Modul ini disusun sebagai materi pendamping sisiwa kelas XI SMK dalam rangka Prakrind

1. Modul Matemaika Kelas 11 | 1

2. Modul Matemaika Kelas 11 | 2
INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Pelajari materi terlebih dahulu
2. Kerjakan setiap latihan soal yang ada di setiap KD
3. Kumpulkan setiap latihan soal setelah selesai dikerjakan
4. Pengumpulan hasil latihan soal dapat dilakukan setiap akhir bulan dan atau
pada saat berangkat ke sekolah.
5. Tidak mengumpulkan tugas sama dengan tidak memiliki nilai untuk KD
tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
WA, E_mail dan atau link sekolah
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

3. Modul Matemaika Kelas 11 | 3
KOMPETENSI DASAR
3.19 Menentukan nilai variabel pada persamaan dan fungsi kuadrat
3.20 Menganalisis operasi komposisi dan operasi invers pada fungsi
3.21 Menentukan persamaan lingkaran

4. Modul Matemaika Kelas 11 | 4
KD.19
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel (peubah) x dengan a,b,c bilangan riil dan a  0
adalah sebagai berikut :
a disebut koefisien x2
b koefisien x
c disebut konstanta.
Contoh
Tentukanlah nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat dibawah ini:
a. x2
+ 2x – 3 = 0 ; mempunyai nilai a = 1, b = 2 dan c = -3
b. 2x2
- x - 6 = 0 ; mempunyai nilai a = 2, b = -1 dan c = -6
c. - 2x2
+ 3x – 5 = 0 ; mempunyai nilai a = -2, b = 3 dan c = -5
d. x2
+ 7x = 0 ; mempunyai nilai a = 1, b = 7 dan c = 0
e. - 2x2
+ 8 = 0 ; mempunyai nilai a = -2, b = 0 dan c = 8
f. 0
4
1
2



 xx
x
g. 72243 22
 xxx
Jawab:
a. x2
+ 2x – 3 = 0 ; mempunyai nilai a = 1, b = 2 dan c = -3
b. 2x2
- x - 6 = 0 ; mempunyai nilai a = 2, b = -1 dan c = -6
c. - 2x2
+ 3x – 5 = 0 ; mempunyai nilai a = -2, b = 3 dan c = -5
d. x2
+ 7x = 0 ; mempunyai nilai a = 1, b = 7 dan c = 0
e. - 2x2
+ 8 = 0 ; mempunyai nilai a = -2, b = 0 dan c = 8
f. Bentuk 0
4
1
2



 xx
x
diubah terlebih dahulu ke bentuk umum persamaan kuadrat
0
4
1
2



 xx
x
023
024
0
)4)(2(
)2()4(
2
2






xx
xxx
xx
xxx
Jadi 0
4
1
2



 xx
x
mempunyai nilai a = 1, b = -3, dan c = 2
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

5. Modul Matemaika Kelas 11 | 5
g. Bentuk 72243 22
 xxx diubah terlebih dadhulu ke bentuk umum persamaan kuadrat
72243 22
 xxx
032
074223
2
22


xx
xxx
Jadi 72243 22
 xxx mempunyai nilai a = 1, b = 2, dan c = -3
Catatan : Variabel pada persamaan kuadrat memiliki pangkat paling tinggi dua
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan nilai-nilai variabel yang memenuhi
persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya nilai-nilai variabel itu disebut sebagai penyelesaian atau
akar-akar dari persamaan kuadrat. Sebagai contoh -3 adalah salah satu akar dari persamaan kuadrat x2
+ 2x – 3 = 0 , karena x = -3 memenuhi persamaan kuadrat tersebut, yaitu jika x = -3 kita substitusikan
ke persamaan tersebut, maka diperoleh 9 – 6 – 3 = 0 atau 0 = 0 suatu persamaan yang benar.
Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Adapun cara yang
digunakan pada buku ini adalah sebagai berikut:
a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, kita gunakan sifat faktor
nol, yaitu :
Contoh :
Jika (x – 3)(2 + 3x) = 0, maka x – 3 = 0 atau 2 + 3x = 0
x = 3 atau 3x = - 2
x =
3
2

