidrotropisme) dan nasti (fotonasti, termonasti).
2. Tropisme adalah gerak tumbuh yang arahnya menuju atau menjauhi sumber rangsangan,
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Determinan matriks derajat dua, tiga, empat dan lebih tinggi
1. Determinan
Determinan
Yang dimaksud dengan determinan atau disingkat D adalah suatu bentuk susunan elemen
elemen 𝑎𝑖𝑗 yang disusun menurut jejeran baris-baris dan jejeran kolom-kolom sedangkan
banyaknya jejeran baris haruslah sama dengan banyaknya jejeran kolom. Matriks adalah
susunan unsur-unsur / bilangan yang berbentuk baris dan kolom. Banyaknya baris dan
banyaknya kolom dari sebuah matriks disebut ordo matriks.
det 𝐴 =
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑖 𝑎1𝑗 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑖 𝑎2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑖 𝑎3𝑗 ⋯ 𝑎3𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 ⋯ 𝑎𝑖𝑖 𝑎𝑖𝑗 ⋯ 𝑎𝑖𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 ⋯ 𝑎 𝑛𝑖 𝑎 𝑛𝑗 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|
… … .(1)
Atau disingkat :
det 𝐴 = |𝑎𝑖𝑗| , ( 𝑖 = 1, 2, 3,… 𝑛 ) ,( 𝑗 = 1, 2, 3, … 𝑛)
a) Transpose matriks
Transpose dari matriks a, ditulis At adalah dengan merubah baris dari matriks semula menjadi
kolom atau merubah baris dari matriks semula menjadi kolom atau merubah kolom dari
matriks semula menjadi baris
Contoh:𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝐴 = |
1 2 3
4 −1 5
| , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴𝑡
= |
1 4
2 −1
3 5
|
Sehingga apabila ordo dari matriks adalah m x n, maka ordo dari transposenya n x m
b) Penjumlahan dan pengurangan matriks
Dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau bisa dikurangi apabila ordo dari matriks
tersebut sama. Adapun cara menjumlahkan dan menguranginya adalah unsur unsur yang
seletaknya dijumlahkan dan dikurangi
𝐴 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| , 𝐵 = |
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
|
𝐴 ± 𝐵 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| ± |
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
| = |
𝑎1 ± 𝑏1 𝑎3 ± 𝑏3
𝑎2 ± 𝑏2 𝑎4 ± 𝑏4
|
c) Perkalian matriks pada skalar
Untuk menetukan hasil perkalian sebuah matriks dengan skalar k adalah dengan cara
mengalikan skalar k tersebut dengan semua unsur yang ada pada matriks tersebut
𝐴 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
|
𝑘. 𝐴 = 𝑘 |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| = |
𝑘𝑎1 𝑘𝑎2
𝑘𝑎3 𝑘𝑎4
|
2. Jika h dan k adalah bilangan real, A dan B adalah matriks matriks berordo m x n,
maka berlaku sifat sifat:
(1) (h + k) A = hA + kA (4) I A = A
(2) k (A + B) = kA + kB (5) (-1) A = -A
(3) h (kA) = (hk) A
d) Dua buah matriks dikatakan sama apabila ordo dari kedua matriks tersebut sama dan
unsur unsur yang seletaknya sama
e) Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriks yang sebelah
kiri sama dengan banyaknya baris dari matriks yang sebelah kanan, dan tidak berlaku
sifat komutatif A x B ≠ B x A
Misalnya:
𝑑𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎ℎ𝑢𝑖 𝐴 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
|, 𝐵 = |
𝑏1 𝑏3
𝑏2 𝑏4
|
𝐴 𝑥 𝐵 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| |
𝑏1 𝑏3
𝑏2 𝑏4
| = |
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 𝑎1 𝑏3 + 𝑎2 𝑏4
𝑎3 𝑏1 + 𝑎4 𝑏2 𝑎3 𝑏3 + 𝑎4 𝑏4
|
Berdasarkan hasil yang diperoleh, disimpulkan:
Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif AB ≠ BA
Perkalian matriks bersifat asosiatif, (AB) C = A (BC)
Jika I adalah matriks identitas maka A.I = I.A = A
f) Pemangkatan matriks persegi
Jika A adalah sebuah matriks m x m, maka perkalian (A.A...A) = k faktor dapat
