makalah kombinasi, permutasi dan peluang

1. Kombinasi, Permutasi dan Peluang
Disusun Oleh : Kelompok 4
Nama : Aisyah Turidho (06081281520073)
: Reno Sutriono (06081381520044)
: M. Rizky Tama Putra (06081381419045)
Mata Kuliah : Statistika Dasar
Dosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si
: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi Matematika
Universitas Sriwijaya Palembang
Tahun Ajaran 2016/2017

2. i
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI.................................................................................................................................i
KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG............................................................................. 1
A. KAIDAH PENCACAHAN....................................................................................................1
1. Faktorial ........................................................................................................................... 1
2. Diagram Pohon ................................................................................................................. 1
3. Aturan Pengisian Tempat...................................................................................................2
4. Permutasi dan Kombinasi...................................................................................................2
4.1 Permutasi...................................................................................................................... 2
a. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama.................................................................3
b. Permutasi Siklis (Sirkuler).............................................................................................. 4
4.2 Kombinasi..................................................................................................................... 4
B. PELUANG (Probabilitas) ......................................................................................................5
1. Pendekatan Perhitungan Probabilitas................................................................................... 5
a. Pendekatan Klasik .........................................................................................................5
b. Konsep Frekuensi Relatif ............................................................................................... 6
2. Komplemen Suatu Kejadian ............................................................................................... 7
3. Interseksi Dua Kejadian .....................................................................................................7
4. Union Dua Kejadian ..........................................................................................................8
DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................. 10

3. 1
KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG
A. KAIDAH PENCACAHAN
1. Faktorial
Faktorial merupakan hasil kali bilangan asli dari 1 sampai dengan n, ditulis 𝑛!
(dibaca n faktorial).
1! = 1
2! = 2 .1
3! = 3 . 2 .1
4! = 4 . 3 .2 .1
5! = 5 . 4 .3 .2 . 1
Kesimpulan:
𝑛! = 𝑛 ( 𝑛 − 1)( 𝑛 − 2)( 𝑛 − 3)… 3 . 2.1, 𝑛 ∈ 𝐴
2. Diagram Pohon
Dalam diagram pohon, setiap hasil dari percobaan diwakili sebagai cabang dari
geometri yang berbentuk seperti pohon.
Contohnya pelemparan koin sebanyak dua kali. Pada kasus tersebut hasil dari
pelemparan koin terdapat 4 kemungkinan seperti pada diagram pohon berikut:
Diagram pohon itu memiliki empat ranting dimana masing-masing cabang
merupakan hasil percobaan. Jika percobaan diperluas untuk tiga lemparan maka
akan menghasilkan delapan hasil: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, dan
TTT.

4. 2
Teknik ini bisa dilanjutkansistematis untuk memberikan hasil untuk n kali
pelemparan koin. Perhatikan bahwa 2 lemparan memiliki 4 hasil dan 3 kali
lemparan memiliki 8 hasil. n lemparan memiliki 2 𝑛
hasil yang mungkin.
Aturan pencacahan untuk percobaan dua langkah menyatakan bahwa jika langkah
pertama adalah 𝑛1 dan langkah kedua adalah 𝑛2, maka percobaan dapat
menghasilkan (𝑛1)(𝑛2). Jika ditambahkan langkah ketiga yaitu dengan 𝑛3, maka
percobaan dapat menghasilkan (𝑛1)(𝑛2)(𝑛3). Penghitungan aturan inipu berlaku
untuk eksperimen yang terdiri dari sejumlah lemparan. Untuk dua kali pelemparan
koin, jumlah hasil untuk percobaan adalah 2 x 2 = 4 dan untuk tiga kali lemparan,
jumlah hasil percobaannya adalah 2 x 2 x 2 = 8.
Penghitungan aturan dapat digunakan untuk mengetahui jumlah hasil dari
eksperimen dan kemudian diagram pohon dapat digunakan untuk benar-benar
mewakili hasil.
3. Aturan Pengisian Tempat
Aturan ini dibuat dengan membuat tabel. Contohnya pada kasus berikut ini: Untuk
tampil paa acara konser AFI di Palembang, Tia 3 baju berwarna yaitu merah,
kuning dan hijau serta membawa dua celana panjang berwarna putih dan biru.
Dengan berapa cara Tia dapat tampil dengan memakai pasangan baju dan celana
tersebut?
Baju Celana
3 macam 2 macam
Banyak pasangan baju dan celana ada 3 × 2 = 6 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑔.
Kesimpulan dari diagram pohon dan aturan pengisian tempat adalah banyak cara
menghitung suatu percobaan maka: ( 𝑛1)( 𝑛2)( 𝑛3)… (𝑛 𝑛)
4. Permutasi dan Kombinasi
Banyak percobaan dalam statistik melibatkan pemilihan himpunan yang lebih
besar dari kelompok item. Untuk kasus semacam ini, digunakan aturan permutasi
dan kombinasi.
4.1 Permutasi
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur
tersebut yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (tempatnya). Banyak
permutasi yang terdiri n unsur disusun r unsur adalah:
𝑃𝑟
𝑛
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
, 𝑟 ≤ 𝑛