Jadi penyelesaian (x – 3)(2 + 3x) = 0 adalah x = 3 atau x =
3
2

1) Memfaktorkan persamaan kuadrat , untuk a = 1
Berarti bentuk persamaan kuadrat menjadi x2
+ bx + c = 0
Misal p, q bilangan bulat dan bentuk x2
+ bx + c dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q)
x2
+ bx + c  (x + p)(x + q)
 x2
+ px + qx + pq
 x2
+ (p + q)x + pq
dari identitas terakhir dapat disimpulkan p + q = b dan pq = c
Untuk p dan q bilangan riil dan berlaku p x q = 0, maka p = 0 atau q = 0
sehingga bentuk x2
+ bx + c = (x + p)(x + q)
dengan p + q = b dan pq = c

6. Modul Matemaika Kelas 11 | 6
Contoh:
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat dari:
a. 0432
 xx
b. 0652
 xx
c.
x
x
x
x
644 

Jawab :
a. 0432
 xx
 
14
0104
0)1)(4(
01.44
01.414
2
2





xataux
xataux
xx
xxx
xx
Jadi penyelesaiannya adalah x = -4 atau x = 1
b. 0652
 xx
 
32
0302
0)3)(2(
03.232
03.232
2
2





xataux
xataux
xx
xxx
xx
Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 3
c.
x
x
x
x
644 

42
0402
)4)(2(
086
644
644
2
2
2









xataux
xataux
xx
xx
xx
x
x
x
x
Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 4
2). Memfaktorkan persamaan kuadrat , untuk a  1
Misal p, q bilangan bulat dan bentuk ax2
+ bx + c dapat difaktorkan menjadi
a
1
(ax + p)(ax + q)
ax2
+ bx + c 
a
1
(ax + p)(ax + q)

7. Modul Matemaika Kelas 11 | 7

a
1
(a2
x2
+ apx + aqx + pq)
 ax2
+ px + qx +
a
pq
 ax2
+ (p+q)x +
a
pq
dari identitas terakhir dapat disimpulkan p + q = b dan
a
pq
= c atau pq = ac.
Contoh :
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat dari :
a. 12134 2
 xx
b. 15167 2
 xx
Jawab :
a. 12134 2
 xx pilih p = 16 dan q = -3, karena p.q = a.c = -48 dan p+q = b = 13
 
 
4
3
4
)34)(164(
)34)(164(
4
1
4
3.16
)316(4
4
3.16
3164
3.16)3(416.44
4
1
34)164(
4
1
2
2
22









xataux
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
b. 15167 2
 xx pilih p = dan q = karena p.q = a. c = -105 dan p+q = b = 16
 
 
7
5
3
7
21
57217
0)57)(217(
0)57)(217(
7
1
0
7
3.21
)521(7
0
7
3.21
5217
05.21)5(721.77
7
1
057)217(
7
1
2
2
22












xataux
xataux
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
Catatan : Untuk persamaan dalam bentuk akar, maka himpunan penyelesaiannya selalu positif
Sehingga bentuk ax2
+ bx + c =
a
1
(ax + p)(ax + q)
dengan p + q = b dan pq = ac