dinyatakan dengan Ak, jadi jika k sebuah bilangan bulat positif, maka Ak = A.A...A
A.A = A²
A.A.A = A. A² = A³
A.A.A....A = Aⁿ
g) Invers dari matriks ordo 2 x 2
Jika diketahui matriks 𝐴 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| maka balikan dari matriks A atau invers dari
matriks A ditulis 𝐴−1
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
( 𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
h) Determinan matriks derajat dua
Jika diketahui 𝐴 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| maka besarnya matriks A / determinan matriks A / det A
ditulis | 𝐴| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
i) Invers matriks ordo 3 x 3
Langkah langkah mencarinya:
1) Cari kofaktor (M) dari matriks tersebut
|
𝑀11 −𝑀12 𝑀13
−𝑀21 𝑀22 −𝑀23
𝑀31 −𝑀32 𝑀33
| M11 maksudnya cari determinannya dengan mencoret
baris ke 1 dan kolom ke 1
2) Cari adjointnya yaitu transpose dari ke faktor diatas
3) Cari determinannya
4) Cari inversnya dengan rumus 𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑥 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡𝑛𝑦𝑎 𝐴
3. Misalnya:
Tentukan invers dari 𝐵 = |
2 −1 1
4 3 −2
−3 1 −1
|
1) Cari determinan B = | 𝐵| = 1
2) Cari kofaktor B
M11 = 3(-1)- (-2)1= -1
M12 = 4 (-1) – (-2)(-3) = -10
M13 = 4(1) – 3(-3) = 13
M21 = -1(-1) – 1(1) = 0
M22 = 2(-1) – 1(-3) = 1
M23 = 2(1) – (-1)(-3) = -1
M31 = -1(-2) – 1(3) = -1
M32 = 2(-2) – 1(4) = -8
M33 = 2(3) – (-1)(4) = 10
3) Adjoint 𝐵 = |
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
|
4) Invers 𝐵 = 𝐵−1
=
1
det 𝐵
𝑥 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐵
=
1
1
|
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
|
𝐵−1
= |
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
|
j) Dua matriks saling invers
Jika A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama sehingga AB = BA = I,
Maka B merupakan invers dari A dan A merupakan invers dari B. perhatikan!
𝐴 = |
1 1
1 2
| , 𝐵 = |
2 −1
−1 1
| , 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝐴𝐵 = |
1 1
1 2
| |
2 −1
−1 1
| = |
1 0
0 1
| = 𝐼
𝐵𝐴 = |
2 −1
−1 1
| |
1 1
1 2
| = |
1 0
0 1
| = 𝐼
Terlihat bahwa AB = BA = I. Invers dari matriks A dituliskan A-1, sehingga:
𝐴. 𝐴−1
= 𝐴−1
𝐴 = 𝐼
k) Membuktikan Rumus matriks berordo 2
Untuk menujukkan bahwa A-1 adalah inver dari matriks A maka kita harus
membuktikan bahwa A.A-1 = I
Misalnya: diket 𝐴 = | 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
|
𝐴−1
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
|
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
| akan dibuktikan bahwa A.A-1 = I
𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝐴. 𝐴−1
= 𝐼
Kita uraikan ruas kirinya
4. |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| .
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
|
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
| = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
||
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
|
|
𝑎𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑏(−𝑐)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎(−𝑏)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑏(𝑎)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑑(−𝑐)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐(−𝑏)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑑(𝑎)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
| 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖!
|
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑎𝑏 + 𝑎𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐𝑑 − 𝑐𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
| = |
1 0
0 1
| 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 !