5. 3
Contoh soal:
1. Seorang presiden, wakil presiden, dan bendahara harus dipilih dari
sekelompok 10 orang. Berapa banyak pilihan yang berbeda yang
mungkin?
Dari 10 orang akan dipilih 3 orang berarti 𝑛 = 10, 𝑟 = 3
𝑃3
10
=
10!
(10−3)!
= 10 × 9 × 8 = 720 cara
2. Suatu daftar memuat 10 rencana investasi yang dikemukakan oleh direksi
perusahaan kepada suatu dewan komisaris, dimana setiap anggota dewan
komisaris diminta untuk memberikan rank atau penilaian terhadap 5
rencana investasi tersebut yang dianggap feasible. Ada berapa cara ranking
dari 10 rencana investasi kalau diambil 5 setiap kali.
Dari 10 rencana investasi akan dinilai 5 rencana investasi berarti 𝑛 = 10, 𝑟 =
5
𝑃5
10
=
10!
(10−5)!
= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30.240 cara ranking.
a. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Jika dari n unsur terdapat:
𝑛1 unsur yang sama, 𝑛2 unsur yang sama, 𝑛3 unsur yang sama, dan
seterusnya. Maka secara umum banyaknya permutasi yang berlainan dapat
disimpulkan sebagai berikut:
𝑃 =
𝑛!
𝑛1! . 𝑛2! . 𝑛3! … 𝑛 𝑛 !
, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯ + 𝑛 𝑛 ≤ 𝑛
Contoh soal: Dengan berapa cara huruf-huruf dari kata “ASA” dapat
disusun?
Bila contoh soal diatas diselesaikan dengan cara menyusun huruf tersebut
satu per satu maka:
𝐴1 𝐴2 𝑆
𝐴2 𝐴1 𝑆
𝐴1 𝑆𝐴2
𝐴2 𝑆𝐴1
𝑆𝐴1 𝐴2
𝑆𝐴2 𝐴1
AAS
ASA
SAA

6. 4
Dari penyususnan diatas dapat dilihat bawah banyaknya cara penyusunan
huruf tersebut ada 3 cara.
Bila diselesaikan dengan rumus permutasi unsur yang sama maka:
Jumlah huruf tersebut 𝑛 = 3 dan Unsur yang sama dari huruf tersebut
yaitu huruf A berarti 𝑛1 = 2
𝑃 =
3!
2!
= 3 cara
b. Permutasi Siklis (Sirkuler)
Permutasi siklis adalah permutasi yang terdapat bila unsur-unsur
ditempatkan dalam suatu lingkaran menurut arah putar tertentu.
Banyak permutasi siklis dari n unsur yang berbeda adalah:
𝑃𝑠 = (𝑛 − 1)!
Contoh soal: Berapa banyak susunan yang terjadi jika A,B,C,D disusun
melingkar?
Bila contoh diatas diselesaikan dengan cara menyusun secara melingkar
huruf tersebut satu per satu maka:
Jadi, banyak penyusunannya ada 6 cara.
Bila diselesaikan dengan rumus permutasi siklis maka:
𝑃𝑠 = (4 − 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 𝑐𝑎𝑟𝑎
4.2 Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur
tersebut yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya.
Banyak kombinasi yang terdiri dari n unsur dan disusun r unsur.
𝐶𝑟
𝑛
=
𝑛!
( 𝑛 − 𝑟)! 𝑟!
, 𝑟 ≤ 𝑛