8. Modul Matemaika Kelas 11 | 8
b. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Dalam melengkapkan kuadrat sempurna kita gunakan bentuk kuadrat sempurna (x + p)2
= x2
+ 2px
+ p2
atau (x – p)2
= x2
– 2px + p2
. Dari kedua bentuk tersebut tampak bahwa suku terakhir ruas
kanan, yaitu p2
adalah setengah dari koefisien x dikuadratkan. Sehingga untuk mengubah bentuk
x2
 px agar menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka kita perlu menambahkan setengah dari
koefisien x dikuadratkan atau (
2
1
b)2
maka: x2
 bx + (
2
1
b)2
= (x 
2
1
b)2
Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna
a. 1142
 xx
b. 04116 2
 xx
Jawab :
a. 1142
 xx
215215
152
15)2(
01544
0114
2
2
2





ataux
x
x
xx
xx
Jadi penyelesaiannya adalah 215215 21  atauxx
b. 0352 2
 xx
 
2
5
1
4
5
4
1
4
5
4
1
4
1
4
5
16
4
5
16
4
5
3
16
1
4
5
2
5
0
2
3
2
5
2
2
2



















ataux
ataux
x
x
x
xx
xx

9. Modul Matemaika Kelas 11 | 9
c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat
(Rumus abc)
Rumus kuadrat dapat diturunkan dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara
melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut :
ax2
+ bx + c = 0
 x2
+ x
a
b
+
a
c
= 0
 x2
+ x
a
b
= -
a
c
 x2
+ x
a
b
+
2
2






a
b
= -
a
c
+
2
2






a
b

a
c
a
b
a
b
x 





 2
22
42
 2
22
4
4
2 a
acb
a
b
x









a
acb
a
acb
a
b
x
2
4
4
4
2
2
2
2




sehingga akar persamaan tersebut adalah
2
4
2
atau
2
4
2
2
2
2
1
a
acb
a
b
x
a
acb
a
b
x




Jadi akar persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 dengan a  0 dapat dicari dengan rumus :
2
42
2.1
a
acbb
x


Contoh :
Tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus abc
a. 0524 2
 xx
b. 0222
 xx
c. 02232
 xx
Jawab :
a. 0524 2
 xx , maka a = 4, b = 2, c = -5
4
62
8
624
8
244
8
2044-
)4(2
)5)(2(4)2(4 2










2
42
2.1
a
acbb
x



10. Modul Matemaika Kelas 11 | 10
Jadi penyelesaiannya
4
62
4
62
21



 xataux
b. 0222
 xx maka a = 1, b = 2, dan c = -2
2
42
2.1
a
acbb
x


2
1
2
01
2
441-
)1(2
)1)(1(4)2(1 2







Jadi penyelesaiannya adalah
2
1
21  xx ( mempunyai akar kem bar)
c. 02232
 xx maka a = 1, b = -3 2 , c = -2
2
42
2.1
a
acbb
x


2
11223
2
4423
2
83623
)1(2
)2)(1(4)23()23( 2








Jadi penyelesaiannya adalah
2
11223
2
11223
21



 xataux
3. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Perhatikan rumus mencari akar persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 adalah
2
42
2.1
a
acbb
x

 .
Bentuk b2
– 4ac disebut diskriminan yang dinotasikan dengan D dan mempunyai arti untuk
membedakan banyaknya dan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
a. Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda, yaitu
2
1
a
Db
x

 dan
2
2
a
Db
x


 Jika D merupakan kudrat sempurna maka kedua akarnya ra
sional (terukur)
 Jika D bukan kuadrat sempurna maka kedua akarnya irrasional ( tidak terukur)

11. Modul Matemaika Kelas 11 | 11
b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama (kembar), yaitu
2
21
a
b
xx


c. Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil, karena D tidak terdefinisi
pada bilangan riil negatif. Selanjutnya agar akar kuadrat bilangan negatif mempunyai arti,
maka didefinisikan bilangan imaginer, yaitu i = 11 2
 i
Dengan menggunakan i kita dapat menentukan nilai 22)1(88 i
Example :
1. Tentukan jenis akar masing-masing persamaan kuadrat berikut tanpa menyelesaikan
persamaannya
a. 0172 2
 xx
b. 0442
 xx
c.   0322
 xx
2. Tentukan nilai p agar persamaan x2
+ 6x + p= 0 mempunyai :
a. Dua akar riil yang berbeda
b. Dua akar riil yang kembar
c. Tidak mempunyai akar riil
Jawab :
1. a. 0172 2
 xx maka a = 2, b = -7, c = 1
acbD 42