(i) Harga suatu determinan derajat dua atau tiga
a) Definisi: harga suatu determinan derajat dua ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
𝐴2 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 … …(2)
b) Definisi: harga suatu determinan derajat tiga
Untuk menentukan harga suatu determinan derajat tiga, ditentukan dengan suatu aturan
yang dinamakan ekspansi/ babaran menurut suatu baris atau menurut suatu kolom dari
determinan tersebut sebagai contoh:
𝐴1 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| − 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| … …(3)
Merupakan det A3 yang dibabarkan menurut baris pertama dari (2) diperoleh harga :
𝐴3 = 𝑎11( 𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32) − 𝑎12( 𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 ( 𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 )
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31
𝑎𝑡𝑎𝑢
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 … …. (3′)
Bila det A3 dibabarkan menurut kolom kedua maka harga determinan adalah sebagai
berikut:
𝐴2 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = −𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| + 𝑎22 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎32 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| … … (4)
Dari (2) diperoleh harga:
𝐴3 = −𝑎12( 𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31) + 𝑎22 ( 𝑎11 𝑎33 − 𝑎13 𝑎31) − 𝑎32 ( 𝑎11 𝑎23 − 𝑎13 𝑎21)
= −𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 … …. (4′)
Ternyata bahwa dari (3) dan (4) diperoleh hasil yang sama ialah (3’) = (4’)
(ii) Minor
Dalam bentuk (3) pada (i) diatas secara berurutan determinan determinan:
|
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| , |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| , 𝑑𝑎𝑛 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎33
| masing masing disebut minor dari elemen
elemen a11 , a12 , a13 dalam det A3 tersebut
Demikian juga dalam bentuk (4) determinan determinan:
5. |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| , |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| , 𝑑𝑎𝑛 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| masing masing adalah minor dari elemen
elemen a12 , a22 , a32 dalam det A3 tersebut
Dengan demikian bila dalam determinan:
𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑀𝑖𝑗, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, maka harga determinan dapat
diperoleh sebagai berikut:
𝐴3 = 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 … … …. (5)
atau
= −𝑎21 𝑀21 + 𝑀22 − 𝑎23 𝑀23 … … …. (6)
atau
= 𝑎31 𝑀31 − 𝑎32 𝑀32 + 𝑎33 𝑀33 …… … . (7)
atau
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎21 𝑀21 + 𝑎31 𝑀31 … … …. (8)
atau
= −𝑎12 𝑀12 + 𝑎22 𝑀22 − 𝑎32 𝑀32 … … …. (9)
atau
= 𝑎13 𝑀13 − 𝑎23 𝑀23 + 𝑎33 𝑀33 …… … . (10)
Bentuk (5), (6), dan (7) adalah harga det A yang masing masing dibabarkan menurut baris
pertama, kedua dan ketiga sedangkan bentuk (8), (9) dan (10) adalah harga det A yang
masing masing dibabarkan menurut kolom pertama,kedua dan ketiga, dimana harga (5) = (6)
= (7) = (8) = (9) = (10)
Tanda positif atau negatif dari suatu minor ditentukan oleh letak elemen yang membentuk
minor tersebut yaitu sebagai berikut
Bila Mij adalah minor dari elemen aij dalam suatu determinan maka tanda Mij ditentukan
dengan harga:
(-1)i+j ..............................(11)
Yang berarti bahwa:
Bentuk (11) berharga positif (+) bila i+j adalah genap dan berharga negatif (-) bila i+j adalah
ganjil
Dengan menggunakan ketentuan (11) maka harga det A dapat diperoleh seperti yang
diberikan dalam bentuk (5) sampai dengan (10) misalnya bentuk (5) dan (9) seperti berikut:
6. 𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= (−1)1+1
𝑎11 𝑀11 + (−1)1+2
𝑎12 𝑀12 + (−1)1+3
𝑎13 𝑀13
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 𝑠𝑒𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎(5)
Atau
= (−1)1+2
𝑎12 𝑀12 + (−1)2+2
𝑎22 𝑀22 + (−1)3+2
𝑎32 𝑀32
= −𝑎12 𝑀12 + 𝑎22 𝑀22 − 𝑎32 𝑀32 𝑠𝑒𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎(9)
(iii) Harga determinan derajat tiga dengan metode diagonal
Harga determinan derajat tiga yang telah disajikan dalam (i) bagian (b) dengan rumus (3’)
atau (4’) dapat diperoleh sebagai berikut:
Letakkan dua kolom pertama (dari deterinan ) pada sebelah kanan determinan, sehingga
seolah-olah merupakan kolom keempat dan kelima.