7. 5
Contoh soal:
1. Tentukanlah banyaknya cara untuk memilih 3 orang siswa sebagai petugas
pengibar bendera hari Senin yang dipilih dari 20 orang siswa anggota
Barata kelas I!
𝐶3
20
=
20!
(20−3)!3!
=
20!
17!3!
=
20×19×18
3×2×1
= 20 × 19 × 3 = 1140 𝑐𝑎𝑟𝑎
2. Suatu populasi terdiri dari n elemen: 𝑋1 , 𝑋2 , …, 𝑋 𝑛. Untuk menyelidiki
karakteristik dari populasi tersebut diambil sampel yang dipilih secara
acak sebanyak r elemen: 𝑋1 , 𝑋2 ,… , 𝑋 𝑟. Berapa banyaknya sampel yang
dapat diperoleh dari populasi ini jika 𝑛 = 3 dan 𝑟 = 2 ?
𝐶2
3
=
3!
(3−2)!2!
= 3 sampel
3 sampel tersebut adalah 𝑋1 , 𝑋2 ; 𝑋1 , 𝑋3 𝑑𝑎𝑛 𝑋2 , 𝑋3
B. PELUANG (Probabilitas)
Peluang atau probabilitas adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur
tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.
Dalam probabilitas, dikenal 3 istilah yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian
(event). Eksperimen adalah observasi terhadap objek atau kegiatan untuk memperoleh
beberapa ukuran, hasil adalah suatu hasil khusus dari sebuah eksperimen, dan
kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil dari sebuah eksperimen.
1. Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang
bersifat objektif dan subjektif. Pendekatan subjektif berkaitan dengan penilaian
seseorang yang dinyatakan dalam bentuk opini atau pendapat. Pendekatan objektif
dibagi menjadi 2, yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif.
a. Pendekatan Klasik
Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh
hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama.
Dari definisi klasik, dapat kita simpulkan bahwa untuk peristiwa E, 𝑃( 𝐸) =
𝑛
𝑁
dengan n = sampel kejadian E dan N = sampel semua kejadian.
Paling kecil n = 0 berarti tidak ada kejadian E dan paling banyak n = N yang
berarti semua yang terjadi adalah peristiwa E. Paling kecil peluang peristiwa E
berharga 0 dan paling besar satu. 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1

8. 6
Jika 𝐸̅ menyatakan bukan peristiwa E maka:
𝑃( 𝐸) + 𝑃( 𝐸̅) = 1 , karena suatu peluang paling besar berharga. Berarti,
𝑃( 𝐸̅) = 1 − 𝑃(𝐸).
Peristiwa E dan 𝐸̅ merupakan dua peristiwa yang saling asing atau saling
ekslusif, karena terjadinya E menghindarkan terjadinya 𝐸̅ dan
sebaliknya.Peristiwa sejenis ini dihubungkan dengan kata atau.
b. Konsep Frekuensi Relatif
Suatu peluang dalam daftar distribusi frekuensi dinyatakan dengan frekuensi
relatif.
X F fr
𝑋1
𝑋2
.
.
.
𝑋𝑖
.
.
.
𝑋 𝑘
𝑓1
𝑓2
.
.
.
𝑓𝑖
.
.
.
𝑓𝑘
Jumlah ∑ 𝑓𝑖 = 𝑛 ∑ 𝑓𝑟 = 1
Dimana 𝑓𝑟 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓
𝑋𝑖 = 𝐾𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑖
P(𝑋𝑖) =
𝑓𝑖
𝑛
Contoh soal: Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di
perusahaan swasta, salah satu karakteristik, besarnya gaji/upah bulanan
digambarkan sebagai berikut:
Tingkat Upah Bulanan Karyawan Suatu Perusahaan Swasta
X 55 65 75 85 95 105 115
F 8 10 16 14 10 5 2
Apabila kita kebetulan bertemu dengan salah satu karyawan tersebut,
berapakah besarnya probabilitas bahwa upahnya 65 ribu rupiah? 105 ribu
rupiah?
𝑃( 𝑋 = 65) =
𝑓2
𝑛
=
10
65
= 0,15 𝑎𝑡𝑎𝑢 15%
𝑃( 𝑋 = 105) =
𝑓6
𝑛
=
5
65
= 0,07 𝑎𝑡𝑎𝑢 7%