41
849
)1)(2(4)7( 2


D
D  0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang berbeda dan kedua
akarnya irrasional
b. 0442
 xx maka a = 1, b = 4, c = 4
acbD 42

0
1616
)4)(1(4)4( 2


D
D = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang sama ( kembar )

12. Modul Matemaika Kelas 11 | 12
c.   0322
 xx
062
062
2
2


xx
xx
maka a = 1, b = 2, c = 6
acbD 42

20
244
)6)(1(4)2( 2


D
D0 maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar riil
2. 𝑥2
+ 6𝑥 + 𝑝 = 0
a.Mempunyai dua akar riil yang berbeda
𝐷 > 0
𝑏2
− 4𝑎𝑐  0
(6)2
− 4(1)(𝑝) > 0
36 − 4𝑝 > 0
−4𝑝 > −36
𝑝 < 9
Jadi persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar riil yang berbeda untuk 𝑝 < 9
b.Dua akar riil yang kembar
𝐷 = 0
𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0
(6)2
− 4(1)(𝑝) = 0
36 − 4𝑝 = 0
−4𝑝 = −36
𝑝 = 9
Jadi persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar riil yang berbeda untuk 𝑝 = 9
c. Tidak mempunyai akar riil
𝐷 < 0
36 – 4𝑝 < 0
−4𝑝 < −36
𝑝 > 9
Jadi persamaan tersebut tidak memiliki akar riil untuk 𝑝 > 9
4. Rumus Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Misalnya 21 dan xx adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0, maka berdasarkan rumus
abc kita dapatkan :
2
42
1
a
acbb
x

 dan
2
42
2
a
acbb
x



13. Modul Matemaika Kelas 11 | 13
a.
2
42
21
a
acbb
xx


2
42
a
acbb 

=
2
44 22
a
acbbacbb 
=
2
2
a
b
=
a
b
b.
2
4
2
4
.
22
21







 







 

a
acbb
a
acbb
xx
=
 
 2a
4b
2
22
acb 
= 2
4
4
a
ac
=
a
c
c.
2
42
21
a
acbb
xx


2
42
a
acbb 

=
   
a
acbbacbb
2
44 22

=
 
a
D
a
acb


2
42 2
Jika
2
42
1
a
acbb
x

 dan
2
42
2
a
acbb
x

 , maka akan kita dapatkan
a
D
xx  21
21
a
b
xxJadi


a
c
xxJadi 21.
Jadi
a
D
xx  21 atau
a
D
xx  21

14. Modul Matemaika Kelas 11 | 14
Contoh
Tanpa menyelesaikan persamaan, hitunglah jumlah, hasil kali dan selisih dari akar-akar persamaan
berikut:
a. 01262
 xx
b. 0672 2
 xx
Jawab :
a. 01262
 xx maka a = 1, b = -6, c = 12
Jumlah akar : 6
1
6
21 


a
b
xx
Hasil kali akar : 12
1
12
. 21 
a
c
xx
Selisih akar :
 
1
)12)(1(464
22
21




a
acb
a
D
xx
i


1
4836
b. 0672 2
 xx maka a = 2, b = -7, c = 6
2
7
2
7
21 


a
b
xx
3
2
6
. 21 
a
c
xx
 
4
1
4
4849
2.2
)6)(2(474
22
21 






a
acb
a
D
xx
Catatan : 1. Bentuk simetris akar persamaan adalah bentuk yang mengan
dung operasi aljabar dari kedua akar(x1 dan x2) yang jika indeksnya ditukar (x1 diganti x2 ) akan diperoleh
hasil yang sama. 2. Bentuk simetris akar persamaan meliputi : a) x1+x2 = x2+x1 , b). x1.x2 = x2.x1 , c). (x1-x2)2
=(x2-x1)2
d)
1221
1111
xxxx