Maka harga determinan A3 sama dengan jumlah dari hasil pergandaan elemen elemen
yang terletak pada diagonal pokok dan elemen elemen yang terletak menurut arah garis
yang sejajar dengan diagonal pokok tersebut, selanjutnya dikurangi (minus) hasil
pergandaan elemen elemen menurut arah diagonal yang lain seperti terbaca pada skema
dibawah ini:
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
𝑗𝑎𝑑𝑖 𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Seperti terbaca pada (3’) atau (4’) di muka
Perhatikan cara (iii) ini hanya berlaku untuk determinan derajat tiga
(iv) Harga determinan derajat empat atau lebih
Menghitung harga determinan derajat empat atau lebih dapat dilakukan dengan cara
babaran menurut suatu baris atau kolom seperti diuraikan dalam (ii) diatas sehingga
diperoleh bentuk bentuk determinan yang berderajat satu atau lebih kecil dari derajat
determinan semula. Proses babaran diteruskan, sehingga pada langkah terakhir diperoleh
bentuk-bentuk determinan derajat dua atau tiga yang selanjutnya dapat diselesaikan
dengan (i) atau (ii) di muka
Bila An adalah determinan yang berderajatr n dengan bentuk seperti berikut:
7. 𝐴 𝑛 =
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑗 𝑎2𝑛
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛𝑛
|
|
Dan bila An dibabarkan menurut baris ke i, maka harga determinan adalah sebagai berikut:
𝐴 𝑛 =
|
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑗 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎3𝑗 𝑎3𝑛
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛𝑛
|
|
|
= (−1)𝑖+1
𝑎𝑖1 𝑀𝑖1 + (−1)𝑖+2
𝑎𝑖2 𝑀𝑖2 + (−1)𝑖+3
𝑎𝑖3 𝑀𝑖3 + ⋯+ (−1)𝑖+𝑗
𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 + ⋯
+ (−1)𝑖+𝑛
𝑎𝑖𝑛 𝑀𝑖𝑛 …… . (12)
Mij adalah minor elemenaij dan Mij merupakan determinan yang berderajat (n-1) atau satu
lebih kecil dari derajat An sedangkan elemen elemen Mij diambil dari (terdiri dari) elemen
elemen An yang telah dibuang / dihapus baris ke i dan kolom ke j nya berarti derajat Mij
adalah (n-1)
Bentuk (12) di muka dapat ditulis menjadi
𝐴 𝑛 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + 𝑎𝑖3 𝐴𝑖3 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 … …. (13)
Ai1, Ai2 , Ai3, ... Aij, ..... , Ain masing masing dinamakan kofaktor dari elemen elemen Ai1,
ai2 , ai3, ... aij, ..... , ain dalam determinan An dan 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗
𝑀𝑖𝑗 …… … . (13′
)
Bentuk rumus (13) berarti bahwa harga det An sama dengan jumlah hasil pergandaan
elemen elemen baris ke i dan kofaktor - kofaktor yang bersesuaian dari masing masing
elemen tersebut
Secara umum diperoleh:
Harga suatu determinan sama dengan jumlah hasil pergandaan elemen elemen menurut
suatu baris (kolom) dan kofaktor- kofaktor yang bersesuaian dari masing- masing elemen
tersebut.
Misalkan n = 4 maka diperoleh determinan berderajat empat dengan bentuk dan harganya
sebagai berikut:
8. 𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
Dan bila dibabarkan menurut baris ketiga, maka:
𝐴3 = 𝑎31 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎42 𝑎43 𝑎44
| − 𝑎32 |
𝑎11 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎24
𝑎41 𝑎43 𝑎44
| + 𝑎33 |
𝑎11 𝑎12 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎24
𝑎41 𝑎42 𝑎44
|
− 𝑎34 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎41 𝑎42 𝑎43
|
Dari contoh diatas, bila suatu determinan berderajat empat dikembangkan menurut suatu
baris atau kolom, maka diperoleh empat macam / bentuk determinan derajat tiga. Demikian
juga dapat diperoleh:
Bila suatu determinan berderajat lima dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka akan
diperoleh lima macam / bentuk determinan berderajat empat
𝐴4 = |
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎51 𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
|
= 𝑎11 𝑀11 + 𝑎21 𝑀21 +𝑎31 𝑀31 + 𝑎41 𝑀41 + 𝑎51 𝑀51
= (−1)1+1
𝑎11 𝑀11 + (−1)2+1
𝑎21 𝑀21+(−1)3+1
𝑎31 𝑀31 + (−1)4+1
𝑎41 𝑀41
+ (−1)5+1
𝑎51 𝑀51
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎21 𝑀21 +𝑎31 𝑀31 − 𝑎41 𝑀41 + 𝑎51 𝑀51
11. Bila suatu determinan berderajat enam dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka
akan diperoleh enam macam / bentuk determinan berderajat lima
Jadi, untuk menghitung harga suatu determinan berderajat enam dengan cara babaran akan
menghasilkan:
6𝑥5𝑥4 =
6!
3!
macam/bentuk determinan berderajat tiga (yang selanjutnya dapat diselesaikan)
Bila suatu determinan berderajat n dibabarkan , maka dapat diperoleh
𝑛!