9. 7
2. Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan E adalah suautu himpunan kejadian dan himpunan semestanya adalah S.
Kejadian bukan E dari himpunan S dilambangkan dengan 𝐸̅. 𝐸 = {𝑥|𝑥 ∈
𝑆 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐸̅ }. Jika digambarkan dengan sebuah diagram venn maka:
Dalam himpunan yang saling berkomplemen 𝑛( 𝐸̅) = 𝑛( 𝑠) − 𝑛( 𝐸) Sehingga,
𝑃( 𝐸̅) = 1 − 𝑃(𝐸).
3. Interseksi Dua Kejadian
Interseksi dua kejadian A dan B terdiri dari hasil campuran dari kedua himpunan
A dan B. Interseksi dua kejadian A dan B di simbolkan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 (dibaca A
interseksi B / A dan B).
Misalnya A jumlah uang yang dapat digunakan (yang tersedia) bagi seorang ibu
rumah tangga untuk berbelanja selama bulan Juli 1998.
𝐴 = { 𝑥 ∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅𝑝100.000}
𝐵 = 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑖𝑏𝑢 𝑟𝑢𝑚𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝐽𝑢𝑙𝑖
𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 ≥ 𝑅𝑝100.000}
𝐴 ∩ 𝐵 = { 𝑥 ∶ 𝑥 = 𝑅𝑝100.000}
Dalam mencari peluang pada interseksi dua kejadian maka:
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)
Rumus diatas disebut juga kejadian bebas. Selain kejadian bebas dikenal pula
istilah kejadian tak bebas (bersyarat), kejadian ini biasa ditulis P(A/B). Misalkan
jumlah seluruh mahasiswa suatu Universitas (S atau N) adalah 10.000 orang,
himpunan A mewakili 2.000 mahasiswa lama dan himpunan B mewakili 3.500
mahasiswa putri.sedangkan 800 dari 3.500 mahasiswa putri merupakan
mahasiswa lama.
S
E 𝐸̅
S
𝐴 ∩ 𝐵

10. 8
a. Berapa probabilitas mahasiswa lama dengan syarat putri?
P(A/B) =
𝑃( 𝐴∩𝐵)
𝑃 (𝐵)
=
800
3500
= 0,23
b. Berapa probabilitas mahasiswa putri dengan syarat mahasiswa lama?
P(B/A) =
𝑃( 𝐴∩𝐵)
𝑃 ( 𝐴)
=
800
200
= 0,40
Pada umumnya kejadian tak bebas dirumuskan sebagai berikut:
P(A/B) =
𝑃( 𝐴∩𝐵)
𝑃 (𝐵)
dan P(B/A) =
𝑃( 𝐴∩𝐵)
𝑃( 𝐴)
4. Union Dua Kejadian
Union dua kejadian A dan B terdiri dari semua hasil himpunan A, himpunan B
dan campuran himpunan A dan B. Union A dan disimbolkan 𝐴 ∪ 𝐵 (dibaca A
union B / A atau B).
Misal: 𝐴 = {𝑥 ∶ 2 ≤ 𝑥 ≤ 5 } dan 𝐵 = {𝑥 ∶ 6 ≤ 𝑥 ≤ 12}
maka 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∶ 2 ≤ 𝑥 ≤ 12}
Untuk menghitung peluang union dua kejadian maka:
𝑃( 𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃( 𝐴) + 𝑃( 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Rumus peluang diatas disebut kejadian tidak saling lepas. Untuk kejadian saling
lepas, 𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) = 0 sehingga:
𝑃( 𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃( 𝐴) + 𝑃( 𝐵)
S
𝐴 ∪ 𝐵

11. 9
Contoh soal:
1. Hitung beberapa probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih
ringan atau lebih berat dari berat standar pada tabel dibawah ini?
Berat Kejadian Jumlah Paket Probabilitas
Lebih ringan
Standar
Lebih berat
A
B
C
100
3600
300
0,025
0,900
0,075
Jumlah 4000 1,000
𝑃( 𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑃( 𝐴) + 𝑃( 𝐶) = 0,025 + 0,075 = 0,10
2. Hitung probabilitas kartu bergambar heart atau king pada tabel berikut:
Kartu Probabilitas
Raja (King)
𝑃( 𝐴) =
4
52
Hati (Heart)
𝑃( 𝐵) =
13
52
Raja bergambar hati
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) =
1
52
𝑃( 𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃( 𝐴) + 𝑃( 𝐵) − 𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) =
4
52
+
13
52
−
1
52
=
16
52
= 0,30

12. 10
DAFTAR PUSTAKA
Dalimah. (2013). Bahan Belajar Matematika Kelas XI IPA SMA/MA Semester Ganjil.
Palembang: SMA Negeri 18. Hlm. 88, 93-94, 97-99 dan 104-112
Stephs, Larry J. (1998). Schaum Outlines Beginning of Statistics. Omaha : Library of
Congress Cataloging in Publication Data. Hlm. 63-64 dan 71-74
Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito.Hlm. 116-117
Supranto, J. (2008). Statistik: Teori dan Aplikasi. Edisi 7. Jakarta: Erlangga. Hlm. 319-322,
329-331, 340 dan 357-361
Tim Ganesha Operation. (2014). Pasti Bisa Matematika untuk Sekolah Menengah Atas Kelas
X. Jakarta: Penerbit Duta. Hlm.154