5. Menyusun Persamaan Kuadrat
a.Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Diketahui
Kita cermati kembali bagaimana menyelesaikan (mencari akar) persamaan kuadrat dengan cara
memfaktorkan, misal dengan memfaktorkan selesaikan 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = 0 !
(𝑥 – 1)(𝑥  2) = 0
𝑥 – 1 = 0 atau 𝑥 – 2 = 0
𝑥 = 1 atau 𝑥 = 2
Jika diperhatikan, dengan cara membalik proses penyelesaian tersebut akan didapat suatu
persamaan kuadrat. 𝑥 = 1 atau 𝑥 = 2
𝑥 – 1 = 0 atau 𝑥 – 2 = 0
(𝑥 – 1)(𝑥  2) = 0
𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = 0

15. Modul Matemaika Kelas 11 | 15
Jadi, jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0, maka x = x1 atau x = x2
(x – x1)(x – x2) = 0 ……….. (1) atau
x2
– (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 ………. (2) x2
– (Jml akar)x + Hasil Kali Akar = 0
Persamaan (1) adalah cara menyusun persamaan kuadrat dengan perkalian factor, sedangkan
persamaan (2) adalah cara menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus jumlah dan
hasil kali akar.
Contoh : Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
a. 3 dan –5 b. 5dan5 c. 32dan32 
Jawab :
Dengan persamaan (1) Dengan persamaan (2)
. a. (x  3)(x + 5) = 0 23521  xx
x2
+ 2x  15 = 0    1553. 21 xx
Jadi x2
+ 2x – 15 = 0
b.    055  xx 05521  xx
x2
 5 = 0    555. 21 xx
Jadi x2
– 5 = 0
c.       03232  xx
x2
  32  x +  32  x    3232  = 0
x2
 2x 3x + 2x  3x + 4 – 3 = 0
x2
 4x + 1 = 0
Dengan persamaan (2)
   323221  xx = 4
  3232. 21 xx
= 4 – 3 = 1
Jadi x2
– 4x + 1 = 0
b. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya Diketahui Mempunyai Hubungan dengan
Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya
Jika suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat
baru yang akar-akarnya saling berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Adapun caranya antara lain
1. dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar
2. dengan teknik substitusi

16. Modul Matemaika Kelas 11 | 16
contoh :
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2
+ 2x + 3 = 0 , susunlah persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya :
a).3x1 dan 3x2
b). x1 + 2 dan x2 + 2
c).
21
2
dan
2
xx
Jawab :
a. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar
Misal  dan adalah akar-akar persamaan kuadrat baru, maka:
  3x1 + 3x2 . = 3x1.3x2
= 3(x1+x2) = 9(x1.x2)
= 3(
1
2
) = 9.3
=  6 = 27
Jadi persamaan kuadrat baru yang ditanyakan adalah x2
+ 6x + 27 = 0
Dengan teknik substitusi
Karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2
+ 2x + 3 = 0, maka
 = 3x1
3
1

 x
3
3 22

  xx dapat disubstitusi ke x2
+ 2x + 3 = 0
03
3
2
3
2











 
03
3
2
9
2


atau
02762
 
` Karena  merupakan akar, maka persamaan kuadrat yang ditanyakan adalah x2
+ 6x + 27 = 0
b. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar
Misal  dan adalah akar-akar persamaan kuadrat baru, maka:
  (x1+ 2)+(x2+2) . = (x1 + 2)(x2 + 2)
= 4 + (x1+x2) = 4 + 2x1 + 2x2 + (x1.x2)
= 4 + (
1
2
) = 4 + 2(x1 + x2) + 3
= 2 = 4 + 2(2) + 3
= 3
Jadi persamaan kuadrat baru yang ditanyakan adalah x2
2x + 3 = 0
Dengan teknik substitusi
Karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2
+ 2x + 3 = 0, maka
 = x1 + 2 21  x