3!
macam / bentuk
determinan berderajat tiga
(v) Sifat sifat detrminan
Untuk pembuktian sifat sifat berikut ini lebih banyak disajikan dalam betuk contoh,
langkah ini diambil untuk mudah dipahami oleh para pemakai yang selanjutnya sifat sifat
tersebut dapat diperluas berlaku umum:
(a) Babaran suatu determinan berderajat n, menghasilkan/ memuat n! suku
Bukti! Seperti yang telah diuraikan pada (iv) di muka. Maka bila suatu determinan
berderajat n dibabarkan dapat diperoleh
𝑛!
3!
bentuk determinan derajat 3
Pada determinan derajat tiga bila dibabarkan akan memuat / menghasilkan 3 bentuk
determinan derajat dua yang masing masing menghasilkan dua suku, sehingga bila suatu
determinan berderajat n dibabarkan maka diperoleh:
(
𝑛!
3!
𝑥 3 𝑥 2) suku atau n! suku
catatan: setiap suku tersebut merupakan hasil pergandaan elemen elemen yang diambil
satu dan hanya satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom
(b) Harga suatu determinan tidak berubah, bila baris-baris dan kolom-kolom yang
bersesuaian / berkorespondensi ditukar tempatnya
12. Bukti: untuk bukti diambil contoh determinan derajat tiga yang selanjutnya dapat
diperluas untuk determinan dengan derajat lebih dari tiga
Misalnya: 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎23 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Bila pada determinan A tersebut diatas ini:
Baris pertama ditukar dengan kolom pertama
Baris kedua ditukar dengan kolom kedua
Baris ketiga ditukar dengan kolom ketiga
Maka diperoleh det 𝐵 = |
𝑎11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎31 𝑎12 𝑎23 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎11 𝑎32 𝑎23 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33
= 𝑎11 𝑎22 𝑎23 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Yang ternyata merupakan harga det A
(c) Bila dalam suatu determinan terdapat suatu baris atau suatu kolom semua elemenya
adalah nol. Maka harga determinan tersebut sama dengan nol
Bukti: sebagai akibat dari catatan sifat (a) di muka.
(d) Bila dua baris atau dua kolom yang berurutan dalam suatu determinan ditukar tempatnya,
maka harga determinan hanya berubah dalam tanda
Bukti: diambil contoh pada determinan derajat tiga
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎23 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32
− 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Bila kolom kedua dan ketiga ditukar maka diperoleh determinan
13. 𝐴 = |
𝑎11 𝑎13 𝑎12
𝑎21 𝑎23 𝑎22
𝑎31 𝑎33 𝑎32
| = 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎12 𝑎23 𝑎31 −
𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎13 𝑎21 𝑎32
= 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − ( 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 )
= −( 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 ) + 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎12 𝑎21 𝑎23
= −𝐴
(e) Bila dua baris atau dua kolom dari suatu determinan adalah identik, maka harga
determian tersebut sama dengan nol
Bukti: misalkan baris kedua dan ketiga dari determinan A adalah identik dan bila kedua
baris tersebut ditukar tempatnya satu dengan yang lain, maka dari sifat (d) diperoleh:
A = -A atau 2A=0 → A =0
Jadi harga determinan A = 0
(e2) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari suatu determinan digandakan
dengan suatu besaran k, maka harga determinan yang terjadi(baru) sama dengan hasil
ganda k dengan determinan semula.
Bukti: determinan dibabarkan menurut baris atau kolom yang elemen elemennya telah
digandakan k, maka akan diperoleh bentuk babaran determinan semula menurut baris
atau kolom tersebut dengan setiap sukunya digandakan k.
Misalnya determinan semula adalah A berderajat empat atau ditulis:
𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
baris ketiga digandakan k dan determinan yang baru dsinamakan b, maka
𝐵 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑘𝑎31 𝑘𝑎32 𝑘𝑎33 𝑘𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
14. dibabarkan menurut baris ketiga, maka diperoleh harga determinan B
𝐵 = 𝑘𝑎31 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎42 𝑎43 𝑎44
| − 𝑘𝑎32 |
𝑎11 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎24
𝑎41 𝑎43 𝑎44
| + 𝑘𝑎33 |
𝑎11 𝑎12 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎24
𝑎41 𝑎42 𝑎44
|
− 𝑘𝑎34 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎41 𝑎42 𝑎43
|
yang berarti bahwa ruas kanan adalah hasil ganda besaran k dengan determinan A (yang
dibabarkan menurut baris ketiga)
𝑗𝑎𝑑𝑖 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑘𝑎31 𝑘𝑎32 𝑘𝑎33 𝑘𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| = 𝑘 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
(e3) bila elemen elemen yang bersesuaian / berkorespondensi dari dua baris atau dua kolom
dalam suatu determinan adalah sebanding, maka harga determinan sama dengan nol
Bukti: misalnya pada determinan derajat empat elemen elemen yang dimaksud adalah
elemen elemen dalam kolom ke dua dan ketiga yang bersesuaikan adalah sebanding,
yang berarti:
𝑎12
𝑎13
=
𝑎22
𝑎23
=
𝑎32
𝑎33
=
𝑎42
𝑎43
= 𝑐, maka
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| = |
𝑎11 𝑎13 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎33 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎43 𝑎43 𝑎44
|
= 𝑐 |
𝑎11 𝑎13 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎33 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎43 𝑎43 𝑎44
| … 𝑑𝑎𝑟𝑖 ( 𝑒2)
= 𝑐. 0 = 0… … …… … …… . . 𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝑒1)
(f) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom tertentu dalam suatu determian
merupakan penjumlahan dua suku, maka bentuk determian semula dapat disajikan dalam
bentuk penjumlahan dua determinan yang elemen elemennya merupakan pemisahan dari
dua suku pada baris atau kolom yang lain adalah sama seperti pada determinan semula.
15. Atau lebih jelasnya sebagai berikut, pada determinan A berderajat tiga, setiap elemen
dalam baris kedua merupakan penjumlahan dua suku, maka
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
( 𝑎21 + 𝑎′
21 ) ( 𝑎22 + 𝑎′
22) (𝑎23 + 𝑎′
23)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| + |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
Bukti: untuk pembuktian disini diambil determinan A tersebut diatas dan dibabarkan
menurut baris kedua, maka:
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
( 𝑎21 + 𝑎′
21 ) ( 𝑎22 + 𝑎′
22) (𝑎23 + 𝑎′
23)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= −( 𝑎21 + 𝑎′
21)|
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| + ( 𝑎22 + 𝑎′
22)|
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − ( 𝑎23 + 𝑎′
23 )|
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
|
= −𝑎21 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| + 𝑎22 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎23 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
| − 𝑎′
21 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
|
+ 𝑎′
22 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎′
23 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
|
Jadi dari (ii) pada (b) diperoleh:
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
( 𝑎21 + 𝑎′
21 ) ( 𝑎22 + 𝑎′
22) (𝑎23 + 𝑎′
23)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| + |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎′21 𝑎′22 𝑎′23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
(g) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom setelah digandakan dengan suatu
besaran k, kemudian ditambahkan pada setiap elemen yang bersesuaian dari baris atau
kolom yang lain dalam suatu determinan, maka harga determinan tersebut tidak berubah.
Bukti: diambil determinan A berderajat empat
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
16. bila setiap elemen dari kolom ketiga digandakan dengan k, kemudian ditambahkan pada
setiap elemen yang bersesuaian dari kolom kedua, maka diperoleh:
||
𝑎11 ( 𝑎12 + 𝑘𝑎13) 𝑎13 𝑎14
𝑎21 ( 𝑎22 + 𝑘𝑎23 ) 𝑎23 𝑎24
𝑎31 ( 𝑎32 + 𝑘𝑎33 ) 𝑎33 𝑎34
𝑎41 ( 𝑎42 + 𝑘𝑎43 ) 𝑎43 𝑎44
|| = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| +
|
𝑎11 𝑘𝑎13 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑘𝑎23 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑘𝑎33 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑘𝑎43 𝑎43 𝑎44
| …… 𝑑𝑎𝑟𝑖 ( 𝑓)
jadi dari (e3) diperoleh:
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| = ||
𝑎11 ( 𝑎12 + 𝑘𝑎13) 𝑎13 𝑎14
𝑎21 ( 𝑎22 + 𝑘𝑎23 ) 𝑎23 𝑎24
𝑎31 ( 𝑎32 + 𝑘𝑎33 ) 𝑎33 𝑎34
𝑎41 ( 𝑎42 + 𝑘𝑎43 ) 𝑎43 𝑎44
||
Sumber: kalkulus, karya H. M hasyim baisuni, editor: Dr. SM Nababan