17. Modul Matemaika Kelas 11 | 17
22 22   xx dapat disubstitusi ke x2
+ 2x + 3 = 0
    03222
2
 
0342442
  atau
0322
 
Karena  merupakan akar, maka persamaan kuadrat yang ditanyakan adalah x2
 2x + 3 = 0
c. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar
Misal  dan adalah akar-akar persamaan kuadrat baru, maka:
21
22
xx
  . = 











21
22
xx
=
 
21
212
xx
xx 
=
21
4
xx
=
 
3
22 
=
3
4
=
3
4

Jadi persamaan kuadrat baru yang ditanyakan adalah x2
+
3
4
x +
3
4
= 0 atau 3x2
+ 4x + 4 = 0
Dengan teknik substitusi
Karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2
+ 2x + 3 = 0, maka
 =
1
2
x 
2
1  x


22
2
2
 x
x
dapat disubstitusi ke x2
+ 2x + 3 = 0
03
2
2
2
2













03
44
2


atau
3 0442
 
Karena  merupakan akar, maka persamaan kuadrat yang ditanyakan adalah 3x2
+ 4x + 4 = 0
6. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari grafik sebuah persamaan
kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai Determinan dari sebuah fungsi kuadrat
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Adalah
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki sebuah persamaan
kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk menentukan jenis akar yang dimiliki suatu
persamaan kuadrat.

18. Modul Matemaika Kelas 11 | 18
Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:
1. Jika 𝐷 > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong
sumbu x pada dua titik).
2. Jika 𝐷 = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong
sumbu x pada satu titik).
3. Jika 𝐷 < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya,
grafik tidak memotong sumbu x).
Nilai (koefisien dari ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas
atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai :
1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.
Gambaran umum Grafik fungsi kuadrat jika dilihat dari nilai 𝑎 dan 𝐷
Untuk menggambar grafik secara lebih detailnya dapat disimak dalam langkah-langkah berikut.
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau 𝒇(𝒙) = 𝟎).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai 𝑥 = 0).
3. Menentukan sumbu simetri 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
.
4. Menentukan titik puncak (− 𝑏
2𝑎
, − 𝑏
2
−4𝑎𝑐
4𝑎
) atau hitung nilai puncak y menggunakan
substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 ke dalam persamaan f(x).
Empat langkah diatas sudah dapat digunakan untuk menggambar grafik persamaan kuadrat, jika perlu
bisa menambahkan beberapa titik koordinat bantu.
Contoh Soal dan Pembahasan
Gambarlah grafik fungsi kuadrat !
Secara sepintas kita akan mengetahui sketsa grafik menggunakan nilai a dan D:
1. Nilai artinya grafik akan terbuka ke atas.
2. Nilai , nilai D > 0 artinya grafik akan
memotong sumbu x pada dua titik.
Sketsa gambarnya kurang lebih akan seperti gambar di bawah.

19. Modul Matemaika Kelas 11 | 19
Secara lebih detail, gambarnya dapat dilihat dengan mengikuti langkah-langkah berikut.
Langkah 1: Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0)
Jadi, diperoleh titik potong dengan sumbu x (4, 0) dan (-2, 0).
Langkah 2: Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)
Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, -8).

20. Modul Matemaika Kelas 11 | 20
Langkah 3: Menentukan sumbu simetri
Diketahui: , , dan , maka sumbu simetri .
Langkah 4: Menentukan titik puncak ( , )
atau substitusi nilai x = 1 (hasil perhitungan pada Langkah 3) pada persamaan
sehingga diperoleh
Jadi, koordinat titk puncaknya adalah (1, – 9).
Selanjutnya tinggal menghubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga menjadi kurva mulus seperti
terlihat pada gambar di sebelah kanan..

21. Modul Matemaika Kelas 11 | 21
Selamat belajar dan semoga sukses